Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра

Размер: px
Започни от страница:

Download "Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра"

Препис

1 специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова

2 Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i са неизвестни (променливи), а a ij = a ji R са коефициенти, се нарича реална квадратична форма (на променливите x 1, x 2,..., x n ). Коефициентите пред неизвестните в (1) формират квадратна матрица n-ти ред A = (a ij ), която поради условието a ij = a ji, т.е. A T = A, е симетрична. Така на всяка квадратична форма на n променливи еднозначно се съпоставя симетрична квадратна матрица от n-ти ред. Обратното също е вярно всяка симетрична матрица A = (a ij ) задава квадратична форма (1). Рангът на A се нарича ранг на квадратичната форма. Ако A е неособена, то квадратичната (1) се нарича неособена.

3 Квадратична форма на две променливи пример Съгласно (1), квадратична форма на две променливи има вида f(x, y) = a 11 x 2 + a 12 xy + a 21 yx + a 22 y 2 = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2. Нека разгледаме следния пример f(x, y) = 5x 2 + 3xy 2y 2. (2) Симетричната матрица, съответстваща на квадратичната форма (2), е ( ) A = Тъй като rank(a) = 2, то рангът на квадратичната форма (2) е също 2. Тъй като A е неособена (det(a) = ), то и формата (2) е неособена.

4 Матрично задаване на квадратична форма Нека означим x = x 1 x 2... Тогава квадратичната форма (1) може да се зададе в следния матричен вид f(x) = ( a 11 a a 1n x 1 ) x 1 x 2... x n a 21 a a 2n x , a n1 a n2... a nn x n т.е. x n f(x) = x T Ax. (3)

5 Смяна на променливите на квадратична форма чрез неособено линейно преобразувание Нека в квадратичната форма (3) извършим смяна на променливите, определена от x = P y, (4) където P е неособена квадратна матрица от n-ти ред, а y 1 y 2 y =.. y n Получаваме f(x) = x T Ax = (P y) T A(P y) = y T (P T AP )y = f(y). (5) Следователно относно новите променливи y квадратичната форма (2) се задава чрез матрицата B = P T AP.

6 Матрицата B = P T AP има същия ранг като A (тъй като P и P T са неособени) и B T = (P T AP ) T = P T A T (P T ) T = P T AP = B, т.е. е симетрична. Така установихме Твърдение При линейната трансформация на променливите (4), определена от неособената матрица P, квадратичната форма (2) с матрица A преминава в квадратична форма с матрица P T AP. Квадратната матрицата B = P T AP, където P е неособена матрица (незадължително ортогонална), се нарича конгруентна на матрицата A. Записваме B = A. Конгруентните матрици имат равни рангове, т.е. образуват подмножество на еквивалентните матрици. Конгруентните матрици имат детерминанти с еднакви знаци. Конгруентността на квадратни матрици е релация на еквивалентност. Ако две матрици A и B са ортогонално подобни, т.е. B = Q 1 AQ = Q T AQ, където Q е ортогонална матрица (Q T = Q 1 ), то A и B са конгруентни.

7 Каноничен вид на квадратична форма Казваме, че квадратична форма е в каноничен (стандартен) вид, ако съответната ѝ симетрична матрица е диагонална, т.е. f(y 1, y 2,..., y n ) = b 11 y b 22 y b rr y 2 r. Броят на ненулевите коефициенти в каноничния вид е равен на ранга на квадратичната форма, т.е. на ранга на матрицата ѝ A (равен на броя на ненулевите собствени стойности на A). Твърдение (Теорема на Лагранж) Всяка квадратична форма над полето K (т.е. с коефициенти от K) може да се приведе в каноничен вид чрез неособено линейно преобразувание (над K) на променливите.

8 Привеждане на квадратична форма в каноничен вид чрез ортогонално преобразувание на неизвестните Нека разгледаме квадратичната форма (2) със съответна симетрична матрица A. Тъй като A е симетрична, то тя е диагонализируема над R, т.е. съществува ортогонална матрица Q, такава че D = Q T AQ е диагонална. Тогава при извършване на ортогоналната смяна на променливите x = Qy, квадратичната форма (2) приема каноничен вид относно новите променливи y: т.е. f(x) = x T Ax = (Qy) T A(Qy) = y T (Q T AQ)y = y T Dy, f(y) = f(y 1, y 2,..., y n ) = λ 1 y λ 2 y λ r y 2 r, (6) където λ i (i = 1, 2..., r; rank(a) = r n) са ненулевите собствени стойности на A. Следователно всяка реална квадратична форма може да се приведе в каноничен вид чрез ортогонална трансформация на променливите.

9 Нека запишем каноничния вид (6) във вида f(y) = µ 1 y µ k y 2 k µ k+1 y 2 k+1... µ r y 2 r, (7) където µ i > 0 (i = 1, 2,..., r), като µ i = λ i, ако λ i > 0 (i = 1, 2,..., k) и µ i = λ i, ако λ i < 0 (i = k +1,..., r), т.е. A има k на брой положителни и (r k) на брой отрицателни собствени стойности. Тогава след извършване на неособеното линейно преобразувание на неизвестните z i = µ i y i, i = 1, 2..., r, z j = y j, j = r + 1,..., n, (8) квадратичната форма (7) приема вида f(z 1, z 2,..., z n ) = z z 2 k z 2 k+1... z 2 r, (9) който се нарича нормален вид.

10 Инерция на квадратична форма Инерция на квадратичната форма (3) (или инерция на симетричната матрица A) се нарича наредената тройка числа (p, q, s), където p, q и s са съответно броят на положителните, отрицателните и нулевите собствени стойности на A, броени с техните кратности. Разликата p q се нарича сигнатура на квадратичната форма. Ако rank(a) = r, то r = p + q, r + s = n. Твърдение (Закон за инерцията на квадратични форми) Броят на положителните и броят на отрицателните квадрати в произволен нормален вид, в който се привежда една реална квадратична форма чрез неособено реално линейно преобразувание, не зависи от избора на това преобразувание. Твърдение (Теорема на Силвестър за инерцията) Две симетрични матрици са конгруентни, точно когато имат равни инерции.

11 Дефинитност на квадратични форми Симетричната матрица A (квадратичната форма f(x) = x T Ax) се нарича: положително дефинитна, ако x T Ax > 0 за всеки вектор x o и x T Ax = 0 само за x = o; отрицателно дефинитна, ако x T Ax < 0 за всеки вектор x o и x T Ax = 0 само за x = o; индефинитна, ако x T Ax приема както положителни, така и отрицателни стойности за x o. Ако f(x) е положително дефинитна, то f(x) е отрицателно дефинитна, затова изучаването на отрицателно дефинитните квадратични форми може да се сведе до изучаването на положително дефинитните.

12 Дефинитност на квадратични форми критерий със собствени стойности Твърдение Симетричната матрица A е: положително дефинитна, точно когато всички нейни собствени стойности са положителни; отрицателно дефинитна, точно когато всички нейни собствени стойности са отрицателни.

13 Главни минори на матрица Главен минор от ред k на матрицата A се нарича детерминанта от k-ти ред, в която се пресичат k реда и k стълба на A с равни поредни номера. Водещ главен минор от ред k на A (означаваме D k ) се нарича детерминанта от k-ти ред, получена при пресичането на първите k реда и първите k стълба на A. Нека разгледаме матрицата A = (10) Водещият главен минор от 1-ви ред на A е елементът a 11 = 1, т.е. D 1 = a 11 = 1. Водещият главен минор от 2-ри ред на A е детерминантата D 2 от първите два реда и стълба на A, т.е. D 2 = = 4. (11) Водещият главен минор от 3-ти ред на A е самата детерминанта на A, т.е. D 3 = det(a) = 16.

14 Дефинитност на квадратични форми критерий с главни минори Твърдение Симетричната матрица A е: (критерий на Силвестър) положително дефинитна, точно когато всички нейни водещи главни минори са положителни; отрицателно дефинитна, точно когато водещите ѝ главни минори алтернират знаците си, започвайки от отрицателен знак, т.е. D 1 < 0, D 2 > 0, D 3 < 0, D 4 > 0 и т.н. Следователно симетричната матрица A от 3-ти ред, определена от (10), е положително дефинитна, тъй като всичките ѝ водещи главни минори D 1, D 2, D 3 > 0. Собствените стойности на A са: λ 1 = 4, λ 2,3 = 7± 33 2, които също са положителни.

15 Литература Т. Моллов, Ст. Миховски.. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, П. Балючев, К. Коликов, А. Стоянова. Ръководство за решаване на задачи по линейна алгебра. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald. Linear algebra and its applications, 5th ed. Pearson, G. Strang. Linear algebra and its applications, 4th ed. Nelson Engineering, G. Strang, Introduction to linear algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016, gs/linearalgebra/. H. Anton, C. Rorres. Elementary linear algebra (applications version), 11th ed. Wiley, P. J. Olver, Ch. Shakiban. Applied linear algebra, 2nd ed. Springer, T. S. Shores. Applied linear algebra and matrix analysis, 2nd ed. Springer, 2018.

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. ( точки) Дадени са линейно пространство U с базиси e 1, e и e 1 = e 1 +e, e = e 1 + 3e

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, 13-14 уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означените действия: (i ( + i + ( i ; (ii (1 + i 3 (1 i 3 ; (iii

Подробно

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ 40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл

ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл. Илиев) У Ч Е Б Н А П Р О Г Р А М А ПО ДИСЦИПЛИНАТА:

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 +

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + Примерни задачи за линейни изображения - 21-211 уч год Задача 1 В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + e 2 + pe 3, a 2 = e 1 + e 2 + (p + qe 3, a 3 = 2e 1 + 3e

Подробно

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теорията на изчислимостта, които ще се предполагат известни

Подробно

ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи, може да се каже, че идеята за т.н. детерминанта като число, харак

ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи, може да се каже, че идеята за т.н. детерминанта като число, харак ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи може да се каже че идеята за т.н. детерминанта като число характеризиращо дадена квадратна матрица се появява още при

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Глава 7 Теоретико-числови преобразования 7.1 Дискретно преобразование на Фурие. Дефиниция Нека X = {x n } и Y = {y n } са две редици от комплекс

Глава 7 Теоретико-числови преобразования 7.1 Дискретно преобразование на Фурие. Дефиниция Нека X = {x n } и Y = {y n } са две редици от комплекс Глава 7 Теоретико-числови преобразования 7.1 Дискретно преобразование на Фурие. Дефиниция 7.1.1 Нека X {x n } и Y {y n } са две редици от комплексни числа. Взаимна корелация на редиците X и Y наричаме

Подробно

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

Slide 1

Slide 1 Списъци. Структура и синтаксис. Създаване и показване. Основни операции(добавяне, изваждане на елемент или цял подсписък; подреждане). Трансформации. проф. дмн С. Христова Списъци Списъците / list са основна

Подробно

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да

Подробно