XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право

Размер: px
Започни от страница:

Download "XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право"

Препис

1 XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете на два от правоъгълниците, да пресича и трети правоъгълник? Решение Допускаме, че такова разделяне е възможно Да разположим дадения правоъгълник в първи квадрант на координатна система така, че югозападният връх на правоъгълника да съвпадне с нейния център Този от малките правоъгълници, чийто югозападен връх също съвпада с центъра на координатната система, ще наричаме главен Нека координатите на неговия център са x; y) Да разгледаме правоъгълниците, чиито южни страни или част от тях) лежат на северната страна на главния правоъгълник; нека те са на брой и кординатите на центровете им са x i ; y i ), като x 1 < x < < x Нека x k < x < x k+1 Тогава отсечката, която свързва x; y) и x k ; y k ) трябва да пресича k + 1)-ия правоъгълник Това означава, че отсечката с краища x; y) и x k+1 ; y k+1 ) не може да пресича k-тия правоъгълник Следователно тази отсечка трябва да пресича и източната страна на главня правоъгълник, те = k + 1 По същия начин, ако правоъгълниците, чиито западни страни или част от тях) лежат на източната страна на главния правоъгълник, са m на брой, ще получим, че отсечката, която свързва центъра на m-тия от тях с x; y) пресича северната страна на главния правоъгълник Тогава -тия северен и m-тия източен съсед на главня правоъгълник имат общи вътрешни точки; противоречие Задача Дадена е безкрайна редица от различни естествени числа Всеки член на редицата след първия е равен или на средноаритметичното, или на средногеометричното на двата си съседни члена Вярно ли е, че от известно място нататък всички членове на редицата са равни само на средноаритметичното на съседните си, или на тяхното средногеометрично? Решение Да разгледаме редица, дефинирана с равенствата a k 1 = k и a k = kk + 1) за всяко k 1 Имаме ak 1 a k+1 = k k + 1) = kk + 1) = a k и 1 a k + a k+ ) = 1 kk + 1) + k + 1)k + )) = k + 1) = a k+1, те в тази редица средноаритметично и средногеометрично се редуват 1

2 Задача 3 Във всяка клетка на дъска е поставена по една пешка Можем да изберем диагонал един диагонал се състои от всички клетки, чиито центрове лежат на една права, която сключва ъгъл 45 със страните на дъската), който съдържа четен брой пешки и да вземем една произволна пешка от него Колко най-много пешки могат да се вземат от дъската по този начин? Решение Диагонал, на който лежат четен нечетен) брой пешки, ще наричаме четен нечетен) В началото на дъската има 0 нечетни диагонали Да разгледаме как се променя техният брой при сваляне на пешка от дъската тя лежи на поне един четен диагонал) Ако пешката лежи на един четен и един нечетен диагонал, свалянето и не променя броя на нечетните диагонали Ако пешката лежи на два четни диагонала, премахването й увеличава с броя на нечетните диагонали Следователно във всеки момент има поне 0 нечетни дагонали, те поне 10 пешки ще останат на дъската Да означим клетките i; j), където 0 i, j 9 Ще покажем как да се махнат всички пешки от клетките, за които i+j е нечетно, с изключение на 1; 0), 3; 0), 5; 0), 7; 0) и 9; 0) Последователно сваляме пешките от клетките: 0 0; 1) 0; 3) 0; 5) 0; 7) 0; 9) 1 1; ) 1; 4) 1; 6) 1; 8) ; 1) ; 3) ; 5) ; 7) ; 9) 3 3; ) 3; 4) 3; 6) 3; 8) 4 4; 1) 4; 3) 4; 5) 4; 7) 4; 9) 5 5; ) 5; 4) 5; 6) 5; 8) 6 6; 1) 6; 3) 6; 5) 6; 7) 6; 9) 7 7; ) 7; 4) 7; 6) 7; 8) 8 8; 1) 8; 3) 8; 5) 8; 7) 8; 9) 9 9; ) 9; 4) 9; 6) 9; 8) Аналогично от дъската се свалят всички пешки от клетките, за които i + j е четно, с изключение на 0; 0), ; 0), 4; 0), 6; 0) и 8; 0) Така на дъската остават само пешките от първия ред Задача 4 Три равнини разделят паралелепипед на осем шестостена така, че всички стени на шестостените са четириъгълници всяка равнина пресича две двойки срещуположни стени на паралелепипеда и не пресича стените от третата двойка) Около един шестостен може да се опише сфера Да се докаже, че около всеки от тези шестостени може да се опише сфера Решение Ще използваме две помощни твърдения Лема 1 На страните на успоредника ABCD са избрани точки M, N, P, Q, като отсечките MP и NQ се пресичат в точка R Ако четириъгълникът AMRQ е вписан, то и около всеки от четириъгълниците MBNR, NCP R и P DQR може да се опише окръжност Доказателство Да означим A = C = α Тъй като четириъгълникът AMRQ е вписан, то MRQ = 180 α, откъдето NRP = 180 α, те и четириъгълникът NCP R е вписан Освен това, от равенствата B = D = 180 α = MRQ следва, че около MBNR и P DQR също може да се опише окръжност

3 Q A D R M P B C N Лема Нека AMRQ и A M R Q са срещулежащи стени на шестостен с ръбове AA, MM, RR и QQ Ако всички стени на шестостена са вписани многоъгълници, то шестостенът може да се впише в сфера Доказателство От сферите, съдържащи описаната около AM RQ окръжност, избираме тази сфера, която съдържа точката A Тогава описаната около AMA окръжност лежи на сферата и, от друга страна, съдържа точката M, тъй като четириъгълникът AMM A е вписан Следователно M лежи на сферата Аналогично, R и Q също лежат на сферата, следователно шестостенът е вписан Да се върнем към дадената задача Сечението на всяка от дадените три равнини с паралелепипеда е успоредник Пресечниците на тези успоредници разделят всеки от тях на четири четириъгълника Успоредниците включват по един вписан четириъгълник стена на вписания шестостен) и от Лема 1 следва, че всички четриъгълници в тези успоредници са вписани Стените на паралелепипеда също са разделени на по четири четириъгълника Три стени с общ връх, който е връх и на вписания шестостен) съдържат вписан четириъгълник, те на тези стени всички четириъгълници са вписани Всяка от останалите три стени е разделена на четириъгълници, чиито ъгли са съответно равни на ъглите на четириъгълниците на срещуположната стена Следователно тези четириъгълници също са вписани От Лема получаваме, че всички шестостени са вписани Задача 5 Символът означава броя на начините, по които от множество от предмета могат да се изберат k предмета подредбата е без значение) Да се докаже, че ако k и l са естествени числа, по-малки от, то числата и не са взаимнопрости Решение Нека 0 < k < l < Тогава ) l 1) < k ) k Да допуснем, че от играчи трябва да се избере отбор от l члена, като k от тях се определят за капитани Отборът може да се избере по начина, а капитаните в отбора по l начина, те изборът може да се осъществи по l начина 3

4 От друга страна, може първо да се изберат капитаните по начина, а след това отборът да се допълни с l k от останалите k играчи, за което има k ) l k възможности Така изборът може да се осъществи по ) k ) k l k начина Получихме равенството ) ) ) ) l k = l k k l k Оттук дели произведението l Ако допуснем, че е взаимнопросто с ) l, то ) k дели l ) k, което противоречи на 1) Задача 6 Дадено е естествено число > 1 Двама играчи, редувайки се, отбелязват точки върху окръжност: първият използва червен цвят, вторият син Когато върху окръжността са маркирани по точки от всеки цвят, играта свършва Всеки играч определя най-дългата дъга с краища в неговия цвят, която не съдържа други отбелязани точки Играчът с по-голяма дъга печели ако дължините са равни или и двамата играчи нямат такава дъга, играта завършва с равенство) Кой от двамата има печеливша стратегия? Решение Ще покажем как вторият играч може да спечели 1 Първият играч отбелязва първата червена точка Вторият определя като решаващи точки върховете на правилния -ъгълник с връх червената точка Докато е възможно, вторият играч отбелязва решаващи точки Така всички решаващи точки са отбелязани преди последния ход на втория играч 3 Когато решаващите точки са отбелязани, вторият играч търси двойка червени решаващи точки, които са съседни върхове на правилния -ъгълник За всяка такава двойка той отбелязва синя точка между двете червени Ако първият е отбелязал k решаващи точки, броят на двойките е най-много k 1 Тогава вторият е отбелязал k решаващи точки и, като раздели двойките с наймного k 1 нови точки, ще има поне още един ход 4 Преди последния ход на втория играч са отбелязани всичките решаващи точки и още 1 точки Следователно между някои две съседни решаващи точки A и B) няма друга точка Тъй като вторият играч е разделил всяка двойка съседни червени решаващи точки, то A или B е синя Ако A е синя, вторият играч отбелязва своята последна синя точка много близо до B По този начин най-дългата дъга на втория играч може да се приближи произволно близо до 1 от окръжността, докато най-дългата дъга на първия играч е по-малка от окръжността Вторият печели от 1 Задача 7 В клетка от компютърна памет е записано числото 6 Компютърът извършва един милион операции Операция увеличава записаното в клетката число с най-големия общ делител на това чсло и Да се докаже, че при всяка операция компютърът увеличава записаното число или с 1, или с просто число 4

5 Решение На стъпка 1 числото в клетката става 7; на стъпка става 8 и на стъпка 3 става 9 Да допуснем, че на k-тата стъпка в клетката се записва числото 3k Ще докажем, че съществува i от 1 до k 1 включително), за което числото i + 1 е просто и за всяко j от 1 до i 1 на k + j)-тата стъпка числото в клетката става 3k + j, а на k + i)-тата стъпка към него се прибавя простото число i + 1 и то става 3k + 3i Така твърдението ще е доказано по индукция На k+1)-та стъпка числото в клетката се увеличава с най-големия общ делител на k + 1 и 3k, те с 1 или 3 Ако увеличението е 3, получаваме числото 3k + 3 и твърдението е доказано за i = 1 Ако увеличението е 1, продължаваме нататък Нека за някое m всяка стъпка от k + 1)-та до k + m 1)-та числото в клетката се е увеличавало с 1; така преди k + m)-тата стъпка е станало 3k + m 1 То ще се увеличи с най-големия общ делител на k + m и 3k + m 1, който е делител на 3k + m) 3k + m 1) = m + 1 Ако m + 1 е просто число, увеличението е m + 1 или 1; в първия случай твърдението е доказано за i = m, а във втория продължаваме нататък Ако m + 1 е съставно число, да разгледаме негов прост делител p Тъй като на k + p 1 взаимнопрости За r = m + 1 )-тата стъпка увеличението е било 1, то числата p и k + p 1 са получаваме, че числата p и k + p 1 + pr 1) p са взаимнопрости, те p и k + m са взаимнопрости Тъй като това е вярно за всеки прост делител на m + 1, то числата m + 1 и k + m са взаимнопрости Следователно k + m)-тата стъпка ще увеличи числото с 1 и щродължаваме нататък Когато m стигне k 1, след k )-та стъпка в клетката е записано числото 4k Тъй като най-големият общ делител на k 1 и 4k е k 1 Числото k 1) + 1 = k 1 е просто и затова на k 1)-та стъпка в клетката ще се запише числото 4k + k 1 = 3k 1), което искахме да докажем 5

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало

Подробно

Exam, SU, FMI,

Exam, SU, FMI, Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх къ

Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх къ Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх към несъседен връх и открай до край, без линиите на разрезите

Подробно

(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2)

(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2) ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 0 юли 0 г Вариант Периодичната десетична дроб, () е равна на: 6 6 6 ; б) ; в) ; г) 5 50 500 9 Ако a= 6, b= 6 +, то изразът a + b има стойност: b a ; б) ;

Подробно

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;

Подробно

Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 2007 г. Кратки решения на

Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 2007 г. Кратки решения на Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 007 г Кратки решения на задачите Задача 91 Да се намерят всички стойности на

Подробно

РИЛОН ЦЕНТЪР бул. Христо Ботев 92, вх. Г, тел/факс. 032/ GSM GSM

РИЛОН ЦЕНТЪР бул. Христо Ботев 92, вх. Г,   тел/факс. 032/ GSM GSM І модул (време за работа 60 минути) доц. Рангелова и екип преподаватели Верният отговор на всяка задача от 1 до 5 вкл. се оценява с 2 точки 1 зад. Стойността на израза 3,2 16 : ( 2 ) е : А) 4,8 Б) 4,8

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 9.1. Да се намерят стойностите

Подробно

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx Семинар Символи на Кронекер и Леви-Чивита. Видове произведения между вектори и тензори. В едно D евклидово пространство R³ имаме: Скалар: p брой индекси 0, брой компоненти 0 =. Вектор: a = a, a, ) брой

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

IATI Day 1/Junior Task 1. Trap (Bulgaria) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, кои

IATI Day 1/Junior Task 1. Trap (Bulgaria) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, кои Task 1. Trap (Bulgaria) Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, които са върхове с целочислени координати в квадратна решетка. Всеки две последователни точки от редицата определят единична хоризонтална

Подробно

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимен математически турнир Атанас Радев 8 9 януари 0 г., ЯМБОЛ Тема за 8 клас Задача. Във футболно първенство всеки отбор

Подробно

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, 9 31 март 013 г. Тема за 9 клас Задача 1. Да се намерят всички стойности на реалния

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Microsoft Word - BROSHURA.doc

Microsoft Word - BROSHURA.doc Тема за 4 клас МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ ЗИМНИ МАТЕМАТИЧЕСКИ СЪСТЕЗАНИЯ В А Р Н А 7 8 февруари 9 г. Задача. Върху петте картички са написани числа. Наредете

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

IATI Day 1 / Senior Задача Activity (Bulgarian) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 При лошо време навън Лора и Боби обичат д

IATI Day 1 / Senior Задача Activity (Bulgarian) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 При лошо време навън Лора и Боби обичат д Задача Activity (Bulgarian) При лошо време навън Лора и Боби обичат да се събират и да играят настолни игри. Една от любимите им игри е Activity. В тази задача ще разгледаме обобщение на играта. Играта

Подробно

kk7w.dvi

kk7w.dvi Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,

Подробно

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания януари 2013 г., ПЛОВДИВ Тема за

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания януари 2013 г., ПЛОВДИВ Тема за МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания 6 7 януари 03 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас, решения и оценяване Задача 8.. Цената на един

Подробно

DZI Tema 2

DZI Tema 2 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно

Подробно