Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Препис

1 Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните резултати тук са следствия главно от формулата на Тейлър, което още веднъж подчертава нейното особено значение в математическия анализ Да припомним, че функцията се нарича монотонно растяща намаляваща в отворения интервал, когато за всеки,, <, е изпълнено Ако неравенствата са строги, то функцията се нарича строго монотонно растяща намаляваща Някои функции, например линейните, са монотонни над цялата си дефиниционна област За други, по-сложно устроени функции, дефиниционната област обикновено се разделя на интервали, във всеки от които функцията е монотонно растяща или намаляваща Нека е диференцируема в и,, < Тогава от теоремата на Лагранж за крайните нараствания имаме ξ, следователно знакът на разликата, който определя монотонността, изцяло зависи от стойностите на производната По този начин непосредствено се вижда верността на Твърдение 9 Нека функцията е диференцируема в отворения интервал Тогава Ако, за всяко, то функцията е монотонно растяща намаляваща в Ако > <, за всяко, то функцията е строго монотонно растяща намаляваща в Пример 9 Да разгледаме функцията y Рис 9 + Рис 9 + За производната намираме, следователно при, е строго монотонно растяща, а при, U,, функцията, функцията е строго монотонно намаляваща От тук в частност следва, че в точката функцията има строг локален минимум, а в точката има строг локален максимум Константите са единствените функции, които са едновременно монотонно растящи и монотонно намаляващи съгласно даденото определение Естествено, не съществува функция, която да бъде едновременно строго монотонно растяща и строго монотонно намаляваща Верността на следното твърдение е очевидна

2 Твърдение 9 Нека функцията е непрекъсната в някаква δ -околност δ, + δ, δ >, на точката и диференцируема в тази околност, с изключение евентуално на самата точка диференцируема във всеки от интервалите δ, и, + δ Тогава, ако < за δ, и > за, + δ, то е точка на строг локален минимум за Аналогично, ако > за δ, и < за, + δ е точка на строг локален максимум за, то Твърдение 9 се прилага ефективно, когато екстремалната точка е ъглова или рогова за графиката на Пример 9 Функцията y Рис 9, която е рогова точка и и има локален минимум в точката + Рис 9 Тук не е диференцируема в Типичната ситуация обаче на строг локален екстремум в дадена точка е когато функцията е диференцируема в тази точка и можем да приложим теоремата на Ферма, според която в този случай Анулирането на производната е само необходимо условие за екстремум Пример 9 За функцията, в точката имаме не, но е точка на екстремум Точките, в които дадена функция е диференцируема и производната се анулира се наричат критични за функцията Теоремата на Ферма показва, че локалните екстремуми трябва да се търсят сред критичните точки Следващата непосредствена задача е да установим достатъчни условия за проверка дали дадена критична точка е точка на екстремум както и да определим вида на въпросния екстремум Твърдение 9 Нека е критична точка за функцията, освен това има непрекъсната трета производна в интервала [ δ, Тогава има екстремум в, при което: Ако >, то е точка на строг локален минимум за Ако <, то е точка на строг локален максимум за Доказателство По формулата на Тейлър, за всяко от δ, + δ 9 ξ + + +, 6 където ξ δ, + δ Дали разликата Нека, δ >, и имаме е точка на екстремум зависи от поведението на за в някаква достатъчно малка околност на За тази разлика, от 9 намираме

3 9 ξ + е ограничена в гарантира, че в някаква По условие третата производна е непрекъсната, следователно затворената δ -околност [ δ, Условието евентуално по-малка от първоначалната δ-околност δ, + δ величината ξ + има същия знак като, ξ sig + sig Нека, δ +, δ, δ δ >, > Тогава съгласно 9, за всяко δ, + δ бъде изпълнено >, понеже множителят > случай се явява точка на строг локален минимум за функцията получава, че ако <, то и ще, следователно в този се явява точка на строг локален максимум Аналогично се Горното твърдение е частен случай на теорема 9, която ще докажем след малко От друга страна това е най-често прилаганият частен случай и освен това доказателството на тази обща теорема не съдържа нови идейни елементи в сравнение с доказателството на твърдение 9 и затова то беше формулирано и доказано отделно Пример 94 Да намерим локалните екстремуми на функцията y от рис 9 Пресмятаме + и + Критичните точки определяме от уравнението и Пресмятаме +, което има две решения, което означава, че е точка на строг локален минимум и, което означава, че е точка на строг локален максимум, което всъщност бяхме установили по други съображения Следващата теорема обобщава твърдение 9, откривайки възможност за изследване на случаите, когато Теорема 9 Нека за някое естествено число има непрекъснати производни до ред + в интервала [ δ,, δ >, и нека L, Тогава Ако числото е нечетно, то функцията няма локален екстремум в точката Ако числото е четно, то е точка на локален екстремум, при което Ако >, то е точка на строг локален минимум за <, то е точка на строг локален максимум за функцията Ако Доказателство Това доказателство повтаря замисъла на доказателството на твърдение 9 По формулата на Тейлър, за всяко от δ, + δ имаме

4 9 + където ξ δ, + δ разликата + L+ + +! + ξ + +! +! Дали е точка на екстремум зависи от поведението на за от някаква достатъчно малка околност на За тази разлика, от 9 намираме + 94 ξ +! + По условие + -вата производна е непрекъсната, следователно + е ограничена в затворената δ -околност [ δ, Условието гарантира, че в някаква евентуално по-малка от първоначалната δ-околност δ, + δ, δ δ >, + величината ξ + има същия знак като, + + ξ sig + sig, δ, + δ + Да разгледаме случая, когато числото е четно Нека > Тогава съгласно 94, за всяко δ, + δ и понеже множителят >, следователно в този случай локален минимум за функцията Аналогично се получава, че ако ще бъде изпълнено >, се явява точка на строг <, то се явява точка на строг локален максимум Нека сега е нечетно И в този случай вторият множител от дясната страна на 94 не си сменя знака, когато δ, + δ Тук обаче първият множител има различен знак от двете страни на, > за > и < сигурно има различен знак от двете за страни на и тази точка не може да бъде точка на локален екстремум Ако точката попада в клаузата на теорема 9, то се явява частен случай < Следователно разликата на инфлексна точка 4 Пример 95 Да разгледаме функциите y и y g Рис 9 в точката В първия случай имаме, Рис 9 6 Тук е нечетно и не е g g g, точка на локален екстремум Във втория случай имаме 4

5 4 4 4 > g Тук 4 е четно и освен това g, следователно е точка на строг локален минимум Изпъкнали функции Съществуват различни определения за изпъкнали функции В някакъв смисъл всичките тези определения са еквивалентни, но не се покриват напълно Тук ще приведем геометрично определение, използващо взаимното разположение на графиката на дадена функция и допирателните към нея, което означава, че по необходимост ще изискваме разглежданите функции да бъдат диференцируеми Определение 9 Нека функцията Казва се, че е изпъкнала надолу нагоре в графиката на Ако функцията, то се казва, че е диференцируема в околност на точката, когато в някаква евентуално по-малка от изходната околност на лежи над под допирателната за е диференцируема в отворения интервал и е изпъкнала надолу нагоре във всяка точка е изпъкнала надолу нагоре в интервала a, b На рис 94 е изобразена функция, която е изпъкнала надолу в интервала Рис 94 Рис 95 На рис 95 е изобразена функция, която е изпъкнала нагоре в интервала a, b Пример 96 Функцията y e е изпъкнала надолу в дефиниционната си област R Функцията y l е изпъкнала нагоре в дефиниционната си област > Ако функцията е изпъкнала надолу нагоре в точката и в някаква единствената обща точка между графиката на и допирателната за околност на е точката M,, то се казва, че в точката Ако функцията от интервала, то се казва, че е строго изпъкнала надолу нагоре е строго изпъкнала надолу нагоре във всяка точка е строго изпъкнала надолу нагоре в Типичният случай на изпъкналост на дадена функция е строгата изпъкналост Линейните функции са единствените, които са едновременно изпъкнали надолу и изпъкнали нагоре Естествено, не съществува функция, която да бъде едновременно строго изпъкнала надолу и строго изпъкнала нагоре Уравнението на допирателната за е t + следователно изпъкналостта на функцията зависи от знака на разликата t в някаква околност на имаме t, то функцията и ако t, то функцията, Ако е изпъкнала надолу в точката в някаква околност на е изпъкнала нагоре в точката Знакът на тази разлика също се изследва с помощта на формулата на Тейлър Съгласно тази формула, ако има непрекъсната втора производна в някаква околност на, то 5

6 ξ ξ + + t +, за някое ξ между и, следователно разликата t, можем да запишем във вида 95 ξ t От представянето 95 фактически следват всичките достатъчни условия за изпъкналост Твърдение 94 Нека има непрекъсната втора производна в околност на точката, при което > < Тогава функцията е строго изпъкнала надолу нагоре в точката Доказателство Нека в Тогава, поради непрекъснатостта на >, всичките стойности на втората производна в някаква цяла околност на ще бъдат положителни Сега от 95 следва, че в същата околност ще имаме t, при което равенството ще е налице само за, което означава по определение, че е строго изпъкнала надолу в точката Другият случай се изследва аналогично От твърдение 94 веднага следва, че ако > <, за всяко от интервала, то функцията се явява строго изпъкнала надолу нагоре в По същия начин се доказва и Твърдение 95 Нека функцията има непрекъсната втора производна в интервала, при което, за всяко Тогава е изпъкнала надолу нагоре в Да се върнем към формулата на Тейлър L 6 Както знаем, събираемите от нулев и първи ред формират допирателната линия t към графиката на функцията в точката M, Рис 96, t + Рис 96 Ако добавим и събираемото от втори ред, ще получим уравнението на допирателната парабола p + +, 6

7 която е истинска парабола, само ако Линейните функции имат характерно поведение относно монотонността Една линейна функция е навсякъде монотонно растяща или навсякъде монотонно намаляваща Квадратните функции имат характерно поведение относно изпъкналостта Ако y a + b + c, a, е квадратна функция, то y a cost, следователно при a > квадратната функция е навсякъде строго изпъкнала надолу, а при a <, е навсякъде строго изпъкнала нагоре От рис 96 се вижда, че в точката функцията е строго намаляваща, понеже допирателната права е графика на функция със същото свойство и е строго изпъкнала надолу, понеже допирателната парабола е графика на функция със същото свойство Ако, то допирателната парабола се изражда в допирателна права Ако е точка на строг локален екстремум, то M се явява връх на допирателната парабола и нейният вид напълно съответства на вида на екстремума В този случай се явява точка на строг локален екстремум и за p Инфлексните точки се отнасят към изпъкналостта по същия начин, както екстремумите се отнасят към монотонността Определение 9 Нека функцията е диференцируема в околност на точката Казва се, че е инфлексна точка за, когато не е нито изпъкнала надолу нито изпъкнала нагоре в точката Пример 97 Точката е инфлексна за функцията От определението и от твърдение 94 веднага следва верността на Твърдение 96 Нека функцията има непрекъсната втора производна в околност на точката и нека е инфлексна за Тогава Ако обаче, от това все още не следва, че е инфлексна точка 4 Пример 98 За функцията имаме, но точката не е инфлексна за очевидно е навсякъде строго изпъкнала надолу Теорема 9 Нека за някое естествено число функцията има непрекъснати производни до ред + в интервала [ δ,, δ >, и нека L,, при или, понеже при Тогава Ако числото е нечетно, то Ако числото е четно, то е точка на изпъкналост, при което Ако >, то е строго изпъкнала надолу в Ако <, то е строго изпъкнала нагоре в Доказателство Това доказателство повтаря по същество идеята на доказателството на теорема 9 По формулата на Тейлър, за всяко от δ, + δ имаме L+ +! + ξ + + +! +! е инфлексна точка за функцията 7

8 където ξ δ, + δ Дали от поведението на разликата t е инфлексна точка или точка на изпъкналост зависи за от някаква достатъчно малка околност на За тази разлика, от 96 намираме + ξ 97 t +! + Както при доказателството на теорема 9 установяваме, че за от някаква евентуално по-малка от първоначалната δ-околност δ, + δ, δ δ >, + ξ sig + sig + Да разгледаме случая, когато числото е четно Нека съгласно 97, за всяко δ, + δ понеже множителят и > > Тогава ще бъде изпълнено t >,, следователно в този случай функцията е строго изпъкнала надолу в точката Аналогично се получава, че ако функцията е строго изпъкнала нагоре в <, то Нека сега е нечетно И в този случай вторият множител от дясната страна δ, + δ Тук обаче първият множител на 97 не си сменя знака, когато има различен знак от двете страни на, > за > и < за < Следователно разликата t сигурно има различен знак от двете страни на, което означава, че точката е инфлексна за функцията 4 Пример 99 да разгледаме функцията и точката, за която имаме, 4, 4 4 Тук 4 е четно и освен това g >, следователно е строго изпъкнала надолу в точката Типичната ситуация на инфлексна точка е, когато и Асимптоти Ако е налице някое от условията lim, lim, lim, lim, + + то се казва, че правата е вертикална аисмптота за графиката на функцията Пример 9 Да разгледаме функцията y Рис 97 + Рис 97 8

9 В този случай правата е вертикална асимптота, понеже lim lim Също така правата е вертикална асимптота за графиката на функцията y и за графиката на функцията y l, понеже lim, lim и lim l + + Определение 9 Правата y k + b се нарича наклонена асимптота за y при, когато графиката на функцията lim [ k b] lim [ k b] Ако k, то асимптотата се нарича хоризонтална От определението следва, че k lim ± и ако такова k съществува, то b lim k ± [ ] Пример 9 За примера от рис 97 имаме k lim lim, + b lim[ k] lim lim Следователно правата y е наклонена асимптота за графиката на функцията при Същата права е наклонена асимптота за графиката на функцията и при В общия случай една функция може да има различни асимптоти при и при 9