Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Размер: px
Започни от страница:

Download "Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число"

Препис

1 Основен вариант, клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n = отношението = е естествено число. Да предположим, че съществуват различни естествени числа и a 2, такива, че е естествено число. Нека k =НОД(, a 2 ), тогава = kp, a 2 = kq, a 2 където НОД(p, q) =. Получаваме, че p q + q p = p2 + q 2 също е естествено, pq т.е. pq/p 2 + q 2. Следователно p/p 2 + q 2 и q/p 2 + q 2, т.е. p/q 2 и q/p 2. Тъй като НОД(p, q) =, получаваме, че p = и q = противоречие. Нека n > 2. За, a 2,..., a n, равни на, n, (n ) 2,..., (n ) n сборът + + a n = a 2 a 3 n + n (n )n 2 (n )n (n ) 2 (n ) n = (n ) n + (n )n = + (n ) n е естествено число. Задача 2. (6 точки) По ръбовете на многоъгълна маса пълзят две мравки. Всички страни (ръбове) на масата са по-големи от м, а разстоянието между мравките е равно винаги на 0 см. Първоначално и двете мравки се намират на една от страните на масата. а) (2 точки) Нека масата има форма на изпъкнал многоъгълник. Винаги ли е възможно мравките да пропълзят по страните на многоъгълника така, че всяка точка по края на масата да е обходена от всяка мравка? б) (4 точки) Нека масата е с форма на не задължително изпъкнал многоъгълник. Винаги ли е възможно мравките да пропълзят по страните на многоъгълника така, че всяка точка по края на масата да е обходена от поне една мравка? Решение: a) Ще докажем, че такъв обход не винаги е възможен. Нека ABCD е ромб със страна 0 м и диагонал AC = см, разположен в правоъгълна координатна система така, че AC лежи върху абсцисата и точка B има положителна ордината. Във всеки момент от движението на мравките разглеждаме вектора, свързващ първата и втората мравка. Този вектор разлагаме като сбор от вертикална и хоризонтална компонента.

2 Да предположим, че и двете мравки са преминали през точка B. Когато първата мравка се е намирала в точка B, векторът, свързващ първата мравка с втората, е сочел надолу (т.е. е имал вертикална компонента надолу). Когато в точка B се е намирала втората мравка, този вектор е сочел нагоре. От съображения за непрекъснатост следва, че в даден момент векторът, свързващ двете мравки е бил хоризонтален, което е невъзможно: в найширокото си място ромбът има ширина см. б) Ще докажем, че такъв обход не винаги е възможен. Нека ABCD е неизпъкнал четириъгълник със страни AB = BC > 0 м и AD = DC > 0 м, такъв,че BD = AC = см, а M е точка от AB, такава, че AM = 0 см. Ще считаме, че четириъгълникът е разположен в правоъгълна координатна система така, че AC лежи върху абсцисата, BD върху ординатата, като точка B има положителна ордината. Нека първата мравка се намира в точка A, втората в M. Ще обясним защо нито една от мравките никога няма да се окаже в точка C. Както в а) получаваме, че втората мравка никога не може да попадне в точка C. Аналогично, първата мравка не може да попадне в точките B и D, тъй като за тях няма да се намерят по-високи точки върху страните на многоъгълника на разстояние 0 см, в които може да се постави втората мравка. Но ако първата мравка е била в точка C, то в някакъв момент тя е преминала през B или D, а ние доказахме, че това е невъзможно. 2

3 Задача 3. (5 точки) Първоначално във всяко поле на шахматна дъска е поставен топ. За всеки ход може да се свали от дъската топ, който заплашва нечетен брой топове. Колко най-много топа могат да се свалят от дъската? (Два топа се заплашват, ако се намират в един и същи ред или стълб на дъската и между тях няма други топове.) Решение: Ще докажем, че могат да се свалят най-много 59 топа. Първо да отбележим, че нито един от топовете в ъгловите полета не може да се свали. Да допуснем, че първо е свален ъгловият топ от a. В момента преди свалянето си той е заплашвал два топа: някой от намиращите се на линия a (там е поне a8) и някой от намиращите се на линия (там е поне h). Противоречие. Ако на дъската са само ъгловите топове, то няма поле, което се заплашва от нечетен брой топове. Следователно не можем да оставим само четирите ъглови топа (иначе последният свален топ ще е заплашвал 0 или 2 топа). Следователно поне 5 от 64-те топа ще останат на дъската. Ето как последователно могат да се свалят 59 топа: a7, a6, b6, a5, b5, c5, a4, b4, c4, d4, a3, b3, c3, d3, e3, a2, b2, c2, d2, e2, f2, b, c, d, e, f, g, c8, d8, e8, f8, g8, d7, e7, f7, g7, h7, e6, f6, g6, h6, f5, g5, h5, g4, h4, h3, h2, g2, g3, f3, f4, e4, e5, d5, d6, c6, c7, b7. Задача 4. (6 точки) По окръжност са записани няколко положителни числа, всяко от които е не по-голямо от. Докажете, че окръжността може да се раздели на три дъги така, че сборът от числата, записани на всяка дъга, да се различава от сбора на записаните на коя да е друга дъга числа с не повече от. (Ако на дъгата няма числа, сборът от записаните на нея числа се приема за 0.) Решение: Условието на задачата е еквивалентно на това, че окръжността може да се раздели на три дъги така, че разликата между най-големия и най-малкия сбор да е по-малка от. Разделяме окръжността на три произволни дъги A 0, B 0 и C 0 със сборове на записаните на тях числа съответно a, b и c, a b c. По-нататък ще действаме по следния начин: Ако c a >, преместваме границата между дъгите A и C така, че точно едно число от дъгата C да премине на дъгата A. Нека това число е r. След тази операция получаваме нови дъги A, B и C със сборове a + r, b, c r. Да разгледаме тройките S = {a, b, c} и S 2 = {a + r, b, c r}. Ако a = b < c, тъй като a < c c r, то най-малкият сбор в S 2 b(= a), т.е. равен е на най-малкия сбор в S. Най-големият сбор в S 2 е по-малък от най-големия сбор c в S, тъй като всяко от числата в S 2 е по-малко от c. Ако a < b c, от неравенствата a + r a + < c, b c, c r < c следва, че всеки сбор в S 2 (а значи и най-големият) не надхвърля най-големия сбор c в S. От друга страна, a < a + r, a < b и a < c c r, т.е. всеки сбор в S 2 (а значи и най-малкият) е по-голям от най-малкия сбор a в S. 3

4 И в двата случая разликата между най-големия и най-малкия сбор намалява при второто разделяне на окръжността. Тъй като разглежданите числа са краен брой, то разликата между тези сборове не може постоянно да намалява и следователно настъпва момент, когато тя става по-малка от. Задача 5. (7 точки) Даден е ABC, за който A : B : C = 4 : 2 :. Ако AA, BB и CC са ъглополовящи в ABC, докажете, че A B = A C. Решение: Нека I е пресечната точка на ъглополовящите и C = α, B = 2α, A = 4α. Следователно 7α = 80. Тъй като A BA = A AB = 2α, то BA = AA = x. В BAA имаме BA A = 80 4α = 3α и в BA I тогава BIA = 80 4α = 3α, следователно BA = BI = x. От друга страна, в BB A имаме BB A = 80 5α = 2α и тогава IA = IB = y. Също, в AC C имаме AC C = α = 5 2 α и тогава в IC A намираме C IA = α = 5 2 α, т.е. AC = IA = y. Още един равнобедрен триъгълник е B BC ( BB C = B CB = α) и следователно B C = BB = x + y. Върху отсечката B C избираме точка T така, че AA T = 3α. От еднаквостта на AA B и AA T следва, че A T = A B = x и AT A = 2α. Също, T A C = 80 6α = α, следователно A T = T C = x. Тогава B T = B C T C = y. Сега триъгълниците A T B и A AC са еднакви, откъдето A B = A C. Задача 6. (8 точки) За един ход на дъска се записват или две единици, или се изтриват две вече написани еднакви числа n и вместо тях се записват n+ и n. Най-малко за колко хода на дъската може да се получи числото 2005? (Първоначално на дъската не е записано нищо.) Решение: Ще докажем, че минималният брой ходове е 2 ( ) = Забелязваме, че при всеки ход сборът от квадратите на записаните числа се увеличава с 2. Това е така и когато записваме две единици, и когато заменяме n и n с n и n + (тъй като (n ) 2 + (n + ) 2 = n 2 + n 2 + 2). Следователно сборът от квадратите на записаните числа е четен. Ще докажем, че ако сме получили числото 2005 след минимален брой ходове, то на дъската са записани и 2003, 2002,..., 2,. Да допуснем противното: нека числото n < 2004 го няма на дъската. Всяко по-малко от 2005 число n се е появило в определен момент на дъската иначе не биха се появили и числата n +, n + 2,..., Да разгледаме момента, в който n за последен път е било изтрито. На този ход са записани числата n + и n. Тъй като броят на ходовете е минимален, можем да твърдим, че или n + = 2005, или n + ще се използва в бъдеще. В първия случай n = 2004, а във втория при 4

5 използването на числото n + числото n отново ще се появи на дъската противоречие. Тъй като = = е нечетно число, а сборът от квадратите на записаните числа е четен, то освен 2005, 2003, 2002,..., 2,, на дъската трябва да присъства поне още едно ненулево число. Понеже всеки ход увеличава сбора от квадратите на записаните числа с 2, то минималният брой ходове, необходими за появяването на 2005, е равен на 2 ( ) (когато ненулевите числа на дъската са 2005, 2003, 2002,..., 2,, ). По индукция ще докажем, че при n = 4l +2 или 4l +3 на дъската могат да се появят n, n 2,..., 3, 2,, а при n = 4l или 4l+ числата n, n 2,..., 3, 2,,. (Записаните нули не се разглеждат.) При n = е твърдението вярно (, след първия ход). Нека то е вярно за n = k; ще го докажем за n = k +. Ще разгледаме само случая k = 4l, а останалите разсъждения са аналогични. Според предположението на индукцията, можем да получим 4l, 4l 2,..., 2,,. Изтриваме две единици и записваме 2 и 0, след това изтриваме две 2 и записваме 3 и, и т.н., докато изтрием 4l 2 и 4l 2 и запишем 4l, 4l 3. В този момент на дъската са записани числата 4l, 4l, 4l 2,..., 3, 2,. Сега ще напишем две единици и ще извършим същите действия: и заменяме с 2 и 0; 2 и 2 заменяме с 3 и и т.н., докато 4l и 4l заменим с 4l + и 4l. В резултат на това на дъската (от ненулевите числа) ще останат само 4l +, 4l, 4l 2,... 3, 2,,. 5

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки

Подробно

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

kk7w.dvi

kk7w.dvi Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,

Подробно

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;

Подробно

Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 2007 г. Кратки решения на

Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 2007 г. Кратки решения на Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 007 г Кратки решения на задачите Задача 91 Да се намерят всички стойности на

Подробно

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимен математически турнир Атанас Радев 8 9 януари 0 г., ЯМБОЛ Тема за 8 клас Задача. Във футболно първенство всеки отбор

Подробно

MATW.dvi

MATW.dvi ТЕСТ 6. Ъглополовящите AA (A BC) и BB (B AC) на триъгълника ABC се пресичат в точката O. Ъгъл A OB не може да бъде равен на: А) 90 Б) 20 В) 35 Г) 50 ( ) 2 7 3 2. Изразът е равен на: 2 6.24 А) Б) 2 8 В)

Подробно

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, 9 31 март 013 г. Тема за 9 клас Задача 1. Да се намерят всички стойности на реалния

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: 1.. + = 3 +1 + 8 = 5 4 3 3. 4. 4 5 + 1 = +6+9 +3 1 + 4 = 1 4 + 5. +1 + = 9 +1 10 6. ( -5) +10( -5)+4=0 7. 11 3-3 = 3 5+6 8. 1 +30 1 16 = 3 7 9

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 9.1. Да се намерят стойностите

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Microsoft Word - variant1.docx

Microsoft Word - variant1.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа

Подробно

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ:

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ: М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6 май 9 г. Вариант УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 8 задачи по математика от два вида:

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

C:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi

C:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА СОЗОПОЛ, 30 МАЙ ЮНИ 204 Г. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ НАЦИОНАЛНА

Подробно

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания януари 2013 г., ПЛОВДИВ Тема за

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания януари 2013 г., ПЛОВДИВ Тема за МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания 6 7 януари 03 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас, решения и оценяване Задача 8.. Цената на един

Подробно

VTU_KSK14_M3_sol.dvi

VTU_KSK14_M3_sol.dvi Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий 07 юли 01 г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. Да се решат уравненията: 1.1. x +x+1 = 1 x 1 + 8x 1 x 3 1 ; 1.. log x+log x 3 = 0; 1.3. x+1 +6. x 1 = 0. Задача. Дадено

Подробно