ВЪЛНИ

Препис

1 9. ВЪЛНИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ВЪЛНОВОТО ДВИЖЕНИЕ. ВИДОВЕ ВЪЛНИ. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЧУПВАНЕ. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ. Вълни: характеристики на вълновото движение. В предходна лекция бяха разгледани трептенията на дадено тяло (материална точка), без да се отчита дали то се намира в някаква среда. Ако трептящото тяло се намира в дадена точка на непрекъсната еластична среда, то привежда всички допиращи се до него частици от средата в трептеливо движение, тъй като между частиците на средата съществуват сили на взаимодействие, които оказват съпротивление срещу всякакъв вид деформации. При трептенето тялото предизвиква отклонение от равновесните им положения на най-близките до него частици, вследствие на което в съседните на тялото области се появяват периодични деформации (свиване и разтягане). Като резултат от това в средата възникват еластични сили, стремящи се да върнат деформираните области към първоначалното състояние на равновесие. Така всички частици от средата започват да трептят около равновесните си положения, повтаряйки с известно закъснение хармоничните трептения на тялото, намиращо се в дадената точка на средата. Това тяло изпълнява ролята на източник или център на разпространяващия се вълнов процес. Вълнообразното движение се състои в предаване на трептения от една частица на средата на другите частици и се нарича още механична вълна. Ако трептенето, което извършват отделните частици на средата е хармонично, то и механичната вълна се нарича хармонична вълна. Колкото по-далеч от източника се намира дадена частица, толкова по-късно тя ще започне да трепти. В такъв случай фазите на трептене на източника и на частиците от средата ще бъдат различни. При предположение, че в средата няма загуба на енергия, амплитудите на трептенията на източника и различните частици на средата ще се запазват постоянни с времето. Следователно, за да се наблюдават вълни в дадена еластична среда, т.е. частиците ѝ да започнат да трептят, е необходимо да се внесе източник (трептящо тяло) в нея. Енергията на източника се предава от частица на частица и се разпространява в средата, т.е. частиците от средата трептят около равновесните си положения, а при самия вълнов процес (разпространението на трептението) се пренася енергия, а не маса, както изглежда на пръв поглед. В зависимост от характера на възникващите еластични деформации вълните биват надлъжни и напречни. При надлъжните вълни частиците на средата трептят по направлението, в което се разпространяват вълните. При напречните вълни частиците на средата трептят в направление, което е перпендикулярно на това, в което се разпространяват вълните. В зависимост от областта, която обхващат вълните при разпространението си, те могат да бъдат разделени и по друг признак обемни, когато обхващат целия обем на средата (пример - звуковите вълни), и повърхнинни, ако обхващат само повърхностния ѝ слой (например, вълните върху водна повърхност), а ако трептенията се разпространяват само в посока на дадена линия - за едномерна или линейна вълна (например, разпространение на трептения по направление на опъната струна). Тъй като всяка частица на средата, в която се извършва вълнообразно движение извършва трептене, то при описание на вълнообразното движение се използват всички понятия, които се използват и при описание на трептенията елонгация, амплитуда, период, честота, кръгова честота, фаза, начална фаза, скорост и ускорение на трептенето и т.н. С такива понятия се описва трептенето, което извършват отделните частици на средата, но наред с тези понятия, за описание на вълнообразното движение се въвеждат и други понятия. Ако преди източникът да започне да трепти, всички точки на средата са неподвижни, след започване на трептенето то обхваща останалите точки на средата постепенно. Във всеки момент време съществува граница между частта от средата, която вече извършва вълнообразно движение и частта от средата, която е неподвижна, защото вълнообразното

2 движение още не е достигнало до нея. Тази граница се нарича фронт на вълната. Фронтът на вълната се движи с определена скорост υ, която се нарича скорост на разпространение на вълната или само скорост на вълната. Фронтът на вълната може да има различна форма сферична, плоска, или друга. Когато фронтът има сферична форма, казваме, че и вълната е сферична. Ако фронта има форма на равнина, говорим за плоска вълна. При вълнообразно движение частиците на средата трептят с различна фаза. Близо разположени една да друга точки трептят почти еднакво, но разположените далеч една от друга точки могат да имат силно различаващи се фази на трептене. Например, ако в един момент време дадена точка преминава през началното си положение, то други точки в същото време вече са стигнали до една от крайните точки на отклонението си, трети вече се връщат към началното положение и т.н. Точките от средата, които трептят с еднаква фаза образуват непресичащи се повърхнини, които се наричат фазови повърхнини. Фазовите повърхнини, както и фронта на вълната се движат със една и съща скорост υ скоростта на разпространение на вълната. Разстоянието, на което се преместват фазовите повърхнини (а също и фронта на вълната) за един период на трептене T се нарича дължина на вълната. От даденото определение следва, че: υ = υt =, υ = ν ν където, ν е честотата на трептенията. Уравнение на вълната. Разглежда се най-простият случай на разпространение на трептението плоска хармонична напречна вълна, разпространяваща се в дадена посока (напр. оста X на избраната отправна система). Всяка точка, до която е достигнала вълната в даден момент ще започне да трепти по оста Y, перпендикулярна на X. Уравнението на вълната (уравнението на движение на всички частици от средата, до които е достигнала вълната) трябва да е функция не само на времето t (както при трептението), а и на разстоянието x, на което се намира дадена точка от източника на трептения (началото на координатната система) y = f(x,t). В този случай (плоска хармонична вълна), всички точки от средата, до които достига вълновият процес, повтарят трептенията на източника с известно закъснение, тъй като те се намират на различни разстояния от източника. Трептения им започват след различни интервали от време, които променят съответно фазите им (началната фаза на трептението на всяка точка зависи от разстоянието x), т.е. ако се знае уравнението на трептене на източника и скоростта υ на разпространение на вълната, може да се получи уравнението на трептене на всяка точка от средата в даден момент от време това е и уравнението на вълната. Нека една едномерна напречна вълна се разпространява по направление на оста x. Източникът на трептене се поставя в началото на координатната система, т.е. в частица с координата x = 0. Уравнението на движение на тази частица ще бъде: y = Acosω t x След време t =, където υ е скоростта на разпространение на трептенето, то ще υ достигне до точка с координата x, за която уравнението на движение ще има вида: x y = Acos ω t. υ Този израз може да се преобразува във вида: x ω y = Acos ω t = Acos ω t x = Acos( ω t kx). υ υ Това уравнение се нарича уравнение на едномерна вълна.

3 Фиг. Величните, посредством които се описва вълната, се наричат параметри на вълната. Те са следните: o y - отклонение на частиците от равновесното им положение; o А - амплитуда - максималната стойност на отклонението; o ( ω t kx) - фаза на вълната; o ω - кръгова честота - броя на трептенията, които се извършват за π секунди; ω o k = - вълново число; υ o - дължина на вълната; Движението на частици с координати x и x, които трептят във фаза (по един и същ начин), се описва с изразите: ϕ = ω t kx ϕ = ω t kx ϕ = k( x x ) = π m, където m =,,3,... е цяло число. За m =, x x =, тогава се получава: π k = π или k = Величината се нарича дължина на вълната и представлява разстоянието, на което фазата на вълната се изменя с π. С други думи, дължина на вълната е разстоянието, между две най-близки точки, които трептят с една и съща фаза. o T - период на вълната; Може да се опише движението на една частица с координата x в два момента от време, за които трептенията са във фаза. ϕ = ω t kx ϕ = ω t kx ϕ = ω ( t t ) = π m, където m =,,3,... е цяло число. За m =, интервалът от време t t = T е най-краткото време, след което трептенето на частицата се повтаря по същия начин. Това време се нарича период на вълната. Оттук се получава: ωт = π, или ω π π =, или T =. T ω o Фазова скорост; Разглежда се фазата на вълната: ϕ = ω t kx 3

4 и изразът се диференцира по времето. Получава се следното: dϕ = ω dt k dx За две частици, които трептят във фаза, т.е. d ϕ = 0, се получава: dx ω υ = = dt k Тази величина се нарича фазова скорост на вълната. Тя може да бъде изразена още по следния начин: ω π υ = = = k T π T Фазовата скорост е равна на разстоянието, на което се разпространява вълната за време, равно на период. За хомогенна среда тя е константа. Фазовата скорост на вълната и скоростта на трептене на частиците са две различни величини. Скоростта на трептене на частиците е променлива величина и има следния вид: π υt = Aω0 cos ω0t + ϕ +. Скоростта, с която се разпространява механичната вълна в различните материални среди, зависи от техните еластични свойства. В твърдите тела и течностите механичните вълни се разпространяват по-бързо в сравнение с газовете. Това е естествено, тъй като частиците при тях са разположени по-близо една до друга и трептенията се предават побързо. За газове и течности скоростта се определя от следните изрази: p K υгаз = ; υтечност =, ρ ρ където p и ρ са измененията на налягането и плътността в газовата среда, а К модулът на обемна деформация на течностите. В твърдите тела се разпространяват както надлъжни, така и напречни механични вълни, чиято скорост се определя от аналогични изрази: E G υтв. т = ; υтв. т =, ρ ρ където Е и G са съответно модулите на еластичност при надлъжна и напречна деформация. При преход на механичната среда от една среда в друга нейната честота се запазва постоянна, а дължината на вълната се изменя пропорционално на скоростта на разпространение: υ = υ Видове вълни. В зависимост от това, какви са посоките на трептене и разпространение на вълната, се разграничават два вида вълни: напречни и надлъжни. - напречни вълни (Фиг.В): посоката на трептене на частиците на средата е перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната Напречните вълни се разпространяват само в твърди тела, които имат еластичност на формата. Примери: гумен шнур, единият край на който е закачен на опора, се привежда в колебателно движение посредством прилагане в другия му край на променлива сила, перпендикулярна на дължината му; сеизмични вълни, разпространяващи се в земната кора при земетресения, повърхностни водни вълни, при които еластичността на формата се поддържа от силата на тежестта и силите на повърхностно напрежение, които се стремят да възстановят хоризонталната повърхност на течността. 4

5 Фиг. При напречните вълни частиците на средата не се преместват по посока на разпространение на вълната. Трептенето на всяка следваща частица изостава по фаза по отношение на предишната. Вследствие на това се образуват гребени и падини на вълната, които се преместват по направлението на разпространение и могат да бъдат наблюдавани зрително. Напречните вълни могат да се разпространяват само в твърди еластични среди. - надлъжни вълни (Фиг.А): посоката на трептене на частиците на средата е еднаква с посоката на разпространение на вълната. Примери: вълни, разпространяващи се при свиване и разпъване на пружина,звукови вълни и др. Надлъжните вълни, за разлика от напречните, могат да се разпространяват както в твърди, така и в течни и газообразни среди. Механичните вълни не могат да се разпространяват във вакуум!!! Отражение на вълни. Отражение на вълна се нарича явлението, при което разпространяваща се в дадена среда вълна достига границата на средата и предизвиква поява на нова вълна в същата среда (фиг. 3). Вълната, която се разпространява към границата на средата, се нарича падаща вълна, а вълната, която се отдалечава от границата отразена вълна. Дължината на отразената вълна е равна на дължината на падащата вълна. Тъй като двете вълни се разпространяват в една и съща среда, скоростите им са υ еднакви и от формулата ν =, следва, че и честотите на падащата и отразената вълна са равни. 5

6 Фиг. 3 Посоките на разпространение на падащата и на отразената вълна се определят от техните лъчи, наречени за краткост падащи лъчи и отразени лъчи (фиг. 3). Ъгълът между падащия лъч и перпендикуляра към границата се нарича ъгъл на падане, а ъгълът между отразения лъч и същия перпендикуляр ъгъл на отражение. При отражение на механични вълни са в сила известните от оптиката закони за отражение:. Отразеният лъч, падащият лъч и перпендикулярът към границата лежат в една равнина.. Ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение. Принцип на суперпозицията. Фиг. 4 Принципът на суперпозицията е един от най-общите принципи във физиката. Найпросто формулировката му гласи: Резултатът от въздействието на няколко сили е сумата от тях. В линейни среди вълните се разпространяват независимо една от друга, т.е. вълните не изменят свойствата на средата, а всяка вълна се разпространява така, като че ли другата не 6

7 съществува. Това позволява да се изчисли резултантната вълна като сума на всички вълни, разпространяващи се в дадена среда. Важно е да се отбележи, че този принцип е в сила само при линейни системи. Това означава, че когато се търси резултатът C от влиянието на явленията (или сили, материални обекти) A и B, резултатът C не трябва да зависи от взаимодействието между A и B. Само тогава важи принципа на суперпозицията, т.е. F C = F A +F B. Всички точки от фронта трептят в една и съща фаза, но в дадена точка от екрана те ще пристигат с фазова разлика, поради разликата в разстоянията, които ще изминат от различни точки на отвора. Когато фазите съвпаднат се получава ярко петно, а когато се настигнат с 80º разлика, взаимно се гасят и така се получава дифракционна картина от поредица от максимуми и минимуми. Принцип на Хюйгенс-Френел. Принципът, който Хюйгенс въвежда през 678 и по-късно е допълнен от Френел се формулира така: Всеки елемент от вълновия фронт може да се разглежда като център на вторично трептене, пораждащо вторични сферични вълни, а полученото вълново поле във всяка точка от пространството ще се определя от наслагването (суперпозицията) на тези вълни. Фронтът на вълната на точковия източник в еднородно пространство представлява сфера. Амплитудата във всяка точка от този сферичен фронт е еднаква. Wave refraction in the manner of Huygens Пречупване (рефракция) Wave diffraction in the manner of Huygens and Fresnel Фиг. 5 Интерференция на вълни. Досега се разглеждаха случаи, когато в дадена среда се разпространява само една вълна (от един източник). Ако в средата се намират два или повече източника, в някои точки от пространството около тях вълните се пресичат, т.е. тези точки ще участват едновременно в няколко трептения. Като се има предвид, че трептенията могат да се представят и векторно, може да се използва принципа на суперпозицията за получаване на резултантните трептения на частиците в тези точки. След точките на наслагването всяка от вълните продължава разпространението си в своята посока независимо от другите. Опитът показва, че при пресичането на две или повече вълни, те не взаимодействат помежду си и поведението на всяка от тях е такова, каквото би било и в отсъствие на другите (това се отнася само за среди, които не променят свойствата си от разпространяващите се в тях вълнови процеси). 7

8 Ще бъде разгледан най-простия случай когато в дадена точка се наслагват трептения, породени от две плоски хармонични вълни y = A cos( ωt kx + ϕ) = A cos Φ, y = A cos( ωt kx + ϕ ) = A cos Φ разпространяващи се в еднородна среда, т.е. в тази точка трябва да се съберат две хармонични трептения. Ако тези трептенията са в една посока, може лесно да се получи амплитудата на резултантното трептение: A A = A + A + A cos Φ. Вижда се, че амплитудата A на резултантното трептение зависи от фазовата разлика на двете вълни в тази точка: Φ = Φ ( ω ω ) + ( k x k x ) + ( ϕ ) Φ = ϕ t. Ако фазовата разлика ΔΦ зависи от времето t, във всеки момент от време и във всяка точка от средата cosδφ ще се изменя непрекъснато от минималната си стойност до максималната и средното му значение за всеки краен интервал от време ще бъде 0. Тогава A ще има една и съща стойност във всички точки от средата (съответно за интензитета I на вълната ще се получи I = I + I ). Ако фазовата разлика ΔΦ не зависи от времето, вълните се наричат кохерентни. Вижда се, че това е възможно само ако двете вълни имат еднакви честоти (ω = ω = ω, ω = πν). Тъй като средата е еднородна, скоростите на разпространение на двете вълни (фазовите скорости) също трябва да са равни υ = υ = υ. Но в такъв случай и вълновите числа на двете вълни трябва да са равни k = k = k. Тогава изразът за фазовата разлика ще придобие вида: Φ = k ( x x ) + ( ϕ ϕ ), т.е. фазовата разлика на двете кохерентни вълни зависи само разликата в пътищата на вълните до дадената точка Δ= x x. Двете константи ϕ и ϕ зависят само от началния момент на двете трептения, породили вълните y и y (това са началните фази на тези трептения), и са едни и същи за всички точки от средата. Ако може да се синхронизират двата източника така, че да започнат трептенията си в един и същ момент, началните им фази ϕ и ϕ ще бъдат равни и изразът за Φ ще се опрости: π Φ = k x x = =. ( ) k Ако за дадена точка от средата Δ има такава стойност, че ΔΦ = mπ, cosδφ = и амплитудата A на резултантното трептение и интензитетът I на вълната в тази точка във всеки момент от време ще бъдат: A = A + A + A A = A + A > A + A, I = I + I + II > I + I т.е. в тази точка се наблюдава усилване на трептенията (и следователно увеличаване на енергията в тази област) в сравнение с наслагването на некохерентни вълни. В точките, в които Δ има такава стойност, че ΔΦ=(m+)π, cos ΔΦ=, амплитудата на резултантното трептение A и интензитетът I на вълната във всеки момент от време ще бъдат: A = A + A A A = A + A < A + A I = I + I II < I + I и ще се наблюдава отслабване на трептенията (намаляване на енергията в тези области) в сравнение с наслагването на некохерентни вълни. Явлението, при което се наблюдава преразпределение на енергията на вълните в средата, вследствие наслагването на две или повече кохерентни вълни се нарича интерференция. Точките, в които се наблюдава 8

9 усилване на трептенията (увеличаване на енергията и интензитета на вълната), се наричат интерференчни максимуми, а тези, в които се наблюдава отслабване на трептенията (намаляване на енергията и интензитета на вълната) интерференчни минимуми. Местоположението на тези точки се определя само от разликата Δ в пътищата на двете (или повече) вълни от източника до съответната точка. Лесно може да се получат условията за минимум и максимум. Интерференчен максимум се наблюдава в тези точки, за които ΔΦ = mπ: π Φ = mπ = = m = m т.е. в тези точки, за които разликата в пътищата на вълните е четно число полувълни. В точките, за които ΔΦ = (m+)π, ще се наблюдава интерференчен минимум: π Φ = ( m + ) π =, = (m + ) т.е. точките, за които разликата в пътищата на вълните е нечетно число полувълни. Стояща вълна. Ето един интересен в практическо отношение случай на интерференция когато се наслагват две плоски кохерентни бягащи вълни с еднакви амплитуди, които се разпространяват в противоположни посоки. Явлението се наблюдава при отражение на вълна от преграда, която е перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната, и се нарича стояща вълна. Може да се определи резултатът от интерференцията на две такива вълни y и отразената вълна y, разпространяващи се в двете противоположни посоки на оста Х (допуска се, че в средата, в която се разпространяват вълните, няма загуба на енергия). Ако падащата вълна е хармонична, отразената вълна също е хармонична, със същата честота и тогава е изпълнено условието за тяхната интерференция. Фиг. 6 На фиг.6 се вижда резултатът от такава интерференция в случая на вълна, разпространяваща се по шнур. Разтрептяването на свободния край на шнура създава вълна, която достига неподвижния край, отразява се в обратна посока и интерферира с падащата вълна. В точките В, В и т.н. се получават интерференчни минимуми, а в точките С, С и т.н. интерференчни максимуми. В минимумите каучуковият шнур е неподвижен, а в максимумите амплитудата на трептенията е най-голяма. Положенията на тези минимуми и максимуми не се изменят с времето. И така: всички части на шнура трептят с еднакви честоти, а амплитудите им са между нула и една максимална стойност. Те едновременно минават през равновесните си положения, едновременно големините на отклоненията им стават равни на съответната за всяко място амплитуда и т.н. Във всеки момент формата на каучуковия шнур се описва със 9

10 синусоида. Същият резултат се получава и при изследване на трептенията на струна, опъната нишка и т.н. Стояща вълна се нарича вълната, която възниква в резултат от интерференцията на падаща и отразена вълна, разпространяващи се в противоположни посоки. Интерференчните минимуми, в които струната е неподвижна, се наричат възли на стоящата вълна, а интерференчните максимуми върхове на стоящата вълна. Разстоянието между два съседни възела е равно на половин дължина на падащата или на отразената вълна. Стоящата вълна не пренася механична енергия, защото колкото енергия пренася падащата вълна в едната посока, толкова енергия пренася отразената вълна в обратна посока. При бягаща вълна източникът трябва непрекъснато да извършва работа, за да може трептенията да се разпространяват все по-надалече. При стояща вълна обаче източникът на вълната извършва работа само докато се образува стоящата вълна. Дифракция. Дифракция, от лат. diffractus, буквално означава счупен, пречупен. Дифракцията е отклонението на вълни от праволинейното им разпространение в пространството, проявяващо се най-силно при дължина на вълната, близка до размера на някаква нееднородност на средата. Пример за дифракция е промяната в посоката на разпространение на вълната при преминаване през отвор. Дифракцията се наблюдава при всички вълни, независимо от техния характер. Най-добре изучена е дифракцията при светлинните и звуковите вълни. Дифракцията представлява интерференция на голям брой кохерентни вълни, затова тя не се различава принципно от явлението интерференция. Рисунката на експеримента на Томас Юнг, 803 Фиг. 7 Фиг. 8 0

11 Първоначално се тълкува като отклонението на вълните от праволинейното им разпространение при препятствия, проникването на вълната в геометричната сянка. Проявява се най-силно, когато преградите или отворите са близки по размер до дължината на вълната. Тези схеми показват как влияе големината на преградите/отворите върху характера на дифракцията. Дифракция възниква заради начина, по който се разпространяват вълните. Той се описва от принципът на Хюйгенс-Френел и принципът на суперпозиция на вълните. Фиг. 9 Каква е разликата между дифракция и интерференция? Всъщност и според квантовият физик Ричард Файнман никой никога не е бил в състояние да определи разликата между интерференция и дифракция задоволително. Това е просто въпрос на приемане, без съществена разлика във физическата същност на двете явления и двете се изразяват в преразпределение на интензивността на вълновия поток чрез наслагване (суперпозиция) на кохерентни вълни. Кохерентност означава съгласуваност. Две или повече колебания са кохерентни, ако разликата на техните фази остава постоянна във времето. Прието е, че когато суперпозиция на вълните е предизвикана от краен брой отделни кохерентни източници да се нарича интерференция, а дифракция когато е налице суперпозиция на вълни от непрекъсната област от източници. Например, когато има два тесни отвора е интерференция, а при един отвор дифракция.