Microsoft Word - Sem03+04sup_KH_VM2-11.doc
|
|
- Liza Iwanowa
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 Връзка между символ на Кронекер (Conece delta i ) и символ на Леви Чивита (Levi-Civita symbol ε i ) Примери от векторния анализ Всички разглеждания се правят за случая на тримерно евклидово пространство със е, е, е. следния зададен ортонормиран базис { }. Символът на Кронекер представлява една матрица компонентите, на който съвпадат с компонентите на единичната матрица или на единичния тензор от втори ранг (² 9): I 0 0 i 0 0 I i i 0 i Произведение на два символа на Кронекер, чиито индекси съвпадат: i i i i ii i, Произведение на два символа на Кронекер с един общ индекс: i i i. Символът на Леви-Чивита представлява тензор от трети ранг с ³ 7 компонента, от които само 6 са различни от нула: ако i,, образуват четна пермутация ε ε ε εi ако i,, образуват нечетна пермутация ε ε ε 0 i или i или или i всички останали.. Връзката между символите на Кронекер и Леви-Чивита (в тримерното пространство) се задава така: il im in ε ε det + i lmn l m n il m n n m im l n n l in l m m l l m n
2 .. Ако в двата множителя се среща по един общ индекс резултатът е: ε ε i imn m n n m ii im in εiεimn det i m n ii ( mn nm ) im ( in ni ) + in ( im mi ) i m n mn nm im in + im ni + in im in mi mn nm mn + nm + nm mn mn n m ε ε i imn m n n m.. Ако в двата множителя се срещат по два общи индекса резултатът е: ε ε i in n ii i in εiεin det i n ii ( n n ) i ( in ni ) + in ( i i ) i n ( n n ) i ( in ni ) in ( i i ). +. 9n n i in + i ni + in i ini 9n + + ( 9 ) + + ε ε i in n n n in i n n n n n n.4. Ако се умножават два символа на Леви-Чивита, чиито индекси съвпадат имаме: ε ε 6 i i ii i i εiεi det i ii( ) i( i i) + i ( i i) i ii ( ) ii ( ) + ii( ) + ii i i i i i i i i + ii ii i i ii ii ε ε 6 i i.5. При умножение между символ на Леви-Чивита и символ на Кронекер, при което е изпълнено условието индексите от символа на Кронекер да се срещат и при символа на Леви-Чивита резултатът е нула: ε 0 i i ε + ε + ε ε ε ε + ε + ε i i i i i, ε ε ε
3 Нека са дадени векторите a и b : (,, ) (,, ) a a a a a e a e a e + a e + a e i i i i i b b b b be be be + b e + b e i i i i i Нека е даден радиус-векторът : ( x, x, x ) x e e x e + x e + x e. i i i i Модулът или дължината на радиус-вектора се задава със символа или и с равенството: x + x + x Скаларно произведение на два радиус-вектора :. ex + e x + e x ex + e x + e x e x. e x + e x. e x + e x. e x + e x. e x + e x. e x + e x. e x xx e. e+ xx e. e + xx e. e + xx e. e + xx e. e + xx e. e x + x + x Векторно произведение на два радиус вектора : ( ) ( e x e x e x ) ( e x e x e x ) e x e x + e x e x + e x e x + ( ex ex) ( ex ex) ( ex ex) ex ex + ex ex + ex ex xxe e+ xxe e + xxe e+ xx e e + xx e e + xx e e + xx e e+ xx e e+ xx e e 0 e e e e e -e Градиент на скаларно произведение на радиус-вектора и константния вектор a : gad ( a. ) gad ( ax + ax ) ei ( ax + ax ) x e e e + + ( ax ax ax ) ( ax ax ax ) ( ax ax ax ) x x x ax e ax + ax + + e ax ax + ax + + e ax ax + e a + e a + e a a i x x x x x x x x x ax +
4 Алтернативен запис: gad a. gad ax + ax + ax ( a, a, a ) ( ax + ax ), ( ax + ax ), ( ax + ax ) x x x ax ax ax ax ax ax ax ax ax + +, + +, + + x x x x x x x x x a Дивергенция на константните вектори a и b и на радиус-вектора : ai a a a diva xi x x x bi b b b divb xi x x x xi x x x div x x x x i Задача: Да се намери интензитетът на поле с потенциал от типа на гравитационния потенциал на Нютон или на електростатичния потенциал на Кулон: U, където е определена константа, а модулът на радиус вектора е разстоянието до фиксирана точка. формален подход: E U gadu gad gad + gad gad + директен подход: E U gadu gad gad + gad e i ei x i x x x x + + i e + e + e ( e0+ e0+ e0) x x x x x x x x x x x + x x x x e e e ( x + x + x) ( x + x + x) ( x + x + x ) ( xe+ xe + xe) x + x + x x + x + x x + x + x
5 Задача: Да се пресметне дивергенцията на полето на точков електричен заряд E? E div E div div div gad gad (. ) 0 5 Задача: Да се пресметне ротацията на полето на точков електричен заряд E? E ot E ot ot ot gad gad ( ) ( ) Задача: Да се намери интензитетът на поле с потенциал: U потенциал на електричен дипол, където е определена константа, модулът на радиус вектора е разстоянието до фиксирана точка, е константен вектор, а 0 е единичният вектор с посоката на радиус-вектора. E U gadu gad. (. ) gad gad (. ) + (. ) gad (. ) 5 + Задача: Да се пресметне ротацията на линейната скорост v на точка от твърдо тяло при въртене на тялото около фиксирана ос с постоянна ъглова скорост ω. формален подход: ot v ot ( ω ) ( ω ) ω(. ) ( ω. ) ω(. ) ω( ) ωdiv ωgad ω ωu ω ω ω
6 директен подход: първи начин: ot v ot ω ω ( x ) x ε ω ε ε ω x ε ε ω i ei qie i qi e i xq xq ε ε e ω ε ε e ω e ω qi i q iq i q q q q e ω e ω e ω e ω q q q q q q q q e ω e ω e ω e ω e ω ω втори начин: ot v ot ( ω ) ( ω ) e( ot v) e ot ( ω ) e ( ω ) ( ω ) ω t t ω ε ω x i i i t s s t ε t ε ε ω x qi i qi i xq xq x ε ω x ε ε ω x ε ε ω ε ε ω q i q i qi i qi i qi i q xq xq ε ε ω ω ω ω ω ω iq i q q q q q q q q ω ω ω e ω e ω ω трети начин: ot v ot ω ω ( ω x ω x, ω x ω x, ω x ω x ) x x x ( ω x ω x ) ( ω x ω x ) ( ω x ω x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ω ω ω e ω ω + e ω ω + e ω ω x x x e ( ωx ωx) ( ωx ωx) + x x + e e e e e e e ( ω x ω x ) ( ω x ω x ) x x + e ( ωx ωx) ( ωx ωx) x x eω + eω + e ω + e ω + e ω + e ω ( ω ω ω ) e + e + e ω +
7 Задача: Да се докаже, че уравнението на Лаплас Δ U 0 се удовлетворява от кулоновия и нютоновия потенциал U. Δ U Δ Δ div gad div gad div div div div gad + + gad (. ) 5 0 Задача: Да се докаже, че равенството: (. ) a 0 4, ако a е константен вектор. скалар ( a. ) ( a. ) ( a. ) ( a. ) ( a. ) div div gad (. ) gad + gad 4 4 (. ) a a скалар вектор ( a. ) ( a. ) ( a. ) gad 4 + a (. ) a a ( a). 4 a. 4 a. 4 + a a + a+ a + a+ a ( a. ) ( a. ) ( a. ) a
8 { } Задача: Да се пресметне изразът вектори. { ( a)( b) } Δ...?. (. ) (. ) Δ a b Δ {.gad ( a. )( b. ) } скалар скалар скалар Δ. a. b.?, където a и b са константни {. ( a. ) gad ( b. ) ( b. ) gad ( a. ) } {. ( a. ) b ( b. ) a} {( a. ) b. ( b. ) a. } { ( a. )( b. )} ( a)( b) ( a) ( b ) ( b. ) gad ( a. ) ( a) b ( b) a ( a) b ( b) a ( a) b b ( a) ( b) a a ( b) [ ba ab] Δ + Δ + Δ + Δ divgad.. div. gad. + div. +. div. + div.. div + gad. +. div + gad ab
9 Други векторни равенства (смесено, двойно векторно...): a b c b c a c a b ε abc ε bc a ε c ab a b c b a c c a b ε e a ε b c ( a b) ( c d) ( a c)( b d) ( a d)( b c) ( a b) b ( a) a ( b) i i i i i i i i q q ε ε a a a ε qi e εi a xq x abcd i iq q a b a b b a + b a a b ε e ε bc i i q q x Пример: Двойна ротация на константен вектор a : ( a)? a t t a ε i i i x t s s t ε t ε ε a a qi i qi i xq xq x ε ε a ε ε a a qi i iq i q q xq x xq x xq x a a a x x x x x x x x q q q q q q q q aq a aq a x xq x x x x q x x a a a ot ot a gad div a Δa Δ gad div ot ot a Използвана литература:. Влахов, Й Задачи по математични методи на физиката., София, Унив. издат. Св. Кл. Охридски, 995
Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx
Семинар Символи на Кронекер и Леви-Чивита. Видове произведения между вектори и тензори. В едно D евклидово пространство R³ имаме: Скалар: p брой индекси 0, брой компоненти 0 =. Вектор: a = a, a, ) брой
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc
6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите
ПодробноMicrosoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc
Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица
ПодробноMicrosoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
Подробно110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр
0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим
Подробно40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ
40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник
ПодробноMicrosoft Word - ch2.4.doc
9 Кинематика на сложни движения на твърдо тяло 9 Сферично движение на твърдо тяло Определение Сферично движение на твърдо тяло или движение на тяло около неподвижна точка наричаме такова движение при което
ПодробноMicrosoft Word - Sem8-Pharm-2018.docx
Семинар 8 1 / 7 Семинар 8: Комплексни числа. Вектори в тримерното пространство Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к.
ПодробноЛекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест
Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да
ПодробноЛинейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс
. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик
Подробно16. НЯКОИ НЕРАВНОВЕСНИ И НЕЛИНЕЙНИ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛИТЕ ТОПЛОПРОВОДНОСТ, ЕЛЕКТРОПРОВОДИМОСТ, ЕЛЕКТРОСТРИКЦИЯ. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИ ЕФЕКТИ 1. Нелинейни или
16. НЯКОИ НЕРАВНОВЕСНИ И НЕЛИНЕЙНИ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛИТЕ ТОПЛОПРОВОДНОСТ, ЕЛЕКТРОПРОВОДИМОСТ, ЕЛЕКТРОСТРИКЦИЯ. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИ ЕФЕКТИ 1. Нелинейни или квадратични ефекти 1.1. Електрострикция При голяма
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.
ПодробноЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
ПодробноМинистерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри
Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 8-Integrirane na Vektori i Tenzori-New.doc
Лекция 8: Интегриране на тензорни величини 8.. Криволинейни интеграли а Параметризация на крива. Да разгледаме крива в пространството, която свързва точките А и В Фиг. 8.. В общия случай, крива в пространството
ПодробноMicrosoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc
ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както
ПодробноКомплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо
Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент
ПодробноzadIresheniqfNSOM2019.dvi
НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, гр. Варна, 0 май 09 г. Национална комисия на НСОМ 09 Председател: акад. дпн Сава Иванов Гроздев, ВУЗФ София Секретар: доц. д-р Илияна Петрова Раева, РУ Ангел
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1010.doc
Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична
Подробно<4D F736F F D20CBE5EAF6E8FF2D312D4D4B4520E220E3E5EEECE5F5E0EDE8EAE0F2E02E646F63>
МКЕ в геомеханиката 1. 1D, 2D и 3D задачи в геомеханиката и дискретизация по МКЕ а. б. Фиг. 1 1D а. Деформируем пласт с ограничена дебелина; б. Модел по МКЕ Фиг. 2 2D Задачи за равнинна деформация (plane
ПодробноMicrosoft Word - variant1.docx
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа
ПодробноИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл
ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл. Илиев) У Ч Е Б Н А П Р О Г Р А М А ПО ДИСЦИПЛИНАТА:
ПодробноI
. Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване
ПодробноЗадача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =
Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x
ПодробноМАТТЕХ 2014 Том 1 РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКА ФОКАЛНИ КРИВИ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ГЕОРГИ Х. ГЕОРГИЕВ, ЦВЕТЕЛИНА Л. ДИНКОВА, РАДОСТИНА П. ЕНЧЕВА FOCAL CURVES
ФОКАЛНИ КРИВИ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ГЕОРГИ Х ГЕОРГИЕВ ЦВЕТЕЛИНА Л ДИНКОВА РАДОСТИНА П ЕНЧЕВА FOAL URVES IN EULIDEAN SPAE GEORGI H GEORGIEV TVETELINA L DINKOVA RADOSTINA P ENHEVA ABSTRAT: We onider he
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноПръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п
Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева
Подробно