Microsoft Word - ProectB.doc

Размер: px
Започни от страница:

Download "Microsoft Word - ProectB.doc"

Препис

1 Епидемиологичен модел

2 Целта, към която се стремим тук, е да се изследва как се разпространява заразно заболяване като функция на времето, предизвикано от малка група инфектирани индивиди, намиращи се сред популация, чиято численост остава постоянна. Разбира се това зависи от конкретните обстоятелства, но за да получим математическия модел ще направим някои разумни допускания. Разглеждат се заболявания, при които след преболедуване се придобива имунитет. Тогава популацията може да се раздели на три отличаващи се класа: тези които са предразположени да се разболеят S, вече инфектираните I и тези които са прекарали вече заболяването, или са имунизирани, или са изолирани докато преболедуват, или са починали, т.е тези които в един момент вече не участват в развитието на болестта. Схематично преходите между класовете могат да се представят така: S I Предположенията, които се правят за разпространението и инкубационния период, са решаващи при изграждане на модела. Функциите S(t), I(t) и (t) представят броя на индивидите във всеки клас в зависимост от времето. Предполагаме следното: А) преминаващите в класа I за единица време е стойност, която е правопропорционална на произведението на вече заболелите и броя на предразположените, т.е r*i*s, където r > 0. Съответно числеността на предразположените намалява с толкова Б) броят на преболедувалите за единица време е стойност правопропорционална на болните, т.е класът се увеличава с a*i, където а > 0 В) инкубационният период на болестта е достатъчно кратък, за да може да бъде пренебрегнат, т.е след контакт на предразположен с инфектиран той прдобива заболяването веднага. Разглеждаме различните класове като равномерно смесени, така че контактът между всеки двама индивида е равновероятен.при тези условия развитието на болестта се задава чрез следните уравнения: ds = r*s*i di = r*i*s a*i = a*i където a > 0, r > 0, а S, I и са неотрицателни.

3 Това е класическият математически модел на Kermack McKendrick (1927), който въпреки своята простота позволява да се изведат някои закономерности и да се опишат конкретно възникнали епидемии. Постоянният брой на популацията е вграден в модела и определя уравнението: ds di + + = 0 от където следва, че: S + I + = N като N e константата задаваща числеността на индивидите. S, I и са ограничени отгоре от тази константа. За да бъде пълно описанието на разглеждания проблем, трябва да се зададат началните стойности за размера на трите класа: S(0) = S 0 > 0, I(0) = I 0 > 0, (0) = 0. Съществен въпрос при дадени r, a, S 0 и I 0 е да се определи дали ще се разпространи инфекцията или не и ако се разпространи как ще се развива във времето и кога ще започне да затихва. di > > a = I 0 * (r*s 0 a) 0, ако S 0 = < < r t=0 ds a Тъй като 0, следва че S S 0 и ако S 0 <, r di то = I*(r*S a) 0 за t 0. В такъв случай I 0 > lim t I(t) = 0, а това означава, че няма да се достигне до епидемия. Под терминът епидемия се разбира, че съществува такъв момент t e, за който a I 0 < I(t e ). От друга страна ако S 0 >, то I(t) ще се увеличава и ще се развие r епидемия. Така достигаме до извода, че възникването на епидемиологичния

4 a процес се предопределя от отосителната прагова стойност = ; r ако S 0 >, ще се разпространи заболяването, докато при S 0 < не. Можем да извлечем и друг полезен резултат. Нека разгледаме I като функция на S. Тогава : di I*(r*S a) a = = 1 + като =. ds r*i*s S r Решаването на това диференциално уравнение, при използване на началните условия, води до следния резултат: I + S *ln S = const = I 0 + S 0 *ln S 0. Фазовият портрет на траекториите изглежда така: N I S + I = N I max 0 N S Тъй като (0) = 0, началните стойности I 0, S 0 удовлетворяват I 0 + S 0 = N. Имаме, че 0 I(t) + S(t) < N за t > 0. Следователно всяка траектория започва от правата с уравнение S + I N = 0 и през цялото време остава в пространството, ограничено от тази права и координатните оси. di Максимална стойност заболелите придобиват, когато = 0, от което ds следва че тя се получава при S =. Можем да я изчислим така:

5 I max = *ln + I 0 + S 0 *ln S 0 = I 0 + S 0 + *ln = S 0 = N + *ln S 0 За някои начални стойности I 0 и S 0 > фазовата траектория започва от S > и I постепенно нараства от I 0 до достигане на максималната стойност като в този случай е налице епидемия. Ако I 0 e близо до I max, а това означава S 0 да е близо до, епидемията няма да бъде тежка. Нека разгледаме S като функция на : Получаваме: ds S = N S = S 0 *exp S 0 *exp > 0 От тук следва, че 0 < S(t) N за t 0. Така заключаваме lim t S(t) > 0. От фазовия портрет се вижда, че всъщност 0 < lim t S(t) <. Тъй като I( ) = 0,то ( ) + S( ) = N.Следователно: ( ) N S( ) S( ) = S 0 *exp = S 0 *exp и така S( ) е положителния корен z на уравнението N z S 0 *exp = z Можем да изчислим общия брой на заболелите: I total = I 0 + S 0 S( ). Важно следствие от проведения анализ, а именно lim t I(t) = 0 и

6 lim t S(t) > 0, е че епидемията затихва поради липса на заболели, а не от липса на предразположени. В повечето случаи е трудно да се определи как се изменя броя на заболелите, т.е функцията I(t). Единствената информация, която може да бъде получена, е изнасяната от здравните служби за изменението на броя на потърсилите медицинска помощ или починалите за определен период от време. И така за да приложим разглеждания модел към конкретен случай на епидемия, ние трябва да изразим изменението на класа като функция на времето и тази функция да доближим максимално до получените данни. = a*i = a*( N S ) = a* N S 0 *exp при начално условие (0) = 0. Това уравнение може да бъде решено аналитично само в параметричен вид, който е твърде неудобен. Ако се знаят стойностите на a, r, S 0, и N може числено да се реши, но най често не всички от тях са известни. Наблюденията показват, че за по леки случаи на епидемия отношението е с малка стойност, т.е < 1. Тогава можем да направим следното приближение: S 0 S 0 * 2 = a* N S * 2* 2 Решението, което получаваме за диференциалното уравнение, е 2 S 0 α*a*t (t) = * 1 + α*tanh + φ, S 0 2 където 2 1 / 2 S 0 2*S 0 *( N S 0 ) 1 α ( S 0 / 1) α = 1 +, φ = *ln 2 2 α +( S 0 / 1)

7 За изменението на във времето като функция на времето имаме: a *α 2 * 2 α*a*t = * sech 2 + φ, 2* S 0 2 a *α 2 * 2 1 което включва трите параметри, α*a и φ. Например чрез метода 2* S 0 2 на най малките квадрати можем да намерим за тези параметри стойностите, които доближават максимално функцията до наличните данни. Ако разполагаме с информация какъв е броя на изолираните в дадени моменти от време, тогава ще използваме израза за (t) за намиране на неизвестните параметри. Така ще можем да получим стойности за a, r, S 0 и N, което да ни позволи да приложим модела в други аналогични ситуации и да направим предвиждания. Моделът е приложен към случая на епидемия от чума през 1905 година в Бомбай. Тук изменението на класа,т.е, е приближено до броя на починалите за седмица. Теоретичната функция, която се получава, е: = 890*sech 2 ( 0.2*t 3.4) На фигурата е показано как тази функция се доближава до данните, означени с седмици Ако не е достатъчно малко, за да намерим неизвестните параметри, то ще

8 използваме: = a* N S 0 *exp. Да разгледаме примерни данни, получени през период от време 0.5, като в масива xk се съхраняват моментите на извършване на наблюденията, а в yk се пазят отчетените стойности. xk = [ ] yk = [ ] Следва дефиниция на функцията, която ще бъде приближена до предоставените данни function f = func( x, xdata ) f = x(1).* sech( x(2).* xdata + x(3) ).^ 2; Самото апроксимиране се осъществява от следната функция,използваща вградената функция lsqcurvefit,извършваща приближение чрез метода на най-малките квадрати. Като параметри получава дефинираните по-горе масиви a *α 2 * 2 1 и връща стойностите на коефициентите, α*a и φ 2* S 0 2 function a = approach(xdata,ydata) a = lsqcurvefit( 'func', [1 1 1], xdata, ydata ); Резултатът е следния и изглежда така

9 Следващата функция задава система, в която участват вече намерените коефициентите и от която ще се изразят S 0 и като x(1) = S 0 и x(2) = function F = systemfunc(x) a=4.5804; b=0.7877; c= ; n=100; F = [a*x(1)/(b*x(2)^2)+(x(1)/x(2) -1)*(tanh(c)^-1); (a*x(1)/(b*x(2)^2))^2-(x(1)/x(2) -1)^2-2*x(1)*(n-x(1))/(x(2)^2)]; Самото изчисление се извършва с помощта на вградената функция fsolve по следния начин fsolve('systemfunc',[10 ; 1]). Върнатият резултат е за S 0 и съответно при налични 100 индивида. Смисълът на всичко изложено тук е изграждането на математически модел, потвърден и утвърдил се в практиката, който след намиране на приближени стоности за неизвестните параметри позволява да се опише развитието на сходни епидемии и предварително да се определят последиците от тях. Това дава възможност да се повлияе на тяхното развитие с цел намаляване на негативните резултати от въздействието им.

10

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисления върху уравненията за отравяне на ядрения реактор

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно

Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит

Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит [1]. Линейната обучаваща машина (ЛОМ) е стравнително

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина н

Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина н Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина на образуване на едно химично съединение се нарича енталпията

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет Проектиране на непрекъснат П - регулатор инамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектирането им, могат да се окажат незадоволителни по отношение на

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc ВЪПРОС 1 КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНИ Във въпроса Кинематика на материална точка основни понятия и величини вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ . Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за

Подробно

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени

Подробно

Машинно обучение - въведение

Машинно обучение - въведение Линейна регресия с една променлива Доц. д-р Ивайло Пенев Кат. Компютърни науки и технологии Пример 1 Данни за цени на къщи Площ (x) Означения: Цена в $ (y) 2104 460 000 1416 232 000 1534 315 000 852 178

Подробно