Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Размер: px
Започни от страница:

Download "Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим"

Препис

1 Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако X и Y са многообразия, то морфизмите f : X Y на многообразия са точно морфизмите на пред-многообразия. Многообразията с размерност 1 се наричат криви, а многообразията с размерност 2 - повърхнини. Лема (i) Проективното пространство P n и афинното пространство k n са отделими. (ii) Ако X е отделимо, то всяко отворено или затворено подмножество Y на X е отделимо. Доказателство: (i) Диагоналът = {(x, x) x k n } е Зариски затвореното подмножество на k 2n, зададено с уравненията x 1 = y 1,..., x n = y n. Следователно е затворено в k n k n = k 2n и афинното пространство k n е отделимо. За отделимостта на P n, нека (p, q) P n P n е точка от затворената обвивка на диагонала. Съществува афинно отворено подмножество U P n, изоморфно на афинното пространство k n и съдържащо едновременно p и q. Но диагоналът е затворен в U и p = q, откъдето следва, че и диагоналът в P n P n е затворен. (ii) По предположение, диагоналът X = {(x, x) x X} е затворен в X. Диагоналът Y = X (Y Y ) на Y е сечението на диагонала на X с Y Y. По този начин, Y е относително затворено в Y Y и Y е отделимо, Q.E.D. Всяко неприводимо затворено подмножество на P n е многообразие. Многообразията, изморфни на затворени подмножества на P n се наричат проективни многообразия. Многообразията, които са изоморфни на отворено подмножество на проективно многообразие се наричат квази-проективни. Лема Ако X и Y са отделими, то X Y е отделимо. Доказателство: Ако диагоналите X X X и Y Y Y са затворени, твърдим, че произведението им X Y (X X Y Y ) е затворено. Съгласно Лема 12.9, достатъчно е да проверим, че ако U и V са афинни отворени подмножества, а X 1 U и Y 1 V са затворени подмножества, то произведението им X 1 Y 1 е затворено в U V. По-точно, ако U k n и V k m имат афинни координатни пръстени k[x 1,..., x n ] и k[y 1..., y m ], то идеалът I(X 1 Y 1 ) = I(X 1 )k[y 1,..., y m ] + I(Y 1 )k[x 1,..., x n ]. Щом X Y е затворено в X X Y Y, то X Y е затворено в X Y X Y, доколкото транспозицията на втория и третия множител X X Y Y X Y X Y е изоморфизъм, Q.E.D. Определение Многообразието X е пълно, ако за всяко многообразие Y проекцията q : X Y Y, q(x, y) = y е затворено изображение. 134

2 13. ПЪЛНИ МНОГООБРАЗИЯ 135 Лема Ако X е такова многообразие, че проекцията q : X Y Y, q(x, y) = y е затворено изображение за всяко афинно многообразие Y, то X е пълно. Доказателство: Нека Y е произволно многообразие, V X Y е затворено подмножество, а q : X Y Y, q(x, y) = y е проекцията върху втория множител. За да докажем, че q(v ) Y е затворено, избираме афинно отворено покритие {U i } i I на Y и означаваме с q i : X U i U i съответните проекции. Тогава q i (V (X U i )) = q(v ) U i. По предположение, q i са затворени изображения, така че q(v ) U i са затворени за i I. Оттук и q(v ) Y е затворено, Q.E.D. Лема Ако Φ : X Y е морфизъм на пред-многообразие X в многоборазие Y, то Γ = {(x, Φ(x)) x X} X Y е затворено подмножество на X Y и съвпада с графика на Φ. Доказателство: Съгласно универсалното свойство на произведението Y Y, изображението Ψ : X Y Y Y, Ψ(x, y) = (Φ(x), y) е морфизъм на пред-многообразия. Но Γ = Φ 1 ( Y Y ) е праобразът на диагонала Y Y Y Y, който е затворен по предположение. Следователно Γ е затворено, Q.E.D. Твърдение (i) Произведението X Y на пълни монгообразия X и Y е пълно многообразие. (ii) Всяка неприводима компонента на затворено подмножество Y на пълно многообразие X е пълно многообразие. (iii) Ако Φ : X Y е морфизъм на пълно многообразие X в многоборазие Y, то образът Φ(X) е затворено подмножество на Y и пълно многообразие, а Φ е затворено изображение. (iv) Единствените пълни афинни многообразия са точките. Доказателство: (i) В комутативната диаграма X Y Z p Y Z r изображенията p и q са затворени поради пълнотата на X и Y. Следователно r = qp е затворено и X Y е пълно. (ii) Нека Y i е неприводима компонента на Y, а q i : Y i Z Z е проекцията върху втория множител. Пропускаме q i през влагането ε : Y i Z X Z на затворени подмножества и втората проекция q : X Z Z, Y i Z q Z q ε i. q X Z Z Тогава ε е затворено изображение, q е затворено изображение поради пълнотата на X, така че q i = qε е затворено и Y i е пълно.

3 ПЪЛНИ МНОГООБРАЗИЯ (iii) Подмножеството Γ Φ = {(x, Φ(x)) x X} X Y е затворено по Лема Поради пълнотата на X, образът Φ(X) на Γ Φ под действие на проекцията q : X Y Y е затворен. За да установим пълнотата на Φ(X) ще проверим, че произволно затворено подмножество V Φ(X) Z се проектира в затворено подмножество q(v ) Z. Да разгледаме морфизма Ψ : X Z Y Z, Ψ(x, z) = (Φ(x), z). От това, че Φ(X) е затворено в Y следва, че Φ(X) Z е затворено в Y Z. Следователно Ψ 1 (V ) е затворено в X Z. Поради пълнотата на X имаме затворена проекция qψ 1 (V ) = q(v ). Това установява пълнотата на Φ(X). Още повече, Φ(X) е неприводимо като образ на неприводимото многообразие X под действие на морфизма Φ, така че Φ(X) е пълно многообразие. Произволно затворено подмножество Z X е пълно съгласно (ii), така че по горните разглеждания следва, че Φ(Z) е пълно затворено подмножество на Y. Това доказва, че Φ е затворено изображение. (iv) Първо ще установим, че афинната права k не е пълно многообразие. За целта да разгледаме хиперболата xy = 1, която е затворено подмножество на k k. Но проекцията и върху втория множител е k = k \ {0}, което не е затворено подмножество на k. Следователно проекцията q : k k k, q(x, y) = y не е затворено изображение, така че k не е пълно многообразие. В общия случай, нека X е пълно неприводимо афинно многообразие с размерност dim(x) 1. Избираме трансцендентен над k елемент f k[x]. Тогава влагането k[f] k[x] индуцира морфизъм Φ : X k. Ако допуснем, че X е пълно многообразие, то образът Φ(X) на X е с размерност, по-голяма от 0, защото f не е постоянна регулярна функция. Съгласно (iii), образът Φ(X) е затворен, така че съвпада с k. Отново от (iii) следва, че Φ(X) = k е пълно, което е противоречие, доказващо че единствените пълни афинни многообразия са точките, Q.E.D. Както в афинния случай, рационално изображение X > Y на многообразия е морфизъм, определен върху отворено, навсякъде гъсто подмножество U X. Ще считаме,че две рационални изборажения съвпадат, ако действат по един и същи начин върху непразно отворено подмножество. Съществува максимално отворено подмножество, върху което е регулярно дадено рационално изображение. Едно рационално изображение се нарича доминантно, ако съществува отворено множество, върху което това изображение е регулярно и образът на това множество е навсякъде гъст. Всяко доминантно рационално изображение индуцира влагане на функционалните полета. Доминантно рационално изображение е бирационално, ако индуцира изоморфизъм на функционалните полета. Както за афинните многообразия, казваме, че точката p на многообразие X е гладка или неособена, ако O p,x е регулярен локален пръстен. Ако p не е гладка, то p е особена. Многообразието X е гладко или неособено, ако всяка точка на X е гладка или неособена. Множеството на особените точки на многообразие е собствено затворено подмножество. Отново по аналогия с афинния случай, нормализацията на многообразие X е многообразие Y с морфизъм f : Y X, който е бирационален и такъв, че за всяко афинно отворено подмножество U X праобразът f 1 (U) е афинен и O(f 1 U) е цялата обвивка на O(U). Нормализацията на X може да се построи чрез нормализация на афинни отворени множества и прилагане на Лема 12.9 за слепване. Следващата теорема е доказана от Chevalley.

4 13. ПЪЛНИ МНОГООБРАЗИЯ 137 Теорема 24. (Нормировъчен критерий за пълнота) Нека k е алгебрично затворено поле, а X е многообразие с функционално поле F, така че за всяко неприводимо затворено подмножество Z X с функционално поле F (Z) и всеки пръстен на нормиране k R F (Z) съществува точка p Z, така че O p,z R. Тогава X е пълно. Доказателство: Нека Y е афинно многообразие, V X Y е затворено подмножество, а p : X Y X и q : X Y Y са каноничните проекции. Съгласно Лема 13.5, достатъчно е да докажем, че q(v ) е затворено подмножество на Y. Без ограничение на общността можем да предполагаме, че V е неприводимо. Да означим със Z затворената обвивка на p(v ) в X. Тогава Z е неприводимо като образ на неприводимо монгообразие под действие на морфизъм. По предположение, всеки пръстен на нормиране R на F (Z), съдържащ k, съдържа O p,z за някоя точка p Z. Без ограничение на общността можем да заменим Y със затворената обвивка на q(v ) в Y, докато доказваме затвореността на q(v ). Тогава композицията V Z Y Y е доминантно изображение и трябва да докажем, че q(v ) = Y. Нека F (Z) е функционалното поле на Z, а K е функционалното поле на V. Композицията V Z Y Z е доминантна и индуцира влагане j : F (Z) K на функционалните полета. За произволна точка y Y ще построим точка z Z, така че (z, y) V. Оттук следва q(v ) = Y. Да разгледаме остойностяващото изображение ε y : k[y ] k, ε y (g) = g(y) в точка y Y. Доминантното изображение V Z Y Y индуцира влагане k[y ] K. По Теоремата за продължение, съществува пръстен на нормиране R на K, съдържащ k[y ] и хомоморфизъм E y : R k, продължаващ ε y. Праборазът j 1 (R) на R под действие на влагането j : F (Z) K е пръстен на нормиране на F (Z), съдържащ k. По предположение, съществува точка z Z, така че O z,z j 1 (R). Остава да проверим, че (z, y) V. Нека U е афинна отворена околност на z в Z. Тогава V = (U Y ) V е непразно афинно отворено подмножество на V. Афинният координатен пръстен k[v ] е подпръстен на K. Твърдим, че k[v ] R. Нека i : V U Y е влагането, а i : k[u] k k[y ] k[v ] е индуцираният епиморфизъм на афинните координатни пръстени. Проекциите p : U Y U и q : U Y Y индуцират хомоморфизми p : k[u] k[u] k k[y ], p(a) = a 1 и q : k[y ] k[u] k [Y ], q (b) = 1 b. Ограничението на j : F (Z) K върху k[u] е композицията i p. Понеже j(k[u]) R, оттук следва, че i (k[u] 1) R. От друга страна, i (1 k[y ]) е образът на k[y ] под действие на влагането k[y ] K и i (1 k[y ]) R. Но k[v ] = i (k[u] k k[y ]) се поражда от i (k[u] 1) и i (1 k[y ]), така че k[v ] се съдържа в R. Следователно хомоморфизмът Φ : R k е определен върху k[v ] и ядрото му Ker(Φ) k[v ] е максимален идеал на k[v ]. Съгласно jo z,z R, максималният идеал на O z,z се съдържа в R. От друга страна, максималният идеал на y в k[y ] е в ядрото на Φ. Следователно максималният идеал Ker(Φ) k[v ] на k[v ] отговаря на точката (z, y) V. Образът на тази точка в Y е y, така че X е пълно, Q.E.D.

5 ПЪЛНИ МНОГООБРАЗИЯ Твърдение Нека F е разширение на алгебрично затворено поле k, R е пръстен на нормиране на F, съдържащ k, а M е максималният идеал на R. Тогава съществува пръстен на нормиране R на F, съдържащ k, съдържащ се в R, с максимален идеал M M и такъв, че композицията k R R /M е изоморфизъм. Доказателство: Нека K = R/M. Отъждествяваме k с образа си под действие на композицията k R K. Прилагайки Теоремата за продължение към тъждественото изображение k k получаваме съществуването на пръстен на нормиране R 1 K с максимален идеал M 1, съдържащ k и такъв, че композицията k R R 1 /M 1 е изоморфизъм. Нека R е праобразът на R 1 в R, а M е праобразът на M 1. Композицията k R R /M R 1 /M 1 е изоморфизъм. Трябва да докажем само, че R е пръстен на нормиране на F. Твърдим, че ако f F \R, то f 1 M. В случая f R имаме f 1 M M, защото R е пръстен на нормиране. Ако f R, то f M, защото M R. Следователно f 1 R. Образът f на f в K е извън R 1, защото R 1 е пръстен на нормиране и f 1 M 1. Оттук f 1 M, Q.E.D. Ако U е подпространство на k n+1, то P(U) се нарича проективно подпространство на P n = P(k n+1 ). Ако dim(u) = n, ще казваме, че P(U) е хиперравнина. Твърдение Проективните многообразия над алгебрично затоврено поле са пълни. Доказателство: Съгласно Твърдение 13.7 (ii), достатъчно е да докажем, че проективното пространство P n е пълно. За целта ще използваме нормировъчния критерий за пълнота от Теорема 24. Нека Z P n е неприводимо затворено подпространство, а R е пръстен на нормиране на F (Z) с максимален идеал M. Ще установим, че O P,Z R за някоя точка P Z. Без ограничение на общността можем да прдеполагаме, че Z не се съдържа в собствено проективно подпространство на P n, защото в противен случай можем да разглеждаме Z като неприводимо затворено подпространство на P r за някое r < n. С индукция по n предполагаме, че O P,Z R за някое P Z при Z P r с r < n. От Твърдение 13.8 знаем, чe съществува пръстен на нормиране k R R с максимален идеал M, така че композицията k R R /M е изоморфизъм. От O P R следва O P R, така че можем да заменим R с R и да предполагаме, че композицията k R R/M е изоморфизъм. Следователно съществува хомоморфизъм ϕ : R k, който действа тъждествено върху k и има ядро Ker(ϕ) = M. Нека x 0, x 1,..., x n са координатните функции върху k n+1. Те не принадлежат на F = F (P n ), но след деление с x 0, функциите ξ 0 = 1, ξ 1 = x1 x 0,..., ξ n = xn x 0 F. Понеже Z не се съдържа в собствено проективно подпространство на P n, всички ξ i са от локалния пръстен O Z,P n (т.е. x 0 не се анулира тъждествено върху Z). Нека са образите на ξ i в F (Z), 0 i n. Твърдим, че съществува λ F, така че λη 0, λη 1,..., λη n R и поне един от тези елементи е обратим в R. С индукция по 1 i n, да предположим, че съществува λ i F, така че λ i η 0,..., λ i 1 R и поне един от тези елементи е обратим в R. Ако λ i R, избираме λ i+1 = λ i. В противен случай, λ 1 i η 1 i R и можем да изберем λ i+1 = η 1 i. В резултат, за 0 j < i е в сила λ i+1 η j = ηj = (λ i η j )(λ 1 i η 1 i ) R и λ i+1 = 1. Продължаваме индуктивно описаната конструкция и избираме λ = λ n+1. Ако λ R, то делим на λ и получаваме η0, η1,..., ηn R. Тук ηj е образът на xj x i в O Z,P n и пренареждайки координатите можем да предполагаме, че η 1,..., η n R за образите на xi x 0 в O Z,P n.

6 13. ПЪЛНИ МНОГООБРАЗИЯ 139 Нека U е афинното отворено подмножество на P n, което допълва хиперравнината с уравнение x 0 = 0 в k n+1. Тогава U е изоморфно на афинното пространство k n с координати ξ 1,..., ξ n. Затвореното подмножество Z U на U е афинно многообразие с афинен координатен пръстен k[η 1,..., η n ] R. Нека P = (a 1,..., a n ) = (ϕ(η 1 ),..., ϕ(η n )) U. Тогава P Z U. Ще докажем, че O P R. Всеки елемент на O P може да се представи във вида f g за някакви f, g k[η 1,..., η n ], g(p ) 0. Сега ϕ(g) = ϕ(g(η 1,..., η n )) = g(a 1,..., a n ) = g(p ) 0 показва, че g M. Следователно g е обратимо в пръстена на нормиране R и f g R. Това доказва O P R, Q.E.D.

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство

Подробно

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многообразия X се моделират локално с афинни многообразия.

Подробно

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено

Подробно

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи на R е мултипликативно затворено и локализацията S 1

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n,

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, d n )} n Z от леви (десни) R-модули C n и R-модулни

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр

Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непрекъснатост. За целта да напомним, че произволна n-торка

Подробно

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремата на Хилберт за нулите. Междувременно, направената

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, освен ако не е специално указано. Да напомним, че асоциативен

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции.

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Да напомним, че u O n точно когато u(0 n ) 0 В такъв

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теорията на изчислимостта, които ще се предполагат известни

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни степени, са необходими някои предварителни сведения

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, 13-14 уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означените действия: (i ( + i + ( i ; (ii (1 + i 3 (1 i 3 ; (iii

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение 10.1. Множеството Zf = {[x : y : z] P k fx, y, z = 0} на нулите на евентуално разложим хомогенен полином fx, y, z k[x,

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - DIS.doc

Microsoft Word - DIS.doc Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през

Подробно

Записки по Логическо програмиране за резолюции Забележка 1. В тези записки структурите са обозначавани посредством удебелени латински букви вместо с к

Записки по Логическо програмиране за резолюции Забележка 1. В тези записки структурите са обозначавани посредством удебелени латински букви вместо с к Записки по Логическо програмиране за резолюции Забележка 1. В тези записки структурите са обозначавани посредством удебелени латински букви вместо с курсив, за да бъде сигурно, че няма да възникнат неочаквани

Подробно

Exam, SU, FMI,

Exam, SU, FMI, Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни

Подробно