Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Размер: px
Започни от страница:

Download "Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс"

Препис

1 . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова

2 Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик Готхолд Айзенщайн (ученик на Гаус) през 1844 г. и през 1858 г. от английския му колега Артър Кейли. Обратната матрица на дадена квадратна неособена матрица, както и формула за нейното получаване, са дадени за пръв път също от А. Кейли.

3 Умножение на матрици Нека A = (a ij ) M m k (K) и B = (b ij ) M k n (K). Тогава матрицата от тип m n с елементи c ij, получени по правилото c ij = т.е. матрицата n a is b sj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ik b kj, (1) s=1 a 11 b a 1k b k1 a 11 b a 1k b k2 a 11 b 1n + + a 1k b kn a 21 b a 2k b k1 a 21 b a 2k b k2 a 21 b 1n + + a 2k b kn a m1 b a mk b k1 a m1 b a mk b k2 a m1 b 1n + + a mk b kn се нарича произведение на матриците A и B (в посочения ред) и означаваме с AB.

4 Умножение на матрици Правилото за умножение на матрици (1) накратко се нарича ред по стълб, защото елементите от редовете на матрицата A умножават съответните елементи от стълбовете на матрицата B. За да получим елементите от даден ред на AB, трябва да умножим реда със същия пореден номер на A последователно със всички стълбове на B. Отбелязваме, че две матрици могат да бъдат умножени, само ако броят на стълбовете на първата матрица е равен на броя на редовете на втората (т.е. ако редовете на първата и стълбовете на втората, разгледани като вектори, имат равен брой координати). Произведението на две матрици е матрица, на която броят на редовете е равен на броя на редовете на първата матрица, а броят на стълбовете е равен на броя на стълбовете на втората матрица.

5 Умножение на матрици пример Намерете произведението на матриците A = , B = Матриците A и B могат да бъдат умножени, тъй като първата от тях е от тип (4 3), а втората е от тип (3 2). Следователно произведението им C = AB е (4 2)-матрица. За намирането на елементите от първия ред на C = (c ij ) умножаваме последователно първия ред на A с всички стълбове на B. Аналогично постъпваме и за получаването на останалите три реда на C. c 11 = ( 1)( 1) = 3, c 12 = ( 1) = 1, c 21 = ( 1) = 7, c 22 = = 3, c 31 = ( 3)( 1) = 8, c 32 = ( 3) = 2, c 41 = ( 1) = 14, c 42 = = 6..

6 Умножение на матрици пример Така получихме C = AB = = Нека отбележим, че за двете матрици от този пример не може да бъде получено матричното произведение BA, тъй като броят на стълбовете на B не е равен на броя на редовете на A. Последното показва важно свойство на матричното умножение, а именно, че за произволни матрици A и B: AB BA матричното умножение не е комутативно.

7 Умножение на матрици пример Нека са дадени квадратните матрици A и B от 2-ри ред ( ) ( ) A =, B = Намерете AB, BA и проверете, че AB BA. ( ) ( ) ( AB = = ( ) ( ) ( BA = = ), ).

8 Умножение на матрици свойства AB BA (некомутативност); (AB)C = A(BC) (асоциативност); A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA (ляв и десен дистрибутивен закон); λ(ab) = (λa)b = A(λB), λ R; (AB) T = B T A T ; det(ab) = det A det B (за A и B квадратни матрици от n-ти ред); Съществува квадратна матрица E от n-ти ред, наречена единична матрица, такава че за всяка квадратна матрица A от n-ти ред е изпълнено AE = EA = A. Матрицата E има вида E =

9 Умножение на матрици пример Намерете всички квадратни матрици B от 2-ри ред, които комутират с матрицата ( ) 1 2 A =, 3 4 т.е. матриците, за които AB = BA. Нека Пресмятаме AB = ( ( x y BA = z t ( x y B = z t ). ) ( ) ( x y x + 2z y + 2t = z t 3x + 4z 3y + 4t ) ( ) ( x + 3y 2x + 4y = z + 3t 2z + 4t ), ).

10 Умножение на матрици пример Приравнявайки четирите съответни елемента на AB и BA, достигаме до системата хомогенни линейни уравнения 3y 2z = 0 2x + 3y 2t = 0 x + z t = 0, чиито решения са x = t z, y = 2z 3, z, t R. Следователно ( ) t z 2z B = 3. z t

11 Обратими матрици Квадратната матрица A от n-ти ред се нарича обратима (неособена), ако съществува квадратната матрица A 1 също от ред n такава, че AA 1 = A 1 A = E. Матрицата A 1 се нарича обратна матрица на матрицата A. Обратната матрица на всяка матрица е единствена. Изпълнено е ( A 1 ) 1 = A. Обратната матрица на единичната матрица E е единичната матрица, т. е. E 1 = E. За произволни квадратни матрици A и B от n-ти ред е изпълнено Твърдение (AB) 1 = B 1 A 1, (A 1 ) T = (A T ) 1. Една квадратна матрица A е обратима, точно когато det A 0.

12 Метод на адюнгираните количества за намиране на обратна матрица Нека A = (a ij ) е квадратна матрица от n-ти ред, за която det A 0. Образуваме матрицата (A ij ) от адюнгираните количества A ij на елементите a ij. Тогава матрицата A 1 = 1 det A (A ij) T = е обратната матрица на A. A 11 det A A 12 det A A 21 det A... A n1 det A A 22 det A... A n2 det A A 1n det A A 2n det A... A nn det A

13 Метод на адюнгираните количества пример Нека разгледаме произволна обратима квадратна матрица от 2-ри ред, т.е. ( ) a b A =, ad bc 0. c d Тогава матрицата е обратната матрица на A. ( ) A 1 1 d b = ad bc c a

14 Метод на адюнгираните количества пример Нека намерим обратната матрица на A = Имаме det A = 3 0. Пресмятаме адюнгираните количества на елементите на матрицата: A 11 = ( 1) = 1, A 12 = ( 1) = 4, A 13 = ( 1) = 1,

15 Метод на адюнгираните количества пример A 21 = ( 1) A 23 = ( 1) = 1, A 22 = ( 1) = 1, = 1, A 31 = ( 1) A 33 = ( 1) = 3, A 32 = ( 1) = 0. = 3,

16 Метод на адюнгираните количества пример Тогава обратната матрица на A има вида A 1 =

17 Метод на Гаус-Жордан за намиране на обратна матрица Методът на Гаус-Жордан се състои в следния алгоритъм: Образуваме разширената матрица (A E n ). Извършваме краен брой елементарни преобразувания само по редовете на (A E n ) така, че Тогава B = A 1. (A E n ) (E n B).

18 Метод на Гаус-Жордан пример Намерете обратната матрица на A = Разширяваме матрицата A с единичната квадратна матрица E от същия ред като A, т.е. трети, след което извършваме елементарни преобразувания само по редовете на цялата матрица (A E) така, че E да премине на мястото на A. Съгласно използвания метод, матрицата, получена вдясно (на мястото на E), ще бъде A 1..

19 Метод на Гаус-Жордан пример (A E) = ( 1/2) = (E A 1 )

20 Матрични уравнения Уравнения от вида AX = B, XA = B, (2) където матриците A и B са дадени, а X е неизвестна матрица, се наричат матрични уравнения. Ако матрицата A е обратима, то решенията на горните две уравнения се намират чрез умножаване на двете им страни с A 1, съответно отляво или отдясно. Така решението на първото уравнение е X = A 1 B, а на второто X = BA 1. В случай, че A не е обратима, матричните уравнения (2) се решават, като се свеждат до система линейни уравнения за елементите на неизвестната матрица X.

21 Матрични уравнения пример Намерете неизвестната матрица X от уравнението AX = B, където A = , B = Проверете, че A е обратима (det A = 1 0) и намерете A 1. Тогава X = A 1 B = =

22 Матрични уравнения пример Намерете неизвестната матрица X от уравнението AX = B, където ( ) ( ) A =, B = Тъй като det A = 0, което означава че не съществува обратна матрица A 1, то не можем да използваме подхода от предходния пример. Вместо това ще сведем даденото матрично уравнение до система линейни уравнения за елементите на неизвестната матрица X, която също трябва да бъде квадратна матрица от втори ред. Следователно X има вида ( ) x1 x X = 2. x 3 x 4

23 Матрични уравнения пример Тогава, извършвайки матричното умножение в лявата страна на уравнението и приравнявайки съответните елементи на матриците AX и B, достигаме до следната система линейни уравнения x 1 + 2x 3 = 3 2x 1 + 4x 3 = 6 x 2 + 2x 4 = 5 2x 2 + 4x 4 = 10. Горната система е еквивалентна на x 1 + 2x 3 = 3 x 2 + 2x 4 = 5, която очевидно е неопределена. Полагаме x 3 = p и x 4 = q, където p, q R. Тогава за останалите неизвестни получаваме x 1 = 3 2p и x 2 = 5 2q.

24 Матрични уравнения пример Следователно матриците X, които са решения на даденото матрично уравнение, имат вида ( ) 3 2p 5 2q X =, p, q R. p q

25 Литература Т. Моллов, Ст. Миховски.. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, П. Балючев, К. Коликов, А. Стоянова. Ръководство за решаване на задачи по линейна алгебра. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald. Linear algebra and its applications, 5th ed. Pearson, G. Strang. Linear algebra and its applications, 4th ed. Nelson Engineering, G. Strang, Introduction to linear algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016, gs/linearalgebra/. H. Anton, C. Rorres. Elementary linear algebra (applications version), 11th ed. Wiley, P. J. Olver, Ch. Shakiban. Applied linear algebra, 2nd ed. Springer, T. S. Shores. Applied linear algebra and matrix analysis, 2nd ed. Springer, 2018.

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

C:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi

C:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА СОЗОПОЛ, 30 МАЙ ЮНИ 204 Г. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ НАЦИОНАЛНА

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. ( точки) Дадени са линейно пространство U с базиси e 1, e и e 1 = e 1 +e, e = e 1 + 3e

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи, може да се каже, че идеята за т.н. детерминанта като число, харак

ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи, може да се каже, че идеята за т.н. детерминанта като число, харак ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи може да се каже че идеята за т.н. детерминанта като число характеризиращо дадена квадратна матрица се появява още при

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да

Подробно

Семинар Матрици, детерминанти и система от линейни уравнения (преговор) Задача. Съберете и извадете двете матрици A и B на ръка A B Р

Семинар Матрици, детерминанти и система от линейни уравнения (преговор) Задача. Съберете и извадете двете матрици A и B на ръка A B Р Семинар Матрици детерминанти и система от линейни уравнения (преговор). Съберете и извадете двете матрици и на ръка. Решение: Матрици се събират и изваждат като се събират и изваждат съответните елементи

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ 40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Microsoft Word - UIP_mat_7klas_

Microsoft Word - UIP_mat_7klas_ Приложение 2 УЧЕБНО-ИЗПИТНА ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ В КРАЯ НА VII КЛАС І. Вид и времетраене Изпитът от националното външно оценяване е писмен. Равнището на компетентностите

Подробно

zadIresheniqfNSOM2019.dvi

zadIresheniqfNSOM2019.dvi НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, гр. Варна, 0 май 09 г. Национална комисия на НСОМ 09 Председател: акад. дпн Сава Иванов Гроздев, ВУЗФ София Секретар: доц. д-р Илияна Петрова Раева, РУ Ангел

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

kk7w.dvi

kk7w.dvi Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, 13-14 уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означените действия: (i ( + i + ( i ; (ii (1 + i 3 (1 i 3 ; (iii

Подробно