Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр

Размер: px
Започни от страница:

Download "Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр"

Препис

1 Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непрекъснатост. За целта да напомним, че произволна n-торка холоморфни функции f = (f 1,..., f n ) : D C n образува холоморфно изображение от област D C m с m < n в C n. Матрицата f 1 f (f 1,..., f n ) (z 1,..., z m ) (z) = z 1 (z)... 1 z m (z) f n z 1 (z)... f n z m (z) от частните производни се нарича матрица на Якоби. Холоморфното изображение f е неизродено в точка z D, ако рангът на матрицата на Якоби е максимален и равен на m. Ще казваме, че холоморфното изображение f : D C n е неизродено, ако f е неизродено във всяка точка z D. Образът f(d) C n на област D C m под действие на неизродено холоморфно изображение f : D C n се нарича m-мерна холоморфна повърхнина. Например, 1-мерните холоморфни повърхнини са холоморфните криви в C n. В частност, ако D = D(a, r) C е диск в C, а f : D(a, r) C n е неизродено холоморфно изображение с непрекъснато продължение f : D(a, r) C n, то f(d(a, r)) C n се нарича холоморфен диск. Ограничените холоморфни повърхнини f(d) C n изпълняват следния Принцип за максимума на модула. Лема Нека функцията g : U C е холоморфна в околност U на ограничена холоморфна повърхнина f(d) C n. Тогава sup g(w) sup g(w), w f(d) w f(d) където границата f(d) = f(d) \ f(d). Доказателство: Достатъчно е да установим, че и да използваме, че sup g(w) sup g(w) w f(d) w f(d) sup g(w) sup g(w). w f(d) w f(d) Съгласно компактността на f(d), съществува точка w (0) f(d), в която се достига g(w) = g(w (0) ). При допускане на противното, от sup w f(d) g(w (0) ) = sup g(w) > sup g(w) (14.1) w f(d) w f(d) следва, че w (0) f(d). С други думи, съществува z (0) D с f(z (0) ) = w (0). Твърдим, че областта D е ограничена, щом холоморфната повърхнина f(d) е 113

2 ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. ограничена. В противен случай, съществува неограничена редица {p (k) } k=1 D, lim k p(k) =. Редицата от образи {f(p (k) )} k=1 f(d) има гранична точка ζ f(d). Всяка околност U ζ на ζ пресича {f(p (k) )} k=1 във фундаментална редица. Поради своята неизроденост, холоморфното изображение f е локално обратимо и {p (k) } k=1 съдържа поне една фундаментална подредица. Следователно съществува крайна гранична точка на {p (k) } k=1 в D. Това противоречи на неограничеността на {p (k) } k=1 и доказва ограничеността на областта D. Сега холомарфната функция gf : D C в ограничената област D изпълнява неравенствата gf(z (0) ) gf(z) за z D. Съгласно Следствие 2.9 от Принципа за максимума, gf const е постоянна и не може да изпълнява (14.1), Q.E.D. Да напомним, че за произволно подмножество M C n и произволно ε > 0, ε-раздуването M (ε) = z M P(z, ε) е обединението на поли-дисковете с център z M и радиус ε > 0. Редицата {M k } k=1 от подмножества M k C n клони към множеството M, ако за всяко ε > 0 съществува k 0 N, така че M k M (ε) и M M (ε) k за всички k k 0. Теорема 25. (Бенке-Зомер) Нека D е област, {S k } k=1 е редица от ограничени холоморфни повърхнини, компактно вложени в D, S k S k D и клонящи към подмножество lim S k = S C n. Ако границите { S k } k=1 D клонят k към компактно вложено подмножество Γ Γ D, то произволна холоморфна функция f : D C се продължава холоморфно в околност на S. Доказателство: Съществува ограничена област D 0 C n, която е компактно вложена в D, D o D o D и съдържа Γ, Γ D o. Нека r = ρ(d o, D) = inf z ζ z D o,ζ D е разстоянието от D o до границата D на D. Да изберем достатъчно малко ε > 0, така че Γ (ε) D o. Тогава от lim S k = Γ следва съществуването на k k o N с S k D o за k k o. За произволна холоморфна функция f : D C и произволна точка z S k е изпълнено f(z) f Sk по Лема 14.1 за максимума на модула. Вземайки предвид S k D o за k k o, получаваме f(z) f Do за z S k с k k o. По определение, това означава, че S k с k k o се съдържа в холоморфната обвивка H(D o ) на ограничената област D o. По Лема за едновременно продължение, всяка холоморфна функция f : D C има холоморфно продължение в r-раздуването H(D o ) r = z H(Do)P(z, r) на холоморфната обвивка H(D o ) на D o. В частност, f има холоморфно продължение в r-раздуването S r k = z S k P(z, r) за всяко k k o. Поради сходимостта на S k към S съществува естествено число k 1 k o, така че S S r 2 k за всички k k 1. Оттук ) S r 2 (S r r 2 2k Sk r и всяка холоморфна функция f : D C има холоморфно продължение в околността S r 2 на S, Q.E.D. Локалната псевдоизпъкналост в C 2 -гладка гранична точка на област D C n е аналог на локалната изпъкналост в C 2 -гладка гранична точка a W на област W R n. По-точно, да допуснем, че съществува околност U a на a W върху R n и функция ϕ : U a R от клас C 2 с неанулиращ се градиент ϕ(x) =

3 14. ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. 115 ( ) x 1 (x),..., x n (x) за x U a, така че W U a = {x U a ϕ(x) < 0}. Тогава можем да определим допирателната равнина T a ( W ) = {x R n (x a, ϕ(a)) = 0} към W в a, където (x a, ϕ(a)) = n (x i a i ) x i (a) е евклидовото скаларно произведение в R n. Казваме, че областта W R n е изпъкнала в своята C 2 - гладка гранична точка a W, ако съществува околност V a на a върху R n, така че W V a се съдържа в едното от полупространствата спрямо допирателната равнина T a ( W ) към W в a. Твърдим, че ако W R n е изпъкнала област, то W е изпъкнала във всяка своя C 2 -гладка гранична точка. За целта да разгледаме нормалата N a към W през a, т.е. правата през a, успоредна на градиента ϕ(a). В доказателството на Теорема 20 изибраме точки y (k) N a, клонящи към lim k y(k) = a. Тогава разстоянията от y (k) до W се реализират от a W и можем да изберем хиперравнините H k с един и същи нормален вектор ϕ(a) R n \ {0 n }. Тяхната граница H е равнината през a с нормален вектор ϕ(a), т.е. H съвпада с T a ( W ). Да отбележим, че W е под T a ( W ) точно тогава, когато всички точки на T a ( W ) са над W (щом a W T a ( W ) е извън W ). За да анализираме последното условие, да преместим началото 0 n R n в точката a. С помощта на линейната функция L o (x) = n x i (0 n )x i и симетричната билинейна форма H o (x) = x i x j (0 n )x i x j записваме формулата на Тейлър за ϕ(x) във вида ϕ(x) = L o (x) H o(x) + o( x 2 ). Тогава за x T 0 n( W ) условието ϕ(x) 0 се свежда до положителната дефинитност H o (x) T0 n ( D) 0 на хесиана H o (x) на ϕ(x) върху допирателната равнина към W в 0 n. Локалната псевдоизпъкналост на област D C n е аналог на този критерий. По-точно, нека U е околност на гранична точка a D на област D C n, а( ϕ : U R) е C 2 -функция с неанулиращ се холоморфен градиент ϕ(z) = z 1,..., z n 0 във всяка точка z U, която задава D U = {z U ϕ(z) < 0}. Ще казваме, че ϕ определя локално D в U. Тейлъровото развитие на ϕ около a = 0 n има вида където ϕ(z) = 2ReL o (z) + ReK o (z) H o(z) + o( z 2 ), K o (z) = L o (z) = (0 n )z j, (0 n )z i z j,

4 ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. H o (z) = (0 n )z i z j. За целта е достатъчно да забележим, че съгласно реалността на стойностите на ϕ, частните производни относно z i са комплексно спрегнати на частните производни относно z i и тяхната сума е равна на удвоената реална част. В частност, така че матрицата е ермитова. = 2 ϕ за 1 i, j n, ( ) n i, C n n Определение Нека U C n ( е околност, а ϕ :) U R е C 2 -функция с неанулиращ се градиент (z) = z 1 (z),..., z n (z) 0 във всяка точка z U. Тогава ермитовата форма H z (ϕ, ) : C n C, H z (ϕ, w) = (z)w i w j се нарича форма на Леви на ϕ в z U. Да напомним комплексното допирателно пространство Ta C ( D) = {z C n (a)(z i a i ) = 0} към D в a D. Определение Областта D е локално псевдоизпъкнала в граничната си точка a D, ако в някаква околност U на a тази област има локална определяща функция ϕ от клас C 2, чиято форма на Леви H a (ϕ, w) 0 е неотрицателно дефинитна във всеки комплексен допирателен вектор w Ta C ( D). Още повече, ако H a (ϕ, w) > 0 е строго положително дефинитна за w Ta C ( D), w 0 n, то D се нарича строго локално псевдоизпъкнала в a D. Например, кълбото B(0 n, 1) = {z C n z 2 < 1} е строго псевдоизпъкнало във всяка своя гранична точка a B(0 n, 1). По-точно, определящата функция ϕ(z) = z i z i 1 има форма на Леви H a (ϕ, w) = w i w i = w 2 > 0 за w 0 n. Следващата Лема изучава някои основни свойства на формата на Леви. Лема Нека U C n е околност, а ϕ : U R е C 2 -функция с холоморфен градиент (z) 0 за z U. (i) Ако h : U z R е C 2 -функция в околност U z на z U, то формата на Леви H z (hϕ, w) = hh z (ϕ, w) + ϕh z (h, w) + 2Re[(w) h(w)] за w C n,

5 14. ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. 117 където (w) = n w i. (ii) Ако ψ : U ϕ(z) R е C 2 -функция в околност U ϕ(z) R на ϕ(z), то формата на Леви H z (ψ ϕ, w) = ψ (ϕ)h z (ϕ, w) + ψ (ϕ) (w) 2 за w C n. (iii) Ако f = (f 1,..., f n ) : V U C n е холоморфно изображение от околност V C m, то във всяка точка ζ V формата на Леви H ζ (ϕ f, w) = H f(ζ) (ϕ, f w), където f w = ((f 1 ) w,..., (f n ) w) и (f s ) w = m f s ζ i w i за ζ V, w C m. В частност, формата на Леви е инвариантна относно бихоломорфни изображения (взаимно-еднозначни изображения, които са холоморфни заедно със своите обратни). Доказателство: (i) Непосредствено пресмятаме, че 2 (hϕ) Следователно (hϕ) = h + ϕ h, = h 2 ϕ + ϕ 2 h + H z (hϕ, w) = hh z (ϕ, w)+ϕh z (h, w)+ hh z (ϕ, w)+ϕh z (h, w)+ ( n ) w i ( h + h w i h w j + ( h n w j + h w i ). h w i w j = ) hh z (ϕ, w) + ϕh z (h, w) + (w) h(w) + h(w)(w) = hh z (ϕ, w) + ϕh z (h, w) + 2Re[(w) h(w)]. w j = (ii) Ако ψ(t) е функция на t U ϕ(z), то по правилото за диференциране на суперпозиция, (ψ ϕ) = ψ (ϕ), 2 (ψ ϕ) = 2 ϕ ψ (ϕ) + ψ (ϕ). Следователно формата на Леви H z (ψ ϕ, w) = ψ (ϕ)h z (ϕ, w) + ψ (ϕ) w i w j = ψ (ϕ)h z (ϕ, w) + ψ (ϕ) [ n ] w i w j = ψ (ϕ)h z (ϕ, w) + ψ (ϕ) (w) 2. (iii) За холоморфните функции f 1,..., f n : V C непосредствено пресмятаме, че (ϕ f) f s = (f) и ζ i ζ i z s 2 (ϕ f) ζ i ζ j = s=1 s=1 t=1 f s ζ i f t ζ j z s z t (f)

6 ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. съгласно холоморфността на fs ζ i m m H ζ (ϕ f, w) = Q.E.D. s=1 t=1 s=1 t=1 : V C. В резултат, [ n s=1 t=1 z s z t (f) f s ζ i w i f t ζ j [ 2 m ] ϕ f s m (f) w i f t z s z t ζ i w j = z s z t (f(ζ))[(f s ) w][(f t ) w] = H f(ζ) (ϕ, f w), Лема Нека a D е C 2 -гладка гранична точка на област D. Тогава локалната псевдоизпъкналост на D в a (строгата локална псевдоизпъкналост на D в a) не зависи от локална опрeделяща функция на D около a. Доказателство: Ако ϕ и ψ определят локално D в достатъчно малка околност U, то съществува C 1 -функция h : U R >0 с реални положителни стойности, така че ψ = ϕh. Наистина, съгласно Лема 10.3 съществуват функции h, h 1 C 1 (U), за които ψ = ϕh и ϕ = ψh 1. Следователно ϕ(hh 1 1) U = 0. В достатъчно малка околност U имаме ϕ U D = 0, ϕ D U < 0 и ϕ U\D > 0. Оттук следва, че разликата (hh 1 1) U\ D = 0 се анулира. Понеже U \ D е навсякъде гъсто отворено подмножество на U, стигаме до извода, че hh 1 = 1 в U. В частност, h и h 1 не се анулират в U, така че не си менят знака. От ϕ D U < 0 и ψ D U < 0 получаваме, че h D U > 0. Аналогично, ϕ U\D > 0 и ψ U\D > 0 изискват h U\D > 0. В резултат, h D > 0, откъдето h : U R >0. Нека ϕ : U R и ψ = hϕ : U R са локални определящи функции на D U = {z U ϕ(z) < 0} = {z U ψ(z) < 0} в околност U на a. Тогава ϕ(a) = 0 и (w) = 0 за всеки комплексен допирателен вектор w T C a ( D). Затова по Лема 14.4(i) получаваме, че H a (ψ, w) = h(a)h a (ϕ, w) за w T C a ( D). Както вече доказахме, h(a) > 0, така че формите на Леви H a (ψ, w) и H a (ϕ, w) имат едни и същи знаци за комплексен допирателен вектор w T C a ( D), Q.E.D. Да отбележим, че билинейната форма K o не е инвариантна относно бихоломорфни автоморфизми. Още повече, следващата лема установява, че формата K o може да се анулира тъждествено чрез подходящо бихоломорфно изображение. Лема В околност U на своя гранична точка a D, областта D C n се определя с C 2 -функция ϕ : U R с неанулиращ се холоморфен градиент 0, т.е. D U = {z U ϕ(z) < 0}. Тогава съществува бихоломорфно изображение f : U V върху околност V на f(a) = 0 n, така че определящата функция ψ = ϕ f 1 на f(d U) в f(u) = V има Тейлърово разлагане ψ(w) = 2Re(w n ) H o(ψ, w) + o( w 2 ). ] =

7 14. ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. 119 Доказателство: Без ограничение на общността можем да считаме, че a = 0 n и определящата функция ϕ на D U в U има Тейлърово разлагане ϕ(z) = 2ReL o (z) + ReK o (z) H o(z) + o( z 2 ) (14.2) във всяка точка z U. Сменяме координатите z = (z 1,..., z n ) в околността U на 0 n с координати w = (w 1,..., w n ), където w 1,..., w n 1 са координати в комплексната допирателна равнина T C 0 n D = {ζ Cn L o (ζ) = 0}, w n = L o (z) K o(z). Доколкото K o (z) е полином от втора степен на z 1,..., z n, изображението f : U U, f(z 1,..., z n ) = f(w 1,..., w n 1, w n ) е бихоломорфно върху достатъчно малка околност U на 0 n C n. Още повече, w i = f i (z) са линейни функции за 1 i n 1, така че f i w i = f i (z) = (0 n )z j = (f i ) (z). От друга страна, f n w n = f n (z) = (0 n )z j K o(z) = (f n ) z K o(z) = (f n ) z + O( z 2 ), така че Да отбележим, че образът (f )z = ((f 1 ) z,..., (f n 1 ) z, (f n ) z) = w + O( z 2 ). f(d U) = {w = f(z) ψ(w) = ϕ f 1 (f(z)) = ϕ(z) < 0} се задава с определяща функция ψ = ϕ f 1 : U R. Съгласно Лема 14.4(iii), формата на Леви H 0 n(ϕ, z) = H 0 n(ψ f, z) = H 0 n(ψ, f z) = H 0 n(ψ, w + O( z 2 )) = H 0 n(ψ, w) + o( z 2 ), защото w = O( z ). Записваме (14.2) във вида ϕ(z) = 2Ref n (z) H 0 n(ϕ, z) + o( z 2 ). (14.3) След това заместваме z = f 1 (w) и получаваме ψ(w) = 2Rew n H 0 n(ψ, w) + o( w 2 ), Q.E.D. По този начин, формата на Леви е най-важната част на събираемите от ред 2 в Тейлъровото развитие на определящата функция. Теорема 26. Ако областта D е строго локално псевдоизпъкнала в граничната си точка a D, то съществува околност U на a и определяща функция ϕ : U R на D U = {z U ϕ(z) < 0}, чиято форма на Леви H a (ϕ, w) е положителна не само за ненулевите комплексни допирателни вектори w T C a ( D), но и за всички ненулеви вектори 0 n w C n. а

8 ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. Доказателство: Съгласно строгата локална псевдоизпъкналост на D в a съществува определяща функция ψ : U R в околност на a, така че D U = {z U ψ(z) < 0} H a (ψ, w) > 0 за w Ta C ( D), w 0 n. За произволна константа k > 0 съществува достатъчно малка околност U k U, така че ϕ = ψ + kψ 2 е C 2 -гладка определяша функция на D в U k. По-точно, ако U k = ψ ( 1 1 2k, + ), то {z U k ψ(z) < 0} = {z U k ϕ(z) < 0} и (z) = ψ(1 + 2kψ(z)) 0 за z U k. Съгласно Лема 14.4(ii), формата на Леви H a (ϕ, w) = (2kψ + 1)(a)H a (ψ, w) + 2k ψ(w) 2, H a (ϕ, w) = H a (ψ, w) + 2k ψ(w) 2. (14.4) Достатъчно е да докажем положителната дефинитност на формата H a (ϕ, w) върху единичната сфера S = {w C n w 2 = 1}, защото тогава H a (ϕ, λw) = λ 2 H a (ϕ, w) > 0 за λ C и w S. За положителната дефинитност на H a (ϕ, ) върху S да означим S o := {w S H a (ψ, w) 0}. Ако S o =, то полагаме k = 0. В противен случай, съгласно компактността на S o съществува константа M o 0, така че H a (ψ, w) M o за w S o. По определението за строга локална псевдоизпъкналост в a D, H a (ψ, w) > 0 за всеки ненулев комплексен допирателен вектор w Ta C ( D), т.е. за 0 n w C n с ψ(w) = 0. Следователно ψ(w) 0 за w S o. Оттук, съществува константа m > 0, така че ψ(w) m за w S o. Избирайки k > Mo 2m в (14.4) 2 получаваме H a (ϕ, w) M o + 2km 2 > 0 за w S o. Ако w S \ S o, то от H a (ψ, w) > 0, k 0 и ψ(w) 2 0 следва H a (ϕ, w) > 0, така че H a (ϕ, w) > 0 за 0 n w C n, Q.E.D. От това, че формата на Леви H z (ϕ, w) на C 2 -функцията ϕ зависи непрекъснато от z, получаваме следното Следствие Ако областта D е строго локално псевдоизпъкнала в граничната си точка a D, то в достатъчно малка околност U на a съществува оперделяща функция ϕ на D U, така че H z (ϕ, w) > 0 за z U и w C n \ {0 n }. Следващата теорема свързва строгата псевдоизпъкналост с геометричната строга изпъкналост. Теорема 27. (Лема на Нарасимхан) Ако областта D е строго локално псевдоизпъкнала в граничната си точка a D, то съществува околност U на a и бихоломорфно изображение f : U V, така че f(d) V е строго изпъкнала във всяка точка от f( D U). Доказателство: Без ограничение на общността можем да считаме, че a = 0 n и определящата функция ϕ на D U е такава, че H 0 n(ϕ, w) > 0 за w C n \ {0 n }. Прилагайки бихоломорфното изображение f : U V от доказателството на Лема 14.6 получаваме определяща функция ψ = ϕ f 1 в околност на f(0 n ) = 0 n, с Тейлърово развитие ψ(w) = 2Re(w n ) H 0 n(ψ, w) + o( w 2 ). Събираемите от ред 2 в това развитие се свеждат до 1 2 H 0 n(ψ, w) = 1 2 H 1 0n(ϕ, f w) и

9 14. ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. 121 съгласно Лема 14.4(iii). По предположение, формата H 0 n(ϕ, f 1 w) > 0 е положително дефинитна за всички ненулеви вектори w C n \ {0 n }. Следователно H 0 n(ψ, w) > 0 за w C n \ {0 n }. Но реалният хесиан на ψ съвпада с формата на Леви H 0 n(ψ, w) и строгата положителна дефинитност на H ζ (ψ, w) за ζ f( D) V и w C\{0 n } означава строга изпъкналост на f(d) V R 2n във всяка гранична точка ζ f( D) V, Q.E.D. Лема Нека W R n е ограничена област с глобална C 2 -гладка граница, която е строго локално изпъкнала във всяка своя гранична точка. Тогава съществува константа C > 0 и C 2 -гладка определяща функция ϕ на W, така че (ζ)w j w k C w 2 за ζ W, w R n. x j x k k=1 Доказателство: Нека ψ е C 2 -гладка определяща функция на W. За произволно λ > 0 определяме ψ λ (x) = eλψ(x) 1. λ На всяка гранична точка ζ W съпоставяме множеството n S ζ = w 2 ψ Rn (ζ)w j w k 0, w 2 = wj 2 = 1 x j x k k=1 на единичните вектори, в които хесианът на ψ в ζ има неположителна стойност. Съгласно изпъкналостта на W в ζ W, множеството S ζ не пресича допирателното порстранство k T ζ ( W ) = w ψ Rn (ζ)w j = 0 x j към W в ζ. По определение, S ζ е затворено и ограничено, а оттам и компактно подмножество на R n. Затова съществува µ ζ = min ψ w S ζ (ζ)w j x j > 0 и се достига в някакъв вектор w(ζ) S ζ. Ако K ζ = min 2 ψ (ζ)w j w k, w S ζ x j x k k=1 то избираме λ = K ζ + 1 и ϕ = ψ µ 2 λ. Съгласно e ψ(ζ) = 1, за w R n с w = 1 ζ пресмятаме, че H ζ (ϕ, w) = (ζ)w j w k = x j x k k=1 k=1 k=1 [ 2 ψ (ζ) + λ ψ (ζ) ψ (ζ) x j x k x j x k 2 ψ (ζ)w j w k + λ ψ x j x k (ζ)w j x j 2 ] w j w k = Твърдим, че съществува реална константа C ζ > 0, така че = H ζ (ψ, w) + λ ( ψ(ζ), w) 2. H ζ (ϕ, w) = H ζ (ψ, w) + ( ψ(ζ), w) 2 C ζ > 0 за w S. (14.5)

10 ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. Ако w S ζ, то H ζ (ψ, w) K ζ, ( ψ(ζ), w) 2 µ 2 ζ, откъдето H ζ(ϕ, w) µ 2 ζ > 0. Съгласно непрекъснатостта на H ζ (ϕ, w) относно w, съществува δ > 0, така че в околността S (δ) ζ = w Sζ B(w, δ) на S ζ е изпълнено H ζ (ϕ, w) C ζ > 0 за подходяща константа C ζ > 0. В допълнението S \ S(δ) ζ с lim ( ψ(ζ), m w(m) ) = 0. Върху компактната единична сфера S съществува гранична точка w (0) S на {w (m) } m=1. В нея ( ψ(ζ), w (0) ) = 0, така че w (0) S ζ. Но границата (S \ S (δ) ζ ) не пресича S ζ и възникващото противоречие доказва, че ν ζ > 0. По този начин, H ζ (ϕ, w) ν ζ C ζ = min(c ζ, ν ζ) > 0 за w S. ( Произволен вектор v R n \ {0 n } се представя като v = v v v ) с v v S и твърдението на лемата следва от (14.5). По построение, константите C ζ > 0 зависят непрекъснато от ζ W, защото µ ζ и K ζ са в непрекъсната зависимост от ζ. Можем да изебрем локално постоянни C ζ. Покриваме компактната граница W с околности, върху които са определени локално постоянни C ζ. Избираме крайно покритие и универсална долна граница C > 0 за цялата граница, Q.E.D. Следствие Ако ограничена област W R n с C 2 -гладка граница е строго изпъкнала във всяка своя гранична точка, то W е изпъкнала област. Доказателство: Да отбележим, че S = {(x, y) W W (1 λ)x + λy W за 0 λ 1} е непразно отворено подмножество на W W. Съгласно Лема 14.8, съществува определяща функция ϕ на W с (ζ)w j w k C w 2 за ζ W, w R n. x j x k k=1 За да проверим, че S е относително затворено в W W, допускаме противното и избираме редица (a (m), b (m) ) S с граница lim m (a(m), b (m) ) = (a, b) (W W ) \ S. Тогава ϕ(a) < 0, ϕ(b) < 0, но ϕ((1 t 1 )a + t 1 b) 0 в някаква вътрешна точка t 1 (0, 1). Следователно ϕ((1 t)a+tb) достига локален максимум във вътрешна точка t 0 (0, 1) и ϕ (t o ) < 0. Това противоречи на строгата положителна дефинитност на хесиана на ϕ и доказва, че S е затворено. Доколкото W W е свързано, непразното отворено и затворено подмножество S на W W съвпада с W W и W е изпъкнало по определение, Q.E.D. За произволна точка ζ C n и линейно независими вектори u, v C n, множеството A ζ (u, v) = {ζ + t 1 u + t 2 v t 1, t 2, C} се нарича двумерна афинна равнина през ζ, успоредна на u и v. Ако ζ D е C 2 -гладка гранична точка на област D C n, то оротгоналното допълнение N ζ C( D) = Tζ C( D) относно стандартното ермитово скаларно произведение е комплексна права, нареечна комплексна норамла към D в a. Теорема 28. Нека D C n е област с C 2 -гладка гранична точка ζ D, T C ζ ( D) е комплексното допирателно пространство към D в ζ, а ν N C ζ ( D) е нормален вектор към D в ζ. Ако за w T C ζ ( D) сечението D ζ(w) = D A ζ (ν, w) е локално псевдоизпъкнало в ζ D ζ (w), то областта D е локално псевдоизпъкнала в ζ D. Доказателство: Нека ϕ е C 2 -гладка определяща функция на D в околност U на ζ D. За всяко двумерно афинно подпространство A = A ζ (ν, w) C n

11 14. ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. 123 разглеждаме холоморфното влагане g A : C 2 C n, g A (t 1, t 2 ) = ζ + t 1 ν + t 2 w на C 2 в C n с образ A. Тогава D ζ (w) U = {(t 1, t 2 ) g 1 A (U) ϕ(g A)(t 1, t 2 ) < 0}. Твърдим, че (ξ 1, ξ 2 ) = (0, 1) T0 C ( D 2 ζ (w)) е комплексен допирателен вектор. Наистина, 2 (g A ) (0 2 )ξ j = (g A (0 2 )) (g A) k (0 2 ) = (ζ)w k = 0, t j z k t 2 z k k=1 k=1 защото w Tζ C( D). По предположение, областта D ζ(w) е локално псевдоизпъкнала в 0 2, така че 2 2 (g A ) 0 (0 2 )ξ j ξ k = 2 ϕ(g A ) (0 2 ) = (ζ)w l w m. t j t k t 2 t 2 z l z m k=1 l=1 m=1 Горното е изпълнено за w Tζ C ( D), така че D е локално псевдоизпъкнала в ζ D, Q.E.D. За разлика от холоморфната изпъкналост, локалната псевдоизпъкналост и строгата локална псевдоизпъкналост са локални свойства и допускат ефективна проверка, но не характеризират глобално изучаваните области. Определение Областта D е холоморфно неразширяема в граничната си точка a D, ако съществува околност U a на a и холоморфна функция f : D U a C, която не се продължава холоморфно в a. Ясно е, че ако D е област на холоморфност, то D е холоморфно неразширяема във всяка своя гранична точка. Локалният въпрос за холоморфна неразширяемост в гранична точка се решава в термините на локалната псевдоизпъкналост. Теорема 29. Нека област D е C 2 -гладка в околност на граничната си точка a D. (i) Ако D е строго локално псевдоизпъкнала в a, то D е холоморфно неразширяема в a. (ii) Ако D е холоморфно неразширяема в точка a, то D е локално псевдоизпъкнала в a. Доказателство: Без ограничение на общността можем да считаме, че a = 0 n. За локалната определяща ϕ на D в околност U на a предполагаме, че има линейна част на Тейлъровото развитие L o (z) = zn 2. За целта избираме линейна смяна на променливите z = Ay с неособена матрица A GL n (C), чиито стълбове (a 1i,..., a ni ) с номера 1 i n 1 са в комплексното допирателно пространство T0 C n( D) и изпълняват равенствата n a ji (0 n ) = 0. Тогава z j = n a ji y i и y i (0 n ) = n y i (0 n ) = Сега ϕ има Тейлърово развитие от вида n a ji (0 n ) = 0 за 1 i n 1. ϕ(z) = Re(z n + K o (z)) H o(z) + o( z 2 ) (14.6) в U, а комплексното допирателно пространство T C 0 n( D) = Cn 1 {0}. Да разгледами холоморфната функция f(z) = z n + K o (z) и аналитичната хиперповърхнина A = {z U f(z) = 0}, определена от нея.

12 ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. (i) Ако областта D е строго локално псевдоизпъкнала в точката 0 n D, тогава както в доказателството на Теорема 26 заменяме ϕ с ϕ + kϕ 2 за подходяща константа k 0, така че H o (z) > 0 за z 0 n. При тази смяна се запазва условието (0 n ) = 0 за 1 j n 1 и Тейлъровото развитие на ϕ(z) запазва вида на (14.6). Ако S = {z C n z = 1} е единичната сфера, а m = min H 0 n(z), z S то от H 0 n(z) > 0 за z S следва m 0. Твърдим, че m > 0. В противен случай, съществува редица {z (m) } m=1 S с lim H 0 m n(z(m) ) = 0. След евентуално преминаване към подредица можем да считаме, че {z (m) } m=1 е сходяща към lim m z(m) = z (0), съгласно компактността на S. Но тогава H 0 n(z (0) ) = 0 противоречи на избора на определяща функция и доказва, че m > 0. В резултат, всяко z C n \ {0 n } изпълнява равенството H 0 n(z) = z 2 H 0 n ( z z ) m z 2. Ограничението на (14.6) върху A изпълнява неравенствата ϕ A = 1 2 H 0 n(z) + o( z 2 ) m 2 z 2 + o( z 2 ) > 0 за достатъчно малки z > 0. По този начин, аналитичната хиперповърхнина A през 0 n се намира извън D в достатъчно малка околност на 0 n. Следователно 1 f : D U C е холоморфна функция, която не се продължава холоморфно в 0 n и D е холоморфно неразширяема в тази точка. (ii) Да допуснем, че D е холоморфно неразширяема в точката 0 n D, но не е псевдоизпъкнала в тази точка. Тогава съществува комплексен допирателен вектор w = (w, 0) T0 C n( D), w C n 1, в който H 0 n(w) < 0. Да разгледаме комплексната двумерна равнина P, минаваща през оста 0z n и вектора w. Да означим с C = A P холоморфната крива, в която аналитичната хиперповърхнина A пресича P. Непосредствено се вижда, че C = {ζw + ηe n C n g(ζ, η) = η + K o (ζw + ηe n ) = 0, ζ, η C}. Съгласно g η (0, 0) = 1 0, можем да приложим Теоремата за неявната функция и да представим η като холоморфна функция η = η(ζ) в достатъчно малка околност на ζ = 0 C. Понеже g(0, 0) = 0, Тейлъровият ред на η(ζ) около 0 C има вида η(ζ) = cζ + o( ζ ) за някакво комплексно число c. Кривата C се състои от точките ζw + ηe n = (ζw 1,..., ζw n 1, η) с g(ζ, η) = 0. За достатъчно малки по модул ζ C, в тях е изпълнена оценката η = K o (ζw + ηe n ) = K o (ζ(w + ce n ) + o( ζ )e n ) = αζ 2 + o( ζ 2 ) за подходящо α C. По този начин получаваме параметризация z (ζ) = ζw z n (ζ) = αζ 2 + o( ζ 2 ζ C ) на C в околност на 0 n C. Да означим накратко z(ζ) = (z (ζ), z n (ζ)). Комплексното допирателно пространство T0 C nc към C в 0n е подпространство на } T0 {w C na = = w i f(w)(0n ) = w n = 0 и съвпада с правата T C 0 nc = l C(w), породена от вектора w = (w, 0). Както в доказателството на (i) получаваме ϕ C = 1 2 H 0 n(w) ζ 2 + o( ζ 2 ).

13 14. ТЕОРЕМА НА БЕНКЕ-ЗОМЕР. ЛОКАЛНА ПСЕВДОИЗПЪКНАЛОСТ. 125 Поради H 0 n(w) < 0, съществува δ R >0, така че (D o ) = {(z (ζ), z n (ζ)) C n ζ D(0, δ) \ {0}} D. В резултат, за достатъчно малки t R >0 холоморфните дискове D t = {(z (ζ), z n (ζ) t) C n ζ D(0, δ)} D се съдържат компактно в D. Причина за това е, че 0 n D t за t > 0. Ограничените холоморфни дискове D t са затворени, а оттам и компактно вложени в D. Те клонят към D o = {(z (ζ), z n (ζ)) C n ζ D(0, δ)}. Границите D t = {(z (ζ), z n (ζ) t) C n ζ C, ζ = δ} клонят към компактно вложеното подмножество Γ = {(z (ζ), z n (ζ)) C n ζ C, ζ = δ} = Γ (D o ) D. Съгласно Теорема 25, за всяка околност U на a и всяка холоморфна функция f : D U C съществува холоморфно продължение в околност на D o. В частност, f е холоморфно продължима в a = 0 n, противно на предположението, Q.E.D. Чрез доказателството на Твърдение (ii) от Теорема 29 установихме и следното Следствие Нека ϕ : U R е C 2 -функция с неанулиращ се градиент в околност U C n на точка a C n, която се анулира в a и определя реалната хиперповърхнина S = {z U ϕ(z) = 0}. Да предположим, че формата на Леви H a (ϕ, ) : T C a S C има поне една отрицателна собствена стойност или, еквивалентно, H a (ϕ, w) < 0 за някакъв комплексен допирателен вектор w T C a S. Тогава произволна холоморфна функция f : {z U ϕ(z) < 0} C има холоморфно продължение в a. Накрая да отбележим, че ако в околност U на гранична точка a D на област D C n съществува комплексна хиперповърхнина A = {z U f(z) = 0}, която се съдържа в допълнението C n \ D и се допира външно до D в a, то D е холоморфно неразширяема в a, доколкото холоморфната функция 1 f : D U C не се продължава в a D. Съгласно Теорема 29 (ii), оттук следва псевдоизпъкналостта на D в a D. Този критерий е аналогичен на критерия за геометрична изпъкналост на област W R n, при наличие на реална хиперповърхнина M през a W, която се допира до W в a и е разположена извън W в околност на a.

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n,

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, d n )} n Z от леви (десни) R-модули C n и R-модулни

Подробно

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции.

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Да напомним, че u O n точно когато u(0 n ) 0 В такъв

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многообразия X се моделират локално с афинни многообразия.

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни степени, са необходими някои предварителни сведения

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността

Подробно

Microsoft Word - DIS.doc

Microsoft Word - DIS.doc Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теорията на изчислимостта, които ще се предполагат известни

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно