16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
|
|
- Недко Деянов
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b) и в този интервал съществува интегралът g(x) df(x), то в същият интервал съществува и интеграла f(x) dg(x), като при това е изпълнено равенството f(x) dg(x) = f(x)g(x) g(x) df(x). Доказателство. Чрез правилото за диференциране на произведение получаваме d(f(x)g(x)) = (f(x)g(x)) dx = (f (x)g(x) f(x)g (x))dx = откъдето = f (x)g(x)dx f(x)g (x)dx = g(x)df(x) f(x)dg(x), () f(x)dg(x) = d(f(x)g(x)) g(x)df(x). По условие имаме, че g(x) df(x) съществува, а знаем, че (2) d(f(x)g(x)) = f(x)g(x) C според едно от свойствата на неопределения интеграл. Следователно тъй като двата интеграла в дясната част на равенството () съществуват, ще съществува и интегралът f(x) dg(x) в лявата му част и при това е изпълнено равенството f(x)dg(x) = d(f(x)g(x)) g(x)df(x) = f(x)g(x) g(x)df(x), като считаме, че произволната константа C от равенството (2) е прибавена към интеграла g(x)df(x) Интегриране чрез смяна на променливата. Теорема 2. Нека функцията f(x) е дефинирана в интервала (a, b), а функцията ϕ(t) - в интервала (α, β), като ϕ(t) (a, b) за всяко t (α, β). Ако F (x) е примитивна на f(x) в интервала (a, b) и, следователно, f(x) dx = F (x) C,
2 а функцията ϕ(t) е диференцируема в интервала (α, β), то функцията F (ϕ(t)) е примитивна за f(ϕ(t))ϕ (t) в интервала (α, β) и (3) f(ϕ(t))ϕ (t) dt = f(x) dx при x=ϕ(t). Иначе казано, ако първо направим смяна на променливата x = ϕ(t) в интеграла и след това го пресметнем, или ако първо пресметнем интеграла и след това направим смяната на променливата, резултатът ще е един и същ. Доказателство. Тъй като F (x) = f(x) за x (a, b), по правилото за диференциране на сложна функция получаваме (F (ϕ(t))) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t), t (α, β). С това доказахме, че F (ϕ(t)) е примитивна функция на f(ϕ(t))ϕ (t) в интервала (α, β). Оттук имаме f(ϕ(t))ϕ (t) dt = F (ϕ(t)) C. От друга страна f(x) dx при x=ϕ(t) = (F (x) C) при x=ϕ(t) = F (ϕ(t)) C. Тъй като C и C са произволни константи, то десните страни на получените две равенства съвпадат. Следователно съвпадат и левите страни, т.е. f(ϕ(t))ϕ (t) dt = f(x) dx при x=ϕ(t). Понякога е по-лесно да се пресметне интегралът f(x) dx след като в него се направи определена смяна на променливата t = ϕ(t). Така даденият интеграл се свежда до пресмятането на интеграла f(ϕ(t))ϕ (t) dt. В случая, когато функцията ϕ(t) има обратна функция ϕ (x), то, преминавайки в двете страни на равенството (3) към променлива x чрез смяната t = ϕ (x) и разменяйки местата на двете страни получаваме f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt при t=ϕ (x). Тази формула обикновено се нарича формула за интегриране чрез смяна на променливата Интегриране на рационални функции. Да припомним, че функция от вида P n (x) = a 0 x n a x n a 2 x n 2... a n 2 x 2 a n x a n, a 0 0, се нарича полином от степен n с коефициенти a 0, a,..., a n, a n. 2
3 Определение. Рационална функция наричаме функция от вида където P n (x) и са полиноми. R(x) = P n(x), Функцията R(x) е дефинирана за всяко x, за което 0 Определение 2. Рационалната функция R(x) = P n(x) се нарича правилна, ако степента на полинома P n (x) е по-малка от степента на полинома, т.е. n < k. Като използваме правилото за делене на полиноми, можем да представим всяка рационална функция като сума на полином и правилна рационална функция. Пример. Нека R(x) = x3 5 2x 2 x. Тогава ( x 3 5 ) : ( 2x 2 x ) = 2 x 4 x 3 2 x2 2 x 2 x2 2 x 5 2 x2 4 x x 2 4 т.е. получихме, че x 3 5 2x 2 x = 2 x 3 4 x x 2 x. Неопределеният интеграл на всяка рационална функция може да бъде пресметнат. За целта първо рационалната функция се представя като сума на полином и правилна рационална функция, а след това получената правилна рационална функция се представя като сума на прости рационални функции (наречени елементарни дроби), които се интегрират лесно. (4) Определение 3. Рационалните функции от вида A (x x 0 ) m, A = const, x 0 R, m =, 2,..., се наричат елементарни дроби от първи вид, свързани с x 0. 3
4 Рационалните функции от вида (5) Mx N (x 2 px q) m, M, N = const, p, q R, p2 4q < 0, m =, 2,..., се наричат елементарни дроби от втори вид, свързани с p и q. Ако e полином с реални коефициенти, то той се представя еднозначно с точност до разместване на множителите във вида = b 0 (x x ) α (x x 2 ) α 2... (x x s ) αs (x z ) β (x z ) β (x z 2 ) β 2 (x z 2 ) β 2... (x z t ) βt (x z t ) βt, където b 0 е коефициентът пред най-високата степен на x, x, x 2,..., x s са реалните корени на, съответно с кратности α, α 2,..., α s, z, z 2,..., z t са комплексните корени на, съответно с кратности β, β 2,..., β t. След като умножим (x z ) с (x z ), (x z 2 ) с (x z 2 ),..., (x z t ) с (x z t ) получаваме = b 0 (x x ) α (x x 2 ) α 2... (x x s ) αs (x 2 p xq ) β (x 2 p 2 xq 2 ) β 2... (x 2 p t xq t ) βt, където p j = (z j z j ), q j = z j z j, j =, 2,..., t. Полученото представяне на съдържа само множители с реални коефициенти, които са взаим прости и са неразложими над полето на реалните числа. Представянето на правилна рационална функция като сума на елементарни дроби се основава на следната Теорема 3. Нека R(x) = P n(x) е правилна рационална функция и = b 0 (x x ) α (x x 2 ) α 2... (x x s ) αs (x 2 p xq ) β (x 2 p 2 xq 2 ) β 2... (x 2 p t xq t ) βt е представянето на като прозиведение на взаимно прости,неразложими над полето на реалните числа множители.тогава съществуват единствени константи A, A 2,... A α ; A 2, A 22,... A 2α2 ;..., A s, A s2,... A sαs ; M, M 2,... M β ; M 2, M 22,... M 2β2 ;..., M t, M t2,... M tβt ; N, N 2,... N β ; N 2, N 22,... N 2β2 ;..., N t, N t2,... N tβt, 4
5 удовлетворяващи равенството P n (x) = A (x x ) A 2 (x x )... A α 2 (x x ) α A 2 (x x 2 ) A 22 (x x 2 )... A 2α 2 2 (x x 2 ) α 2... A s (x x s ) A s2 (x x s )... A sα s 2 (x x s ) αs M x N (x 2 p x q ) M 2x N 2 (x 2 p x q )... M β x N β 2 (x 2 p x q ) β M 2 x N 2 (x 2 p 2 x q 2 ) M 22x N 22 (x 2 p 2 x q 2 )... M 2β 2 x N 2β2 2 (x 2 p 2 x q 2 ) β 2... M t x N t (x 2 p t x q t ) M t2x N t2 (x 2 p t x q t )... M tβ t x N tβt 2 (x 2 p t x q t ). βt След като намерим неизвестните константи интегрирането на R(x) се свежда до интегрирането на съотвените елементарни дроби от записаната по-горе формула. Определянето на неизвестните константи може да стане по следния начин: Привеждаме под общ знаменател дробите в дясната част на формулата (разбира се, общият знаменател е полиномът ). Числителят на дробта отляво - полиномът P n (x), трябва да съвпада с числителя на дробта, която ще получим отдясно, за безброй много стойности на x. Оттук следва, че полиномът P n (x) тгрябва да е тъждествено равен на полинома, който се е получил като числител след привеждането под общ знаменател отдясно. Неизвестните константи определяме от това тъждество по някой от следните начини: ) приравняване на коефициентите пред еднаквите степени на x и решаване на получената система от линейни уравнения; 2) даване на конкретни реални или комплексни стойности на променливата x; 3) диференциране и заместване на променливата x с конкретни стойности или приравняване на коефициентите пред еднаквите степени на x; 4) комбиниране на ), 2) и 3). 5
Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc
7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ
Подробно(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит
(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
ПодробноГлава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр
Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
ПодробноЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните
ПодробноMicrosoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc
Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
ПодробноMicrosoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc
Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1010.doc
Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична
ПодробноMicrosoft Word - nbb2.docx
Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec11.doc
Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране
ПодробноЛинейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс
. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик
ПодробноMicrosoft Word - IGM-CA2222ааа.doc
Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността
ПодробноMicrosoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
ПодробноКвадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a
Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (
ПодробноM10_18.dvi
СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...
ПодробноГлава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос
Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни
ПодробноМинистерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри
Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности
ПодробноMicrosoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc
ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,
ПодробноMicrosoft Word - DIS.doc
Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през
Подробно036v-b.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,
ПодробноСеминар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива.
Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rg
ПодробноЛинейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,
на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори
ПодробноMicrosoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
ПодробноMicrosoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc
ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както
ПодробноГлава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б
Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще
Подробно54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200
54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc
6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите
ПодробноMicrosoft Word - IGM-CA1919.doc
Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни
ПодробноI
. Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване
ПодробноMicrosoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc
Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.
Подробно