ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ – СОФИЯ

Размер: px
Започни от страница:

Download "ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ – СОФИЯ"

Препис

1 ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ том ХL vol св. fasc. V ANNUARE DE L UNVERSTE D ARCHTECTURE, DE GENE CVL ET DE GEODESE SOFA ЧИСЛЕНО ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ПЪТЯ НА РАЗПРОСТРАНЕНИЕ НА ПУКНАТИНА В БЕТОНОВИ И СТОМАНОБЕТОНОВИ ГРЕДИ И. Керелезова 1 Ключови думи: механика на разрушението, пукнатини, критерии за разпространение на пукнатина, МКЕ ANSYS, МГЕ BEPLANE РЕЗЮМЕ В настоящата статия са представени два подхода, от гледна точка на механика на разрушението, за определяне на пътя на развитие на пукнатина в бетонови и стоманобетонови греди. За числената реализация на процеса са използвани два различни числени метода: метод на крайните елементи (МКЕ) и метод на граничните елементи (МГЕ). За приложението на МКЕ е използван програмният пакет ANSYS, в който са разработени отделни макроси. За приложението на МГЕ е използвана програмата BEPLANE, в която е разработен модул за осъществяване на процедурата. Направени са сравнения на резултатите между различните подходи и методи. Извършена е съпоставка на числените резултати с експерименталните данни за бетонови и стоманобетонови греди. 1. Въведение Един от основните проблеми при изследването на конструкции с налична пукнатина е определянето на пътя, по който ще се развие пукнатината в процеса на разрушаване на конструкцията. За да се натрупа информация по въпроса от десетилетия се правят натурни изпитвания на най-застрашените от подобно разрушение конструктивни елементи бетонови и стоманобетонови греди. Изследванията на бетонови греди под симетрично натоварване и начална пукнатина в средното сечение показват, че пукнатината се разпространява по права линия [1], [4], [5], [6]. При стоманобетонови греди разпространението на пукнатина има значително по-сложен характер, повлиян от множество фактори. Едни от най-ползваните експериментални 1 Ирина Г. Керелезова, ст. ас. д-р инж., кат. Строителна механика, УАСГ, София 1046, бул. Хр. Смирненски 1,

2 резултати са тези на Leonhard and al. [], които дават богата информация за пътя на разпространение на пукнатините и начина, по който се разрушават стоманобетонови греди, подложени на симетричен товар. В теоретично отношение също съществуват различни модели, имащи за цел обхващането на сложните явления, наблюдавани при експериментите. Още преди развитието на механиката на разрушението като дял от механиката са правени опити за определяне на посоката на развитие на пукнатините. Известно е от теория на еластичността [3], че пътят на пукнатината следва пътя на главните опънни напрежения. Тази теоретична постановка дава възможност да се предвиди до известна степен пукнатинообразуването в конструктивните елементи, но не включва в себе си влиянието на армировката и зърнестия състав на бетона. Също така тя не дава никаква информация за натоварването, при което се отваря пукнатината и се разрушава конструкцията, и не отчита промяната в картината на напреженията в процеса на натоварване. С развитието на теорията на механика на разрушението се внедряват различни модели за изследване на конструктивни елементи с наличие на пукнатини [4]. По отношение на определянето на пътя на развитие на пукнатина най-разпространено е използването на критериите на линейната механика на разрушението. Тези критерии, макар и опростени, са удобни за внедряване в числени модели, и както ще бъде показано в представената работа, предвиждат с достатъчна точност пътя на разпространение на пукнатина, а до известна степен и стойността на външното натоварване, при което конструкцията се разрушава. Целта на настоящата разработка е да представи два числени модела, използващи различни критерии на линейната механика на разрушението, за определяне на пътя на разпространение на пукнатината в бетонови и стоманобетонови греди, подложени на огъване. Направени са анализи на резултатите, както и сравнения с експерименталните резултати за изследваните греди, получени от Leonhard and al. [].. Определяне на пътя на пукнатина в общо положение чрез критериите на линейната механика на разрушението Като се използват постановките на линейната механика на разрушението, е възможно да се изведат критерии за определяне на развитието на пукнатина в общо положение. В литературата (вж. [4]; [5]) са познати два основни критерия за определяне на разпространението на пукнатина: критерий на максималната енергия на разрушението и критерий на максималните главни напрежения. Тези два критерия ще бъдат описани последователно. Критерият на максималната енергия на разрушението се базира на следната идея: Известно е (вж. [4]; [5]), че при първа форма на разрушение коефициентът за интензивност на напреженията (КИН) К може да се изрази чрез енергията на разрушението G, както и че критичният КИН се изразява чрез критичната енергия на разрушението G f (при РНС): = GE ; = G E, (1) c, f където Е е модулът на еластичните деформации.

3 При смесена форма на разрушение енергията на разрушението е функция на коефициентите за интензивност на напреженията за първа и втора форма на разрушение (в случая на равнинната задача) G = G ( ; ). () За греда в общо положение началният момент за развитието на пукнатината може да се запише по следния начин G ( ; ) = G. (3) f Когато в тяло с пукнатина в общо направление енергията на разрушението достигне критичната стойност G f (константа за материала), се приема, че пукнатината започва да се развива. Направлението на развитие на пукнатината се определя от условието G ( ; ). θ=θ = maximum (4) c За направлението на по-нататъшно развитие на пукнатината енергията на разрушението има максимална стойност. Така критерият на максималната енергия на разрушението се изразява със следните две условия: G( ; ) maximum, θ=θ = c G ( ; ) = G. f (5) От едновременното изпълнение на горните две условия се определя направлението на новообразуваната пукнатина и нивото на натоварване, при което това се осъществява. Определянето на тези два параметъра на задачата за развитие на пукнатина (3) и (4) е най-добре да се извършва числено в програма по МГЕ или МКЕ, в която са вградени техники за определяне на параметрите на механика на разрушението коефициент за интензивност на напреженията и енергия на разрушението. Критерият на максималните главни напрежения се състои в следното: Както е известно от литературата ([4]; [5] и др.), критерият на главните опънни напрежения може да се изрази по следния начин: бъдещо развитие на пукнатината е възможно по направление, в което напреженията са опънни, главни и максимални: y crack tip θ r,x 1) σ = 0, rθ ) σ е максимално по отношение на θ, θθ 3) σ + σ e максимално по отношение на θ. θθ rθ Фиг. 1. Критерий за определяне на ъгъла на разпространение на пукнатината 3

4 Всяко едно от тези условия може да бъде използвано за определяне на направлението на развитие на пукнатината. Напреженията във върха на пукнатината могат да се изразят чрез коефициентите за интензивност на напреженията и по следния начин: 1 θ cos c θ sin c θ cos c cos θc θ sin c σ =, θθ πr + σ rθ cos 3θc 3 cos θc θ sin c =. Критерият за определяне на направлението на развитие на пукнатината (условие 1 от фигура 1), записано с използване на изразите (6), добива вида θ cos c θ sin c θ cos c cos θ c sin θ c + 0. = (7) θ Това уравнение има решение за cos c = 0 ( θ = ±π c ), което отговаря на съществуващия път на пукнатината и на минимално нормално напрежение. Ако се раздели горното уравнение на cos 3 θ c θ, се получава уравнение за tg c като функция на отношението θ tg c = 1 ± (8) 4 За да се определи натоварването, при което започва развитието на пукнатината, се използва следната идея (вж. [4]; [5] и др.). В новообразуваната пукнатина с направление θ с има само опънни напрежения, които имат вида 1 σ ( ), θθ = θ, (9) c πr където (θ c ) е еквивалентен коефициент за интензивност на напреженията при смесена форма на разрушение, имащ вида: ( ) 3θ cos c 3 cos θc θ θ = sin. c c Тъй като предпоставката за образуване на нова повърхност от пукнатината е, че има само нормални напрежения (тангенциалните са нула), е логично да се каже, че развитие на пукнатината ще има, когато (θ c ) достигне стойност К c или 3θ cos c 3 cos θ c θ sin c, = c (11) (6) (10) 4

5 където е критичнияt коефициент за интензивност на напреженията константа на c материала. Така критерият за развитие на пукнатина в общо положение се състои от следните две уравнения, които се решават съвместно: θ cos c θ sin c θ cos c cos θ c sin θc + 0, = 3θ cos c 3 cos θc θ sin c. = c В резултат от решаването на системата (1) се получава направлението, по което ще се развие пукнатината и нивото на натоварване, при което това ще се осъществи. Определянето на параметрите на задачата за развитие на пукнатина в общо положение е добре да се извършва числено в програма по МГЕ или МКЕ, в която са вградени техники за решаване на задачи от линейната и нелинейната механика на разрушението, което е цел на разработката. (1) 3. Определяне на пътя на пукнатина на срязване в бетонова греда в програма по МГЕ Beplane В настоящата статия е представена числената реализация на критериите за развитие на пукнатина в общо положение, извършена в програмата Beplane. Тази програма е базирана на метода на граничните елементи и има вградени различни процедури за изчисляване на параметрите на механика на разрушението. Повече информация за програмата може да бъде намерена в [6]. За определянето пътя на разпространение на пукнатина на срязване в бетонова греда в тази програма е използван критерият на максималната енергия на разрушението. Първоначално гредата е разделена на две подобласти с линейни гранични елементи по контура на областите, като е зададена малка начална пукнатина на разстояние х от опората на гредата. Разделянето на гредата на две подобласти е с произволно избрана права и е с цел по-лесната числена реализация на развитието на пукнатината. Във върха на началната пукнатина са поставени сингулярни гранични елементи за по-реалистично моделиране на преместванията в околността на върха на пукнатината. В програмата енергията на разрушението се определя чрез вътрешната еластична енергия (деформационната енергия) на тялото по следния начин. За да се пресметне скоростта на освободената енергия, е необходимо задачата да бъде решена при две отделни състояния. Тези две състояния на разглежданата система се различават по дължината на наличната пукнатина. Определянето на производната на деформационната енергия относно дължината на пукнатината изисква крайно увеличение на пукнатината по нейното направление. Схемата, по която става пресмятането на енергията на разрушение в програмата Beplane, е показана на фиг.. 5

6 нарастване на пукнатината нарастване на пукнатината а а+ a а 0 направление на нарастването на пукнатината a 0 направление на нарастването на пукнатината начална пукнатина начална пукнатина На фигурата е показана част от тяло с пукнатина в общо положение. Етапите на определяне на СОЕ са следните: 1) линейно решение на задачата при зададеното състояние с начална дължина на пукнатината а 0 +a определяне на деформационната енергия на тялото U 1 ; ) линейно решение на задачата при състояние с крайно, но малко увеличение на пукнатината a, ( a + a+ a ) определяне на деформационната енергия на 0 тялото U. Стойността на a се задава от изследователя. След това скоростта на освободената енергия се определя по следния начин: U U G = 1. a Фиг.. Определяне на скоростта на освободената енергия Предимството на този подход, както беше споменато, е че се използват глобални параметри на задачата. Недостатък на подхода е фактът, че са необходими две отделни решения на задачата, което води до разход на машинно време. Тъй като за определяне на пътя на разпространение и натоварването, при което това се осъществява, е необходимо удовлетворяването на двете условия (5), решението се извършва итеративно. В първата стъпка от решението се избира нарастване на пукнатината с краен размер. Чрез поредица от линейни решения (при промяна на ъгъла на новообразуваната пукнатина) се търси това направление, за което енергията на разрушението на гредата с увеличена пукнатина има максимална стойност. След като е известно направлението, се задава нарастване на външното натоварване, така че получената максимална стойност на енергията на разрушение да достигне граничната за материала G f. Известно е, че при промяна на нивото на натоварване се променя и напрегнатото състояние на гредата. По тази причина се прави отново проверка на направлението на развиващата се пукнатина чрез нова поредица от линейни решения, като се изменя направлението на новообразуваната пукнатина. (13) 6

7 Ако е необходимо, се дава и последващо изменение на външния товар до достигане на задоволителен резултат за направлението на новообразуваната пукнатина и товарното ниво. На фиг. 3 е илюстриран подходът за определяне на нарастването на пукнатина в общо положение, използван в програмата Beplane. а 0 а θ начална пукнатина зададено нарастване на пукнатината o 0 θ 180 o 1) търсене на ъгъла θ c o o 0 θ 180 определяне на G При G = G max θ = θ c. θ с направление на нарастването на пукнатината ) изменение на външния товар до достигане на условието G max = G f. а 0 начална пукнатина θ 3) За определеното външно натоварване се прави проверка на θ чрез ново търсене на G max. а 0 G G f начална пукнатина Фиг. 3. Процедура за определяне на ъгъла и натоварването при разпространение на пукнатината в общо положение В общия случай направлението на развитието на пукнатината θ c се влияе много слабо при малки изменения на големината на външното натоварване. Поради тази причина с достатъчна точност може да се приеме определеното в първата итерация направление θ c. В настоящата работа е направена последваща проверка за направлението θ c, която не е довела до изменението му. 7

8 4. Определяне на пътя на пукнатина на срязване в бетонови и стоманобетонови греди в програмния пакет по МКЕ - ANSYS За определянето на развитието на пукнатина на срязване в програмата ANSYS е използван критерият на максималните главни напрежения на линейната механика на разрушението. В числената симулация на този критерий са използвани изцяло числено получени резултати за главните напрежения и коефициентите за интензивност на напреженията. Първоначално в гредата (бетонова или стоманобетонова) се задава начална пукнатина с малък размер на разстояние х от опората на гредата. Гредата се разделя на две подобласти, като границата се избира произволно. Целта на това разделяне е полесно да се моделира отварянето на пукнатината, като само се освобождават възли от границата. Във върха на пукнатината се поставят така наречените сингулярни крайни елементи (от библиотеката на ANSYS [7]), с помощта на които по-реалистично се моделират преместванията във върха на пукнатината и по-точно се изчисляват коефициентите за интензивност на напреженията (КИН) за първа и втора форма на разрушение. Коефициентите за интензивност на напреженията се определят чрез преместванията в сингулярните елементи по следния начин [7]: θ cos ( κ+ cos θ ) π 4u u 3 3u G 1 =, (14) θ l 4v 3 sin ( cos ) v 3 v 1 κ θ за първа форма и θ sin ( +κ+ cosθ) ( 4u u 3 3u 1) π = G, θ l ( ) ( 4v v 3 3v cos cos 1) κ θ (15) за втора форма. Преместванията u i и v i (i = 1,, 3) са нормалните и тангенциалните премествания във възлите на крайния елемент във върха на пукнатината. Моделирането на околността около върха на пукнатината е показано на схемата подолу. 8

9 a) б) връх на пукнатината η ξ 3 3 v 1 θ u 1 свободна повърхност на пукнатината глобална коорд. система в) Фиг. 4. Моделиране на върха на пукнатината с равнинни сингулярни крайни На фиг. 4а е показан сингулярен краен елемент в премествания. Сингулярността идва от изместването на средния възел на крайния елемент на ¼ от дължината на страната на елемента. На фиг. 4б е дадено разположението на възлите на елемента 1, и 3 спрямо върха на пукнатината и направлението на преместванията u и v. На фиг. 4в е илюстрирано моделирането със сингулярни крайни елементи на околността около върха на пукнатината. Процедурата за решение на задачата е следната. Започва да се задава изменение на големината на външното натоварване, като за всяка стойност на товара се определят и във върха на пукнатината. С помощта на макрос се изчислява стойността на еквивалентния коефициент за интензивност на напреженията (θ c ) съгласно израз (10). При удовлетворяване на условието (11) е определена стойността на критичното натоварване, при което започва разпространение на пукнатината. Като втори етап в определянето на нарастването на пукнатината от численото решение се разпечатват главните напрежения около върха на пукнатината. Проверяват се стойностите в конкретни точки (възли) около върха на пукнатината и се взима максималната стойност. Отново от численото решение се взима направлението на това максимално, опънно главно напрежение. На фиг. 5 е показана една примерна картина на главните опънни напрежения около върха на пукнатината, техните стойности и избраната точка, от която ще се вземе направлението на главното напрежение при конкретната ситуация. От направлението на напрежението се определя и направлението на пукнатината θ c (перпендикулярно на направлението на опънните напрежения). Описаният процес е приблизителен, тъй като направлението се приема от напрежението в конкретна точка около върха на пукнатината (възел от мрежата), но резултатите се получават със задоволителна точност. 9

10 Процедурата за определяне на пътя на пукнатината може да се извърши и чрез аналитично определяне на ъгъла с формула (8) и макрос. Недостатък е, че по този начин решението се получава по-бавно, а резултатът е аналогичен. По тази причина в настоящата работа е избрано ъгълът на максималното главно опънно напрежение да се взима от численото решение, извършено с програмата ANSYS. След завършване на първата стъпка (определянето на големината на външния товар и ъгъла, при които ще се развие пукнатината) се задава нарастване на пукнатината с крайна големина по полученото направление. Следва нова стъпка от решението за определяне на големината на външния товар и ъгъла на разпространение за греда с увеличена пукнатина. максимално напрежение избрана точка за определяне на направлението връх на пукнатината Фиг. 5. Главни опънни напрежения около върха на пукнатината 5. Числени примери и сравнения За потвърждаване на верността на числените процедури тук са представени няколко числени примера на бетонова и стоманобетонова греди, подложени на огъвносрезни напрежения и с налична начална пукнатина. Направени са сравнения с данни от реален експеримент, както и сравнения между двете отделни числени процедури в двата програмни пакета ANSYS и Beplane. Първоначално е решена бетонова греда (греда 5 от реалните експерименти на Leonhard and al. [], но без армировка) с данни и геометрия (до средното ù сечение), показани на фигура 6. 10

11 начална пукнатина Данни за гредата: E = 0000 MPa f c = 3,5 MPa B =190 mm Фиг. 6. Бетонова греда с фиксирана начална пукнатина на срязване Показаната проста бетонова греда е с модул на еластичност E = 0000 MPa, якост на натиск f c = 3,5 MPa, дебелина B = 190 mm и гранична енергия на разрушението G f = 0,0957 N/mm. Подложена е на въздействието на две концентрирани сили, разположени симетрично спрямо оста на симетрията на гредата, както е показано на фиг. 6. Определянето на пътя на разпространение на пукнатината е извършено с програмата Beplane, в която е вграден критерият на граничната енергия на разрушението по начин, описан по-горе в настоящата статия. Резултатът за пътя на пукнатината, при който става разрушението на гредата, е показан на фиг. 7. Фиг. 7 Път на разпространение на пукнатината, получен с програмата Beplane и критерия на максималната енергия на разрушението Поради липсата на армировка в гредата се създава възможност за типично огъвна форма на разрушение. Вследствие на това, както се вижда от фиг. 7, пътя на пукнатината силно наподобява този на греда, подложена на чисто огъване и начална пукнатина в средното сечение, т.е. разрушението се осъществява по права почти вертикална линия. 11

12 1 S S S Y Z X Фиг. 8. Път на разпространение на пукнатината, получен с програмата ANSYS и критерия на максималните опънни напрежения За да бъде потвърден този интересен резултат, поради липса на данни от реален експеримент за тази греда, е извършено решение с програмата ANSYS. Решението е извършено с описаната в настоящата статия процедура за определяне на пътя на разпространение на пукнатината според критерия на максималните нормални напрежения на линейната механика на разрушението. На фиг. 8 е показан пътят на пукнатината, получен с програмата ANSYS. От фигурата се вижда, че резултатът се припокрива с този, получен с програмата Bepldne. Малките различия се дължат на факта, че в двата случая са използвани два различни критерия на линейната механика на разрушението и същевременно решенията са извършени с две програми, базирани на два различни числени метода МГЕ и МКЕ начална пукнатина съществуващи пукнатини Данни за гредата: E = 0000 MPa f c = 3,5 MPa B =190 mm A s = 98 mm Фиг. 9. Стоманобетонова греда с начална пукнатина, подложена на срязване 1

13 За илюстрация на описаната в ANSYS процедура е решена греда 5 от доклада на Lefnhard and al. [] стоманобетонова греда със зададена малка начална пукнатина. За да се доближи решението до крайния резултат от реалния експеримент, в настоящото решение е прието наличието на съществуващи пукнатини, които са достигнали крайната си големина преди да започне развитието на критичната пукнатина на срязване. На фиг. 9 са дадени размерите и материалните характеристики на гредата. Пукнатината, която ще бъде обект на изследвания, е на разстояние 15 mm от опората на гредата. Развитието на съществуващите пукнатини не е изследвано. Мястото и големината на тези предварително приети пукнатини е съобразено с резултати от реалния експеримент []. Армировката в гредата отговаря на два пръта N5 с площ, посочена на фигурата. В числената трактовка на гредата армировъчните пръти са моделирани с пружинен краен елемент COMBN 39. Тези пружини са съсредоточени в местата на отворените пукнатини. За конкретния случай критичната стойност на коефициента за интензивност на напреженията e c = 43,749 N/mm /3. Началната пукнатина е с дължина 40 mm. В последната 19-та стъпка от решението се е получил път на пукнатината, показан на фиг. 10. Като се сравнят резултатите, получени за греда с една и съща геометрия веднъж без армировка (бетоновата греда на фиг. 6) и с армировка (гредата от фиг. 9), се вижда как наличието на армировка в гредата променя значително пътя на разпространение на пукнатината. Разрушението на гредата вече става вследствие на срязване, а не на чисто огъване. Направени са допълнителни изследвания за оценка на влиянието на наличието на вече съществуващи пукнатини и е установено, че положението и броят им не променя значително пътя на развитие на пукнатината. Поради ограничения обем на статията тези изследвания не са поместени. Съществено влияние върху пътя на разпространение на критичната пукнатина има най-вече количеството на армировката в гредата. Фиг. 10. Път на разпространение на пукнатината, получен с програмата ANSYS и критерия на максималните опънни напрежения 13

14 За да се потвърди резултатът, получен с представената в настоящата статия процедура и програмата ANSYS, е направено сравнение с картината на пукнатините, взета от []. Фиг. 11. Картина на пукнатините, получена от реалния експеримент и тази, получена с критерия на линейната механика на разрушението На фигурата се вижда резултатът за пътя на пукнатината, получена с ANSYS (тънките плътни линии) и този, получен от реалния експеримент []. Разликата в пътя на пукнатината, получен числено и експериментално се дължи на няколко факта. Първо, началото на пукнатината в двата случая е на различно разстояние от опората. Това е така, защото в числения експеримент началната критична пукнатина е изчислено, а не е прието на база картината на реално получените пукнатини. Друга причина за различията е, че в програмата ANSYS гредата е моделирана като идеално еластична и хомогенна, което значително се отличава от зърнестия състав на бетона и неговите реологични свойства. Освен тези различия неточност предизвиква и простотата на критерия на линейната механика на разрушението за определяне на пътя на пукнатината. Извършено е решение за определяне на пътя на критичната пукнатина на още една греда от експериментите на Leonhard and al. [], а именно греда 8. На фиг. 1 е показана геометрията и материалните характеристики на гредата: И тази греда, както и предходната, има приети вече развити пукнатини и малка начална критична пукнатина на известно разстояние от опората на гредата. 150 начална пукнатина съществуващи пукнатини Данни на задачата: E = 0000 MPa; f c = 37,3 MPa; B =190 mm; A s = 106 mm Фиг. 1. Стоманобетонова греда с начална пукнатина подложена на срязване 14

15 След решението с представената в настоящата статия процедура, базирана на критерия на максималните опънни напрежения на линейната механика на разрушението, включен в програмния пакет ANSYS, се е получил показаният на фиг. 13 път на пукнатината за греда 8. Фиг. 13. Път на разпространение на пукнатината, получен с програмата ANSYS и критерия на максималните опънни напрежени Сравнението на получения по числен път резултат и този от реалния експеримент е показан на фиг. 14. Фиг. 14. Картина на пукнатините, получена от реалния експеримент и тази, получена с критерия на линейната механика на разрушението Линията на пукнатината, получена с програмата ANSYS, е тънка и пунктирана. От фигурата се вижда доброто съвпадение на реалния и числено получения път на критичната пукнатина. Разбира се, при тази греда отново се забелязват известни различия в резултатите, които се обясняват със същите доводи, както и при предходния пример. 6. Изводи От представените в тази работа сравнения и резултати могат да се направят следните изводи по отношение на числените процедури, вградени в програмите Beplane и ANSYS: Вграждането на критериите на линейната механика на разрушението дава възможност за бързо и сравнително точно определяне на пътя на развитие на пукнатина в общо положение както за бетонови, така и за стоманобетонови греди. Развитието на пукнатината е важен етап от решаването на по-общата задача за разрушаването на конструктивни елементи с разпространение на пукнатини, поради това познаването на пътя на развитието ù е от съществено значение за решаването на задачата. 15

16 Използването на един или друг критерий за определяне на пътя на пукнатината дава практически еквивалентни резултати, което позволява да се използва този от тях, който е по-бърз и по-удобен за вграждане в числена процедура във всяка конкретната ситуация, както това е направено в настоящата работа. Представените в настоящата статия числени процедури, вградени в програмите Beplane и ANSYS, могат да се използват успешно за определяне на пътя на разпространение на пукнатина в общо положение в бетонови и стоманобетонови греди. Получените данни за пътя на пукнатината могат да се използват автоматично от програмите за по-нататъшното решаване на греда с наличие на пукнатина, като се използват всички предимства отделно на МГЕ и МКЕ. ЛИТЕРАТУРА 1. Olsen, D. H. Concrete fracture and cracks growth- a fracture mechanics approach. PhD thesis, Department of Structural Engineering, DTU, Series R, No 4, Leonhardt, Fritz, René Walter. Schubversuche an einfeldrigen Stahlbetonbalken mit und ohne Schubbewehrung. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 151, Berlin Върбанов, Хр. Теория на еластичността. Техника, София, Bazant, Z., J. Planas. Fracture and Size Effect in Concrete and Other Quasibrittle Materials. CRC Press, LLC, Anderson, T. L. Fracture Mechanics Theory and Application. CRC Press, Ирина Керелезова-Кожухарова. Числено моделиране на кваэи-крехки материали с методите на механика на разрушението. Дисертационен труд, УАСГ, ANSYS 9.0: Help fille, Element manual, 005. Постъпила: януари, 006 г. NUMERCAL CALCULATON OF CRAC GROWTH PATH N CONCRETE AND RENFORCED CONCRETE BEAMS rina erelezova ey words: fracture mechanics, crack growth path, crack growth criteria, finite element method ANSYS, boundary element method BEPLANE ABSTRACT Two different methods for determining crack growth path in concrete and reinforced beams are presented in this paper. Two methods are used: finite element methods (FEM) and boundary element methods (BEM). The ANSYS program, with incorporated some macros programs, is employed for FEM. The Beplane program, with new subprograms incorporated, is used for BEM. The results obtained with the different methods are compared. Some comparisons are made with real experiments for concrete and reinforced concrete beams. 16

Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при

Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при изследване на устойчивостта на равновесната форма

Подробно

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА СТОМАНОБЕТОННИ МОСТОВИ КОНСТРУКЦИИ 1. ВЪВЕДЕНИЕ РАЗВИТИЕ НА СТРОИТЕЛНИТЕ МАТЕРИАЛИ 1 3 4 5 1. ВЪВЕДЕНИЕ СТОМАНОБЕТОН c ;. E ;. E, c c c cu =0,01% 0,015% =030MPa 3 1. ВЪВЕДЕНИЕ РАБОТНИ ДИАГРАМИ

Подробно

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисления върху уравненията за отравяне на ядрения реактор

Подробно

1 ТРИЕНЕ НА ТЕЛАТА Режими на триене Режими на триене α = h / R z1 +R z2 Гранично триене α 0 Смесено (полутечно) триене α 1 Течно триене α»1 α фактор н

1 ТРИЕНЕ НА ТЕЛАТА Режими на триене Режими на триене α = h / R z1 +R z2 Гранично триене α 0 Смесено (полутечно) триене α 1 Течно триене α»1 α фактор н ТРИЕНЕ НА ТЕЛАТА Режими на триене Режими на триене α h / R z +R z Гранично триене α 0 Смесено (полутечно) триене α Течно триене α» α фактор на хлабината, h дебелина на масления слой, R z параметър за грапавост

Подробно

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL E

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL E ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Voume 50 07 Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL ENGINEERING AND GEODESY SOFIA Получена: 50307 г Приета:

Подробно

Microsoft Word - GenPaperGodSecond-03.doc

Microsoft Word - GenPaperGodSecond-03.doc ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том 4 00 003 Vol 4 ANNUAIRE DE L UNIVERSITE D ARCHITECTURE, DE GENIE CIVIL ET DE GEODESIE SOFIA ОБОБЩЕН МГЕ ЗА РЕШЕНИЕ НА РАВНИННАТА

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ, г. Тема клас (Четвърта състезателна група) Прим

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ, г. Тема клас (Четвърта състезателна група) Прим МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ, 18.0.018 г. Тема 10-1.клас (Четвърта състезателна група) Примерни решения и критерии за оценяване Общи указания 1.

Подробно

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL E

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL E ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume 49 2016 Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL ENGINEERING AND GEODESY SOFIA 2 Приета: 12.11.2015 г.

Подробно

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL E

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL E ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume 49 2016 Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL ENGINEERING AND GEODESY SOFIA 2 Приета: 30.03.2016 г.

Подробно

<4D F736F F D20CBE5EAF6E8FF2D312D4D4B4520E220E3E5EEECE5F5E0EDE8EAE0F2E02E646F63>

<4D F736F F D20CBE5EAF6E8FF2D312D4D4B4520E220E3E5EEECE5F5E0EDE8EAE0F2E02E646F63> МКЕ в геомеханиката 1. 1D, 2D и 3D задачи в геомеханиката и дискретизация по МКЕ а. б. Фиг. 1 1D а. Деформируем пласт с ограничена дебелина; б. Модел по МКЕ Фиг. 2 2D Задачи за равнинна деформация (plane

Подробно

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL E

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL E ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТА ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ СОФИЯ Том Volume 49 2016 Брой Issue ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL ENGINEERING AND GEODESY SOFIA 2 Приета: 29.02.2016 г.

Подробно

УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ

УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ Механика ISSN -8 Транспорт том, брой /, г Комуникации статия 7 Научно списание УСТОЙЧИВОСТ НА КРИВА ТРЪБА, ОЧЕРТАНА ПО ОКРЪЖНОСТ Димитър Лолов, Светлана Лилкова-Маркова lolov@yahooco, llovasvlana@galco

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет Проектиране на непрекъснат П - регулатор инамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектирането им, могат да се окажат незадоволителни по отношение на

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 51, серия 4 Параметрично 3D проектиране на елемент от ръчен винтов крик Ахмед Али Ахмед Parametric

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 51, серия 4 Параметрично 3D проектиране на елемент от ръчен винтов крик Ахмед Али Ахмед Parametric Параметрично 3D проектиране на елемент от ръчен винтов крик Ахмед Али Ахмед Parametric 3D construction of a jack-screw s part: The paper describes a method for a parametric construction of the nut, which

Подробно

Microsoft Word - olymp_2017_USL_2

Microsoft Word - olymp_2017_USL_2 . За показаната стоманена конструкция:.. Да се построят диаграмите на разрезните усилия и да се намери усилието в прът на фермата... Участък DK да се оразмери по V-та якостна теория със стандартен стоманен

Подробно

АВТОМАТИЗИРАН КОМПЛЕКС ЗА СИТОПЕЧАТ ВЪРХУ ЦИЛИНДРИЧНИ ПОВЪРХНИНИ

АВТОМАТИЗИРАН КОМПЛЕКС ЗА СИТОПЕЧАТ ВЪРХУ ЦИЛИНДРИЧНИ ПОВЪРХНИНИ ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЗЪБНА ПРЕДАВКА ОТ ВОДНИ СЪОРЪЖЕНИЯ В СРЕДА НА САЕ СИСТЕМА Милчо Ташев Резюме: В настоящата статия са представени получените резултати от изследване в среда на САЕ система една конкретна зъбна

Подробно

Ñ Ï Ð À Â Ê À

Ñ  Ï  Ð  À  Â  Ê  À С П И С Ъ К НАУЧНИТЕ И НАУЧНО-ПРИЛОЖНИ ТРУДОВЕ НА ДОЦ. Д-Р ИНЖ. ИВАН ДИМИТРОВ МАРКОВ I. НАУЧНИ И НАУЧНО-ПРИЛОЖНИ ТРУДОВЕ ПО КОНКУРСА ЗА ДОЦЕНТ, 2002 1. Ив. Марков, Оптимизация на полегати черупки над правоъгълна

Подробно

Microsoft PowerPoint - Model_Dec_2008_17_21

Microsoft PowerPoint - Model_Dec_2008_17_21 Структура. Теория на графите общи понятия. Същност на мрежовите модели. Приложение на мрежови модели при управление на проекти и програми Общи понятия от Теорията на графите, използвани при мрежовите модели

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

РЕЦЕНЗИЯ на дисертационна работа за придобиване на ОНС Доктор по докторантска програма от професионално направление 5.4 Енергетика, специалност Промиш

РЕЦЕНЗИЯ на дисертационна работа за придобиване на ОНС Доктор по докторантска програма от професионално направление 5.4 Енергетика, специалност Промиш РЕЦЕНЗИЯ на дисертационна работа за придобиване на ОНС Доктор по докторантска програма от професионално направление 5.4 Енергетика, специалност Промишлена топлотехника с автор: инж. Андрей Христов Андреев

Подробно

Airport_orazm_nast_2_1.doc

Airport_orazm_nast_2_1.doc 3. Твърди настилки Твърдите настилки за летища се изпълняват от плоча от портландциментов бетон, положена върху подосновен пласт от несортиран минерален материал или от стабилизиран материал, който лежи

Подробно

Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит

Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит [1]. Линейната обучаваща машина (ЛОМ) е стравнително

Подробно

Mathematica CalcCenter

Mathematica CalcCenter Mathematica CalcCenter Основни възможности Wolfram Mathematica CalcCenter е разработен на базата на Mathematica Professional и първоначално е бил предназначен за технически пресмятания. Информация за този

Подробно

ISSN

ISSN FRI-9.3-1-THPE-13 ANALYTICAL PRESENTATION OF THE DIMENSIONLESS CHARACTERISTICS OF CENTRIFUGAL FANS Prof. Gencho Popov, PhD E-mail: gspopov@uni-ruse.bg Assoc. Prof. Kliment Klimentov, PhD Е-mail: kklimentov@uni-ruse.bg

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc ВЪПРОС 1 КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНИ Във въпроса Кинематика на материална точка основни понятия и величини вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

XХIV MНТК АДП-2015 ПРОЕКТИРАНЕ НА ЗАХРАНВАЩИ ПОЗИЦИИ В АВТОМАТИЗИРАН КОМПЛЕКС ЗА МОНТАЖ НА ДЕТАЙЛ ТИП ПЛАСТИНА Любомир Личев, Ренета Димитрова Резюме:

XХIV MНТК АДП-2015 ПРОЕКТИРАНЕ НА ЗАХРАНВАЩИ ПОЗИЦИИ В АВТОМАТИЗИРАН КОМПЛЕКС ЗА МОНТАЖ НА ДЕТАЙЛ ТИП ПЛАСТИНА Любомир Личев, Ренета Димитрова Резюме: ПРОЕКТИРАНЕ НА ЗАХРАНВАЩИ ПОЗИЦИИ В АВТОМАТИЗИРАН КОМПЛЕКС ЗА МОНТАЖ НА ДЕТАЙЛ ТИП ПЛАСТИНА Любомир Личев, Ренета Димитрова Резюме: Целта на настоящата статия е проектиране на захранващи позиции на детайли

Подробно

Microsoft Word - KZ_TSG.doc

Microsoft Word - KZ_TSG.doc ПРИЛОЖЕНИЕ НА ТЕОРИЯТА НА СИГНАЛНИТЕ ГРАФИ ЗА АНАЛИЗ НА ЕЛЕКТРОННИ СХЕМИ С ОПЕРАЦИОННИ УСИЛВАТЕЛИ В теорията на електронните схеми се решават три основни задачи: ) анализ; ) синтез; ) оптимизация. Обект

Подробно

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО ОБЩОТЕХНИЧЕСКА ПОДГОТОВКА Вариант 2 МАТЕМАТИКА 1. Изразът N = (a - 1) 3 (a + 1) 3 + 6(a - 1)(a + 1) е равен на: а

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО ОБЩОТЕХНИЧЕСКА ПОДГОТОВКА Вариант 2 МАТЕМАТИКА 1. Изразът N = (a - 1) 3 (a + 1) 3 + 6(a - 1)(a + 1) е равен на: а ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО ОБЩОТЕХНИЧЕСКА ПОДГОТОВКА Вариант МАТЕМАТИКА. Изразът N = ( - ) ( + ) + 6( - )( + ) е равен на: а) а б) а в) -6 г) -8. Ако уравнението x - x + c = 0 има корен x = -,

Подробно

Машинно обучение - въведение

Машинно обучение - въведение Линейна регресия с една променлива Доц. д-р Ивайло Пенев Кат. Компютърни науки и технологии Пример 1 Данни за цени на къщи Площ (x) Означения: Цена в $ (y) 2104 460 000 1416 232 000 1534 315 000 852 178

Подробно