Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Размер: px
Започни от страница:

Download "Microsoft Word - IGM-SER1111.doc"

Препис

1 Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни части с помощта на точките < < < L < така че във всеки интервал ( ) K функцията ( ) е непрекъсната и има непрекъсната производна като в краищата на интервала ( ) K се предполага наличието на двете едностранни граници ( + ) i ( ) i + и освен това наличието на двете едностранни производни ( + ) ( + ) + i ( + ) ( ) i + От направеното предположение в частност се получава че във всеки ограничен интервал функцията ( ) е или непрекъсната или има евентуално само краен брой прекъсвания от първи род и следователно във всяка точка R съществуват двете едностранни граници ( + ) и ( ) i + i Освен това във всяка точка R съществуват и двете едностранни производни ( + ) ( + ) + i ( + ) ( ) i + Определеният по този начин клас функции покрива нуждите на елементарните приложения на редовете на Фурие Такива функции се конструират например по следната схема ) Определяне на гладка по части функция ( ) в някой основен интервал с дължина от вида [ + ) или ( + ] ) -периодично продължение на функцията над останалата част от числовата ос Основният интервал се избира обикновено [ ) или [ ) Сходимостта на фуриеровия ред в дадена точка предявява определени изисквания към поведението на ( ) в тази точка По нататък ще използваме по много съществен начин резултата от следното твърдение Твърдение Нека функцията ( ) е -периодична и гладка по части Тогава за всяко R функцията () ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ϕ притежава дясна граница в нулата те съществува границата на ϕ () при със стойности > Доказателство Съгласно формулата на Тейлър имаме ( > ) ( ) ( ) ( ) + o( ) ( ) ( ) ( ) + o( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + o( ) ( + ) ( ) + o [ ] () +

2 от което следва че във всяка точка i ϕ É + () + R е изпълнено За да изследваме сходимостта на реда на Фурие в отделни точки преди всичко трябва да познаваме в детайли структурата на неговите частични суми () () () τ + d + cosd cos si d si Въз основа на линейното свойство на интеграла последното се преобразува във вида τ ( ) + cos( ) ( ) d понеже cos cos + si si cos ( ) По индукция може да се докаже верността на тъждеството si + u D ( u) + cosu + cosu + L + cosu K u si следователно за частичните суми намираме представянето si + ( ) () τ D d () d si Тук D ( u) се нарича ядро на Дирихле След смяна на променливата θ () приема вида + si + θ () τ ( + θ) dθ θ + si Твърдение Нека g () е -периодична интегруема функция Тогава за всяко число е изпълнено равенството + g () d g() d Доказателство От адитивното свойство на интеграла имаме + (3) () d g() d + g() + g d Сега във втория интеграл от дясната страна извършваме смяна на променливата θ след което за този интеграл получаваме + g () d g( θ + ) dθ откъдето отчитайки -периодичността на g ( ) g ( θ + ) g( θ) + () d g( θ + ) dθ g( θ) dθ g() g d намираме Сега отново от адитивността на интеграла следва верността на (3)

3 + g () d g() d + g() d g() d É Подинтегралната функция в () si + θ ( + θ) θ si е -периодична по θ откъдето въз основа на твърдение за частичните суми получаваме формулата si + τ ( + ) d si Последният интеграл записваме като сбор si + si + τ ( + ) + d ( + ) d si si В първия интеграл от дясната страна сменяме променливата след което отчитайки нечетността на функцията синус получаваме si + si + ( + ) d ( ) d si si следователно частичните суми могат да се запишат във вида si + (4) τ [ ( + ) + ( ) ] d si По нататък се нуждаем от Тогава Теорема (Риман-Лебег) Нека g е интегруема в интервала [ ] ( ) cosλd i g( ) si λd i g λ λ Доказателство Нека ε > По условие ( ) да се намери някакво интегрално разделяне { < < < L < } g е интегруема следователно може на интервала ε [ ] за което разликата между горната и долната сума на Дарбу не надвишава те където M ε M < ( ) sup g( ) g( ) i K Ще докажем само съотношението 3

4 λ (5) i ( ) si λd g понеже другото се доказва по същия начин От основните свойства на интеграла намираме последователно ( ) λd ( ) cosλd ( ) [ ] si λd + cos si λd ( ) cosλd [ ( ) ] si λd + [ cosλ cosλ ] ( ) cosλd ( ) si λ d + λ λ cosλ cosλ ( ) cosλd ( M ) d + ( M ) + λ λ ε C λ ( ) cos λd + C ( ) sup Избираме едно λ достатъчно голямо че ε C ε ε λ ( ) cosλd < + < + ε C ε < λ Тогава при всяко λ > λ е в сила което по определение означава верността на съотношението (5) É С елементарни модификации на горното доказателство може да се установи че теоремата на Риман-Лебег е валидна и в случая когато интегралът е несобствен в безкрайни граници и абсолютно сходящ Подинтегралната функция в (4) има особеност в нулата понеже знаменателят клони към нула когато С цел да изолираме тази особеност да изберем едно δ > ( δ < ) и да запишем интеграла като сбор δ si + si + [ ( + ) + ( )] + τ d [ ( + ) + ( ) ] d si δ si Вторият интеграл в горната сума може да се запише във вида ( + ) + ( ) (6) si + d δ si Първият множител тук представлява непрекъсната функция на променливата в интервала [ δ ] а поради наличието на втория множител si + от теорема следва че интегралът (6) клони към нула за Оказа се че границата на τ при ако съществува е същата като границата частичните суми 4

5 δ si + i [ ( + ) + ( ) ] d si Този интеграл в граници от до δ съдържа множителя [ ( + ) + ( ) ] който отчита поведението на функцията ( ) само в околността [ δ + δ] при което δ > може да бъде фиксирано произволно малко По този начин доказахме Теорема (принцип за локализацията) Сходимостта на реда на Фурие в дадена точка зависи само от поведението на функцията в околност на тази точка É В следващото твърдение се предполага че разглежданата функция е регулярна което практически означава че е налице условието от твърдение Твърдение 3 Нека функцията ( ) е -периодична и гладка по части Тогава за всяко R и всяко δ > ( δ ) интегралът δ si + (7) [ ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ] d si клони към нула при Доказателство Интегралът ( 7) записваме във вида δ ( ) (8) si + d si Тук първият множител ( + ) + ( ) ( + ) ( ) съгласно твърдение представлява интегруема функция в интервала [ δ] Същото важи и за втория множител понеже i si По този начин функцията ( ) si се оказа интегруема в интервала [ δ] Сега верността на твърдението се получава след прилагане на теорема É ще получим равенството Ако в израза (4) положим si + d si 5

6 ( + ) + ( ) което след умножаване с приема вида si + ( + ) + ( ) [ ( + ) + ( ) ] d si следователно е в сила равенството ( + ) + ( ) τ (9) si + [ ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ] d si Сега сме готови да докажем следната основна теорема за поточкова сходимост на редовете на Фурие Теорема 3 (Дирихле) Нека функцията ( ) е -периодична и гладка по части Тогава за всяко R е изпълнено ( + ) + ( ) τ iτ те стойността на реда на Фурие в точката е равна на полусбора от лявата и дясната граници на функцията в тази точка Доказателство Доказателството на тази теорема следва веднага от представянето (9) и твърдение 3 É В частност ако ( ) е непрекъсната в точката Да разгледаме отново примера (9) за при < за която пресметнахме зададена като ( ) ( ) + то е изпълнено ( ) ( ) -периодичната функцията ( ) τ τ si Тук функцията ( ) е гладка по части при което има прекъсване от първи род само в точките ( + ) ± ± K за които (( + ) + ) + (( + ) ) В този случай съгласно теоремата на Дирихле имаме τ ( ) при < < и τ τ се повтарят периодично с период τ Останалите стойности на За примера () с -периодичната функцията ( ) зададена като ( ) при < намерихме следния ред на Фурие ( ) τ + 4 cos 3 е гладка по части и навсякъде непрекъсната В този случай Тук функцията съгласно теоремата на Дирихле имаме ( ) на τ ( ) се повтарят периодично с период τ при Останалите стойности Да разгледаме още следния пример Нека ( ) е -периодичната функция при < и ( ) при < определена като формулите за коефициентите пресмятаме Следвайки 6

7 cos d K ( ) si d si d cos K следователно 4 и + K ( + ) За реда на Фурие намираме 4 si + ~ τ + е гладка по части при което има прекъсване от първи род само в точките ± ± K за които ( + ) + ( ) На следващата заедно с графиката на частичните суми при Функцията ( ) рисунка е дадена графиката на ( ) 3 3 Рис В този случай съгласно теоремата на Дирихле имаме τ ( ) ( ) при ± ± K и τ( ) Ако в представянето на функцията ( ) положим ще получим интересното равенство L + ( ) + L На рис се вижда явлението на Гибс което се състои в особеното поведение на реда на Фурие в околност на точките на прекъсване за функцията 3 3 Рис На рис е показана графиката на частичните суми при 7 Редове на Фурие за -периодични функции Сега ще разглеждаме функции ( ) с период T > При се получава вече познатия случай на - периодични функции В този случай функциите () c ( ) c ( ) cos s ( ) si K 7

8 образуват ортонормирана система за интервала [ ] Редът на Фурие тук има вида () ( ) ~ + cos + si където коефициентите се пресмятат по формулите ( ) cos d K ( ) si d K Когато функцията ( ) е четна всичките коефициенти са равни на нула а редът на Фурие приема вида () ( ) ~ + cos ( )cos d K При нечетна функция ( ) всичките коефициенти са равни на нула а редът на Фурие приема вида (3) ( ) ~ si ( )si d K В тези случаи формулата () се нарича развитие по косинуси а формулата (3) се нарича развитие по синуси Верността на () и (3) се получава веднага от следното твърдение чиято вярност се получава непосредствено g е четна функция то за всяко > е изпълнено Твърдение 4 Ако ( ) d g( ) g d Ако ( ) g е нечетна то g ( ) d É Теоремата на Дирихле за поточковата сходимост на реда на Фурие остава в сила и за редовете (-3) Всичките развития в ред на Фурие досега се отнасяха за интервала [ ] който е симетричен спрямо нулата Всъщност системата от функции () образува ортонормиран базис и за всеки интервал [ + ] По този начин всеки интервал от вида [ + ) може да бъде предварително избран за основен при което функцията ( ) се задава конкретно над основния интервал а останалите стойности се определят еднозначно от изискването за -периодичност Друг често използван основен интервал освен [ ) е интервалът [ ) който за -периодичните функции е интервалът [ ) Вида на реда на Фурие както и формулите за пресмятане на коефициентите остават същите 3 Диференциране на редовете на Фурие Тук ще разглеждаме непрекъсната и гладка по части -периодична функция ( ) Най-елементарен е случаят когато ( ) има непрекъсната производна навсякъде В общия случай производната съществува навсякъде с изключение евентуално на някои точки които са краен брой във всеки ограничен интервал а във всяка такава точка съществуват двете едностранни 8

9 при което така определената "обобщена" производна представлява непрекъсната по части функция Тук от особено значение е фактът че остава в сила формулата за интегриране по части производни В последния случай производната отново ще означаваме ( ) ( ) g( ) d ( ) g( ) ( ) dg( ) за всяка непрекъснато диференцируема функция g ( ) Верността на последната формула може да се проследи чрез елементарни разсъждения Нека ( ) е непрекъсната и гладка по части -периодична функция с ред на Фурие (4) ~ + [ cos + si ] Тогава нейната производна ( ) представлява интегруема функция която по определение има ред на Фурие (5) ~ + [ cos + si ] За коефициентите на реда имаме ( ) cos d cos d ( ) ( ) cos ( ) d cos ( ) d si K d ( ) si d si d ( ) ( ) si ( ) d si Следователно ( ) d cos K ( ) ~ [ cos si ] което означава че редът на Фурие (5) за производната ( ) почленно диференциране на реда на Фурие за функцията ( ) доказахме се е получил от По този начин Теорема 4 Нека ( ) е непрекъсната и гладка по части -периодична функция Тогава реда на Фурие за производната ( ) се получава посредством почленно диференциране реда на Фурие на функцията ( ) É Например за -периодичната функцията ( ) зададена като ( ) при < имаме ( ) + 4 cos ( ) 3 (6) След почленно диференциране получаваме вече известното развитие 9

10 + ( ) 4 si ( ) 4 Интегриране на редовете на Фурие Нека ( ) е -периодична функция която предполагаме непрекъсната или имаща евентуално с краен брой прекъсвания от първи род в интервала [ ] Да разгледаме нейния ред на Фурие () ~ + [ cos + si ] След почленно интегриране последното приема вида () d ~ d + cosd + si d което дава основание на напишем следното (формално засега) равенство si cos (7) () d + + Теорема 5 Нека ( ) удовлетворява горното условие Тогава редът на Фурие за ( ) може да се интегрира почленно при което е вярна формулата (7) Доказателство Да разгледаме функцията Φ( ) ( ) d Непосредствено се проверява че ( ) Φ представлява непрекъсната и гладка по части -периодична функция Нейната периодичност се вижда от равенството Φ + ( + ) Φ( ) () d () d в което се използва твърдение За производната на ( ) ( ) ( ) Φ Φ имаме във всяка точка където ( ) е непрекъсната Да образуваме реда на Фурие за ( ) A (8) Φ + [ A cos + B si ] За коефициентите пресмятаме A A A B B Φ( ) cos d Φ( ) d si Φ( ) si si dφ si dφ( ) Φ ( ) si d ( ) si d ( ) d + d si si K Φ Φ( ) si d Φ( ) d cos Φ( ) cos + cos dφ cosdφ( ) Φ ( ) cosd ( ) cosd

11 B ( ) d d cos cos K Следователно (8) има вида A (9) Φ + cos + si За да пресметнем A във формулата (8) полагаме след което получаваме A A което след заместване в (9) дава формулата (7) É Например от (6) имаме + 4 cos ( ) 3 което след интегриране от до < получаваме ( ) d d + 4 cos d 3 ( ) si ( ) откъдето намираме следния ред на Фурие 3 4 si ( ) Комплексна форма на запис на редовете на Фурие В този раздел ще разглеждаме комплекснозначни функции на реален аргумент ( ) + ig( ) където i е имагинерната единица i Диференцирането и интегрирането на такива функции се извършва почленно [ ( ) + ig( ) ] ( ) + ig ( ) и [ ( ) + ig( ) ] d ( ) d + i g ( ) d Да припомним формулата на Ойлер α e i cosα + i si α α R За да получим реда на Фурие в комплексна форма разглеждаме следните базисни функции i e ( ) e [ cos + i si ] ± ± K при което i e( ) e [ cos i si ] e( ) ± ± K Те изпълняват условията за ортонормираност ( ) e ( ) d e при Нека ( ) е ( ) c ( ) ( ) ( ) d e e -периодична функция Редът на Фурие в този случай има вида i ~ e ce където коефициентите се получават по формулите

12 ( ) ( ) c c d ± ± K Горните формули могат да се модифицират по следния по-прегледен начин () където i ~ c e i () c ( ) e d ( ) cosd i ( ) si d ± ± K Съпоставяйки () с познатите формули за реда на Фурие ~ + [ cos + si ] където d cosd si d K намираме следните съотношения c c ( i ) c ( + i ) K откъдето получаваме c + c c c + c i( c c ) K Последното показва че (-) представлява алтернативна форма на запис на реда на Фурие която форма в много случаи се явява по-удобна е -периодична функция Тук базисните функции имат вида Нека сега i ( ) e cos + isi e ± ± K при което i e ( ) e cos isi ± ± K Те също изпълняват условията за ортонормираност ( ) e ( ) d e при ( ) e ( ) d e Редът на Фурие в този случай се записва () i ~ c e където коефициентите се получават по формулите (3) c ( ) e d ( ) cos d i ( ) i d ± ± K

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Microsoft Word - MA11 sec77.doc

Microsoft Word - MA11 sec77.doc Лекця 7 7 Дефнця свойства на определен нтеграл Сум на Дарбу Определенят нтеграл е фундаментално средство в математката с разнообразн съдържателн прложеня Той се зползва за пресмятане на геометрчн фзчн

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант).. Уводни бележки. а) Интеграли и лица на фигури. Класическият въпрос за пресмятане лицата (

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

DIC_all_2015_color.dvi

DIC_all_2015_color.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

DIC_all_2014.dvi

DIC_all_2014.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно