Лекция 18. Обикновени диференциални уравнения

Размер: px
Започни от страница:

Download "Лекция 18. Обикновени диференциални уравнения"

Препис

1 Лекция 8. Обикновени диференциални уравнения 8.. Дефиниция и видове. Всяка функционална зависимост между независимата променлива х функцията ух и нейните производни до n-ти ред включително... n 8. се нарича обикновено диференциално уравнение ОДУ от n-ти ред. Да решим едно ОДУ означава да намерим функцията ух. Може да се докаже че решаването на ОДУ от n-ти ред е еквивалентно на n-кратно интегриране. Понеже всяко интегриране се появява по една неопределена константа общото решение на едно ОДУ от n-ти ред съдържа n неопределени константи. Последните се определят от n на брой допълнителни уравнения които се наричат гранични условия. Най-напред ще се занимаем с диференциалните уравнения от първи ред: 8. Ако ур. 8. може да се реши явно спрямо то диференциалното уравнение може да се представи във вида: 8. Само в някои случаи е възможно да се намери аналитично решение решение чрез квадратури на ОДУ от първи ред. По-долу ще разгледаме три такива случая: а уравнение с разделящи се променливи; б линейно уравнение и в уравнение с пълен диференциал. Ако ОДУ не може да се реши аналитично то винаги може да се потърси числено компютърно решение за което са разработени подходящи числени методи. 8.. Уравнение с разделящи се променливи. Уравнение от този тип имаме когато дясната страна на ур. 8. може да се представи като произведение от функция на х по функция на у: X Y В такъв случай решението на ур. 8.4 има вида: X Y където С е неопределена интеграционна константа. Ако е зададено гранично условие ух = у то решението на ур. 8.4 може да се представи и чрез определени интеграли с променливи горни граници: Y X 8.6 И действително ако в лявата страна положим у = у а в дясната страна положим х = х уравнение 8.6 е удовлетворено то се превръща в тъждеството =. 9

2 Пример : При химична реакция от първи порядък АВ веществото А се превръща във веществото В като това: cb c kc 8.7 t t Тук с А и с В са концентрациите на съответните компоненти; константата k се нарича скоростна константа на химичната реакция. Уравнение 8.7 описва също радиоактивния разпад на химичния елемент А който се превръща в елемента В. Последното равенство в ур. 8.7 представлява ОДУ с разделящи се променливи за функцията с А t чието решение има вида: ln c c kt kt c 8.8 Ако представим неопределената константа във вида С = ln и антилогаритмуваме получаваме: k t t c 8.9 Ако началната концентрация на компонента А е с А = с то в ур. 8.9 можем да определим интеграционната константа С : kt c t c 8. Използва се и понятието време на полуразпад t /. По дефиниция с А t / = с /. Тази дефиниция заедно с ур. 8. дават t / = ln/k. Като илюстрация Таблица 8. показва схемата на радиоактивен разпад на елемента уран-8 8 U. Таблица 8.. Схема на радиоактивния разпад на изотопа 8 U който се описва от ур. 8.. Символите или показват дали съответният разпад е дружен с отделяне на алфа-лъчи хелиеви ядра или бета-лъчи електрони. Показано е и времето на полуразпад t / което варира от 4 секунди до 4.5 милиарда години за различните радиоактивни изотопи.

3 Пример. Да се реши уравнението 4. Първо решаваме това уравнение спрямо производната: 8. По-нататък пресмятаме неопределените интеграли: arcsin - ; ln 8. И така ако положим С = lnc решението добива вида: /у = sin[lnc]. 8.. Линейно уравнение. Това уравнение има вида: 8. където и са известни функции. Решението на ур. 8. се дава от формулата: 8.4 Да диференцираме ур. 8.4 за да проверим дали наистина то удовлетворява ур. 8.: 8.5 При последната стъпка използвахме изразите за у и в ур Пример: Да се реши уравнението. Предвид ур. 8.4 намираме: ; ; ln Уравнение с пълен диференциал. Интегриращ множител. Да разгледаме уравнение от вида: 8.8 където и са известни функции за които е изпълнено съотношението: 8.9 Тогава ако умножим ур. 8.8 по в лявата му страна ще получим пълен диференциал нa някаква функция : 8.

4 Напомняме че ур. 8.9 е необходимо и достатъчно условие за това пфафовата форма да бъде пълен диференциал. Като интегрираме ур. 8. намираме общото решение на ур. 8.8 във вида: 8. където С е интеграционна константа. За да намерим функцията ще използваме уравненията: Като интегрираме първото ур. 8. получаваме: където сме отчели факта че интегрирането по х интеграционната константа може да зависи от у: А = Ау. После заместваме ур. 8. във второто ур. 8.: 8.4 От полученото уравнение определяме неизвестната функция Ау с което предвид ур. 8. и 8. намираме и общото решение на задачата. Пример : Да се реши уравнението В случая имаме: ;. Пресмятаме: ; 8.5 Следователно ур. 8.9 е удовлетворено и разглежданото ОДУ е с пълен диференциал. Тогава предвид ур. 8. намираме: 8.6 После заместваме ур. 8.6 във второто ур. 8.: 8.7 Уравнение 8.7 дава Ау = у 4 /4 и така предвид ур. 8. и 8.6 намираме връзката между променливите у и х във вида: В някои случаи е възможно за общото ур. 8.8 да не е изпълнено условието за пълен диференциал ур. 8.9 но това условие да се удовлетвори след умножаване на ур. 8.8 по някаква подходяща функция ху наречена интегриращ множител.

5 Пример : Да се реши уравнението: За това уравнение лесно може да се провери че условието 8.9 за равенство на кръстните производни не е изпълнено. Чрез умножение на горното уравнение по получаваме еквивалентното уравнение: 8.7 За ур. 8.7 условието 8.9 е удовлетворено: ; 8.8 Тогава предвид ур. 8. намираме: 8.9 После заместваме ур. 8.9 във второто ур. 8.: 8. От ур. 8. получаваме Ау = у и така предвид ур. 8. и 8.9 намираме връзката между променливите у и х във вида: у /ху = С. От изчислителна гледна точка най удобно е да представим х като функция на у: Линейни ОДУ от втори ред общи формули. Най-напред нека да разгледаме хомогенното уравнение за което свободният член е равен на нула: 8. Тук и са две известни функции. Tърси се неизвестната функция ух. В общия случай се доказва че общото решение на диференциалното уравнение 8. има вида: B 8. където и В са две неопределени интеграционни константи а х и х са две частни линейно независими решения т.е. две решения на ур. 8. за които е различна от нула детерминантата на Вронски по името на полския математик Józ roński : 8.4

6 4 Нехомогенното линейно ОДУ от втори ред има вида: 8.5 където е известна функция. Може да се докаже че общото решение на нехомогенното уравнение ур. 8.5 представлява сума от общото решение на хомогенното уравнение и от едно частно решение на нехомогенното уравнение у n : n B 8.6 И действително лесно може да се провери че ако у n е едно решение на ур. 8.5 то ур. 8.6 също е решение на ур Нещо повече ако двете решения на хомогенното уравнение х и х са известни то едно частно решение на нехомогенното уравнение може да се намери по формулата: n 8.7 Проверка: Като използваме ур. 8.7 пресмятаме производните на у n : n 8.8 n 8.9 При последната стъпка използвахме ур Заместването на ур и 8.9 в лявата срана на ур. 8.5 дава: ] [ ] [ n n n 8.4 С други думи у n удовлетворява ур При последната стъпка отчетохме факта че х и х са решения на хомогенното уравнение и затова изразите в средните скоби в ур. 8.4 са равни на нула Хомогенни линейни уравнения с постоянни коефициенти Да разгледаме уравнението b a 8.4 където а и b са константи. Ще докажем че общото решение на това хомогенно уравнение има вида: sin cos a b B a b B b a k B a a a k k 8.4 където А и В са интеграционни константи.

7 Tърсим решението на ур. 8.4 във вида = : a b 8.4 Така получаваме квадратно уравнение за чиито два корена са: a a b 8.44 Случай k а b >. В този случай имаме два реални корена = а k k > по дефиниция на които съответствуват две независими решения: ak ak 8.45 Тогава предвид ур. 8. получаваме първото от ур То може да се представи в две еквивалентни форми: k k a a B c k Ds k 8.46 където сме отчели тъждеството: k c k s k; k c k s k 8.47 Връзките между константите са: = + B и D = B. Ако k а < и х = t е времето то ур описва експоненциално затихващ процес релаксация който е характерен за системи с отрицателна обратна връзка или дисипация на енергията триене. Ако k а > ур описва експоненциално нарастващ процес който е характерен за системи с положителна обратна връзка верижна реакция взрив. Случай b а >. В този случай имаме два комплексно-спрегнати корена = а i на които съответствуват две независими решения: ai ai 8.48 Тогава предвид ур. 8. получаваме второто от ур. 8.4 което може да се представи в следните две еквивалентни форми: i i a D cos Bsin Тук използвахме формулите на Ойлер: i cos i sin; i a cos i sin В ур А = + D и B = i D са константи. Ако а > и х = t е времето то ур описва затихващи осцилации наблюдавани намер махало с триене. a Валидността на израза B като общо решение b = a може да се докаже с пряко заместване на на този израз в ур В този случай двете независими решения са = a и = е ах ; за тях = a т.е. те са наистина независими. Частен случай: Уравнението b 8.5 е частен случай на ур. 8.4 а =. Съответно общото решение се дава от ур. 8.4 а = : 5

8 cos Bsin ck Bsk B b b k b 8.5 където А и В интеграционни са константи. Пример: Да се намери законът за движение на тяло с маса m по оста х под действието на потенциална сила съответствуваща на потенциална енергия: а U Шателие Браун; б U парабола с минимум отрицателна обратна връзка; нцип на льо парабола с максимум положителна обратна връзка. Законът на Нютон за въпросното тяло има вида: U a m където 8.5 t б където хt представлява законът за движение. Така за двата разлеждани случая получаваме съответно уравненията: където 8.54-а t m k където k 8.54-б t m Предвид ур. 8.5 решенията на ур. 8.54а и 8.54б имат вида: t cost Bsint 8.55-а t ckt Bskt 8.55-б В частност ур а изразява закона за движение на т.нар. хармоничен осцилатор. Константите А и В се определят от началните условия т.е. граничните условия по отношение на времето. Намер нека в началния момент t = тялото да е в покой в точка с координата х т.е.: ; 8.57 t t Така намираме А = х В = и ур добиват вида: t cost 8.58-а t ckt 8.58-б Ур а описва органичено финитно движение х х х докато според закона за движение зададен от ур б с течение на времето тялото ще отива все по-далече и ще се ускорява все повече инфинитно движение. 6

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.

Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред. Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Семинар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)

Семинар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ) Семинар 5 Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: dy dy =X)Yy) =X) + C Yy) Ако е зададено гранично условие, то намираме частно решение (ЧР): y )

Подробно

г. Несинусоидални режими в електрическите вериги 1 / 16 Ред на Фурие Несинусоидални режими в електрическите вериги Несинусоидални сигнали До

г. Несинусоидални режими в електрическите вериги 1 / 16 Ред на Фурие Несинусоидални режими в електрическите вериги Несинусоидални сигнали До 11.4.016 г. Несинусоидални режими в електрическите вериги 1 / 16 Ред на Фурие Несинусоидални режими в електрическите вериги Несинусоидални сигнали До този момент разглеждахме електрически вериги, захранвани

Подробно

Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина н

Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина н Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина на образуване на едно химично съединение се нарича енталпията

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 6 / Семинар 6: Лява и дясна граница. Непрекъснатост на числови функции. Изследване графиките на функции: Кривина, максимум, минимум и инфлексна точка Лява и дясна граница на функция Числото b се

Подробно

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ . Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за

Подробно

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да

Подробно

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисления върху уравненията за отравяне на ядрения реактор

Подробно

Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо

Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна

Подробно

M10_18.dvi

M10_18.dvi СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...

Подробно