Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Размер: px
Започни от страница:

Download "Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос"

Препис

1 Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни полиноми f 1,..., f m k[x 1,..., x n ] множеството k[f 1,..., f m ] = {H(f 1,..., f m H k[y 1,..., y m ]} е затворено относно изваждане и умножение, така че представлява подпръстен на k[x 1,..., x n ]. Казваме, че k[f 1,..., f m ] е подпръстенът на k[x 1,..., x n ], породен от f 1,..., f m над k. Определение За произволна крайна матрична група G GL(n, k, операторът на Рейнолдс R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] съпоставя на полином f k[x 1,..., x n ] полинома R G (f(x = 1 f(a 1 x, където е редът на групата G, т.е. броят на елементите в G. Изискването char(k = 0 е необходимо за обратимостта на произволно естествено число N в k. За да докажем някои свойства на оператора на Рейнолдс са необходими още няколко определения. Определение Непразното множество M е модул над комутативния пръстен с единица R, ако в M са определени събиране и умножение M M M, (x, y x + y за x, y M R M M, (r, x rx на x M с r R, изпълняващи свойствата: (i (x + y + z = x + (y + z за x, y, z M; (ii x + y = y + x за x, y M; (iii 0 M, така че x + 0 M = 0 M + x = x за x M; (iv за x M ( x M, така че x + ( x = ( x + x = 0 M ; (v (r + sx = rx + sx за r, s R, x M; (vi r(x + y = rx + ry за r R, x, y M; (vii (rsx = r(sx = s(rx за r, s R, x M; (viii 1 R x = x за x M. 67

2 КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА Примери (i Всеки комутативен пръстен с единица R е модул над себе си. (ii Ако G GL(n, k е крайна матрична група, то пръстенът k[x 1,..., x n ] на полиномите на x 1,..., x n е модул над подпръстена k[x 1,..., x n ] G на G- инвариантните полиноми. Определение Изображението ϕ : M N е хомоморфизъм на R- модула M в R-модула N, ако ( n n ϕ r i x i = r i ϕ(x i за произволни r 1,..., r n R и x 1,..., x n M. Твърдение Нека G GL(n, k е крайна матрична група над поле k с char(k = 0, а k[x 1,..., x n ] G е пръстенът на G-инвариантните полиноми. Тогава операторът на Рейнолдс R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] G е хомоморфизъм на k[x 1,..., x n ] G -модули, трансформиращ произволен хомогенен полином от степен d в хомогенен полином от степен d и оставящ на място G-инвариантните полиноми. Доказателство: Първо ще проверим, че произволен полином f k[x 1,..., x n ] се изобразява в G-инвариантен полином R G (f. За целта е достатъчно да отбележим, че за всеки елемент B G е в сила R G (f(b 1 x = 1 f(a 1 B 1 x = 1 B f((ba 1 x = R G (f(x, доколкото множеството {BA A G} се състои от различни елемента на G и съвпада с G. За произволни f 1,..., f m k[x 1,..., x n ] G и h 1,..., h m k[x 1,..., x n ] пресмятаме непосредствено, че ( m ( R G f i h i = 1 m f i h i (A 1 x = 1 m f i (A 1 xh i (A 1 x = 1 Разменяйки реда на сумиране получаваме ( m [ ] m 1 R G f i h i = f i (x h i (A 1 x = m f i (xh i (A 1 x. m m f i (xr G (h i (x = f i R G (h i. Това доказва, че операторът на Рейнолдс R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] G е хомоморфизъм на k[x 1,..., x n ] G -модули. Нека f = µ =d c µx µ k[x 1,..., x n ] е хомогенен полином от степен d. Пръстенът k[x 1,..., x n ] G съдържа полето k, така че операторът на Рейнолдс R G е в частност, k-линейно изображение. По този начин, R G (f = c µ R G (x µ. µ =d От своя страна, произволен моном x µ от степен µ = d се изобразява в хомогенен полином R G (x µ = 1 (A 1 x µ

3 15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА 69 от степен d, така че R G (f е хомогенен G-инвариантен полином от степен d. Накрая, ако f k[x 1,..., x n ] G е G-инвариантен полином, то R G (f = 1 f(a 1 x = 1 f(x = f(x остава на място под действие на оператора на Рейнолдс, Q.E.D. Пример Нека C 4 GL(2, k е цикличната матрична група от ред 4, породена от ( 0 1 A =. 1 0 Тогава R C4 (x = R C4 (y = 0, R C4 (x 2 = R C4 (y 2 = 1 2 (x2 + y 2, R C4 (xy = 0, R C4 (x 3 = R C4 (x 2 y = R C4 (xy 2 = R C4 (y 3 = 0, R C4 (x 4 = R C4 (y 4 = 1 2 (x4 + y 4, В частност, R C4 (x 3 y = R C4 (xy 3 = 1 2 (x3 y xy 3, R C4 (x 2 y 2 = x 2 y 2. k[x 2 + y 2, x 4 + y 4, x 3 y xy 3 ] k[x, y] C4. За пресмятане на оператора на Рейнолдс R C4 да отбележим, че A 2 = E 2, A 3 = A и A 4 = E 2 = A 0. Следователно R C4 (f(x, y = 1 (f(x, y + f(y, x + f( x, y + f( y, x. 4 Чрез непосредствено заместване получаваме образите на изброените мономи под действие на оператора на Рейнолдс R C4. Вземайки предвид, че R C4 (x a y b k[x, y] C4, получаваме, че е подпръстен на k[x, y] C4. Доколкото S := k[x 2 + y 2, x 4 + y 4, x 3 y xy 3, x 2 y 2 ] x 2 y 2 = 1 2 (x2 + y (x4 + y 4 k[x 2 + y 2, x 4 + y 4 ], имаме S = k[x 2 +y 2, x 4 +y 4, x 3 y xy 3 ]. От следващата Теорема 1 на Еми Ньотер следва, че S = k[x, y] C4. Теорема 11. (Еми Ньотер Нека G GL(n, k е крайна матрична група над поле k с характеристика char(k = 0. Тогава пръстенът на G-инвариантните полиноми k[x 1,..., x n ] G = k[r G (x β 1 β ] се поражда над k от образите R G (x β на мономите x β от степен 1 β под действие на оператора на Рейнолдс R G. В частност, k[x 1,..., x n ] G се поражда от краен брой хомогенни G-инвариантни полиноми над k.

4 КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА Доказателство: Ако f = γ C c γx γ k[x 1,..., x n ] G, то f = R G (f = R G c γ x γ = c γ R G (x γ, γ C γ C доколкото R G стабилизира G-инвариантните полиноми и е k-линейно изображение. Остава да докажем, че R G (x γ k[r G (x α 1 α ] за произволни мономи x γ на x 1,..., x n. С тази цел да отбележим, че за произволно естествено число d и променливи z 1,..., z n е в сила (z z n d = γ 1!... γ n! zγ. (15.1 Наистина, коефициентът γ на 1!...γ n! zγ = z γ zγn n е равен на броя на начините, по ( които се получава z γ от (z z n d. Множителят z γ1 1 се избира по d = γ1 γ 1!(d γ 1! начина. След избиране на zγ 1 1 изборът на zγ 2 2 се осъществява ( d γ1 (d γ по = 1! γ γ 2 2!(d γ 1 γ 2! начина. Продължаваме аналогично по-нататък, ( като избираме z γ n 1 d n 1 по γ1... γ n 2 = (d γ 1... γ n 2! γ γ n 1 n 1!(d γ 1... γ n 1! начина и ( накрая z γ n d γ1... γ n по n 1 = (d γ 1... γ n 1! γ γ n n!(d γ 1... γ n! = 1 начин. Доколкото изборът на z γi i е независим за всяко 1 i n, мономът z γ се избира по ( ( ( ( d d γ1 d γ1... γ... n 2 d γ1... γ n 1 = γ 1 γ 2 γ n 1 γ n γ 1!... γ n! начина, което доказва (1.1. В частност, γ 1!...γ n! N за всички γ = (γ 1,..., γ n Z 0 с γ = d. Сега да въведем нови променливи u = (u 1,..., u n и да разгледаме матрица A G GL(n, k с вектор-редове α 1,..., α n k 1 n на нейната обратна A 1 G. За x = (x 1,..., x n t и произволно естествено d N прилагаме към равенството (1.1 и получаваме (ua 1 x d = (ua 1 x d = (u 1 α 1 x u n α n x d γ 1!... γ n! (u 1α 1 x γ 1... (u n α n x γ n = γ 1!... γ n! uγ (A 1 x γ. (15.2 Всеки елемент B на G действа върху стълба от променливи x по правилото x B 1 x. При това действие дясната страна на (1.2 се трансформира в γ 1!...γ n! uγ [(BA 1 x] γ и индуцира съответствие (ua 1 x d [u(ba 1 x] d на лявата страна. За G = {A 1,..., A } разглеждаме ua 1 i x с 1 i като променливи и забелязваме, че G действа върху {ua 1 i x 1 i } чрез пермутации. Този факт може да се разглежда като конкретна реализация на Теоремата на Кейли, която установява, че всяка крайна група G е изоморфна на подгрупа на симетричната група S. Сумата на равенствата (1.2 за всички A G дава S d := (ua 1 x d = [ ] γ 1!... γ n! uγ (A 1 x γ =

5 15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА 71 γ 1!... γ n! uγ R G (x γ. Ако групата G се състои от елементите A 1 = E n, A 2,..., A m, то степенният сбор S d = m (ua 1 i x d е симетрична функция на променливите ua 1 i x за 1 i m. Съгласно Основната Теорема за симетричните полиноми, съществува полином F k[y 1,..., y m ], така че S d = F (σ 1,..., σ m за елементарните симетрични полиноми m σ 1 = ua 1 i x, σ 2 = 1 i 1 <i 2 m (ua 1 i 1 x(ua 1 i 2 x, σ k = (ua 1 x... (ua 1 i k x 1 i 1 <...<i k m σ m = (ua 1 1 x... (ua 1 m x на ua 1 i x. Ще докажем, че за всяко 1 i m съществува полином H i k[y 1,..., y i ], представящ елементарната симетрична функция i 1 σ i = H i (S 1,..., S i чрез степенните сборове S j = m (ua 1 i x j за 1 j i. В резултат ще получим съществуването на полином F k[y 1,..., y m ], така че По-подробно, γ 1!... γ n! uγ R G (x γ = F S d = F (S 1,..., S m. ( β! β 1!... β n! uβ R G (x β 1 β m = F (u β R G (x β 1 β m, вземайки предвид, че коефициентите i! β 1!...β n! се влагат в простото подполе k o Q на полето k с характеристика char(k = 0. Сега сравнявайки коефициентите на u γ от двете страни получаваме, че γ 1!... γ n! R G(x γ = F (R G (x β 1 β m k[r G (x β 1 β m], откъдето R G (x γ k[r G (x β 1 β ]. С други думи, въвеждането на нови променливи u 1,..., u n дава възможност за извеждане на алгебричната зависимост на R G (x γ с γ = d от R G (x β, 1 β, използвайки алгебричната зависимост на степенните сборове S d от S 1,..., S. За изразяването на σ i чрез полиноми на S 1,..., S i да напомним формулите на Нютон S i σ 1 S i ( 1 j σ j S i j ( 1 i 1 σ i 1 S 1 + ( 1 i σ i i = 0 за 1 i m. Над поле k с характеристика char(k = 0, оттук изразяваме σ i = ( 1i+1 [ Si σ 1 S i ( 1 j σ j S i j ( 1 i 1 ] σ i 1 S 1. (15.3 i С индукция по 1 i m от (1.3 получаваме, че σ i = H i (S 1,..., S i за подходящи полиноми H i k[y 1,..., y i ]. Наистина, σ 1 = S 1. Ако допуснем, че σ j = H j (S 1,..., S j за всички 1 j i 1, то от (1.3 следва, че σ i = H i (S 1,..., S i

6 КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА за H i k[y 1,..., y i ]. Това завършва доказателството на Теоремата на Ньотер за крайната породеност на k[x 1,..., x n ] G като пръстен над k, Q.E.D. Използвайки Теоремата на Хилберт за базиса ще докажем по втори начин следната Теорема 12. Пръстенът k[x 1,..., x n ] G на полиномиалните инварианти на крайна матрична група G GL(n, k се поражда от краен брой хомогенни G-инвариантни полиноми над полето k. Доказателство: Нека I k[x 1,..., x n ] е идеалът, породен от хомогенните G-инвариантни полиноми f k[x 1,..., x n ] от обща степен deg(f > 0. Твърдим, че I се поражда от краен брой хомогенни G-инвариантни f 1,..., f m k[x 1,..., x n ] G от обща степен deg(f i > 0. Наистина, при допускане на противното, за i N и произволни хомогенни G-инвариантни f 1,..., f i k[x 1,..., x n ] G от обща степен deg(f j > 0 за 1 j i, идеалът f 1,..., f i k[x 1,..., x n ], породен от f 1,..., f i се съдържа строго в I. Следователно съществува хомогенен G-инвариантен полином f i+1 I \ f 1,..., f i от обща степен deg(f i+1 > 0, така че идеалът f 1,..., f i, f i+1 k[x 1,..., x n ] съдържа строго f 1,..., f i. По този начин получаваме безкрайна строго растяща редица f 1 f 1, f 2... f 1,..., f i f 1,..., f i, f i+1... от идеали в k[x 1,..., x n ]. Това противоречи на ньотеровостта на k[x 1,..., x n ] и доказва, че I = f 1,..., f m за подходящи хомогенни G-инвариантни полиноми f i с обща степен deg(f i > 0. Ще докажем, че k[x 1,..., x n ] G = k[f 1,..., f m ]. Включването k[f 1,..., f m ] k[x 1,..., x n ] G е ясно. За k[x 1,..., x n ] G k[f 1,..., f m ] трябва да установим, че всеки G-инвариантен полином F k[x 1,..., x n ] G е полином на f 1,..., f m с коефициенти от k. ДоколкотоF = s F (di е сума на своите хомогенни компоненти F (di от степен deg(f (di = d i, достатъчно е да докажем, че всеки хомогенен G-инвариантен полином f k[x 1,..., x n ] G принадлежи на пръстена k[f 1,..., f m ]. Ако deg(f = 0, то f k k[f 1,..., f m ]. Остава да проверим, че всеки хомогенен G-инвариантен полином f k[x 1,..., x n ] G с обща степен deg(f > 0 попада в k[f 1,..., f m ]. Да допуснем противното и да изберем хомогенен G-инвариантен полином f k[f 1,..., f m ] от минимална обща степен deg(f > 0. Съгласно f I съществуват h i k[x 1,..., x n ], изразяващи f във вида m f = f i h i. (15.4 Хомогенността на f и f i гарантира хомогенността на h i. Още повече, общата степен deg(h i = deg(f deg(f i < deg(f за 1 i m. Прилагайки оператора на Рейнолдс към (1.4 получаваме, че ( m m f = R G (f = R G f i h i = f i R G (h i. Хомогенните полиноми R G (h i с обща степен deg(r G (h i = deg(h i < deg(f принадлежат на R[f 1,..., f m ] съгласно избора на f k[f 1,..., f m ] от минимална степен deg(f. Оттук следва, че и f k[f 1,..., f m ]. Противоречието гарантира, че k[x 1,..., x n ] G k[f 1,..., f m ], а оттам и k[x 1,..., x n ] G = k[f 1,..., f m ], Q.E.D.

7 15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА 73 Твърдение Нека > е мономна наредба в k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ], спрямо която всеки моном x α y β с α = n α i > 0 е по-голям от всеки моном y γ. За произволни полиноми f 1,..., f m k[x 1,..., x n ] нека G е базис на Грьобнер на идеала J := f 1 y 1,..., f m y m k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ], а g = f G е остатъкът на f k[x 1,..., x n ] при деление с G в k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. В такъв случай: (i f k[f 1,..., f m ] тогава и само тогава, когато g k[y 1,..., y m ]; (ii ако f k[f 1,..., f m ], то f = g(f 1,..., f m е представяне на f като полином на f 1,..., f m. Доказателство: Нека G = {g 1,..., g t } и A 1,..., A t k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ] са частните при деление на f с G, така че t f = g i A i + g. Ако g k[y 1,..., y m ], то замествайки y j с f j получаваме g i (x 1,..., x n, f 1,..., f m = 0 k[x 1,..., x n ] за всички 1 i t, доколкото m g i = (f s y s h s J = f 1 y 1,..., f m y m. s=1 В резултат, f(x 1,..., x n = g(f 1,..., f m k[f 1,..., f m ] и g(f 1,..., f m е представяне на f като полином на f 1,..., f m. Обратно, нека f = H(f 1,..., f m k[f 1,..., f m ] за някакъв полином H k[y 1,..., y m ]. Да отбележим, че всеки моном f α fm αm с елемент на идеала J k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. По-точно, f α f αm m = [y 1 (y 1 f 1 ] α 1... [y m (y m f m ] αm = се различава от y α yαm m y α yαm m + B 1 (y 1 f B m (y m f m за подходящи B 1,..., B m k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. Следователно стойността на полинома H(y 1,..., y m = α A c αy α yαm m за y j = f j се представя във вида H(f 1,..., f m = H(y 1,..., y m + C 1 (y 1 f C m (y m f m (15.5 чрез някакви полиноми C 1,..., C m k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. Нека G := G k[y 1,..., y m ] и G = {g 1,..., g s } след евентуална пермутация на полиномите g 1,..., g t от базиса на Грьобнер G на J. Ако H 1,..., H s k[y 1,..., y m ] са частни, а r k[y 1,..., y m ] е остатък при деление на H k[y 1,..., y m ] с G в k[y 1,..., y m ], то замествайки s H(y 1,..., y m = g i (y 1,..., y m H i (y 1,..., y m + r (y 1,..., y m в (1.5 получаваме, че f = H(f 1,..., f m = m s C j (x 1,..., x n, y 1,..., y m (y j f j + g i (y 1,..., y m H i (y 1,..., y m +r (y 1,..., y m. j=1 Достатъчно е да докажем, че r е остатъкът при делението на f k[x 1,..., x n ] с G в k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ], доколкото r k[y 1,..., y m ]. Еквивалентно, твърдим, че нито един моном на r не се дели на LT (g j за 1 j t. Ако допуснем, че някакъв старши член LT (g i дели моном b µ y µ на r (y 1,..., y m, то

8 КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА LT (g i не зависи от x 1,..., x n. Следователно g i k[y 1,..., y m ], защото в противен случай g i има моном x α y β с α > 0, който трябва да е по-голям от LT (g i k[y 1,..., y m ] съгласно предположението за >. Но LT (g 1,..., LT (g s не делят мономите на r, защото r е остатъкът при делението на H(y 1,..., y m с G = {g 1,..., g s }. Следователно f G = r k[y 1,..., y m ], Q.E.D. Пример Цикличната група C 3 GL(2, k, породена от матрицата ( 0 1 A = 1 1 е от ред 3 и пръстенът на C 3 -инвариантните полиноми на x, y е k[x, y] C 3 = k[x 2 xy + y 2, x 2 y xy 2, x 3 3x 2 y + y 3 ]. Непосредствено се проверява, че A 2 E 2, A 3 = E 2, така че C 3 = A е от ред 3. По Теоремата на Ньотер 1, пръстенът k[x, y] C3 на C 3 -инвариантните полиноми на x и y се поражда от хомогенните полиноми R C3 (x, R C3 (y, R C3 (x 2, R C3 (xy, R C3 (y 2, R C3 (x 3, R C3 (x 2 y, R C3 (xy 2, R C3 (y 3, където операторът на Рейнолдс R C3 (f = 1 [f(x, y + f( y, x y + f( x + y, x] 3 за всеки полином f k[x, y]. Вземайки предвид, че стигаме до извода, че x 3 + y 3 3xy 2 = (x 3 + y 3 3x 2 y + 3(x 2 y 3xy 2, k[x, y] C 3 = k[x 2 xy + y 2, x 2 y xy 2, x 3 3x 2 y + y 3 ].

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремата на Хилберт за нулите. Междувременно, направената

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение 10.1. Множеството Zf = {[x : y : z] P k fx, y, z = 0} на нулите на евентуално разложим хомогенен полином fx, y, z k[x,

Подробно

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n,

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, d n )} n Z от леви (десни) R-модули C n и R-модулни

Подробно

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, освен ако не е специално указано. Да напомним, че асоциативен

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено

Подробно

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции.

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Да напомним, че u O n точно когато u(0 n ) 0 В такъв

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи на R е мултипликативно затворено и локализацията S 1

Подробно

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многообразия X се моделират локално с афинни многообразия.

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. ( точки) Дадени са линейно пространство U с базиси e 1, e и e 1 = e 1 +e, e = e 1 + 3e

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно