Modelli Clamfim Integrali Multipli 8 ottobre 2015
|
|
- Донка Господинова
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 CLAMFIM Bologna Modell Clamfm Integral Multpl 8 ottobre 215 professor Danele Rtell danele.rtell@unbo.t 1/2?
2 Example Evaluate the measure of A = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 } { (x, y) R 2 y x } 3 y 2/2?
3 3/2?
4 / 2 ( x x/ 3 ) dy dx + 1 1/ 2 ( 1 x 2 x/ 3 dy ) dx = π /2?
5 For exercse. The only dffcult pont s 1 x2 dx = 1 ( x ) 1 x arcsn x 5/2?
6 Teorema (Euler) n=1 1 n = π /2?
7 Teorema (Euler) Dmostrazone. n=1 1 n = π2 2 6 Se A = [, ) [, ) consderamo dxdy (1 + y)(1 + x 2 y) A 6/2?
8 Integramo prma rspetto ad x e po rspetto ad y ottenendo dxdy ( 1 ) (1 + y)(1 + x 2 y) = dx dy 1 + y 1 + x 2 y A 7/2?
9 Integramo prma rspetto ad x e po rspetto ad y ottenendo dxdy ( 1 ) A (1 + y)(1 + x 2 y) = dx dy 1 + y 1 + x 2 y ( [ ] 1 arctan( y x) x= ) = dy 1 + y y x= 7/2?
10 Integramo prma rspetto ad x e po rspetto ad y ottenendo dxdy ( 1 ) A (1 + y)(1 + x 2 y) = dx dy 1 + y 1 + x 2 y ( [ ] 1 arctan( y x) x= ) = dy 1 + y y = π 2 dy y(1 + y) = π 2 x= 2u π2 du = u(1 + u 2 ) 2 7/2?
11 Invertamo l ordne d ntegrazone: dxdy (1 + y)(1 + x 2 y) = A ( ) dy dx (1 + y)(1 + x 2 y) 8/2?
12 Invertamo l ordne d ntegrazone: dxdy ( (1 + y)(1 + x 2 y) = A = 1 1 x 2 ) dy dx (1 + y)(1 + x 2 y) ( ( y x2 1 + x 2 y ) ) dy dx 8/2?
13 Invertamo l ordne d ntegrazone: dxdy ( (1 + y)(1 + x 2 y) = A = = 1 1 x x 2 ) dy dx (1 + y)(1 + x 2 y) ( ( ) y x2 1 + x 2 y [ ln 1 + y ] y= dx 1 + x 2 y y= ) dy dx 8/2?
14 Invertamo l ordne d ntegrazone: dxdy ( (1 + y)(1 + x 2 y) = A = = = 1 1 x x 2 ) dy dx (1 + y)(1 + x 2 y) ( ( ) y x2 1 + x 2 y [ ln 1 + y ] y= dx 1 + x 2 y 1 1 x 2 ln 1 x 2 dx y= ) dy dx 8/2?
15 Invertamo l ordne d ntegrazone: dxdy ( (1 + y)(1 + x 2 y) = A = = = = 1 1 x x 2 ) dy dx (1 + y)(1 + x 2 y) ( ( ) y x2 1 + x 2 y [ ln 1 + y ] y= dx 1 + x 2 y 1 1 x 2 ln 1 x 2 dx ln x 2 x 2 1 dx = y= ) dy dx 8/2?
16 Invertamo l ordne d ntegrazone: dxdy ( (1 + y)(1 + x 2 y) = A = = = = = x x 2 ) dy dx (1 + y)(1 + x 2 y) ( ( ) y x2 1 + x 2 y [ ln 1 + y ] y= dx 1 + x 2 y 1 1 x 2 ln 1 x 2 dx ln x 2 x 2 1 dx = ln x x 2 1 dx y= ) dy dx 8/2?
17 Uguaglando ottenamo ln x π2 dx = x (a) 9/2?
18 Uguaglando ottenamo ln x π2 dx = x (a) Spezzamo l domno d ntegraton n (a) far [, 1] e far [1, ) e cambamo la varable x = 1/u nel secondo ntegrale n modo che ln x x 2 1 dx = = 1 1 ln x x 2 1 dx + ln x x 2 1 dx ln x x 2 1 dx ln u u 2 1 du. (b) 9/2?
19 Da (a) e (b) ottenamo 1 ln x π2 dx = x (c) 1/2?
20 Da (a) e (b) ottenamo Ma 1 1 ln x π2 dx = x (c) + ln x x 2 1 dx = n= 1 (2n + 1) 2 (d) 1/2?
21 svluppando l denomnatore dell ntegrando a prmo membro d (c) n sere geometrca e usando l teorema d Beppo Lev ottenamo: 1 ln x x 2 1 dx = 1 + ln x 1 x 2dx = n= 1 ( x 2n ln x) dx. (1) 11/2?
22 svluppando l denomnatore dell ntegrando a prmo membro d (c) n sere geometrca e usando l teorema d Beppo Lev ottenamo: 1 ln x x 2 1 dx = Integrando per part 1 ( x 2n ln x) dx = 1 + ln x 1 x 2dx = n= ] 1 1 [ x2n+1 2n + 1 ln x + 1 ( x 2n ln x) dx. (1) x 2n 2n + 1 dx = 1 (2n + 1) 2 (2) 11/2?
23 svluppando l denomnatore dell ntegrando a prmo membro d (c) n sere geometrca e usando l teorema d Beppo Lev ottenamo: 1 ln x x 2 1 dx = Integrando per part 1 ( x 2n ln x) dx = 1 + ln x 1 x 2dx = n= ] 1 1 [ x2n+1 2n + 1 ln x + Qund confrontando (c) e (d) ottenamo 1 ( x 2n ln x) dx. (1) x 2n 2n + 1 dx = 1 (2n + 1) (2) 2 + n= 1 (2n + 1) = π /2?
24 Danele Rtell: Another proof of ζ(2) = π2 usng double ntegrals. 6 Amercan Mathematcal Monthly: Volume 12 (213) pdf 12/2?
25 Euler functons Euler Gamma, Γ(z) s defned for z > by: Γ(z) = t z 1 e t dt 13/2?
26 Euler functons Euler Gamma, Γ(z) s defned for z > by: Γ(z) = t z 1 e t It s an mproper ntegral, but t converges dt 13/2?
27 Euler functons Euler Gamma, Γ(z) s defned for z > by: Γ(z) = t z 1 e t It s an mproper ntegral, but t converges Gamma extends the factoral snce dt Γ(z + 1) = z Γ(z) and beng Γ(1) = 1 f n N we have n! = Γ(n + 1) 13/2?
28 Γ ( ) 1 2 = + t e t dt = e t t dt 14/2?
29 Γ t = u = t = u 2 ( ) 1 2 = + = dt = 2udu t e t dt = e t t dt 14/2?
30 Γ t = u = t = u 2 ( ) 1 2 = + = dt = 2udu ( ) 1 Γ = 2 t e t dt = 2ue u2 u du e t t dt 14/2?
31 ( ) 1 + Γ = t e t dt = 2 t = u = t = u 2 = dt = 2udu ( ) 1 2ue u2 Γ = du = 2 2 u e t t dt e u2 du 14/2?
32 Γ t = u = t = u 2 Γ ( ) 1 2 ( ) 1 2 = = + = dt = 2udu 2ue u2 u t e t dt = du = 2 e t t dt e u2 du = π 14/2?
33 Una curostà su Ramanujan e la funzone Gamma ( 1) nγ3 (n ) (4n + 1) = π 2(n!) 3 n= 15/2?
34 Euler Reflexon Formula for x / Z Γ(x)Γ(1 x) = π sn πx 16/2?
35 Euler Beta Theorem If x, y > : Γ(x) Γ(y) Γ(x + y) = 1 s x 1 (1 s) y 1 ds 17/2?
36 Euler Beta Theorem If x, y > : Γ(x) Γ(y) Γ(x + y) = 1 s x 1 (1 s) y 1 ds Ths dentty can be reformulated ntroducng the Euler Beta functon: n such a way B(x, y) = 1 s x 1 (1 s) y 1 ds Γ(x) Γ(y) B(x, y) = Γ(x + y) 17/2?
37 roof We start from Gamma s defnton Γ(x) = varable puttng t = u 2 so that Γ(x) = u 2x 1 e u2 du t x 1 e t dt then change 18/2?
38 roof We start from Gamma s defnton Γ(x) = varable puttng t = u 2 so that Γ(x) = 2 Smlarly Γ(y) = u 2x 1 e u2 du v 2y 1 e v2 dv t x 1 e t dt then change 18/2?
39 roof We start from Gamma s defnton Γ(x) = varable puttng t = u 2 so that Γ(x) = 2 Smlarly Γ(y) = 2 Now use Fubn s Theorem Γ(x)Γ(y) = [,+ ) [,+ ) + u 2x 1 e u2 du v 2y 1 e v2 dv t x 1 e t dt then change u 2x 1 v 2y 1 e (u2 +v 2) dudv 18/2?
40 Change to polar coordnate u = ρ cos ϑ v = ρ sn ϑ obtanng 19/2?
41 Change to polar coordnate u = ρ cos ϑ v = ρ sn ϑ obtanng Γ(x)Γ(y) = 4 ( + ) ( π/2 ρ 2x+2y 1 e ρ2 dρ cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ ) 19/2?
42 Change to polar coordnate u = ρ cos ϑ v = ρ sn ϑ obtanng Γ(x)Γ(y) = 4 ( + = Γ(x + y) ) ( π/2 ρ 2x+2y 1 e ρ2 dρ π/2 2 cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ ) 19/2?
43 To end the proof we have to show that B(x, y) = π/2 2 cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ 2/2?
44 To end the proof we have to show that B(x, y) = π/2 But comng back to Beta s defnton 2 cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ B(x, y) = 1 we are done puttng s = cos 2 ϑ s x 1 (1 s) y 1 ds 2/2?
Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива.
Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rg
ПодробноСеминар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)
Семинар 5 Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: dy dy =X)Yy) =X) + C Yy) Ако е зададено гранично условие, то намираме частно решение (ЧР): y )
ПодробноGPI Document
Позиция Кол. Описание 1 DUOLIFT.27.AP3B..8.3 Продуктов номер: 9917762 Забележка! Показаната снимка може да се различава от реалната. Wastewater collecting tank with a total volume of 27 liter. Incl. pipeset
ПодробноGPI Document
Позиция Кол. Описание 1 UNOLIFT.27.AP3B..6.A Продуктов номер: 99144937 Забележка! Показаната снимка може да се различава от реалната. Wastewater collecting tank with a total volume of 27 liter. Incl. pipeset
ПодробноVocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИ
Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ Информационните технологии инструментариум за решаване
ПодробноСеминар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.
Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен
ПодробноMicrosoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc
Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0
ПодробноГлава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б
Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще
ПодробноMicrosoft Word - Primer2_4.doc
2.4.) Пример с размяна на приоритетите в крайния автомат в проект drink2 Нека разгледаме същия пример с единствената разлика размяна на приоретите на условията 1 и 2. Тогава финалната диаграма на автомата,
ПодробноУПЪТВАНЕ Facebook Телефон: Whatsapp: PowerLocus Истинските Безжични Bluetooth С
УПЪТВАНЕ Facebook : @PowerLocus Email : powerdirect155@gmail.com Телефон:0885909483 Whatsapp: +31 633242189 PowerLocus Истинските Безжични Bluetooth Слушалки Как да включите PowerLocus? Моля, натиснете
ПодробноMicrosoft Word - TAB_5.doc
Таблица 5: Граници на годишното постъпване на отделни радионуклиди в организма на персонала чрез вдишване (ГГП ИНХ ) или поглъщане (ГГП ПО ) и граница на средногодишната обемна активност (ГСГОА В ) на
ПодробноКомплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо
Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент
ПодробноEditable Intel® Education powerpoint template
Костенуркова геометрия чрез блоково програмиране Красимира Иванова и Евгения Сендова 27 февруари 2018, 12:30 14:00 https://nrn.adobeconnect.com/lt_imi Scientix has received funding from the European Union
ПодробноGPI Document
Дата: Кол. UPA 5-90.9.209 г. Забележка! Показаната снимка може да се различава от реалната. Продуктов номер: 99538895 Grundfos UPA 5-90 is a domestic booster designed for pressure boosting of drinking
ПодробноПравилник на кампанията Ловци на оферти В периода 5 8 март 2019г. Данте интернешънъл С.А. (Dante International S.A.) самостоятелно, както и някои от м
Правилник на кампанията Ловци на оферти В периода 5 8 март 2019г. Данте интернешънъл С.А. (Dante International S.A.) самостоятелно, както и някои от маркетплейс търговците на emag.bg, всеки търговец поотделно,
ПодробноPowerPoint Presentation
Събития, организирани в рамките на Scientix, през 2018 в България Евгения Сендова Институт по математика и информатика при Българска академия на науките National Seminar in Education with Scientix workshop:
ПодробноКвадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a
Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (
ПодробноИван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015
Иван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015 Съдържание Предговор 4 1 Обикновени диференциални уравнения и системи 7 1.1 Обикновени диференциални уравнения от първи ред...... 7 1.1.1
ПодробноÑÒÀÒÈ×ÍÈ È ÄÈÍÀÌÈ×ÍÈ ÈÇÏÈÒÀÍÈß ÍÀ ÐÅËÅÉÍÈ ÇÀÙÈÒÈ
СТАТИЧНИ И ДИНАМИЧНИ ИЗПИТАНИЯ НА РЕЛЕЙНИ ЗАЩИТИ доц.д-р Стефан Йорданов Овчаров ТУ-София доц.д-р Станимир Трифонов Вичев ТУ-София гл.ас. Велико Георгиев Великов ТУ-София гл.ас. Петър Иванов Якимов ТУ-София
ПодробноПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ
. Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за
ПодробноMicrosoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc
ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,
Подробно