Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc
|
|
- Tanko Ognyanov
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица - матрица от тип k k. Детерминанта На всяка квадратна матрица от тип k се съпоставя число (наречено детерминанта), което за матрица от тип се задава с израза: a a Δ det( A ) aa aa a a Свойства на детерминантите:. Общ множител за елементите на даден елемент или стълб може да се изнесе пред знака на детерминантата ако една матрица има нулев ред или стълб то нейната детерминанта е 0.. Ако се разменят местата на два реда или стълба, то детерминантата си сменя само знака.. Ако елементите на един ред или стълб се умножат по някакво число и се добавят към елементите на друг ред или стълб, то детерминантата не се променя. 4. Детерминантата може да бъде развита по някой свой ред или стълб: det... ; ( ) k Δ A aa i i aa i i aa i i Ak = Δk където Аk е адюнгираното количество на ak елемент на детерминантата, Δ e поддетерминантата на матрицата, получена след отсраняване на k-ред и -стълб. k Задача. Пресметнете детерминантите: а) 0 ; б) а) ; в) = ( ) = = б) 6 4 = = 8
2 = 6 = 65 в) = = = 9 = 48 Втори начин чрез привеждане в триъгълен вид (детерминантата на триъгълна матрица е произведение от диагоналните елементи): = = = = = = = = = ( 8) 0 ( 44 ) = Задачи за домашно: ) Дадени са матриците: ) А = 0, Б = ;.) А =, Б = Пресметнете: а) А Б; б) А 5Б; в) АБ БА (комутатор на матриците А и Б ); г) Детерминантите на матриците; д) Обратните матрици на А и Б. Отговори за пример.: а) 4 ; б) 4 0 ; в) ; г) А = 44, Б = 5 ; 9
3 д) А = 7 ; Б Собствени стойности и собствени вектори: A квадратна матрицата от тип, λ реално число, r ненулев вектор. Ако е изпълнено равенството: A r =λ r то казваме че числото λ и векторът r са собствена стойност и собствен вектор (съответстващ на числото λ) на матрицата A. Характеристично уравнение и характеристичен полином: A квадратна матрицата от тип, λ собствена стойност, r собствен вектор, съответстващ на числото λ, I единична матрицата от тип. Тогава може да се запишат следните еквивалентни равенства: A r =λ r A r λ r A r λ I r A λ I r Последното равенство може да се запише във формата на система: а λ ξ аξ... а ξ аξ а λ ξ... а ξ... а ξ а ξ... а λ ξ Тази система от алгебрични уравнения с неизвестни има ненулево решение (векторът r) ( A I ) ( λ) а а... а а ( а λ)... а det λ = а а... а ( λ) - характеристично уравнение на матрицата A. Задача. Намерете характеристичните корени и собствените вектори на матрицата: 5 ( 4) Характеристично уравнение: 5 λ 4 λ ( 5 λ)( λ) 8= 0 или λ 8λ 7 - уравнение от -ра степен с корена: λ = и λ = 7. Собственият вектор r за характеристичния корен λ = определяме от системата: 0
4 5 ξ ξ 4ξ ξ 4ξ ξ 4ξ ξ Получаваме едно уравнение за две неизвестни можем да определим неизвестните с точност до константа. Нека ξ = α ξ = -ξ = -α r α 0 = =α α =α α α 0 i Собственият вектор r за характеристичния корен λ = 7 определяме от системата: ( 5 7) ξ ξ ξ ξ 4ξ ( 7) ξ 4ξ 4ξ Получаваме едно уравнение за две неизвестни можем да определим неизвестните с точност до константа. Нека ξ = β ξ = ξ = β r β 0 = =β β = β β β 0 i Векторите i = и 0 пространство. 0 = са линейно независими и образуват базис в двумерното Задача. Намерете характеристичните корени и собствените вектори на матрицaта: 5 Характеристично уравнение: λ 5 λ λ λ λ 6λ 6, където λ =, λ = и λ = 6. уравнение от -та степен с корена: На характеристичния корен λ = съответства собственият вектор r : ξ ξ ξ α 0 0 ξ ξ ξ ξ, ξ = -ξ = α r =α 0 0 α 0 =αi αk ξ ξ ξ α 0 0 На характеристичния корен λ = съответства собственият вектор r : ξ ξ β 0 0 ξ ξ ξ ξ = ξ = ξ = β r = β =β 0 β β 0 =β iβ βk ξ ξ β 0 0
5 На характеристичния корен λ = 6 съответства собственият вектор r : ξ ξ ξ γ 0 0 ξ ξ ξ ξ = ξ = γ, ξ = γ r = γ = γ 0 γ γ 0 = γi γ γk ξ ξ ξ γ 0 0 Характеристичните вектори са стълбове в матрица R, с чиято помощ преобразуваме A в диагонална форма посредством преобразуванието: T * R A R = A диагонална матрица. Задачи за домашно: ) Решете уравнението f(), където: а) f ( ) = 6 ; б) f =. ) Намерете характеристичните корени 4) Решете матричното уравнение: и собствените вектори на матрицaта: X = 0 5 Квадратична форма Квадратична форма на променливите, наричаме функция от вида: f (, ),..., =, където i се наричат коефициенти на квадратичната форма. Нека aii = ii, i =,..., и ai = ai = i, ако i. По този начин дефинираме симетричната матрица A = ( a i ), с която можем да запишем квадратичната форма във вида: f (,,..., ) = a a a a a a a или в матрична форма: a a
6 f A... (,,..., ) = (... ) Симетричната матрица A = се нарича матрица на квадратичната форма. a i Ако = f (, ) = a a a Ако = f,, = a a a a a a Ако f (,,,, ) е квадратичната форма на променливите,,,,, а λ е реално число, то f ( λ, λ, λ,, λ ) =λf(,,,, ). Една квадратична форма е приведена в каноничен вид, ако съответната ú матрица е диагонална, т.е. ако ai = ai. Нека са зададени векторите и е изпълнено равенството: = и... t t =... t y y y = и квадратната матрица T ( t i )... y t t t t y t y = T y... t y Тогава горното равенство представлява матричен запис на линейната трансформация: = t y t y... t y = t = t y t... y t y y... t... t y y Казваме,че линейна трансформация привежда квадратичната форма f ( y, y,, y ) в каноничен вид, ако след прилагането й получаваме квадратична форма от вида f ( y, y,, y ) =λ y λ y λ y Всяка квадратична форма може да се приведе в каноничен вид посредством преобразувание с помощта на матрицата от собствените и вектори, R. Задача 4. Представете в каноничен вид квадратичната форма:
7 f = /. Съставяме матрицата на квадратичната форма: 0 /. Намираме собствените стойности: 7 λ 5 λ 0λ 56 λ 5 λ = ; λ = 8. Намираме собствените вектори: На характеристичния корен λ = съответства собственият вектор r : 5ξ 5ξ ξ = 5ξ = 5 5ξ ξ r = i 5 = i 5 На характеристичния корен λ = 8 съответства собственият вектор r : ξ 5ξ ξ = 5ξ = 5d 5ξ 5ξ r = 5di d = d 5i 4. Нормираме r, r и получаваме нормирани базисни вектори e, e : r i 5 5 е = = = i r r 5di d 5 е = = = i r 5d d 6 6 Матрицата на прехода от ортонормирания базис r, r към ортонормирания базис e, e е: ' ' 5 ' 5 ' ' R = т.е. = R ' или = ; = ' ' Заместваме и получаваме квадратичната форма в каноничен вид: f = f (, ) = f (, ) = f(, ) = * f (, ) = ( 5*6 78) = 8 6 *6 Задача 5. Представете в каноничен вид уравнението: 4
8 5 4y 8y 56y 80= 0 5 4/. Съставяме матрицата на квадратичната форма: 4/ 8. Намираме собствените стойности: 5 λ λ = 4; λ = λ. Намираме собствените вектори: На характеристичния корен λ = 4 съответства собственият вектор r : ξ ξ ξ = -ξ ξ = α, ξ = -α r = αi α На характеристичния корен λ = 9 съответства собственият вектор r : 4ξ ξ ξ = ξ ξ = β, ξ = β r = β i β 4. Нормираме r и r : r αi α е = = = i r 4α α r β i β е = = = i r β 4β Намираме матрицата на прехода: 5 5 R = Δ R = 5 5 ако разменим местата на векторите в R, то: 5 5 R = Δ R = ако обърнем знаците в първия собствен вектор, то: R = Δ R = 5 5 т.е. = R или = y; y = y y y Заместваме в изходното уравнение и получаваме: y y 80= 0 Допълваме до точен квадрат спрямо и y : y y 80= ( ) ( ) ( y ) ( y )
9 (5) y 80 0 y = = y = = ; y = y y 4 9y = 6; = 9 4 Задача 6. Представете в каноничен вид уравнението: 9 4y 6y 0 0y 5 9 λ = λ λ = 6 λ λλ = λ = λ = 0 5 (9)(6) 0 ( 5) 0 0; 5 За характеристичния корен λ собственият вектор е r: 9ξ ξ r = 4αi α 4 Нормираме: е = i За характеристичния корен λ = 5 собственият вектор е r: 6ξ ξ r = β i 4β 4 Нормираме: е = i Намираме матрицата на прехода: = 4 Δ 5 45 R = R Заместваме в изходното уравнение и получаваме: 0 = 4 y ; y = 4 y y 0 y y 4 y y 6 y 0 y 0 y y y 4 y y 6 y y y 0 y 5 6 (9 8 9) 4 (9 7 6) ( ) 50 (9 ) 50 (44 69) (5)(5) 0 5 y y y = (5y 50 50y 5) 5y y 5 ( y 0 y 9) 6
10 y y 0 0 y y = 0 0 ( y ) = 0( ) Извършваме транслация на линията от втора степен, като я преместваме в центъра на КС: = ; y = y y = 0 7
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
ПодробноЛинейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра
специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i
ПодробноЛинейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,
на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори
ПодробноMicrosoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec11.doc
Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране
ПодробноПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран
ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. ( точки) Дадени са линейно пространство U с базиси e 1, e и e 1 = e 1 +e, e = e 1 + 3e
ПодробноMicrosoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc
Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0
ПодробноПримерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 +
Примерни задачи за линейни изображения - 21-211 уч год Задача 1 В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + e 2 + pe 3, a 2 = e 1 + e 2 + (p + qe 3, a 3 = 2e 1 + 3e
ПодробноMicrosoft Word - nbb2.docx
Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1010.doc
Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична
ПодробноЛинейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс
. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик
Подробно16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)
ПодробноMicrosoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
ПодробноMicrosoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc
7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ
ПодробноПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ
. Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc
6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите
ПодробноI
. Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване
ПодробноM10_18.dvi
СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...
ПодробноПримерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе
Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, 13-14 уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означените действия: (i ( + i + ( i ; (ii (1 + i 3 (1 i 3 ; (iii
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноСеминар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.
Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен
ПодробноИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл
ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл. Илиев) У Ч Е Б Н А П Р О Г Р А М А ПО ДИСЦИПЛИНАТА:
ПодробноГлава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос
Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
ПодробноMicrosoft Word - Sem03+04sup_KH_VM2-11.doc
Връзка между символ на Кронекер (Conece delta i ) и символ на Леви Чивита (Levi-Civita symbol ε i ) Примери от векторния анализ Всички разглеждания се правят за случая на тримерно евклидово пространство
ПодробноHomework 3
Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016
Подробногодишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок
годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока
ПодробноMicrosoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx
Семинар Символи на Кронекер и Леви-Чивита. Видове произведения между вектори и тензори. В едно D евклидово пространство R³ имаме: Скалар: p брой индекси 0, брой компоненти 0 =. Вектор: a = a, a, ) брой
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
ПодробноMicrosoft Word - ch2.4.doc
9 Кинематика на сложни движения на твърдо тяло 9 Сферично движение на твърдо тяло Определение Сферично движение на твърдо тяло или движение на тяло около неподвижна точка наричаме такова движение при което
Подробно036v-b.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,
ПодробноИзследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при
Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при изследване на устойчивостта на равновесната форма
ПодробноГлава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул
Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение 10.1. Множеството Zf = {[x : y : z] P k fx, y, z = 0} на нулите на евентуално разложим хомогенен полином fx, y, z k[x,
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи, може да се каже, че идеята за т.н. детерминанта като число, харак
ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи може да се каже че идеята за т.н. детерминанта като число характеризиращо дадена квадратна матрица се появява още при
Подробно(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит
(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната
ПодробноMicrosoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc
Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна
ПодробноMicrosoft Word - KZ_TSG.doc
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ТЕОРИЯТА НА СИГНАЛНИТЕ ГРАФИ ЗА АНАЛИЗ НА ЕЛЕКТРОННИ СХЕМИ С ОПЕРАЦИОННИ УСИЛВАТЕЛИ В теорията на електронните схеми се решават три основни задачи: ) анализ; ) синтез; ) оптимизация. Обект
ПодробноЗадача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =
Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x
ПодробноMicrosoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc
Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0
Подробно