МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the U

Препис

1 МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians St. Konstantin & Elena resort, Varna, April 2 6, 2007 ДВЕ ОПИСАНИ КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ И ДВЕ ПОРОДЕНИ ОТ ТЯХ МНОЖЕСТВА ОТ ПРАВИ Веселн Н. Ненков В настоящата статя се показва как с помощта на компютърната програма THE GEOMETER S SKETCHPAD се реалзра еврстчен подход пр открване на съдържателн твърденя в планметрята. Тоз подход е прложен за обобщаване на теоремата на Смсън за тръгълнка за да се разкрят няко от свойствата на опсанте около тръгълнк кончн сеченя. Исторята на математката фзката показва, че много резултат се получават по аналогя чрез обобщаване на добре зучен научн факт. Тоз начн за получаване на нов резултат м прдава по-задълбочен смсъл, който от своя страна г прав по-съдържателн. Това ма отражене върху подоброто разбране осмсляне, както на старте, така на новте резултат. По тоз начн се получава не само развте на науката, но метод за нейното трайно усвояване. Следователно, между установенте вече научн факт тяхното трайно усвояване ма пряка връзка. Порад тез прчн, в обученето може да се следва развтето на една дея, която майк пред всчко зследователск характер, предзвква по-голям нтерес у обучаванте даже у обучаващте [1]. Особено нтересно прложене на зследователскя подход в обученето може да се постгне с зползване на съвременнте нформацонн технолог. Използването на компютър с някоя спецална програма може да бъде много ефектвно ефектно пр обученето по планметря порад възможностте за нагледно представяне, преобразуване зследване на разглежданте обект. В средата на една компютърна програма реалзрането на зследователскя подход може да започне от геометрчна стуаця, която отразява добре звестна теорема. Основнте елемент на разглежданата конфгураця се намрат в някакв връзк. Едн от елементте се разглеждат като даден, между кото са зададен звестн връзк. Тез връзк пораждат друг елемент като следствя на първте. Връзкте между елементте-следствя характерзрат твърденето на теоремата. 392

2 За да се обобщ разглежданата теорема, трябва да се зясн как могат да се зменят свойствата на даденте елемент, връзкте между тях елементте следствя, така че да се запазят връзкте между елементте следствя л същте връзк да се променят по определен начн. За да се разкрят възможнте змененя е необходмо да се следва някаква аналогя с позната теорема. Следвайк ншката на определена аналогя, с помощта на програмата могат да се зследват разлчн хпотез. Възможно е да се постро хпотеза, която да не реалзра търсеното обобщене, а е възможно няколко хпотез да дават положтелен резултат. Всчко това лесно може да се експерментра с компютър. Когато хпотезата се окаже неправлна л некоректна, пр някоя промяна в параметрте се наблюдава съответно протворече. Когато обаче не се откре случай, пр който хпотезата не е вярна, това не означава, че таз хпотеза е търсеното обобщене, тъй като може да не сме да попаднал на протворече. В тоз случай трябва да се проведе коректно математческо доказателство на направеното наблюдене. Тоз зследователск подход за обучене може да се реалзра напрмер с програмата THE GEOMETER S SKETCHPAD. Това ще покажем пр обобщаването на звестната теорема на Смсън от геометрята на тръгълнка. Нека ABC е прозволен тръгълнк с опсана окръжност Γ. Известно е, че ако P е прозволна точка от Γ, то петте на перпендкулярте спуснат от P към правте BC, CA AB лежат на една права, която се нарча Смсънова права за точката P спрямо ABC [2]. От друга страна, окръжността Γ е само едн елемент на безкрайното множество от кончн сеченя, опсан около ABC. Затова е резонно да се потърс подобно свойство на точкте от тез кончн сеченя. В следващте редове, следвайк разсъжденя по аналогя, ще покажем как с помощта на програмата THE GEOMETER S SKETCHPAD може да се получ подобна права за всяко опсано около ABCкончно сечене. Ще зползваме барцентрчн коорднат спрямо ABC, като A 1, 0, 0, B 0, 1, 0 C 0, 0, 1 [3]. Означаваме с A 0 0, 1 2, 1 2, B 0 1 2, 0, 1 2 C 0 1 2, 1 2, 0 средте съответно на странте BC, CA AB. Ако O x 0, y 0, z 0 x 0 + y 0 + z 0 = 1 е прозволна точка в равнната на ABC, нележаща на нкоя от правте BC, CA AB, то точкте A, B, C съответнте м сметрчн спрямо O точк A 2x 0 1, 2y 0, 2z 0, B 2x 0, 2y 0 1, 2z 0, C 2x 0, 2y 0, 2z 0 1 лежат на кончно сечене k O с център O Фг. 1,2. Крвата k O ма следното уравнене: 1 k O : 1 2x 0 x 0 yz + 1 2y 0 y 0 zx + 1 2z 0 z 0 xy = 0. Определеното по тоз начн кончното сечене k O е аналог на опсаната окръжност Γ. Построяваме споменатте обект в програмата THE GEOMETER S SKETCHPAD. Нека P λ, µ, ν, където λ + µ + ν = 1, е прозволна точка от k O разлчна от върховете A, B C. Ако k O Γ, от P се спускат перпендкуляр към правте BC, CA AB. Трябва да определм таква прав през P, че да бъдат аналоз на споменатте перпендкуляр, когато k0 Γ. Перпендкулярте през прозволна 393

3 Фг. 1 Фг. 2 точка към правте BC, CA AB са успоредн на даметрте на Γ, мнаващ през точкте A 0, B 0 C 0. Следователно, можем да очакваме, че правте p a, p b p c през P, успоредн съответно на OA 0, OB 0 OC 0 са аналогчн на перпендкулярте. Да постром с програмата THE GEOMETER S SKETCHPAD през прозволна точка P от k O правте p a, p b p c успоредн съответно на OA 0, OB 0 OC 0. След това да постром точкте A P = p a BC, B P = p b CA C P = p c AB. Накрая построяваме правата A P B P. Забелязваме, че таз права мнава през C P Фг. 1,2. Оставяме точката P да се двж по k O установяваме, че точкте A P, B P C P внаг лежат на една права S P O. Ако променм точката O, променяме крвата k O, но точкте A P, B P C P продължават да лежат на една права S P O. По тоз начн установхме, че търсената аналогя настна съществува. Тя се зразява със следната: Теорема 1. Ако k O е прозволно кончно сечене с център точката O опсано за ABC, то точката P е от k O тогава само тогава, когато точкте A P, B P C P, кото се получават по опсаня по-горе начн, лежат на една права. Доказателство. Правата p a е определена от точката P λ, µ, ν векторът A 0 O x 0, 2y 0 1, 2z 0 1. От тез условя се получават скаларно-параметрчнте 2 2 ѝ уравненя p a : x = λ + x 0 t, y = µ + 2y 0 1 t, z = ν + 2z 0 1 t. 2 2 Правата BC ма уравнене x = 0, което комбнрано с последнте уравненя вод до A P 0, 2µx 0 + λ 1 2y 0, 2ν x 0 + λ 1 2z 0. 2x 0 2x 0 Аналогчно се получава, че 2λy0 + µ 1 2x 0 B P, 0, 2ν y 0 + µ 1 2z 0 2y 0 2y 0 2λz0 + ν 1 2x 0 C P, 2µz 0 + ν 1 2y 0, 0. 2z 0 2z 0 394

4 Тр точк U x U, y U, z U, V x V, y V, z V W x W, y W, z W лежат на една права тогава само тогава, когато е зпълнено равенството [3] x U y U z U 2 x V y V z V x W y W z W = 0. Като заместм коорднатте на A P, B P C P в 2 звършм необходмте преобразуваня получаваме, че те лежат на една права тогава само тогава, когато е зпълнено равенството 1 2x 0 x 0 µν + 1 2y 0 y 0 ν λ + 1 2z 0 z 0 λµ = 0. 4x 0 y 0 z 0 Като вземем предвд, че P не е нкой от върховете на ABC, от 1 се получава твърденето на теоремата. От теорема 1 следва, че правата S P O е аналог на Смсънова права за точка от Γ, затова можем да я наречем Смсънова права на точката P върху k O спрямо ABC. y 0 z 0 x0 z 0 Нека AO BC = A 1 0,,, BO CA = B 1, 0,, 1 x 0 1 x 0 1 y 0 1 y 0 x0 y 0 CO AB = C 1,, 0 G е медцентърът на ABC. Ако O G, 1 z 0 1 z 0 то A 1 A 0, B 1 B 0 C 1 C 0. В тоз случай правте p a, p b p c са успоредн съответно на AA 1, BB 1 CC 1. Затова правата S P G се получава не само пр условята на теорема 1. Ако ABC е неравностранен k O Γ, не се наблюдава получаването на права, породена от успоредността на правте p a, p b p c съответно с правте AA 1, BB 1 CC 1. Следователно, ако е възможно получаване на права по тоз втор начн, то е свързано с друго опсано за ABC кончно сечене k O, което е такова, че k G k G. Кончното сечене k O можем да търсм, като забележм по-спецално свойство на k G. Едно такова свойство е, че точкте A, B C са сметрчн на G съотвентно спрямо A 1 A 0, B 1 B 0 C 1 C 0. Затова нека пр прозволна точка O, точкте A z0 x 0 C 1 x 0, 1 + x 0 y 0 1 z 0, 1 + z 0 y 0 1 z 0, z 0, 1 + x 0 z 0 1 +, B y0 x 0 1, y 0, 1 + y 0 z 0 1 x 0 1 x 0 1 y 0 1 y 0 са сметрчнте на O съответно спрямо A 1, B 1 C 1. Нека с THE GEOMETER S SKETCHPAD постром крва от втора степен през прозволн пет от точкте A, B, C, A 1, B 1 C 1. Забелязваме, че шестте точк лежат на построената крва незавсмо от положенето на точката O вда на ABC Фг. 1,2. В действтелност лесно се проверява, че коорднатте на тез точк удовлетворяват уравненето 3 k O : 1 x 0 x 0 yz + 1 y 0 y 0 zx + 1 z 0 z 0 xy = 0. Нещо повече, лесно се вжда, че k O ма за център точката F O 1 x0, 1 y 0, 1 z 0, която е такава, че G дел насочената отсечка OF O в отношене 2:1. Следователно k O k F O. 395

5 Крвата k O ще нарчаме спрегната на k O. От казаното до тук следва, че k O е самоспрегната тогава само тогава, когато O G. Нека P λ, µ, ν λ + µ + ν = 1 е прозволна разлчна от върховете точка лежаща върху k O. Сега отново с THE GEOMETER S SKETCHPAD да постром правте p a, p b p c, кото са успоредн съответно на правте AA 1, BB 1 CC 1. Означаваме A P = p a BC, B P = p b CA C P = p c AB. След като направм съответнте построеня забелязваме, че точкте A P, B P C P лежат на една права S P O Фг. 1,2. Това н дава основане да формулраме следната: Теорема 2. Ако k O е спрегнатата крва на кончно сечене k O с център точката O опсано за ABC, то точката P е от k O тогава само тогава, когато точкте A P, B P C P, кото се получават по опсаня по-горе начн, лежат на една права. Доказателството на теорема 2 е аналогчно на доказателството на теорема 1. Проведенте разсъжденя показват, че деята за обобщене на теоремата на Смсън впоследстве се доразвва, за да се получ още едно твърдене от подобен вд. Всчкте тез зследваня водят до съдържателн твърденя, кото отразяват по-дълбока връзка на тръгълнка с опсанте му кончн сеченя. ЛИТЕРАТУРА [1] Ив. Ганчев, Ю. Колягн, Й. Кучнов, Л. Портев, Ю. Сдоров. Методка на обученето по математка VIII-XI клас, Първа част. Софя, [2] Г. Паскалев. Работата в кръжока по математка, част I. Народна Просвета, Софя, [3] Г. Паскалев, И. Чобанов. Забележтелн точк в тръгълнка. Народна Просвета, Софя, Веселн Ненков Ненков Технческ колеж Ловеч Ул. Съйко Съев 31 Ловеч, Българя vnenkov@mail.bg TWO DESCRIBED CONICS AND TWO SETS OF LINES ENGENDERED FROM THEM Vesselin N. Nenkov It is demonstrated how a heuristic approach in discovering content assertions in the plane geometry is implemented by means of the computer software THE GEOMETER S SKETCHPAD. This approach is applied in summarizing Simson s theorem of the triangle for revealing some of the properties of the conics described around a triangle. 396