Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо

Размер: px
Започни от страница:

Download "Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо"

Препис

1 Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многообразия X се моделират локално с афинни многообразия. Това става чрез снабдяване на X със структурен сноп. Предсноп F над топологично пространство X е правило, което на всяко отворено подмножество U X съпоставя абелева група F(U). Полагаме F( ) = 0. За всяка двойка отворени подмножества U V съществува ограничаващо изображение ρ U,V : F(U) F(V ). Ограничаващите изображения са съгласувани в смисъл, че ρ U,U = Id F(U) : F(U) F(U) и произволна тройка U V W отворени подмножества на X определя комутативна диаграма ρ U,V F(U) F(V ) ρ U,W F(W ) ρ U,W = ρ V,W ρ U,V. Всеки морфизъм Φ : F G на предснопове се състои от хомоморфизми Φ(U) : F(U) G(U), отговарящи на отворените U X. Тези хомоморфизми са съгласувани с ограничаващите изображения посредством комутативни диаграми ρ F U,V F(U) Φ(U) ρ V,W, G(U) ρ G U,V Φ(V ) F(V ) G(V ) Определение Предснопът F върху X е сноп, ако за всяко отворено подмножество U X, всяко покритие U = i I U i с непразни отворени U i X и всяка фамилия {s i } i I от s i F(U i ) с ρ Ui,U i U j (s i ) = ρ Uj,U i U j (s j ) за i, j I съществува единствен елемент s F(U), така че ρ U,Ui (s) = s i за i I. Да напомним, че частично определена релация в множество I е частична наредба, ако (i) x x за x I; (ii) от x y и y x следва x = y; (iii) от x y и y z следва x z. Определение Частично нареденото множество I е насочена система от индекси, ако за произволни i, j I съществува k I, така че k i и k j. 124.

2 12. ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ 125 Насочена система {A i } i I от множества, абелеви групи, R-модули (над фиксиран пръстен R) или k-алгебри (над фиксирано поле k) е фамилия от споменатите обекти, индексирана с насочена система I, така че за i j от I съществува морфизъм ρ i,j : A i A j. Директната граница A = lima i на насочена система {A i } i I е множество, абелева група, R-модул или k-алгебра, заедно с морфизми ρ i : A i A, изпълняващи условия за съгласуваност ρ i,j A i ρ i ρj A j A за i j и следното универсално свойство: За произволен обект B с морфизми β i : A i B, съгласувани посредством ρ i,j A i β i βj A j съществува единствен морфизъм β : A B с ρ i A i A β i β B B за i j за i I. Построяваме A = lim A i като несвързаното обединение на A i, в което сме отъждествили x i с ρ i,j (x i ) A j за всички нидекси i j и за всички x i A i. Проверяваме непосредствено, че така построеното A изпълнява небоходимите свойства. Единствеността на директната граница се извежда от универсалното свойство. Твърдение Нека {A i } i I е насочена система от абелеви групи с морфизми ρ i,j : A i A j за всички i j от I, а A = lima i е нейната директна граница с морфизми ρ i : A i A за i I. Ако всички ρ i,j са влагания, то всички ρ i са влагания. Доказателство: Директната граница A е фактор-групата на директната сума i I A i по нейната подгрупа R I, породена от елементите x i ρ i,j (x i ) за x i A i и i j. Ако y i A i е в ядрото на ρ i : A i A, то y i R I. Представяме y i като крайна сума на съотношения от вида x p ρ p,q (x p ) и избираме индекс k I, който е по-малък от всички индекси, участващи в тези съотношения. Тогава J = {j I j k} е насочена система индекси и по построение, y i R J. В резултат, y i = 0 lim j JA j. Понеже J има минимален индекс k, lim j JA j = A k и ρ i,k (y i ) = 0. Съгласно предположението за инективност на ρ i,k получаваме y i = 0, Q.E.D. Нека X е топологично пространство, а F е предсноп (сноп) върху X. Отворените подмножества U X, съдържащи фиксирана точка p X образуват насочена система относно теоретико-множественото включване. Съответните F(U) образуват насочена система относно морфизмите на ограничение ρ U,V : F(U) F(V ) за U V p. Директната граница F p = lim U pf(u)

3 ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ се нарича слой на еталното пространство на F над p. Тя е снабдена с морфизми на ограничение ρ p : F(U) F p за U p. Ще казваме, че снопът O е сноп от пръстени, ако O(U) са пръстени за всяко отворено U и ρ U,V : F(U) F(V ) са хомоморфизми на пръстени за произволни отворени U V. Морфизъм на снопове от пръстени Φ : F G е морфизъм на снопове, в който всяко Φ(U) : F(U) G(U) е хомоморфизъм на пръстени. Пространство със структурен сноп е наредена двойка (X, O) от топологично пространство X и сноп от пръстени O върху X. Морфизъм Φ : (X, O X ) (Y, O Y ) на пространства със структурни снопове е непрекъснато изображение Φ : X Y, което за всяко отворено подмножество U Y индуцира хомоморфизъм на пръстени Φ : O Y (U) O X (Φ 1 U), съгласуван с хомоморфизмите на ограничение посредством комутативната диаграма O Y (U) O X (Φ 1 U) ρ U,V Φ ρ Φ 1 U,Φ. 1 V Φ O Y (V ) O X (Φ 1 V ) Например, нека X е афинно многообразие. За всяко непразно Зариски отворено подмножество U X нека O X (U) е пръстенът на регулярните функции върху X. Тогава (X, O) е пространство със структурен сноп. Слоят O p на еталното пространство на O над p X е локалният пръстен O p,x. Всяко регулярно изображение Φ : X Y индуцира морфизъм Φ : (X, O X ) (Y, O Y ) на пространства със структурен сноп. Да напомним, че за произволно неприводимо афинно многообразие X, пръстените O(U) и O p са подпръстени на полето k(x) на рационалните функции върху X. Хомоморфизмите на ограничение са влагания, т.е. всяка регулярна функция върху U се определя напълно от своите стойности върху произволно отворено V U или чрез образите си в локалните пръстение O p за p U. Нека (X, O X ) е пространство със структурен сноп. Казваме, че U X е афинно отворено подмножество, ако U е непразно отворено подмножество на X, така че (U, O U ) е изоморфно на афинно алгебрично многообразие. Определение Ако X е неприводимо топологично пространство със структурен сноп O, което има крайно покритие от афинни отворени подмножества, то X се нарича пред-многообразие. Ако (X, O X ) и (Y, O Y ) са пред-многообразия, то морфизмите Φ : (X, O X ) (Y, O Y ) на пространства със структурен сноп съвпадат с морфизмите на пред-многообразия. Пред-многообразията са частен случай на пред-схеми. По-точно, (Z, O Z ) е предсхема, ако Z е (необезателно неприводимо) топологично пространство със структурен сноп от пръстени O Y, което има (необезателно крайно) покритие Z = i I V i с афинни схеми V i = Spec(A i ), така че слоевете на еталното пространство на O Z са локални пръстени. Следващото твърдение описва снопа O на регулярните функции върху предмногообразие (X, O). Твърдение Нека (X, O) е пред-многообразие над поле k. Тогава съществува поле F k, така че : (i) за всяко непразно отворено U X има влагане i U : O(U) F ;

4 12. ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ 127 : O(U) O(V ) за U V са вла- (ii) хомоморфизмите на ограничение ρ U,V гания с условия за съгласуване O(U) i U ρ U,V O(V ) F i V ; (iii) хомоморфизмите ρ p : O(U) O p,x за p U са влагания; (iv) локалните пръстени O p,x се влагат в F ; (v) F е полето от частни на O p,x за p X и на O(U) за всяко афинно отворено U X. Доказателство: Твърдим, че ρ U,V : O(U) O(V ) са влагания за произволни U V. Нека s Ker(ρ U,V ), а X = n i=1 U i е афинно отворено покритие. Тогава ρ U Ui,V U i (ρ U,U Ui (s)) = ρ V,V Ui (ρ U,V (s)) = 0. Афинните отворени подмножества U i X са неприводими, както и U U i. Следователно непразните V U i са Зариски навсякъде гъсти в U U i и идеалите I(V U i ) = I(U U i ) съвпадат. В резултат, хомоморфизмите на ограничение ρ U Ui,V U i : O(U U i ) O(V U i ) са влагания и ρ U,U Ui (s) = 0. От твърдението за единственост в аксиомата за сноп следва s = 0. Нека M е множеството на непразните отворени подмножества на X. Съгласно неприводимостта на X, произволни U, V M имат непразно сечение U V. По този начин, M образува насочена система и можем да образуваме директната граница F := limo(u). От това, че ρ U,V : O(U) O(V ) са влагания за U V от M, следва, че хомоморфизмите i U : O(U) F са влагания, съгласно Твърдение В резултат, можем да считаме, че O(U) са подпръстени на F. Нека U е непразно афинно отворено подмножество на X, а M U е множеството на непразните отворени подмножества на U. За V M съществува W M U с W V, така че директните граници F = limv MO(V ) = limw M U O(U) съвпадат. Но F (U) = limw M U O(W ) съвпада с полето от частни на O(U) за афинно отворено U. Също така, F (U) е полето от частни на всеки от локалните пръстени O p,x за p U. В комутативната диаграма O(U) ρ p α O p,x F (U) β изображенията α и β са влагания, така че и ρ p е влагане, Q.E.D. Твърдим, че за всяко отворено подмножество U на пред-многообразие X е изпълнено O(U) = p U O p,x. За афинно отворено подмножество твърдението е ясно, защото O(U) се състои от рационалните функции върху X, които са регулярни върху U. В общия случай, нека U = m i=1 U i е афинно отворено покритие. Достатъчно е да проверим, че O(U) = m i=1 O(U i). Включванията O(U) O(U i ) са ясни, а оттам и O(U) m i=1 O(U i). Всеки елемент на m i=1 O(U i) има представители s i O(U i ) за 1 i m, които са съгласувани върху сеченията

5 ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ U i U j. Съгласно аксиомата за сноп, съществува s O(U) с ρ U,Ui (s) = s i или m i=1 O(U i) O(U). По Твърдение 12.5, за произволно отворено U можем да разглеждаме O(U) като подпръстен на F, въпреки, че F не е обезателно полето от частни на O(U) за неафинно U. Полето F съвпада с обединението на O(U) за всички отворени подмножества U X, ако отъждествяваме O(U) с неговия образ в O(V ) за U V. Ще казваме, че функцията f F е регулярна в точка p X, ако f O p,x. Множеството на точките, в които f е регулярна е отворено подмножество на X. Ако f F е регулярна в точка p X, то стойността f(p) е единственото a k, за което f a принадлежи на максималния идеал M p,x на O p,x. Затова можем да разглеждаме O(U) като пръстена на коректно определените регулярни функции U k. Лема Нека (X, O X ) и (Y, O Y ) са пред-многообразия, а f : X Y е непрекъснато изображение. Тогава съществува най-много един морфизъм на пред-многообразия, индуциран от f. Доказателство: Трябва да проверим, че за всяко отворено подмножество U Y, хомоморфизмът f : O(U) O(f 1 U) е еднозначно определен от f : X Y. Ако разглеждаме елементите на O(U) като функции g : U k, то съответните им функции върху f 1 U са f (g) = gf : f 1 U k и принадлежат на O(f 1 U). По този начин, произволен морфизъм на пространства със структурен сноп се определя еднозначно от съответното непрекъснато изображение на топологични пространства, Q.E.D. Произволно затворено неприводимо подмножество Y на пред-многообразие X е пред-многообразие. Локалният пръстен O Y,X = p Y O p,x се състои от онези елементи на F, които са регулярни в поне една точка от Y. Максималният идеал M Y,X на O Y,X се състои от f O Y,X с f(p) = 0 за всички p Y, в които f е регулярна. Всяко отворено подмножество на пред-многообразие е пред-многообразие, но отворено подмножество на афинно многообразие не е обезателно афинно многообразие. Пример Нека X = k 2 е двумерно афинно пространство, U = k 2 \ {0 2 } е допълнението на началото. Тогава O(U) = O(k 2 ) = k[x, y]. Подмножеството U е пред-многообразие, което не е изоморфно на афинно многообразие. Но U се покрива с две главни Зариски отворени подмножества. Това са U x = {(x, y) U x 0} и U y = {(x, y) U y 0}, изоморфни на афинни многообразия. Определение Пред-многообразията, които са изоморфни на отворено подмножество на афинно многообразие се наричат квази-афинни предмногообразия. За да определим структура на пред-многообразие върху топологично пространство X е достатъчно да уточним топологията върху X, функционалното поле F и локалните пръстени O p,x F. Тогава O(U) = p U O p за всяко отворено U X. Още повече, ако X е покрито с афинни отворени подмножества, то локалните пръстени O p са определени за p X. При условие, че са съвместими, тези данни определят структура на пред-многообразие. Следващата лема за слепване дава достатъчни условия за съвместимост, които приличат на условията за слепване на многообразие от евклидови пространства.

6 12. ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ 129 Лема (Лема за слепване) Нека X е неприводимо ньотерово топологично пространство, {U i } i I е крайно отворено покритие на X и за i I съществуват взаимно еднозначни изображения Φ i : V i U i на афинни многообразия V i. Да предположим, че за произволни i, j I са дадени бирационални изображения Φ i,j : V i V j, които са регулярни върху Φ 1 i (U i U j ) и удовлетворяват комутативните диаграми Φ 1 Φ i,j i (U i U j ) Φ 1 j (U i U j ) Φ i Φ 1 j U i U j. Тогава X има единствена структура на пред-многообразие, за която Φ i : V i U i са морфизми, наречени карти. Доказателство: се обединение V i i I Забелязваме, че X съвпада с фактора на непресичащото по релацията Φ 1 i (x) Φ 1 j (x) за x U i U j. Определяме O(U) като пръстена на функциите f : U k, за които f Φ i O(Φ 1 i (U i U)), i I. Остава да проверим, че O е сноп. Наистина, за произволни отворени U W върху X определяме хомоморфизъм на ограничение ρ U,W : O(U) O(W ), полагайки ρ U,W (f) : W k да е ограничението на f : U k. Тогава ρ U,U = Id O(U) и ρ V,W ρ U,V = ρ U,W, така че O е предсноп. За произволно отворено подмножество W X, произволно отворено покритие W = i J W i и произволни s i O(W i ) с ρ Wi,W i W j (s i ) = ρ Wj,W i W j (s j ) за i, j J задаваме s O(W ) като функцията s : W k с s(p) = s i (p) за p W i. Това определение е коректно, защото за p W i W j е в сила s i (p) = ρ Wi,W i W j (s i )(p) = ρ Wj,W i W j (s j )(p) = s j (p). Освен това, ρ W,Wi (s) = s i за i J. Следователно O е сноп върху X, Q.E.D. Твърдение Нека X и Y са пред-многообразия с афинни отворени покрития {U i } i I, съответно, {V i } i I, а f : X Y е непрекъснато изображение, което се ограничава до морфизъм на афинни многообразия f : U i V i. Тогава f е морфизъм на пред-многообразия. Доказателство: Нека V е отворено подмножество на Y. Трябва да проверим, че за всяко Φ O Y (V ) композицията Φf е от O X (f 1 V ). По-точно, ако Φ : V k, то Φf : f 1 V k е в локалния пръстен O p,x на всяка точка p f 1 V, защото p принадлежи на някое U i и сме предположили, че ограниченията f : U i V i са морфизми на афинни многообразия. От Φf O p,x за p f 1 V следва Φf O X (f 1 V ) и f индуцира хомоморфизъм O Y (V ) O X (f 1 V ), Q.E.D. Лема Проективното пространство P n е пред-многообразие. Доказателство: Стандартните афинни подмножества покриват P n. Ако U i = {x = [x 0 :... : x n ] P n x i 0} за 0 i n Φ i : k n U i, Φ ( t 1,..., t n ) = [t 1 :... : t i : 1 : t i+1 :... : t n ] са съответните карти, то Φ i,j = Φ 1 j Φ i : k n k n са ( t1 Φ i,j (t 1,..., t n ) =,..., t i 1, 1, t i+1,..., t j 1, t j+1,..., t ) n t j t j t j t j t j t j t j за i < j,

7 ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ ( t1 Φ i,j (t 1,..., t n ) =,..., t j 1, t j+1,..., t i 1, 1, t i+1,..., t ) n за i > j t j t j t j t j t j t j t j и Φ i,i = Id k n, така че по Лема 12.9 за слепване, P n е пред-многообразие, Q.E.D. Твърдение Ако X и Y са пред-многообразия, то Декартовото произведение X Y има такава структура на пред-многообразие, че за произволни афинни отворени подмножества U X и V Y, влагането U V X Y е морфизъм на пред-многообразия. Доказателство: Разглеждаме топологията върху X Y, чиито отворени подмножества са онези W (X Y ), чиито сечения W (U V ) са отворени в U V за произволни афинни отворени U X и V Y. Ако {U i } i I е крайно отворено покритие на X и {V j } j J е крайно отворено покритие на Y, то {U i V j } (i,j) I J е крайно отворено покритие на X Y. Избираме карти, удовлетворяващи условията от Лема 12.9 за слепване и установяваме, че X Y е пред-многообразие, Q.E.D. За да въведем понятието отделимост на пред-многообразия, трябва да разгледаме тензорното произведение на k-алгебри. Нека k е поле, A и B са k-алгебри, M е линейното пространство над k с базис A B, а N е k-линейното подпространство на M, породено от (a + a, b) (a, b) (a, b), (a, b + b ) (a, b) (a, b ), (λa, b) λ(a, b), (a, λb) λ(a, b) за a, a A, b, b B, λ k. Тогава фактор-пространството A k B = M/N се нарича тензорно произведение на A и B над k. Ако f : A C и g : B C са линейни изображения в пространство C над k, то F = (f, g) : A B C индуцира линейно изображение F : A k B C. По-точно, F : A B C има единствено линейно продължение F : M C, което се анулира върху N. Да напомним, че редицата f g A A A 0 (12.1) е точна, ако Im(f) = f(a ) = Ker(g) и Im(g) = g(a) = A. Може да се провери, че ако (12.1) е точна редица, то f 1 g 1 A k B A k B A k B 0 (12.2) е точна редица. Нека k е алгебрично затворено поле, а X k n и Y k m са афинни многообразия с идеали I(X) k[x 1,..., x n ] и I(Y ) k[y 1,..., y m ]. Тогава Декартовото произведение X Y k n+m е афинно многообразие с идеал I(X Y ) = I(X)k[y 1,..., y m ] + I(Y )k[x 1,..., x n ]. Включването I(X Y ) I(X)k[y 1,..., y m ] + I(Y )k[x 1,..., x n ] е ясно. За обратното включване да допуснем, че полиномът f(x 1,..., x n, y 1,..., y m ) I(X Y ) \ I(X)k[y 1,..., y m ]. С индукция по n представяме полинома d f(x 1,..., x n 1, x n, y 1,..., y m ) = f i (x 1,..., x n 1, y 1,..., y m )x i n чрез полиноми f i (x 1,..., x n 1, y 1,..., y m ) k[x 1,..., x n 1, y 1,..., y m ]. Ако X = {p} k n е точка, то f(p, y 1,..., y m ) I(Y )k[x 1,..., x n ]. Ако X не е точка, то i=1

8 12. ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ 131 съществуват безбройно моного точки от X с фиксирани x 1,..., x n 1 и различни x n. В частност, за произволни различни p n,0,..., p n,d k, от f(x 1,..., x n 1, p n,j, y 1,..., y m ) = d f i (x 1,..., x n 1, y 1,..., y m )p i n,j = 0 i=0 следва f i (x 1,..., x n 1, y 1,..., y m ) I(X Y ) за 0 i d. Прилагайки n пъти горната процедура получаваме, че f I(Y )k[x 1,..., x n ], откъдето I(X Y ) I(X)k[y 1,..., y m ] + I(Y )k[x 1,..., x n ] и I(X Y ) = I(X)k[y 1,..., y m ] + I(Y )k[x 1,..., x n ]. Ще докажем, че ядрото на естествения хомоморфизъм k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ] = k[x 1,..., x n ] k k[y 1,..., y m ] k[x] k k[y ] съвпада с I(X)k[y 1,..., y m ]+I(Y )k[x 1,..., x n ], така че k[x Y ] k[x] k k[y ]. За целта ще използваме следната Лема Нека A B C 0 α φ β ψ φ ψ A B C 0 α φ β ψ A B C 0 γ γ е комутативна диаграма от k-алгебри с точни редове и стълбове. Тогава Ker(γ ψ) = Ker(ψ β ) = Im(β) + Im(ψ). Доказателство: От Im(φ) = Ker(ψ) и Im(β) = Ker(β ) следва, че Im(φ) + Im(β) Ker(γ ψ). Обратно, нека b Ker(γ ψ). Тогава ψ(b) Ker(γ ) = Im(γ) и съществува c C, така че γ(c ) = ψ(b). Но ψ е епиморфизъм, така че съществува b B с ψ (b ) = c. Тогава b = (b β(b )) + β(b ), където b β(b ) Ker(ψ) = Im(φ), съгласно ψ(b) ψβ(b ) = γ(c ) γψ (b ) = γ(c ) γ(c ) = 0. Също β(b ) Im(β). Следователно b Im(φ) + Im(β), Q.E.D. Сега използваме, че точните редици I(X) k[k n ] k[x] 0 и I(Y ) k[k m ] k[y ] 0

9 ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ запазват точността си при тензорно произведение и получаваме комутативната диаграма с точни редове и стълбове I(X) k I(Y ) I(X) k k[k m ] I(X) k k[y ] 0 k[k n ] k I(Y ) k[k n ] k k[k m ] k[k n ] k k[y ] 0 k[x] k I(Y ) k[x] k k[k m ] k[x] k k[y ] Прилагането на Лема към комутативната диаграма (12.3) дава k[x] k k[y ] = k[x 1,..., x n ] k k[y 1,..., y m ]/I(X Y ) = (12.3) k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]/I(X Y ) = k[x Y ]. Произведението X Y на неприводими афинни многообразия X k n и Y k m изпълнява следното универсално свойство: За произволно афинно многообразие Z с регулярни изображения f : Z X и g : Z Y съществува единствено регулярно изображение f g : Z X Y, (f g)(z) = (f(z), g(z)), което затваря комутативната диаграма с каноничните проекции Z f g f g X p X Y q Y p : X Y X, p(x, y) = x, и q : X Y Y, q(x, y) = y. Това следва непосредствено от универсалното свойство на тензорното произведение и изоморфизма k[x Y ] k[x] k k[y ], p k[x] k[x Y ] q k[y ] f k[z] g. Теорема 23. Произведението X Y на пред-многообразия X и Y изпълнява следното универсално свойство: За произволно пред-многообразие Z и произволни морфизми на пред-многообразия f : Z X и g : Z Y съществува

10 12. ПРЕД-МНОГООБРАЗИЯ 133 морфизъм на пред-многообразия f g : Z X Y, който затваря комутативната диаграма Z f f g g X p X Y q Y с каноничните проекции p : X Y X, p(x, y) = x, и q : X Y Y, q(x, y) = y. Доказателство: Първо ще проверим, че p и q са морфизми на пред-многообразия. Наистина, за всяка точка (x, y) X Y съществуват афинни отворени подмножества U X и V Y с x U и y V. Тогава p и q се ограничават до морфизми на афинни многообразия p : U V U и q : U V V. Съгласно Твърдение 12.10, това е достатъчно за да получим, че p : X Y X и q : X Y Y са морфизми на пред-многоборазия. Нека p Z. Вземайки предвид непрекъснатостта на f и g, както и фактът, че афинните отворени подмножества образуват база на топологията върху предмногообразие, получаваме съществуването на афинни отворени подмножества W Z, U X, V Y, така че p W, f(w ) U и g(w ) V. По определението за морфизъм на пред-многообразие, ограниченията f : W U и g : W V са морфизми на афинни многообразия. Тогава U V изпълнява универсалното свойство на произведението на афинни многообразия. Това означава съществуване на морфизъм на афинни многообразия Φ W = f W g W : W U V, затварящ комутативната диаграма W f g Φ W U p U V V q. Непосредствено се вижда, че Φ W = (f g) W е ограничението на f g : Z X Y върху W. Понеже U V е афинно отворено подмножество на X Y, гопните разглеждания са достатъчни за да твърдим, че Φ = f g : Z X Y е морфизъм на пред-многообразия. Условията pφ = f и qφ = g гарантират единствеността на Φ, Q.E.D.

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n,

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, d n )} n Z от леви (десни) R-модули C n и R-модулни

Подробно

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи на R е мултипликативно затворено и локализацията S 1

Подробно

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, освен ако не е специално указано. Да напомним, че асоциативен

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни степени, са необходими някои предварителни сведения

Подробно

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремата на Хилберт за нулите. Междувременно, направената

Подробно

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, 13-14 уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означените действия: (i ( + i + ( i ; (ii (1 + i 3 (1 i 3 ; (iii

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции.

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Да напомним, че u O n точно когато u(0 n ) 0 В такъв

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 +

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + Примерни задачи за линейни изображения - 21-211 уч год Задача 1 В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + e 2 + pe 3, a 2 = e 1 + e 2 + (p + qe 3, a 3 = 2e 1 + 3e

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теорията на изчислимостта, които ще се предполагат известни

Подробно

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение 10.1. Множеството Zf = {[x : y : z] P k fx, y, z = 0} на нулите на евентуално разложим хомогенен полином fx, y, z k[x,

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр

Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непрекъснатост. За целта да напомним, че произволна n-торка

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Microsoft Word - DIS.doc

Microsoft Word - DIS.doc Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно