Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест

Размер: px
Започни от страница:

Download "Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест"

Препис

1 Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да е точка на спектъра, в която моларната абсорбируемост,, е различна от нула, се изпълнява закона на Буге-Лаберт-Беер за някакъв регион от концентрации на веществото, чийто спектър се измерва. A = a b c = b C,. където a се нарича абсорбируемост; ако дебелината на слоя поглъщащо вещество, b, се измерва в cm, а концентрацията в mole/l, то представлява молярната абсорбируемост на веществото: мерни единици [l mole - cm - ]. Моларната абсорбируемост зависи от природата на веществото, температурата и от дължината на вълната,. Последният факт често се отбелязва с по следния начин A = b C Ако имаме смес от няколко вещества, които не си взаимодействат химически и не образуват силни междумолекулни връзки от типа на водородните връзки, то спектърът на тази смес, A, е математическа сума от спектрите на отделните компоненти на сместта, ако последните спектри са измерени при концентрации на компонентите, C k, равни на концентрациите им в сместта. N n, n1 A b C n

2 където сумата е по отделните компоненти на сместта, n, чийто брой е равен на N. C n е концентрацията на n-тия компонент, а n, е молярната абсорбируемост на n-тия компонент при дължина на вълната. Ако измерим UV/Vis спектри на поредица от разтвори, в които концентрациите на компонентите варират, то уравнение. може да бъде записано за всеки един от тях по следния начин N A m, n, b Cm, n n1.2) където A m, е абсорбцията на m-тия разтвор при дължина на вълната. Уравнение.2 може да бъде записано в матричен вид A M,L = C M,N K N,L С индекси са означени размерностите на матриците, M, N и L, които съответно означават следното: M е броят разтвори, N броят компоненти в разтворите, а L броят дължини на вълните, при които става измерването на абсорбцията. Последната стойност се нарича по-общо брой на детекторите. Матрицата К се нарича матрица на чувствителностите и очевидно се дава с израза 1,1 b 2,1 b K N,1 b 1,2 2,2 N,2 b b b 1, L b 2, L b b N, L k n,l елемент в нея представлява чувствителността за n-тия компонент при l- тата дължина на вълната. На практика това е наклона на калибрационната права A = k C, която може да се построи на тази l-та дължина на вълната, ако се измерват разтвори, съдържащи само n-тия компонент, без наличие на другите компоненти и други пречещи т.е. поглъщащи лъчение на тази

3 дължина на вълната вещества. Обърнете внимание, че отрезът се предполага равен на нула; това обикновенно се постига в UV/Vis спекроскопия, ако се извърши корекция на базовата линия преди да се осъществят измерванията..2. Многокомпонентен анализ на смеси от вещества. Ако рангът на матрицата C M,N e по-голям или равен на броят компоненти N, т.е. rang(c M,N ) N, то могат да се намерят без проблем елементите на матрицата на чувствителностите, К. Необходимо условие за това неравенство е броят на разтворите M да по-голям или равен на броят на компонентите, т.е. M N. При изпълнение на последното условие предходното условие ще се изпълнява ако има поне N на брой разтвора, чийто концентрации представляват линейно независими вектори с размерност N. Приготвянето на тези N разтвора е задача на експериментатора, която той трябва да планира внимателно: например за два компонента, два разтвора с концентрации съответно.0 x 0 - M, 2.0 x 0 - M) и 2.0 x 0 - M,.0 x 0 - M) представляват линейно зависими вектори втория е два пъти по-голям от първия и не могат да бъдат полезни при определяне на каквито и да е чувствителности на която и да е дължина на вълната по простата причина, че абсорбцията за втория разтвор на всяка дължина на вълната ще е два пъти по-голяма от тази на първия разтвор. Това лесно може да се провери математически по следния начин уравнението на Буге-Ламберт-Беер за двата разтвора всеки с два компонента е следното: a = c k + c k a = c k + c k Тъй като концентрациите на компонентите във втория разтвор са двойни, т.е. c 2, 2c, и c 2,2 2c,2 то

4 a, = c k + c k = 2(c k + c k ) = 2 a, Това на практика означава, че това не са две уравнения с две неизвестни k, и k 2,, а само едно уравнение, от което не могат да се намерят двете неизвестни. Ако обаче разтворите са подготвени правилно то матрицата на чувствителностите може да се намери по следния начин A M,L = C M,N K N,L C T M,N A M,L = C T M,N C M,N K N,L (C T N,M C M,N ) - C T M,N A M,L = (C T N,M C M,N ) - (C T N,M C M,N ) K N,L. (C T N,M C M,N ) - C T N,M A M,L = I N,N K N,L K N,L = (C T N,M C M,N ) - C T N,M A M,L След като се намери матрицата на чувствителностите концентрацията на поредица от неизвестни разтвори (S на брой, които са смес от същите компоненти, може да бъде намерена, ако те се измерят на същите дължини на вълните. За тях ще е изпълнена зависимост, аналогична на уравнение.3 ; тяхната абсорбция и концентрация са отбелязани с прим, за да се различават от абсорбцията и концентрацията на стандартите. A S,L = C S,N K N,L A S,L K T L,N = C S,N K N,L K T L,N A S,L K T L,N (K N,L K T L,N) - = C S,N (K N,L K T L,N) (K N,L K T L,N) -. A S,L K T L,N (K N,L K T L,N) - C S,N I N,N C S,N A S,L K T L,N (K N,L K T L,N) -

5 За да има матрицата (K N,L K T L,N) детерминанта, различна от нула, т.е за да могат горните равенства да се изпълнят, то трябва rang(k N,L ) N. Необходимо условие за това е L N, а достатъчно условие е дължините на вълните така да са избрани, че компонентите да абсорбират коренно различно лъчението на тях. На практика, изследователят избира тези дължини на вълните и може да осигури изпълнението на това условие. Въпроси и задачи Задача.. Наименовайте тези три елемента, a m,l, c m,n и k n,l, на матриците A M,L, C M,N и K N,L от.. А какво на практика представлява елементът c s,n от матрицата C S,N от.? Задача.2. Задачата разглежда доказателството на твърдението, че броя стандарти трябва да е по-голям или равен на броя компоненти, т.е. M N. От линейната алгебра е известно следното неравенство между ранговете на трите матрици A, B и AB: rank(ab) min[rank A, rank B ] Също така, очевидни са следните две неща: рангът на правоъгълна матрица не може да е по-голям от най-малката и размерност, както и 2 рангът на транспонираната матрица е равен на ранга на матрицата, която се транспонира. Допуснете, че имате по-малко стандарти, отколкото компоненти, т.е. M < N. a) Какво ще е изпълнено за ранга на матрицата C M,N? Например, кое ще е вярно от двете: rank(c M,N ) M или rank(c M,N ) N? b) Какво ще е изпълнено за ранга на матрицата C T N,M? c) Какво ще е изпълнено за ранга на матрицата C T N,MC M,N?

6 d) Ще можем ли да намерим тогава обратна матрица на C T N,MC M,N? Задача.3. Задачата разглежда доказателството на твърдението, че броя на дължините на вълните трябва да е по-голям или равен на броя компоненти, т.е. L N. Допуснете, че имате по-малко дължини на вълните, отколкото компоненти, т.е. L < N. a) Какво ще е изпълнено за ранга на матрицата K N,L? Например, кое ще е вярно от двете: rank(k N,L ) L или rank(k N,L ) N? b) Какво ще е изпълнено за ранга на матрицата K T L,N? c) Какво ще е изпълнено за ранга на матрицата K N,L K T L,N? d) Ще можем ли да намерим тогава обратна матрица на K N,L K T L,N?

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Семинар Матрици, детерминанти и система от линейни уравнения (преговор) Задача. Съберете и извадете двете матрици A и B на ръка A B Р

Семинар Матрици, детерминанти и система от линейни уравнения (преговор) Задача. Съберете и извадете двете матрици A и B на ръка A B Р Семинар Матрици детерминанти и система от линейни уравнения (преговор). Съберете и извадете двете матрици и на ръка. Решение: Матрици се събират и изваждат като се събират и изваждат съответните елементи

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа

Подробно

ИЗСЛЕДВАНЕ НА КИНЕТИКАТА НА ОСАПУНВАНЕ НА ЕТИЛАЦЕТАТ Цел: Да се изследва кинетиката на осапунване на етилацетат с натриева основа. Теоретична част: Ре

ИЗСЛЕДВАНЕ НА КИНЕТИКАТА НА ОСАПУНВАНЕ НА ЕТИЛАЦЕТАТ Цел: Да се изследва кинетиката на осапунване на етилацетат с натриева основа. Теоретична част: Ре ИЗСЛЕДВАНЕ НА КИНЕТИКАТА НА ОСАПУНВАНЕ НА ЕТИЛАЦЕТАТ Цел: Да се изследва кинетиката на осапунване на етилацетат с натриева основа. Теоретична част: Реакцията на осапунване на етилацетат с натриева основа

Подробно

IMH'I'AS'Lecture'ALL'UCII'r'19

IMH'I'AS'Lecture'ALL'UCII'r'19 ИНСТРУМЕНТАЛНИ МЕТОДИ ЗА АНАЛИЗ АТОМНА СПЕКТРОХИМИЯ ЛЕКЦИЯ 4 ПЛАМЪКОВ АТОМНО-АБСОРБЦИОНЕН АНАЛИЗ (ТЕОРЕТИЧНИ ОСНОВИ) Химия, редовно летен семестър 2019 Pag Лекция 4 ПЛАМЪКОВ АТОМНО-БСОРБЦИОНЕН АНАЛИЗ ТЕОРЕТИЧНИ

Подробно

Microsoft Word - Sem03+04sup_KH_VM2-11.doc

Microsoft Word - Sem03+04sup_KH_VM2-11.doc Връзка между символ на Кронекер (Conece delta i ) и символ на Леви Чивита (Levi-Civita symbol ε i ) Примери от векторния анализ Всички разглеждания се правят за случая на тримерно евклидово пространство

Подробно

Microsoft Word - seminar12.docx

Microsoft Word - seminar12.docx Семинар 12 Линеен дискриминантен анализ В този семинар ще се запознаем с линейния дискриминантен анализ (ЛДА), който се използва в статистиката, разпознаването на образи и обучението на машини. От обектите

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит

Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит [1]. Линейната обучаваща машина (ЛОМ) е стравнително

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина н

Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина н Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина на образуване на едно химично съединение се нарича енталпията

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

ОПРЕДЕЛЯНЕ НА РАВНОВЕСНА КОНСТАНТА НА ХОМОГЕННА РЕАКЦИЯ В РАЗТВОР Състоянието на системата от реагиращи вещества, при което скоростите на правата и об

ОПРЕДЕЛЯНЕ НА РАВНОВЕСНА КОНСТАНТА НА ХОМОГЕННА РЕАКЦИЯ В РАЗТВОР Състоянието на системата от реагиращи вещества, при което скоростите на правата и об ОПРЕДЕЛЯНЕ НА РАВНОВЕСНА КОНСТАНТА НА ХОМОГЕННА РЕАКЦИЯ В РАЗТВОР Състоянието на системата от реагиращи вещества, при което скоростите на правата и обратната реакция са равни, а съставът на системата не

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Семинар Класификация по разстоянието до центроидите на извадката Задача От лекциите по Аналитична геометрия си припомнете уравнението за равнина в три

Семинар Класификация по разстоянието до центроидите на извадката Задача От лекциите по Аналитична геометрия си припомнете уравнението за равнина в три Семинар Класификация по разстоянието до центроидите на извадката От лекциите по Аналитична геометрия си припомнете уравнението за равнина в тримерното пространство. Обобщете уравнението за случая на N-мерно

Подробно

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ:

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ: М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6 май 9 г. Вариант УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 8 задачи по математика от два вида:

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

РИЛОН ЦЕНТЪР бул. Христо Ботев 92, вх. Г, тел/факс. 032/ GSM GSM

РИЛОН ЦЕНТЪР бул. Христо Ботев 92, вх. Г,   тел/факс. 032/ GSM GSM І модул (време за работа 60 минути) доц. Рангелова и екип преподаватели Верният отговор на всяка задача от 1 до 5 вкл. се оценява с 2 точки 1 зад. Стойността на израза 3,2 16 : ( 2 ) е : А) 4,8 Б) 4,8

Подробно

IMH'I'AS'Lecture'ALL'UCII'r'19

IMH'I'AS'Lecture'ALL'UCII'r'19 ИНСТРУМЕНТАЛНИ МЕТОДИ ЗА АНАЛИЗ АТОМНА СПЕКТРОХИМИЯ ЛЕКЦИЯ 3 Pag АТОМНИ СПЕКТРИ Характеристики на атомните спектрални линии ПЛАМЪКОВ АТОМНО-ЕМИСИОНЕН АНАЛИЗ (FAES) Химия ІІ курс редовно летен семестър

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

СЪДЪРЖАНИЕ

СЪДЪРЖАНИЕ Тема 9: Параметри на синусоидалните напрежения и токове Символично представяне на синусоидални и несинусоидални величини Елементарни двуполюсници в установен синусоидален режим Теоретична част Параметри

Подробно

Microsoft Word - tema_7_klas_2009.doc

Microsoft Word - tema_7_klas_2009.doc РЕГИОНАЛЕН ИНПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОАНИЕТО, ОФИЯ-ГРАД Национално състезание-тест по математика за VІІ клас Общински кръг, офия, февруари 009 г. Утвърдил:... аня Кастрева началник РИО, офия-град Тестът съдържа

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Microsoft Word - UIP_mat_7klas_

Microsoft Word - UIP_mat_7klas_ Приложение 2 УЧЕБНО-ИЗПИТНА ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ В КРАЯ НА VII КЛАС І. Вид и времетраене Изпитът от националното външно оценяване е писмен. Равнището на компетентностите

Подробно

10. Линейни оптимизационни модели – обща постановка

10. Линейни оптимизационни модели – обща постановка 0. Линейни оптимизационни модели обща постановка Пример Разполагате с 26 бр. самолети от тип А и 5 бр. самолети от тип В. Задачата е да се пренесе възможно по-голямо количество от разполагаем товар, при

Подробно

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно