Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИ
|
|
- Господин Марев
- преди 5 години
- Прегледи:
Препис
1 Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ Информационните технологии инструментариум за решаване на математически проблеми 51. Средно училище Елисавета Багряна София Резюме. Статията разглежда възможности за решаване на различни класове уравнения линейни, квадратни, биквадратни и приведими към тях, с различни методи за решаване по достъпен и усвоим начин, използвайки технологии от учебното съдържание. За целта може да бъде използван и специализиран софтуер. Показани са примери за решаване на конкретни задачи с помощта на Excel и Geogebra. Keywords: curriculum of mathematics; classes of equations; specific models; technology; software; Geogebra; Excel В учебното съдържание по математика е залегнало изучаването на определени класове уравнения линейни, квадратни, биквадратни и приведими към тях. С усвояването на материала учениците осъзнават, че изброените видове са една безкрайно малка част от видовете уравнения, които би ни се наложило да решаваме при анализиране на конкретни модели от практиката. Ето защо е добре да се запознаем с други методи за решаване на уравнения по достъпен и усвоим начин с използването на технологии от учебното съдържание. Можем да използваме и специализиран софтуер. Да започнем с дефинирането на задачата: Да се реши уравнението 4x 3-8x+1=5x 4-16x Видно е, че това уравнение от IV степен е нерешимо чрез методите, изучавани в средното образование по математика, I равнище. Ще използваме изучавания в часовете по информационни технологии модул MS Excel. Лявата страна на уравнението ще представим като функция f(x), чийто аргумент е в интервала [-10;10]. Аналогично дясната част на уравнението ще представим като функция g(x), чийто аргумент е в интервала [-10;10]. 439
2 Конкретното изпълнение на проблема е таблица, структурирана по следния начин. В първата колонка ще са стойностите на аргумента на двете функции с начална стойност -10 и крайна стойност +10 и стъпка на нарастване +0,01. Във втората колонка ще е стойността на функцията f(x) за конкретната стойност на аргумента от I колонка. В третата колонка ще е стойността на функцията g(x) за конкретната стойност на аргумента от II колонка. Тъй като ни интересува кога двете функции се пресичат, създаваме колона IV, в която пресмятаме разликата между текущата стойност на f(x)-g(x), т.е. намираме разликата между стойностите във II и III колонка. Тъй като ще имаме 2000 реда при попълване на таблицата и за да облекчим навигацията, е добре да създадем някакъв маркер, по който да се ориентираме кога стойността от колонка IV се приближава към 0, т.е. се приближава до решението на зададеното уравнение. Това ще реализираме с условен оператор if и ще проверяваме дали за аргумента x е изпълнено условието f(x)-g(x) <0,5 или 0,5<f(x)-g(x)<0,5. Ако е изпълнено условието, ще се записва стойността f(x)-g(x), в противен случай интервал, т.е. празна клетка. След това ще филтрираме информацията от V колонка. Илюстрираме функциите с изчертаване на графики на f(x) и g(x) за интервалите, които удовлетворяват горното условие. Важно е да се отбележи, че този метод е приблизителен и точността му зависи от интервала на аргумента на функциите и стъпката на нарастване. Илюстрираме електронната таблица с фрагмент от нея: 440
3 Графичен метод за решаване на уравнения Същата таблица с показани формули: Ще илюстрираме пресичането на двете графики само в участъците на сближаване на двете графики. За първия участък имаме пресичане на графиките за x=-1,65 441
4 За втория участък имаме пресичане при x= -0,19 За третия участък имаме пресичане при x=0,67 В четвъртия участък имаме пресичане на графиките за x=1,
5 Графичен метод за решаване на уравнения Можем да обобщим. Приблизителните решенията на уравнението са 4 и те са: x 1 =-1,65 x 2 =0,19 x 3 =0,67 x 4 =1,96 Ще продължим темата с представянето и демонстрирането на част от възможностите на приложението Geogebra. В последните две години в учебното съдържание залагам поне два урока с използването на тази програма за VI и VII клас, както и за по-големите ученици. Наблюдението ми е, че децата се справят успешно с предлаганите задачи и продуктът поражда у тях интерес заради графичните възможности и създаването на динамични геометрични модели. Сега обаче ще разгледаме друга възможност на Geogebra. А именно ще построим функциите f(x) и g(x), ще определим пресечните точки с техните координати, и по-специално техните абсциси, представляващи решенията на зададеното уравнение. Резултатите от действията си ще визуализираме с прозореца: От показаното е видно, че резултатите се потвърждават с използването на Geogebra. Моето лично мнение е, че децата трябва да се запознават с този продукт веднага след началния етап. По този начин ще заучават по-лесно свойствата 443
6 на геометричните фигури, построителните методи и изследването на различните варианти на съществуване на геометричните обекти. Използването на Geogebra ще възбуди интереса към математиката и ще задълбочи познанията на учениците, ще ги вдъхнови за изследване. Удачно е софтуерният продукт Geogebra да влезе в учебната програма по информационни технологии, създавайки междупредметна връзка с предмета математика. A GRAPHIC METHOD FOR SOLVING EQUATIONS Information technologies a tool for solving mathematical problems Abstract.The curriculum of mathematics is based on the study of certain classes of equations linear, square, birch and editable. By learning the material, students realize that the types listed are an infinitely small part of the kinds of equations we would have to solve when analyzing specific models of practice. Therefore, it is good to get acquainted with other methods of solving equations in an accessible and digestible way, using technology from the curriculum. We can also use specialized software. A few examples, using Geogebra and Excel are summarized. Mr. Krassimir Dimitrov Mathematics and ICT Teacher 51. Secondary School Elisaveta Bagriyana Sofia, Bulgaria sou51@abv.bg 444
I
. Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване
Подробно036v-b.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,
ПодробноПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ
. Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за
Подробногодишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок
годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока
ПодробноMicrosoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноОБРАЗОВАНИЕ И НАУКА ЗА ЛИЧНОСТНО И ОБЩЕСТВЕНО РАЗВИТИЕ Национална научна конференция гр. Смолян, октомври, 2017 г. ИЗПОЛЗВАНЕ НА ИНТЕРАКТИВНИ КО
ОБРАЗОВАНИЕ И НАУКА ЗА ЛИЧНОСТНО И ОБЩЕСТВЕНО РАЗВИТИЕ Национална научна конференция гр. Смолян, 27 28 октомври, 2017 г. ИЗПОЛЗВАНЕ НА ИНТЕРАКТИВНИ КОМПЮТЪРНИ ТЕХНОЛОГИИ ПРИ ПРЕПОДАВАНЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ
ПодробноМАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the U
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceeings of the Thirty Fifth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 5 8,
ПодробноЛинейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс
. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик
ПодробноПроект BG05M20P Подкрепа за успех ГРАФИК НА ЧАСОВЕТЕ ЗА ДОПЪЛНИТЕЛНОТО ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОЕКТ ПОДКРЕПА ЗА УСПЕХ В ОБЕДИНЕНО УЧИЛИЩЕ ХРИСТО Б
ГРАФИК НА ЧАСОВЕТЕ ЗА ДОПЪЛНИТЕЛНОТО ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОЕКТ ПОДКРЕПА ЗА УСПЕХ В ОБЕДИНЕНО УЧИЛИЩЕ ХРИСТО БОТЕВ СЕЛО ДЪЛГО ПОЛЕ, ОБЩИНА КАЛОЯНОВО, ОБЛАСТ ПЛОВДИВ 1. ГРУПА ПО БЪЛГАРСКИ ЕЗИК И ЛИТЕРАТУРА II КЛАС
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
ПодробноМашинно обучение Лабораторно упражнение 4 Линейна регресия и градиентно спускане Целта на упражнението е да се реализира линейна регресия, в която фун
Машинно обучение Лабораторно упражнение 4 Линейна регресия и градиентно спускане Целта на упражнението е да се реализира линейна регресия, в която функцията на цената се минимизира чрез градиентно спускане.
ПодробноISSN
FRI-9.3-1-THPE-13 ANALYTICAL PRESENTATION OF THE DIMENSIONLESS CHARACTERISTICS OF CENTRIFUGAL FANS Prof. Gencho Popov, PhD E-mail: gspopov@uni-ruse.bg Assoc. Prof. Kliment Klimentov, PhD Е-mail: kklimentov@uni-ruse.bg
Подробно17
ЩЕ ИЗЧЕЗНЕ ЛИ БЪЛГАРСКАТА НАЦИЯ ПРЕЗ XXI ВЕК? Доц. д-р Стефан Стефанов катедра "Математика и статистика" СА "Д. А. Ценов" - Свищов (Продължение от брой 4/2003) Резюме: В работата се разглеждат измененията
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
ПодробноМашинно обучение - въведение
Линейна регресия с една променлива Доц. д-р Ивайло Пенев Кат. Компютърни науки и технологии Пример 1 Данни за цени на къщи Площ (x) Означения: Цена в $ (y) 2104 460 000 1416 232 000 1534 315 000 852 178
Подробноr_AcademicCurriculum_BG
Утвърден от Академичния съвет на УАСГ Confirmed by Academic Council of UACEG Дата Date Утвърждавам Ректор Confirmed by Rector... / проф. д-р инж. Иван Марков / Prof. Dr. Eng. Ivan Markov ХИДРОТЕХНИЧЕСКИ
Подробно16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)
ПодробноMicrosoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc
7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ
ПодробноМАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp SECTION MATHEMATICS AND PHYSICS MATRIX GAME, EQUILIBRIUM AND COMPUTER REALIZATION OF WOLFRAM MAT
МАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp. 137-142 SECTION MATHEMATICS AND PHYSICS MATRIX GAME, EQUILIBRIUM AND COMPUTER REALIZATION OF WOLFRAM MATHEMATICA YANITSA М. MANDZHUKOVA, RADOSLAVA S. TERZIEVA,
ПодробноMicrosoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc
Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна
ПодробноОсновен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1
Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени
ПодробноМАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp SECTION MATHEMATICS AND INFORMATICS EDUCATION TASK-SOLVING COMPETENCE AND APPLICATION OF TASK- S
МАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp. 285-289 SECTION MATHEMATICS AND INFORMATICS EDUCATION TASK-SOLVING COMPETENCE AND APPLICATION OF TASK- SOLVING METHODS TODOR L. TRAYCHEV ABSTRACT: The article
ПодробноM10_18.dvi
СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...
ПодробноПрезентация на PowerPoint
Професионално учителско портфолио на Стоилка Гелова старши учител по математика в ОУ Митрополит Авксентий Велешки гр. Самоков Съдържание : Представяне Образование Професионален опит и стаж Моята философия
ПодробноНАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 4 Сравнително изследване на някои от характеристиките на измервателните системи за позиц
Сравнително изследване на някои от характеристиките на измервателните системи за позициониране и навигация на автомобили Даниел Любенов, Митко Маринов A comparative study of some characteristics of the
ПодробноХТМУ Светослав Ненов Навигация Диференчни схеми Начална страница Курсове Математика Диференчни схеми Уравнение на топлопроводимост FTCS схема Настройк
ХТМУ Светослав Ненов Навигация Диференчни схеми Начална страница Курсове Математика Диференчни схеми Уравнение на топлопроводимост FTCS схема Настройки FTCS схема Календар Разглеждаме едномерната задача
ПодробноПриложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле
Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисления върху уравненията за отравяне на ядрения реактор
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >
ПодробноMicrosoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
ПодробноУТВЪРДИЛ Директор: (Име, фамилия, подпис) Първи учебен срок 18 седмици х 4 часа седмично = 72 часа ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ по учебния предмет
УТВЪРДИЛ Директор: (Име, фамилия, подпис) Първи учебен срок 18 седмици х 4 часа седмично = 72 часа ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ по учебния предмет математика за 1. клас по ред Учебна седмица по ред
ПодробноMicrosoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc
Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0
Подробног. Несинусоидални режими в електрическите вериги 1 / 16 Ред на Фурие Несинусоидални режими в електрическите вериги Несинусоидални сигнали До
11.4.016 г. Несинусоидални режими в електрическите вериги 1 / 16 Ред на Фурие Несинусоидални режими в електрическите вериги Несинусоидални сигнали До този момент разглеждахме електрически вериги, захранвани
Подробно8 клас
............ трите имена на ученика клас училище Прочетете внимателно указанията, преди да започнете решаването на теста! Формат на теста Тестът съдържа 7 задачи по математика. 7 задачи от двата вида:
ПодробноПроект BG05M20P Подкрепа за успех 30. СРЕДНО УЧИЛИЩЕ БРАТЯ МИЛАДИНОВИ Приложение 2 ПРОГРАМА И ГРАФИК НА ДОПЪЛНИТЕЛНОТО ОБУЧЕНИЕ ПО БЪЛГА
ПРОГРАМА И ГРАФИК НА ДОПЪЛНИТЕЛНОТО ОБУЧЕНИЕ ПО БЪЛГАРСКИ ЕЗИК И ЛИТЕРАТУРА НА ГРУПА С УЧЕНИЦИ ОТ 9 КЛАС Място на Брой ове Възраждането в България причини за възникването му, ролята и следиците от него,
Подробно14
ЩЕ ИЗЧЕЗНЕ ЛИ БЪЛГАРСКАТА НАЦИЯ ПРЕЗ XXI ВЕК? Доц. д-р Стефан Стефанов катедра "Математика и статистика" СА "Д. А. Ценов" - Свищов (Продължение от брой 1/003) Резюме: В работата се разглеждат измененията
ПодробноHomework 3
Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016
ПодробноУЧЕБНА ПРОГРАМА ПО ИНТЕРАКТИВЕН ГРАФИЧЕН ДИЗАЙН ЗА II КЛАС (ВЪВЕЖДАНЕ НА ДИСЦИПЛИНАТА ПО ПРОЕКТ ИНОВАТИВНО УЧИЛИЩЕ ) КРАТКО ПРЕДСТАВЯНЕ НА УЧЕБНАТА ПР
УЧЕБНА ПРОГРАМА ПО ИНТЕРАКТИВЕН ГРАФИЧЕН ДИЗАЙН ЗА II КЛАС (ВЪВЕЖДАНЕ НА ДИСЦИПЛИНАТА ПО ПРОЕКТ ИНОВАТИВНО УЧИЛИЩЕ ) КРАТКО ПРЕДСТАВЯНЕ НА УЧЕБНАТА ПРОГРАМА Обучението по Интерактивен графичен дизайн в
ПодробноРЕПУБЛИКА БЪЛГАРИЯ Министър на образованието и науката З А П О В Е Д РД / г. На основание чл. 93, ал. 1 от Закона за предучилищното и
РЕПУБЛИКА БЪЛГАРИЯ Министър на образованието и науката З А П О В Е Д РД 09 4144/29.08.2017 г. На основание чл. 93, ал. 1 от Закона за предучилищното и училищното образование, във връзка с чл. 13в. от Закона
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
ПодробноМОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 1
МОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА 019 00 ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 11 за оценяване на резултатите от обучението на учениците:
ПодробноMicrosoft Word - nbb2.docx
Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността
Подробно