Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 +

Размер: px
Започни от страница:

Download "Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 +"

Препис

1 Примерни задачи за линейни изображения уч год Задача 1 В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + e 2 + pe 3, a 2 = e 1 + e 2 + (p + qe 3, a 3 = 2e 1 + 3e 2 + qe 3 и b 1 = e 1 2e 2 + e 3, b 2 = e 1 + e 2 3e 3, b 3 = e 1 + 2e 2 + 2e 3 За кои стойности на параметрите p и q съществува линеен оператор ϕ : V V с ϕ(a i = b i за 1 i 3 Упътване: Ако a 1, a 2, a 3 са линейно независими, то за произволни b 1, b 2, b 3 V съществува единствен линеен оператор ϕ : V V с ϕ(a i = b i за 1 i 3 В случая, точно когато λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = O λ 1 (e 1 + e 2 + pe 3 + λ 2 [ e 1 + e 2 + (p + qe 3 ] + λ 3 (2e 1 + 3e 2 + qe 3 = O (λ 1 λ 2 + 2λ 3 e 1 + (λ 1 + λ 2 + 3λ 3 e 2 + [p(λ 1 + λ 2 + q(λ 2 + λ 3 ]e 3 = O λ 1 λ 2 + 2λ 3 = λ 1 + λ 2 + 3λ 3 = p(λ 1 + λ 2 + q(λ 2 + λ 3 =, (1 съгласно линейната независимост на e 1, e 2, e 3 Първите две уравнения на системата (1 са еквивалентни на λ 1 = 5λ 2, λ 3 = 2λ 2 Заместени в третото уравенние на (1, тези равенства дават (6p qλ 2 = Ако 6p q, то λ 2 =, а оттам и λ 1 = λ 3 = Следователно a 1, a 2, a 3 са линейно независими за 6p q За 6p = q векторите a 1, a 2, a 3 са линейно зависими и всяка тяхна линейна зависимост е от вида 5λ 2 a 1 + λ 2 a 2 2λ 2 a 3 = λ 2 (5a 1 + a 2 2a 3 = O Ако съществува линеен оператор ϕ : V V,ϕ(a i = b i, то от 5a 1 + a 2 2a 3 = O получаваме Но 5b 1 + b 2 2b 3 = 5ϕ(a 1 + ϕ(a 2 2ϕ(a 3 = ϕ(5a 1 + a 2 2a 3 = ϕ(o = O 5b 1 + b 2 2b 3 = 5(e 1 2e 2 + e 3 + (e 1 + e 2 3e 3 2(e 1 + 2e 2 + 2e 3 = 4e 1 13e 2 2e 3 O,

2 така че за 6p = q не съществува линеен оператор ϕ : V V с ϕ(a i = b i за 1 i 3 Нека a 1,, a n са линейно зависими вектори от пространство U и b 1,, b n U Ако съществува линеен оператор ψ : U U с ψ(a i = b i за 1 i n, то коефициентите λ 1,, λ n на всяка линейна зависимост λ 1 a λ n a n = O на a 1,, a n са коефициенти на линейна зависимост λ 1 b λ n b n = O на b 1,, b n Задача 2 Спрямо базиса u = (u 1, u 2, u 3 на линейното пространство U и базиса v = (v 1, v 2 на линейното пространство V е зададено линейното изображение ϕ : U V, ϕ( u 1 + y 2 + u 3 = ( + 2 v 1 + (3 + + v 2 Да се намерят: (а матрицата B F 2 3 на ϕ спрямо базиса u 1 = u 1 + u 2 + u 3, u 2 = u 1 + u 2, u 3 = 2u 1 + u 2 + u 3 на U и базиса v на V ; (б матрицата C F 2 3 на ϕ спрямо базиса u на U и базиса v 1 = v 1 + 2v 2, v 2 = v 1 + v 2 на V ; (в матрицата D F 2 3 спрямо базисите u = (u 1, u 2, u 3 на U и v = (v 1, v 2 на V Решение: Матрицата на ϕ спрямо базисите u и v е ( A = Базисът Следователно Базисът Следователно C = S 1 A = u = ut = u B = AT = ( ( ( v 1 1 = vs = v 2 1 ( = ( В резултат, D = S 1 AT = CT = S 1 B = (

3 Задача 3 Нека e 1, e 2, e 3 е базис на R 3, а f 1, f 2 е базис на R 2 Линейното изображение ϕ : R 3 R 2 трансформира e 1, e 2, e 3 в ϕ(e 1 = f 1 + f 2, ϕ(e 2 = f 1 + f 2, ϕ(e 3 = 2f 1 + f 2 Линейното изображение ψ : R 3 R 2 има матрица ( B = спрямо базиса e 1, e 2, e 3 на R 3 и базиса f 1, f 2 на R 2 Линейният оператор ρ : R 2 R 2 действа по правилото ρ( f 1 + f 2 = (2 + f 1 + (3 + f 2 Да се намерят: (а матрицата на линейното изображение ρ(ϕ + 2ψ : R 3 R 2 спрямо базиса e 1, e 2, e 3 на R 3 и базиса f 1, f 2 на R 2 ; (б матрицата на линейното изображеине ρ(ϕ + 2ψ : R 3 R 2 спрямо базиса e 2, e 3, e 1 на R 3 и базиса f 1, f 2 на R 2 Решение: Матрицата A R 2 3 на ϕ : R 3 R 2 спрямо базиса e = (e 1, e 2, e 3 на R 3 и базиса f = (f 1, f 2 на R 2 е образувана по стълбове от координатите на ϕ(e 1, ϕ(e 2, ϕ(e 3 спрямо f 1, f 2 По-точно, ( A = Матрицата на ρ спрямо базиса f 1, f 2 е C = базисите e = (e 1, e 2, e 3 и f = (f 1, f 2 е ( 2 1 M = C(A + 2B = ( ( Матрицата M на ρ(ϕ+2ψ спрямо = ( Нека N R 2 3 е матрицата на ρ(ϕ + 2ψ спрямо базисите e 2, e 3, e 1 и f = (f 1, f 2 Матрицата на прехода от базиса e 1, e 2, e 3 към базиса e 2, e 3, e 1 е 1 T = 1, 1 така че N = MT = ( Задача 4 Линейното изображение Φ : U V има матрица 1 2 A = спрямо базиса e 1, e 2 на U и базиса f 1, f 2, f 3 на V Да се намерят базиси на ядрото ker(φ и образа im(φ 3

4 Решение: Ако ( x1 са координатите на вектор u U спрямо базиса e 1, e 2, то координатите на Ψ(u спрямо базиса f 1, f 2, f 3 са y 1 ( 1 2 ( y = y 2 x1 = A = 1 2 x1 x y 2 x = Следова- Векторът u = e 1 + e 2 е от ядрото ker(φ точно когато Φ(u = O или 2 = + 2 = 5 1 = ( 2 Решенията на тази хомогенна линейна система са пропорционални на 1 телно 2e 1 + e 2 е базис на ker(φ и дефектът на Φ е d(φ = dim ker(φ = 1 Образът im(φ = l(φ(e 1, Φ(e 2 с Φ(e 1 = f 1 f 2 + 5f 3, Φ(e 2 = 2f 1 + 2f 2 1f 3, съгласно определението за матрица A на Φ спрямо базиса e 1, e 2 на U и базиса f 1, f 2, f 3 на V По Теоремата за ранг и дефект на линейно изображение, dim im(φ = rk(φ = dim U d(φ = 2 1 = 1 Забелязваме, че Φ(e 2 = 2Φ(e 1, така че Φ(e 1 = f 1 f 2 + 5f 3 е базис на im(φ Задача 5 Линейният оператор ϕ : R 3 R 3 има матрица (а A = ; (б A = спрямо базиса e 1, e 2, e 3 Да се намери базис v 1, v 2, v 3 на R 3, в който ϕ има диагонална матрица D, както и матрицата D Решение: (ахарактеристичният полином 1 λ 1 1 f A (λ = 2 1 λ 2 = λ(1 λ( 1 λ 2 + 2λ + 2(1 λ = 1 λ = λ 3 + λ = λ(λ + 1(λ 1 Характеристичните корени λ 1 = 1, λ 2 =, λ 3 = 1 са реални Следователно те съвпадат със собствените стойности на оператора Собствените вектори, отговарящи на собствената стойност λ 1 = 1 са ненулевите решения на (A + E

5 Те са пропорционални на v 1 = (1, 1, 1 Ненулевите решения на A са собствените вектори, отговарящи на събствената стойност λ 2 = Например, v 2 = (1,, 1 Собствените вектори, отговарящи на собствената стойност λ 3 = 1 са ненулевите решения на (A E Те са пропорционални на v 3 = (2, 1, 1 По този начин, операторът има диагонална матрица 1 D = 1 спрямо базиса v 1 = (1, 1, 1, v 2 = (1,, 1, v 3 = (2, 1, 1 (б Характеристичният полином 3 λ 2 f A (λ = 2 1 λ 2 = (1 λ(3 λ( 3 λ + 8(1 λ = 4 3 λ = (1 λ(λ 2 1 = (λ + 1(λ 1 2 Характеристичните корени λ 1 = λ 2 = 1 и λ 3 = 1 са реални и съвпадат със собствените стойности на оператора Характеристичният корен λ 1 = λ 2 = 1 е двукратен Собствените вектори, отговарящи на тази собствена стойност са решения на хомогенната линейна система (A E = с двумерно пространство от решения {(p, q, p p, q R} Избираме линейно независими собствени вектори v 1 = (1,, 1 и v 2 = (, 1,, отговарящи на λ 1 = λ 2 = 1 Ненулевите решения на (A + E са собствените вектори със собствена стойност λ 3 v 3 = (1, 1, 2 = 1 Те са пропорционални на 5

6 В резултат, операторът има диагонална матрица 1 D = 1 1 спрямо базиса v 1 = (1,, 1, v 2 = (, 1,, v 3 = (1, 1, 2 Задача 6 Спрямо базиса e 1, e 2, e 3 на линейното пространство V над R е зададен линейният оператор ψ : V V, ϕ( e 1 + e 2 + e 3 = ( + 2 e 1 + ( e 2 + ( e 3 Да се намерят собствените вектори на ψ Решение: Матрицата на ϕ спрямо базиса e 1, e 2, e 3 е 1 2 A = Характеристичният полином е f A (λ = λ λ λ Изваждаме втория ред от третия и получаваме λ 1 2 f A (λ = 1 3 λ 5 λ λ Изнасяме λ от третия ред и прибавяме третия стълб към втория, за да пресметнем λ 1 2 f A (λ = λ 1 2 λ 5 1 = λ[ λ(2 λ + 1] = λ(λ 12 Храктеристичните корени λ 1 = λ 2 = 1, λ 3 = са реални и съвпадат със собствените стойности на ψ Собствените вектори, отговарящи на собствената стойност 1 са ненулевите решения на хомогенната линейна система (A E Всички те са пропорционални на v 1 = (1, 1, 1 6

7 Собствените вектори, отговарящи на λ 3 = са ненулевите решения на 1 2 A Това са векторите, пропорционални на v 2 = ( 1, 2, 1 Операторът ψ не притежава базис от собствени вектори или ψ няма диагонална матрица спрямо нито един базис на V 7

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. ( точки) Дадени са линейно пространство U с базиси e 1, e и e 1 = e 1 +e, e = e 1 + 3e

Подробно

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, 13-14 уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означените действия: (i ( + i + ( i ; (ii (1 + i 3 (1 i 3 ; (iii

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено

Подробно

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремата на Хилберт за нулите. Междувременно, направената

Подробно

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение 10.1. Множеството Zf = {[x : y : z] P k fx, y, z = 0} на нулите на евентуално разложим хомогенен полином fx, y, z k[x,

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл

ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл. Илиев) У Ч Е Б Н А П Р О Г Р А М А ПО ДИСЦИПЛИНАТА:

Подробно

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многообразия X се моделират локално с афинни многообразия.

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни степени, са необходими някои предварителни сведения

Подробно

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим

Подробно

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i

Подробно

Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр

Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непрекъснатост. За целта да напомним, че произволна n-торка

Подробно

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ 40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx Семинар Символи на Кронекер и Леви-Чивита. Видове произведения между вектори и тензори. В едно D евклидово пространство R³ имаме: Скалар: p брой индекси 0, брой компоненти 0 =. Вектор: a = a, a, ) брой

Подробно

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи на R е мултипликативно затворено и локализацията S 1

Подробно

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0

Подробно

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n,

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, d n )} n Z от леви (десни) R-модули C n и R-модулни

Подробно