DIC_all_2015_color.dvi

Размер: px
Започни от страница:

Download "DIC_all_2015_color.dvi"

Препис

1 РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05

2 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика на Технически университет - Габрово проф. дмн Румен Николов Даскалов е завършил ФМИ на СУ Св. Кл. Охридски. Защитил е докторат в областта на комбинаторната теория на кодирането. Член е на American Mathematical Society AMS), The Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE) и Съюз на математиците в България СМБ). доц. д-р Елена Методиева Даскалова е завършилa ФМИ на СУ Св. Кл. Охридски. Защитила е докторат в областта на комбинаторната теория на кодирането. В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А, Част II, Учебник за студенти от инженерно-технически специалности. Четвърто издание, 94 стр.

3 3 ПРЕДГОВОР Учебникът Висша математика, част II, е предназначен за студенти от Технически университет - Габрово с образователно-квалификационна степен бакалавър. Основна цел на авторите е била да се намери необходимия баланс между последователното, логическо изграждане на математическите понятия и усвояването им от бъдещите инженери като основен апарат за изучаване на общо-техническите и специални дисциплини и използването им в приложни и научни изследвания. В съответствие с ограничения хорариум, ударението е поставено на втората страна, като изложението е подкрепено с множество примери и подробно решени задачи. Включени са следните раздели: функция, граница на функция, производна на функция, изследване на функция и неопределен интеграл. Това е основната част от материала, който се изучава от студентите от всички специалности през втори семестър. Всяка глава съдържа съответния теоретичен материал, примери, голям брой решени задачи и задачи за самостоятелна подготовка. Всички задачи имат отговори, което ще улесни студентите при самостоятелната им работа. Учебникът ще бъде особено полезен за студенти задочно и дистанционно обучение. Февруари 05 г. Авторите

4 4 СЪДЪРЖАНИЕ ГЛАВА - Функция. Граница на функция Безкрайни числови редици Функция. Основни елементарни функции... - Граница на функция Непрекъснатост на функция... ГЛАВА - Производна на функция Основни дефиниции и формули Производни от по-висок ред Диференциал на функция Основни теореми на диференциалното смятане Неопределени форми. Теореми на Лопитал...4 ГЛАВА 3 - Изследване на функция Монотонност и екстремум Изпъкналост и вдлъбнатост Асимптоти Изследване на функция и чертане на графика ГЛАВА 4 - Неопределен интеграл Таблични интеграли Интегриране чрез внасяне под знака на диференциала Интегриране чрез смяна на променливата Интегриране по части Интегриране на рационални функции Интегриране на ирационални функции Интегриране на тригонометрични функции Нерешими интеграли... 89

5 Глава Функция. Граница на функция Целта на тази глава е да запознае читателя с основни понятия в математическия анализ, като безкрайна числова редица, граница на безкрайна числова редица, функция, граница на функция, непрекъснатост на функция. I. Безкрайни числови редици Дефиниция. Казва се, че е дефинирана безкрайна числова редица a, a, a 3,..., a n,..., ако на всяко естествено число n по определено правило е съпоставено число a n. Числата a, a,... се наричат членове на редицата; a n се нарича общ член на редицата. За числова редица ще използваме означението {a n }. Редицата {a n } е ограничена, ако съществува краен и затворен интервал[m,m], съдържащ всички членове на редицата, т.е. такъв, че за всяко n да бъде изпълнено m < a n < M. Известно е, че между реалните числа и точките от реалната права има взаимноеднозначно съответствие. Поради тази причина ще отъждествяваме числото a с точката a. Дефиниция. Околност на точката a наричаме всеки отворен интервал, съдържащ тази точка. Интервалът a ε, a + ε) наричаме ε околност на точката a. Условието a n a ε, a+ε) може да се запише по няколко начина: a ε < a n < a+ε ε < a n a < ε a n a < ε. Дефиниция.3 Числото a се нарича граница на редицата {a n }, ако за всяко ε > 0 съществува такова число N, че за всяко n > N е изпълнено a n a < ε. Това се означава с a n = a или n a n = a или a n a. Редица, която има граница, се нарича сходяща. Редица, която не е сходяща, се нарича разходяща.

6 6 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Теорема. Всяка сходяща числова редица е ограничена. Доказателство: Според дефиниция.3, каквото и ε > 0 да изберем, на него съответства такова число N, че всички членове на редицата {a n } с индекс номер) n по-голям от N, т.е. всички от известно място нататък, се намират в ε околност на точката a. Следователно извън тази околност остават краен брой членове. Това означава, че можем да намерим числаmиm такива, чеm < a n < M за всяко n. Теорема. Ако a n = a, b n = b и ако за всяко n имаме a n b n, то a b. Доказателство: Да допуснем, че a > b и да изберем ε = a b Тогава съществува число N, такова че при n > N е изпълнено a ε < a n < a+ε. > 0. Аналогично съществува число N, такова че при n > N е изпълнено b ε < b n < b+ε. Но очевидно b+ε = a ε = a+b Следователно за n > man,n ) е изпълнено b n < b+ε = a ε < a n, противоречие. Следователно a b. Следващата теорема е известна като теорема лема) за двамата полицаи. Теорема.3 Ако a n = b n = l и a n c n b n за всяко n, то c n = l. Доказателство: Нека ε > 0. Тогава съществува число N, такова че при n > N е изпълнено l ε < a n < l +ε. Аналогично съществува число N, такова че при n > N е изпълнено Тогава за n > man,n ) е изпълнено l ε < b n < l +ε. l ε < a n c n b n < l+ε, т.е. c n = l. Теорема.4 Ако a n = a и b n = b, то:. a n ±b n ) = a n ±b n = a±b. a n.b n ) = a n.b n = a.b 3. Ако b n 0 за всяко n и b 0, то a n b n = a b.

7 Редицата {a n } е монотонно растяща, ако за всяко n е изпълнено a n a n+. Редицата {a n } е монотонно намаляваща, ако за всяко n е изпълнено a n a n+. Редицата {a n } е ограничена отгоре, ако съществува такова число M, че за всяко n е изпълнено a n < M. Редицата {a n } е ограничена отдолу, ако съществува такова число m, че за всяко n е изпълнено m < a n. Теорема.5 Всяка монотонна и ограничена числова редица е сходяща. Теоремата можем да разделим на две твърдения:. Всяка монотонно растяща и ограничена отгоре редица е сходяща.. Всяка монотонно намаляваща и ограничена отдолу редица е сходяща. Дефиниция.4 Казваме, че редицата {a n } клони дивергира) към плюс безкрайност a n + ), ако за всяко положително число M съществува такова число N, че от n > N да следва a n > M. Казваме, че редицата {a n } клони дивергира) към минус безкрайност a n ), ако за всяко отрицателно число M съществува такова число N, че от n > N да следва a n < M. 7 Теорема.6 Ако a n = ±, то a n = 0 и обратно, ако a n = 0, то a n = ±.. n k =. q n = +, k > 0, 0, k < 0,, k = 0. +, q >, 0, q <,, q =. Основни граници 3. Ако a n = a > 0, то n a n =. 4. n n = n) n = e, където числото e,78 се нарича Неперово число.

8 8 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Обърнете внимание Ако a n =, то + a n ) an = e. Например: + ) n 3 = e. n 3 ЗАДАЧИ. Намерете границата n 3 3n + n 3 5n +4n 3. Решение: n 3 3n n n 3 5n +4n 3 = n + ) n 3 n 3 5 n + 4 n 3 ) = n 3 = 3 n + n 3 5 n + 4 n 3 n 3 = =.. Намерете границата n4 3n+5 n n 3. Решение: n 4 3 n4 3n+5 n n 3 = n + 5 ) 3 n 4 n n 3 ) = n n 3 n n 4 ) n 3n ) = +.3 Намерете границата n4 n+4 n 5 n 3. Решение: n 4 n4 n+4 n 5 n 3 = n + 4 ) 3 n 4 n 5 n 3 ) = 4 n 5 n 3 + 4n 4 ) n n 3n ) = 0 4 5

9 9.4 Намерете границата n++ n n+ n. Решение: ) ) n++ n n++ n n++ n = ) ) = n+ n n+ n n++ n = n++ n+. n +n ) = n+) n ) = n+ ) n = + n+ n ) =.5 Намерете границата n n ). Решение: n n ) = n n ) n+ n ) n+ n = = n n ) = = 0. n+ n n+ n.6 Намерете границата n) n. Решение: n) n = = ) n n = n ) n = n n + ) n + ) = e = e, n n ) n = n + n защото + ) n = e и + ) n n =.

10 0 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Задачи за самостоятелна работа: Да се намерят границите на редиците с общ член:.7 a n = 5n +3n Отг a n = n ) n 3 Отг a n = 5n3 n +n+3 n 3 +5n.0 a n = n4 n 3 +7n+5 n 5 n 3 +5n 4. a n = n 5n+7 n3 + 5n 3 + Отг. 5. Отг. 0. Отг. 0.. a n = 3 n4 +5n n Отг a n = n+3 n Отг a n = 3n+5 n Отг a n = n + n 4 n3 +n n+n Отг...6 a n = n!n+3) n+)! n+)! Отг. 0. С n! произнася се n факториел) се означава произведението на естествените числа от до n, т.е. n! =..3...n. По дефиниция 0! =.

11 II. Функция Понятието функционална зависимост е едно от основните понятия в математиката и играе главна роля в нейните приложения. Дефиниция.5 Нека D е числово множество и нека по определено правило на всяко число D е съпоставено по едно реално число f). Тогава се казва, че в множеството D е зададена функция. Най-често функцията означаваме с y = f), където е аргумент или независима променлива, а y е зависимата променлива. Множеството D се нарича дефиниционно множество или дефиниционна област. Множеството от всички стойности y = f), D, се нарича област от стойности на функцията или образ на множеството D. Ако в равнината имаме правоъгълна координатна система Oy, множеството от точки с координати,f)), D, се нарича графика на функцията y = f) или крива с уравнение y = f). Функцията y = f) се нарича четна, ако f ) = f). Графиката на такава функция е симетрична относно ординатната ос.

12 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Функцията y = f) се нарича нечетна, ако f ) = f). Графиката на такава функция е симетрична относно координатното начало. Функцията y = f) се нарича периодична, ако f+t) = f). Най-малкото положително число T с това свойство се нарича период на функцията. Ако съществува число M, така че f) < M за всяко D, то функцията f) се нарича ограничена. С други думи една функция е ограничена, ако нейното множество от функционални стойности е ограничено. Функцията f) се нарича строго растяща, ако от < следва f ) < f ). Функцията f) се нарича строго намаляваща, ако от < следва f ) > f ). Следващите функции се изучават в училищния курс по математика и се наричат Основни елементарни функции. y = α, > 0, α- реално число степенна функция. y = a, a > 0, a показателна функция 3. y = log a, > 0, a > 0, a логаритмична функция 4. y = sin, y = cos, y = tg, y = cotg тригонометрични функции

13 Графиките на тази страница са графики на основни елементарни функции. 3

14 4 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Ако a = e, то функцията y = e се нарича експоненциална функция, а y = log e = ln се нарича натурален логаритъм. Графиките на двете функции са представени на следващата фигура. Дефиниция.6 Функцията f) се нарича обратима, ако от неравенството следва f ) f ), т.е. когато на различни стойности на аргумента съответстват различни стойности на функцията. Това условие, разбира се, не е изпълнено за всяка функция. Очевидно е обаче, че то е в сила за всяка строго растяща или строго намаляваща функция, т.е. строго растящите и строго намаляващите функции са обратими. Дефиниция.7 Нека функцията y = f), D, y M е обратима. Функцията = gy), y M, D, която на произволна стойност y 0 M съпоставя онази стойност 0 D, за която f 0 ) = y 0, се нарича обратна на функцията y = f).

15 От дефиницията виждаме, че областта от стойности на дадената функция служи за дефиниционна област на обратната функция, а дефиниционната област служи за област от стойности на обратната функция. Обратната функция на f) D) се бележи с f ) M). Често двойката функции f) и f ) се наричат права и обратна функции. Очевидно е, че са в сила следните равенства: ff )) =, M и f f)) =, D. 5 Графиките на двете функции права и обратна) са симетрични спрямо ъглополовящата на първи и трети квадрант. Лесно е да се убедим в това чрез следващия чертеж. Наистина, нека точка A,f)) лежи на графиката на правата функция f). Тогава точка Bf), ) лежи на графиката на обратната функция. Вижда се, че ABC е правоъгълен и равнобедрен. Тогава CD е ъглополовяща, височина и медиана. Следователно AD = BD. y Bf),) y = D C A,f)) O Пример: Да разгледаме функцията f) = в интервала [0, ). Тъй като функцията е строго растяща, тя е обратима и нейната обратна е f ) =. Наистина, функцията е дефинирана в интервала [0, ) областта от стойности на е същият интервал) и f f)) = = и ff )) = ) =. Пример: Експоненциалната функция и натуралният логаритъм са взаимно обратни функции. Наистина, дефиниционната област на функцията e и областта от стойности на ln) е интервалът, ), a дефиниционната област на функцията ln) и областта от стойности на e е интервалът 0, ). Освен това f f)) = lne ) = и ff )) = e ln) =. Тригонометричните функции y = sin, y = cos, y = tg, y = cotg, разгледани в подходящи интервали, в които те са или строго растящи или строго намаляващи, имат обратни функции, които се наричат съответно аркус синус, аркус косинус, аркус тангенс и аркус котангенс. Обратните кръгови функции също са основни елементарни функции. Основните сведения за тях са дадени в следващата таблица.

16 6 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Обратни кръгови функции функция y = sin [ π, π ] y [,] строго растяща y = cos [0,π] y [,] строго намаляваща y = tg π, π ) y,+ ) строго растяща y = cotg 0,π) y,+ ) строго намаляваща обратна функция y = arcsin [,] [ y π, π ] строго растяща y = arccos [,] y [0,π] строго намаляваща y = arctg,+ ) y π, π ) строго растяща y = arcctg,+ ) y 0,π) строго намаляваща ) Пример: arcsin = π π ) 6, защото sin =, т.е. при пресмятането на arcsin 6 [ трябва да намерим онази стойност на y π, π ], за коятоsiny) =. Аналогично arcsin = π π ) ) 4, защото sin = и arctg = π π ) 4 4, защото tg =. 4 Дефиниция.8 Ако y = fu), а u = ϕ), то функцията F) = fϕ)) се нарича съставна функция, сложна функция или функция от функция. Дефиниция.9 Елементарни функции ще наричаме функциите, които се получават от основните елементарни функции и операциите събиране, изваждане, умножение, деление и функция от функция. Алгебричните функции включват в себе се рационалните и ирационалните функции. Функциите, които не са алгебрични се наричат трансцендентни.

17 7 ЗАДАЧИ.7 Да се определи дефиниционната област на функцията y = 3 0. Решение: Знаменателят не може да бъде нула, а изразът под корена трябва да бъде неотрицателен. Следователно функцията е дефинирана, когато 3 0 > 0. Решаваме това неравенство. Тъй като в израза участва, ще разгледаме два случая.. Ако, 0), то = и получаваме неравенство 5 0 > 0, т.е.,+ ). Но < 0 и следователно в този случай неравенството няма решение.. Ако [0,+ ), то = и получаваме неравенството 0 > 0, т.е 0,+ ). Обединяваме резултатите от двата случая и получаваме, че дефиниционната област на функцията е интервала 0,+ )..8 Да се определи дефиниционната област на функцията y = ln5 ). Решение: Логаритмичната функция е дефинирана само за положителни стойности на аргумента. Следователно дефиниционната област се определя от условието 5 > 0, т.е., 5 )..9 Да се определи дефиниционната област на функцията y = cos ln + ). Решение: Функцията косинус е дефинирана за всяка реална стойност на аргумента, а логаритмичната функция е дефинирана само за положителни стойности на аргумента. Следователно дефиниционната област се определя от условието + > 0 +) ) > 0. Решаваме последното квадратно неравенство и получаваме, че дефиниционната област на функцията е, ),+ )..0 Да се определи дали е четна или нечетна функцията y = sin cos. Решение: Имаме: y ) = sin ) )cos ) = sin +cos = Следователно функцията е нечетна. = sin cos ) = y).

18 8 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ. Да се установи дали е четна или нечетна функцията y = ln + + ). Решение: Имаме: ) + y ) = ln ) + + ) + ) = ln + + = = ln + + = ln + ) + = y). Следователно функцията е нечетна.. Да се установи дали е четна или нечетна функцията y = e. Решение: y ) = e. Ако функцията е четна, то трябва за всяко да бъде изпълнено e = e, т.е. e = e, което очевидно не е вярно. Ако функцията е нечетна, то трябва за всяко да бъде изпълнено e = e, т.е. e = e, което също не е вярно. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна..3 Да се определи периодът на функцията y) = sin. Решение: Функцията sin е периодична с период π. Ако sin +T = sin, то +T = π, т.е. T = 4π. III. Граница на функция. Непрекъснатост Нека функцията y = f) е дефинирана в околност на точката 0, като в самата точка може и да не е дефинирана. Дефиниция.0 Кошѝ) Числото A се нарича граница на функцията f) при, клонящо към 0, ако за всяко ε > 0 може да се намери такова число δ > 0, че за всяко, за което 0 < 0 < δ да бъде изпълнено f) A < ε.

19 9 Означаваме по следния начин: 0 f) = A Основното в горната дефиниция е, че всеки избор на ε > 0 определя такова число δ > 0, че когато 0 и принадлежи на δ-околност на точката 0, стойностите на функцията принадлежат на ε-околност на числото A. Дефиниция. Хайне) Числото A се нарича граница на функцията f) при 0, ако при всеки избор на числова редица { n } 0 съответната редица от функционални стойности {f n )} A. Може да се докаже, че дефинициите на Хайне и Коши са еквивалентни. Ако клони към 0 със стойности по-малки от 0, то границата се нарича лява, а ако клони към 0 със стойности по-големи от 0, границата се нарича дясна. Левите и десни граници ще означаваме съответно с: 0 f) = f 0 0) и f) = f 0 +0). + 0 Равенството f 0 0) = f 0 +0) = A е еквивалентно с 0 f) = A. Нека функцията f) е дефинирана в интервал от вида a,+ ). Дефиниция. Казваме, че A е граница на функцията f), когато клони към +, ако при всеки избор на ε > 0 може да се намери такова число K, че за всяко > K да бъде изпълнено неравенството Записваме по следния начин: f) A < ε. f) = A. + Аналогични дефиниции се дават и за границите f) = +, f) =, f) = и др. a a Теорема.7 Нека 0 f) = A. Тогава в околност на точката 0 функцията f) е ограничена. Доказателство: От дефиницията на Коши следва ε > 0, δ > 0 : 0 δ, 0 +δ), 0 A ε < f) < A+ε Ако ε =, получаваме f) < A + = M, т.е. функцията е ограничена в съответната δ-околност на точката 0.

20 0 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Теорема.8 Нека f) = A, g) = B и f) g) в околност на Тогава A B. Доказателство: Прилагаме дефиницията на Хайне. Нека { n } 0. Тогава за достатъчно големи n точките n ще принадлежат на разглежданата околност на точката 0 и за тях ще бъде изпълнено f n ) g n ). Прилагаме Теорема. и получаваме A B. Теорема.9 Нека f) = g) = A и f) ϕ) g) в околност 0 0 на 0. Тогава ϕ) = A. 0 Доказателство: Отново прилагаме дефиницията на Хайне. Нека { n } 0. Тогава за достатъчно големи n точките n ще принадлежат на дадената околност на точката 0 и за тях ще бъде изпълнено f n ) ϕ n ) g n ). Сега прилагаме Теорема.3 и получаваме ϕ) = A. 0 Теорема.0 Ако то: f) = A и g) = B, [ f)±g) ] = A±B,. 0 [ αf) ] = αa, 3. 0 [ f).g) ] = A.B, f) 4. Ако g) = B 0 и g) 0, то 0 0 g) = A B. Верността на тези твърдения следва от дефиницията на Хайне и Теорема.4. Дефиниция.3 Казваме, че функцията f) е безкрайно малка при 0, ако f) = 0. 0 Теорема. Произведението на безкрайно малка функция и ограничена функция е безкрайно малка функция. Пример: )sin 3 + = 0, защото функцията sin 3 + е ограничена, а функцията е безкрайно малка при. sin Пример: = 0, защото функцията sin е ограничена, а функцията е безкрайно малка при.

21 Някои основни граници ± = 0 0 = 0 + = + ln+) 0 +) = e 0 = a = a > 0) sin 0 = 0 cos = tg 0 = В първи раздел Неперовото число дефинирахме като границата на редицата с общ член a n = + n) n. Сега ще докажем, че случай: +. e = + ) Тогава n n+ Но и От Теорема.0 следва, че n+ n + n+ + + n + ) n + + n+ ) ) n+ n + ) n = + ) n+. n+ n+ n+ n+ = e + n) n+ = + ) n. n+ = e. n n + = e + ) случай. + + = ) )

22 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Полагаме + = t. Тогава t + и = t+). Следователно + = ) = t + t+ t + ) ) t+) t = = t + t+ ) t+) = + t. + t + t) ) = e t + t Нека 0 и са точки от дефиниционната област на функцията y = f). Разликата = 0, която може да бъде положително или отрицателно число, наричаме нарастване на аргумента, а y = f) f 0 ) = f 0 + ) f 0 ) наричаме нарастване на функцията в точката 0, съответстващо на. Дефиниция.4 Казваме, че функцията y = f) е непрекъсната в точката 0, когато на безкрайно малко нарастване на аргумента отговаря безкрайно малко нарастване на функцията, т.е. y = 0..) 0 Очевидно е, че 0 0 и равенството.) можем да запишем по следния начин: y = f) f 0 )) = f) f 0 ) = Следователно от дефиниция.4) получаваме Дефиниция.5 Казваме, че функцията y = f) е непрекъсната в точката 0, ако тя има граница при 0 и f) = f 0 )..) 0

23 Ако в горната дефиниция оставим да клони към 0 със стойности по-големи по-малки) от 0, получаваме дефиниция за непрекъснатост на функция отдясно отляво). Чрез тези дефиниции равенство.) добива вида 3 0 f) = f 0 0) = f 0 ) = f 0 +0) = f)..3) + 0 Точките, в които равенството.3) е нарушено, се наричат точки на прекъсване. Ако функциятаf) е такава, че f 0 0) и f 0 +0) съществуват, но равенството.3) не е изпълнено, то очевидно функцията не е непрекъсната в точката 0. Точката 0 в този случай се нарича точка на прекъсване от първи род. Точка на прекъсване от първи род, за която f 0 0) = f 0 + 0) се нарича отстранима точка на прекъсване. Ако функцията f) е такава, че f 0 0) или f 0 + 0) не съществуват или някоя от тези граници е безкрайност, точката 0 в този случай се нарича точка на прекъсване от втори род. Теорема. Ако f) и g) са непрекъснати в дадена точка 0, то и функциите f)+g), f) g), f).g), а в случая когато g 0 ) 0, и функцията f) са непрекъснати в тази точка. g) Теорема.3 Нека функцията y = fu) е непрекъсната в точката u 0, функцията u = ϕ) е непрекъсната в точката 0 и u 0 = ϕ 0 ). Тогава сложната функция F) = fϕ)) е непрекъсната в точката 0, т.е. непрекъсната функция от непрекъсната функция е също непрекъсната функция. Доказателство: От това, че функцията ϕ) е непрекъсната в точката 0 следва, че 0 ϕ) = ϕ 0 ) = u 0, т.е. когато 0, то u u 0. Тогава F) = fϕ)) = fu) = fu 0 ) = fϕ 0 )) = F 0 ) 0 0 u u0 Следващата теорема показва, че ако една функция е непрекъсната в точката 0, то в околност на тази точка тя запазва своя знак. Теорема.4 Нека f) е непрекъсната в точката 0. Тогава:. Ако f 0 ) > 0, то съществува такава околност 0 δ, 0 +δ), че f) > 0 за всяко 0 δ, 0 +δ).. Ако f 0 ) < 0, то съществува такава околност 0 δ, 0 +δ), че f) < 0 за всяко 0 δ, 0 +δ). Доказателство: Ще докажем само първото твърдение. Второто се доказва аналогично. От дефиницията на Коши имаме ε > 0 δ > 0, такова че 0 δ, 0 +δ) е изпълнено f 0 ) ε < f) < f 0 )+ε

24 4 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Нека изберем ε = f 0) > 0. Тогава за всяко от съответната на този избор на ε околност ще бъде изпълнено f) > f 0 ) ε = f 0 ) f 0) = f 0) > 0 Теорема.5 Основните елементарни функции са непрекъснати във всяка точка от техните дефиниционни области. Една функция се нарича непрекъсната в даден интервал, ако е непрекъсната във всяка точка от този интервал. Следващите три теореми отразяват важни свойства на функциите, които са непрекъснати в краен и затворен интервал. Теорема.6 Ако функцията f) e непрекъсната в крайния и затворен интервал [a,b], то тя е ограничена в този интервал. Теорема.7 Теорема на Вайерщрас) Ако функцията f) e непрекъсната в крайния и затворен интервал [a,b], то тя притежава най-голяма и наймалка стойност в този интервал, т.е. съществуват такива точки α,β [a,b], че fα) f) fβ) за всяко [a,b]. Теорема.8 Теорема на Болцано) Ако функцията f) e непрекъсната в крайния и затворен интервал [a,b] и ако fa) fb), а λ е число между fa) и fb), то съществува поне една точка c в интервала a, b), за която fc) = λ. ЗАДАЧИ.4 Да се намери Решение: = + = ր 3 0 ր ց0 ց ) + ) = 3 ) ր 0 = =

25 5.5 Да се намери Решение: = = ր 5 0 ր 0 ր ց 0 3 ց ) ) = 4 ց 0 ) = = 0.6 Да се намери Решение: = ) 3) ) = 3 =.7 Да се намери Решение: = )+) +) +) +) = = 4 ) ++) Да се намери Решение: = ) = +5+3) ) +5+3) 4 ) +5+3) = = = 4 6 = 3..9 Да се намери 0.

26 6 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Решение: 0 ++ = 0 + ) = +) 0 + ) = = =.30 Да се намери Решение: защото +cos +sin. +cos + cos +sin = + sin =, cos = 0 и sin = 0..3 Да се намери Решение: + +3). + +3) = + = +3) ) + + = = = 4 4 ) ) + + = + 3 = = 4 + =..3 Да се намери Решение: 0 tg sin sin 3 0 tg sin sin 3. = 0 sin cos) cos.sin 3 = 0 cos cos.sin =

27 7 sin = 0 cos.4sin cos = 0 cos.cos =.33 Да се намери Решение: 0 +sin cos sin. 0 +sin cos sin +sin cos = 0 sin +sin+cos) = = 0 4sin cos +sin sin = cos sin = + = Да се дефинира функцията y = 4 6 функция да бъде непрекъсната. в точката = така, че получената Решение: Функцията не е дефинирана при =. Да намерим границата 4 6 = )+) +4) = +) +4) = 3. Ако дефинираме една нова функция f) по следния начин: 4 6 f) =,, 3, = то тази функция е непрекъсната за всяко. Задачи за самостоятелна работа: Да се намерят границите на функциите: Отг. 5 3 Отг. 0 Отг. + Отг.

28 8 ГЛАВА. ФУНКЦИЯ. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Отг Отг. Отг ) Отг sin0 tg Отг. 5 cos.44 Отг cos sin Отг Отг. Упътване: Използвайте формулата a 3 b 3 = a b)a +ab+b ) ln 5+6).5 3 +ln 5+6) Отг. Отг. Отг. Отг. + Отг. Отг..53 Да се изследва за непрекъснатост функцията y = Отг. = - отстранима точка на прекъсване..54 Да се изследва за непрекъснатост функцията y = e. Отг. = - точка на прекъсване от II род.

29 Глава Производна на функция Целта на тази глава е да запознае читателя с едно от най-важните понятия в математическия анализ понятието производна на функция. Разгледани са производните на основните елементарни функции, правилата за диференциране, основните теореми на диференциалното смятане и някои приложения на производните. Основни дефиниции и формули Преди да дефинираме понятието производна на функция, ще покажем, че условието f) = A е еквивалентно с f) = A+ε), където ε) = 0, т.е. в 0 0 сила е следната Лема.: f) = A f) = A+ε) и ε) = Доказателство:. = Нека f) = A+ε) и 0 ε) = 0. Тогава 0 f) = 0 A+ε)) = A+ 0 ε) = A+0 = A. = Нека сега 0 f) = A. Тогава от дефиницията на Коши имаме ε > 0, δ > 0, такова че когато 0 < δ = f) A < ε Означаваме ε) = f) A. Следователно ε) < ε, т.е. f) = A+ε). 0 ε) = 0 и

30 30 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ Дефиниция. Нека функцията y = y) е дефинирана в околност на точката 0, включително и в самата точка 0. Образуваме отношението т.н. диференциално отношение) y = y 0 + ) y 0 ) Границата на това отношение при 0 ако съществува) се нарича производна на функцията y) в точката 0. Означаваме я с y 0 ), т.е. y y 0 ) = 0 = y 0 + ) y 0 ) 0 Функция, която има производна в дадена точка, се нарича диференцируема. За функцията y) =, например, във всяка точка имаме y y ) = 0 = + ) 0 = + ) = 0 Ако 0 с отрицателни стойности, производната се нарича лява, a aко 0 с положителни стойности, производната се нарича дясна, т.е. y л 0) = 0 < 0 y = 0 < 0 y 0 + ) y 0 ) y д 0) = 0 > 0 y = 0 > 0 y 0 + ) y 0 ) Очевидно е, че една функция е диференцируема в точката 0, ако y л 0) = y д 0) = y 0 )

31 3 Отношението y = y) y 0) е равно на тангенса на ъгъла, който секущата през точките с координати,y)) и 0,y 0 )) сключва с положителната 0 посока на абсцисната ос. Когато 0, т.е. 0, секущата става допирателна тангента) към графиката на функцията в точката 0,y 0 )). Следователно геометричното значение на производната на функцията в точката 0 е, че тя е равна на тангенса на ъгъла α, който тангентата към графиката на функцията в точката 0,y 0 )) сключва с положителната посока на оста, т.е. y 0 ) = tgα Следователно уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката 0,y 0 ) = y 0 ) е y y 0 = y 0 ) 0 ) Правата, която минава през същата точка и е перпендикулярна на тангентата, се нарича нормала. Както знаем от ВМ, Част I, произведението от ъгловите коефициенти на две перпендикулярни прави е равно на. Следователно уравнението на нормалата е y y 0 = y 0 ) 0) Нека функцията s = st) изразява пътя, който дадена точка изминава в зависимост от времето t. Средната скорост в интервала [t,t+ t] е а v ср = s t = st+ t) st), t v = v t 0 ср = s t 0 t = st+ t) st) = s t) t 0 t е скоростта на точката в момента t. Нека Q = Qt) е количеството електричество, което преминава през сечението на проводник за време t. Средната сила на тока в интервала [t,t+ t] е а Q ср = Q t = Qt+ t) Qt), t Q I = Q t 0 ср = t 0 t = Qt+ t) Qt) t 0 t = Q t) е силата на тока в момента t. Теорема. Ако функцията y = y) има производна в точката, то тя е непрекъсната в тази точка.

32 3 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ Доказателство: От и Лема. следва y 0 = y ) y = y )+ε ) и 0 ε ) = 0 Следователно y = y ) +ε ) и 0 ε ) = 0 y = 0 0 y ). + ε ). = 0 y ).0+0 = 0 Нека y = F), u = u) и v = v) са диференцируеми функции, а C е константа. Основни правила за диференциране. C.u) = C.u. u±v) = u ±v 3. u.v) = u.v +u.v 4. u v) = u.v u.v v 5. [Fu))] = F u.u = F u)).u ) 6. Ако = gy) е обратната функция на y = f) и f ) 0, то g y) = f )

33 33 Производни на основните елементарни функции. c) = 0, = 8. cos) = sin. α ) = α α 9. tg) = cos 3. a ) = a.lna 0. cotg) = sin 4. e ) = e. arcsin) = 5. log a ) = lna 6. ln) =. arccos) = 3. arctg) = + 7. sin) = cos 4. arcctg) = + Ще докажем някои от горните формули. Нека y = ln. Тогава y y ) = 0 = ln+ ) ln 0 = 0 защото t 0 ln+t) t =. ln ln + = 0 + ) = ln 0 + ) = 0 ln + ) = =, За логаритмичната функция при произволна основа y = log a имаме y = ln lna и получаваме y = lna ln) = lna.

34 34 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ Функцията y = a е обратна функция на = log a y. Използваме формулата за производна на обратна функция и получаваме y ) = y) = ylna При a = e следва, че e ) = e. = ylna = a lna. Нека y = sin. Тогава y y ) = 0 = sin+ ) sin 0 sin = 0 cos + ) = sint защото t 0 t За y = tg имаме: = 0 sin. cos + ) = cos, 0 = и функцията cos е непрекъсната. y = sin cos и y = cos.cos sin sin) cos = cos +sin cos = cos. Нека y = arcsin. Обратната функция на y = arcsin е = siny. Използваме формулата за производна на обратна функция и получаваме y ) = y) = cosy = sin y =, защото sin y = sinarcsin)) =. Функцията y = arctg е обратна функция на = tg y, следователно y ) = y) = cos y = cos y = + tg y = +, защото tg y = tgarctg)) =. Нека y = α > 0, α R). Тогава имаме y = α = e αln. Прилагаме формулата за производна на сложна функция и получаваме α ) = e αln ) = e αln.αln) = α. α = αα.

35 35 ЗАДАЧИ. Да се докаже, че функцията f) = няма производна в точката 0 = 0. Решение: Образуваме диференциалното отношение f 0 + ) f 0 ) = 0+ 0 = Ако > 0, то Това означава, че =, но ако < 0, то =. няма граница при 0, т.е. f) = няма производна в разглежданата точка.. Да се намери производната на функцията y = ln Решение: y = ) + = Да се намери производната на функцията Решение: y = 3e +sin 5 tg+ 5 3 y = 3e +cos 5 cos +5 ) = 3e +cos 5 cos Да се намери производната на функцията Решение: y = )cos y = ) cos )cos) = )cos )sin.5 Да се намери производната на функцията Решение: y = 7 3 y = 7 3 ) ) 7 3 ) ) ) = 76 6 ) ) 7 3 ) ) =

36 36 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ = ) = ) ) В разгледаните до момента примери не беше използвана формула 5), известна като формула за намиране производната на сложна функция. Прилагането на тази формула изисква първо на функцията u) да гледаме като на аргумент u и след като намерим производната на Fu), да я умножим с производната наu)..6 Да се намери производната на функцията y = e 3. Решение: Да означим u) = 3. Тогава y = Fu) = e u и y = e u.u = e u.3 ) = 6.e 3.7 Да се намери производната на функцията y = ln 3 + +) Решение: Да означим u) = Тогава сложна функция. y = Fu) = lnu, т.е. y е Чрез формулата за производна на сложна функция получаваме y = F u)).u ) = u 3 + +) = u 3 +4) = Да се намери производната на функцията y = lnsin) Решение: Да означим u) = sin и Fu) = lnu. Имаме y = Fu)), т.е. y е сложна функция. Чрез формулата за производна на сложна функция получаваме y = F u)).u ) = u sin) = u cos = cos = cotg. sin.9 Да се намери производната на функцията y = sin + ) Решение: Отново става дума за сложна функция.

37 37 Следователно y = cos + ). + ) = +)cos + )..0 Да се намери производната на функцията Решение: y = ln+ +7) y = ) = ) = Да се намери производната на функцията y = arcsin Решение: y = ) ) = ) =.. Да се намери производната на функцията Решение: y = e 3 sin y = e 3) sin+e 3 sin) = 3e 3 sin+e 3 cos = e 3 3sin+cos).3 Да се намери производната на функцията y = 3 arctg3 Решение: y = 3 arctg3.ln3.arctg 3 ) = 3 arctg3 ln Производната на функция от вида y = u) v) се намира посредством предварително логаритмуване. Ще го демонстрираме със следващите два примера:.4 Да се намери производната на функцията y =

38 38 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ Решение: Логаритмуваме функциите от двете страни на равенството и получаваме lny =.ln Диференцираме горното равенство относно и получаваме: От тук y y = ln+ = ln+ y = ln+).5 Да се намери производната на функцията y = arctg Решение: Логаритмуваме функциите от двете страни на равенството и получаваме lny = arctg.ln Диференцираме горното равенство относно и получаваме От тук y y = + ln+ arctg y = arctg ln + + arctg ) Производни от по-висок ред Нека функцията y) има производна y ) във всяка точка от интервала a,b). Тази производна е отново функция на и може в интервала a,b) да има своя производна, която се нарича втора производна производна от втори ред) на y). Означаваме я с y ) или d y d. Изобщо, първата производна на производната от ред n ) се нарича n-та производна. Записваме y n) ) = y n ) ) ).6 Намерете n-тата производна на функцията y = sin. Решение: Пресмятаме y = cos = sin + π ) y = cos + π ) = sin + π ) y = cos + π ) = sin +3 π )

39 y IV = cos +3 π ) = sin +4 π ) 39 Очевидно за производната от n-ти ред имаме y n) = sin +n π ).7 Намерете n-тата производна на функцията y = cos. Отг. y n) = cos +n π ).8 Намерете y n) на функцията y =. Решение: Последователно получаваме y = ; y = 3; y =.3 ; 4 yiv = Това е достатъчно за да направим предположение, че y n) = )n n! n+ Тази формула лесно се доказва по индукция. Диференциал на функция Нека функцията y = y) има производна в точката 0. От Лема. следва, че Следователно y = y 0 )+ε ) y = y 0 ) +ε ). Първото събираемо y 0 ) се нарича диференциал на функцията y) в точката 0 и се означава с dy. Диференциалът d на независимата променлива е равен на нарастването. Следователно dy = y ) d, a y ) = tgα = dy d От следващия чертеж се вижда, че диференциалът е равен на частта от нарастването на функцията, която е под допирателната.

40 40 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ.9 Да се намери диференциалът на функцията y) = + Решение: y ) = 3 +) = dy = 3 +) d Основни теореми на диференциалното смятане Нека функцията f) е дефинирана в околност на точката 0. Дефиниция. Функцията f) има локален максимум локален минимум) в точката 0, ако съществува околност 0 δ, 0 +δ), за всяка точка от която е изпълнено f) f 0 ) f 0 ) f)). Точките на локални минимуми и локални максимуми се наричат точки на локални екстремуми. Теорема. Теорема на Ферма) Ако функцията f) е диференцируема в точката 0 и има локален екстремум в тази точка, то f 0 ) = 0. Доказателство: Да приемем, че функцията има локален максимум в точката 0. Ако = 0 + е произволна точка от околността 0 δ, 0 +δ), за нарастването на функцията имаме f = f) f 0 ) = f 0 + ) f 0 ) 0. Да разгледаме лявата и дясната производни в точката 0. Имаме съответно: f л f 0 ) = 0 0, защото < 0

41 4 f д f 0) = 0 + 0, защото > 0 Но функцията f) е диференцируема в точката 0 и това означава, че лявата производна трябва да е равна на дясната производна. Това е възможно само ако те са равни на нула, т. е. f 0 ) = 0. Теорема.3 Теорема на Рол) Нека функцията f) е: - непрекъсната в затворения интервал [a,b], - диференцируема в отворения интервал a,b), - fa) = fb). Тогава съществува такава точка c a,b), че f c) = 0. Доказателство: От условието на теоремата следва, че е в сила теоремата на Вайерщрас, т.е. функцията достига най-голямата и най-малката си стойности. Ако тези стойности се достигат в краищата на интервала [a,b], то от fa) = fb) следва, че функцията е константа, а производната на константа е нула във всяка точка на интервала [a,b]. Ако поне една от тези стойности се достига в точка c a,b), то това е точка на локален екстремум за функцията и следователно за нея е в сила теоремата на Ферма, т.е. f c) = 0, с което теоремата е доказана. Теорема.4 Теорема на Коши) Нека функциите f) и g) са: - непрекъснати в затворения интервал [a,b], - диференцируеми в отворения интервал a,b), - g ) 0 в интервала a,b). Тогава съществува такава точка c a,b), че fb) fa) gb) ga) = f c) g c) Доказателство: Да разгледаме функцията F) = [f) fa)] fb) fa) gb) ga) [g) ga)] За тази функция е в сила теоремата на Рол, защото тя е непрекъсната в затворения интервал[a,b], диференцируема в отворения интервалa,b) и Fa) = Fb) = 0. F ) = f ) fb) fa) gb) ga) g ) Съгласно теоремата на Рол съществува точка c a,b), такава че F c) = f c) fb) fa) gb) ga) g c) = 0

42 4 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ = fb) fa) gb) ga) = f c) g c) Теорема.5 Теорема на Лагранж) Нека функцията f) е: - непрекъсната в затворения интервал [a,b], - диференцируема в отворения интервал a,b). Тогава съществува такава точка c a,b), че fb) fa) b a = f c) Доказателство: Прилагаме теоремата на Коши при g) =. Имаме gb) = b, ga) = a и g ) =. Следователно fb) fa) b a = f c) Теорема.6 Основна теорема на интегралното смятане) Ако f ) = 0 в интервала a,b), то функцията е константа в този интервал. Доказателство: Да фиксираме точката 0 a,b) и нека a,b) е произволна точка. Прилагаме теоремата на Лагранж за точките 0 и и получаваме: f) f 0 ) = f c) 0 ) = 0. 0 ) = 0 = f) = f 0 ), а това означава, че f) е константа. Както вече добре знаем, ако Неопределени форми. Теореми на Лопитал f) = A, g) = B 0 и g) 0 то 0 0 f) 0 g) = A f). Ако g) = 0 и f) 0, тогава B g) =. f) Ако обаче f) = 0, g) = 0 и търсим g) неопределеност от вида 0 0. казваме,че имаме Ако g) = и 0 f), тогава 0 f) = g) = и търсим f) f) 0 g) = 0. Когато обаче, имаме неопределеност от вида g) Тези две неопределености ще наричаме основни неопределени форми. За тях са в сила следните теореми:

43 Теорема.7 Правило на Лопитал)Нека функциите f) и g) са дефинирани и диференцируеми в околност на точката 0, с евентуално изключение на самата точка 0, g) 0 и g ) 0 при 0 в тази околност и Тогава, ако съществува равенството 0 f) = 0 g) = 0. f ), то съществува и 0 g ) f) 0 g) = f ) 0 g ) 43 f) 0 g) и е изпълнено Доказателство: Дефинираме двете функции в точката 0, като f 0 ) = g 0 ) = 0. Сега за интервала [ 0,] можем да приложим теоремата на Коши: т.е. f) f 0 ) g) g 0 ) = f c) g c), f) g) = f c) g c), c 0,) c 0,) Когато 0, то и c 0 и от съществуването на 0 f ) g ) получаваме f) 0 g) = f c) c 0 g c) = f ) 0 g ) Теорема.8 Правило на Лопитал Нека функциите f) и g) са дефинирани и диференцируеми в околност на точката 0, с евентуално изключение на самата точка 0, g) 0 и g ) 0 при 0 в тази околност и f) = g) =. 0 0 Тогава, ако съществува равенството f ), то съществува и 0 g ) f) 0 g) = f ) 0 g ) f) 0 g) и е изпълнено Теоремите остават в сила и когато. Наистина, ако положим = t, тогава t 0. f f) = g) = t 0 g ) ) t ) ) t f t ) = f t t 0 g ) t ) = t 0 t g t t ) = f ) g )

44 44 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ В теоремите се твърди, че от съществуването на следва съществуването на да съществува, а 0 f ) g ) f ) 0 g ) f ) 0 g ) f). Обратното не е вярно, т.е. може 0 g) f) 0 g) да не съществува. С други думи, от това че f) не съществува, не можем да правим изводи за 0 g). Ако след прилагането на теоремите на Лопитал получим пак неопределеност, то очевидно е че пак можем да ги приложим, т.е теоремите могат да се прилагат няколко пъти последователно. Дефиницията на неопределените форми от вида 0.,, 0 0, 0, е очевидна. Първите две, 0. и, се свеждат към основните чрез алгебрични преобразования. Неопределеност 0. имаме, когато търсим граница от вида 0 f)g) и f) 0, g) при 0. Тази неопределеност може да се сведе до 0 0 или по следния начин: Ако преобразуваме f).g) = f), получаваме първата основна неопределеност g) а преобразувайки f).g) = g), получаваме втората основна неопределеност. f) 0 0, Неопределеност имаме, когато търсим граница от вида f) g)) 0 и f), g) при 0. За решаване на тази неопределеност преобразуваме по следния начин: g) Ако 0 f) g) Ако 0 f) f) g)) = f) 0 0 g) ) f) =, то имаме неопределеност от вида 0., тогава f) g) ) =. 0 f) Случаите 0 0, 0 и се свеждат до 0. чрез логаритмуване.

45 45 ЗАДАЧИ.0 Да се намери 0 e 4 arctg. Решение: Числителят и знаменателят на израза клонят към нула при 0, 0 т.е. имаме неопределена форма от вида. Прилагаме правилото на Лопитал. 0 Образуваме отношението от производните на числителя и знаменателя и търсим границата му когато 0. Имаме: 0 0 e 4 arctg = 0 4e 4 +4 =. 4e e 4 +4 =. Следователно. Да се намери 0 sin 3. Решение: Числителят и знаменателят на израза клонят към нула при 0, т.е. това е неопределена форма от вида 0. Прилагаме правилото на Лопитал и 0 получаваме sin [ 0] 0 cos [ 0 0] sin = = = 6. ln. Да се намери +. 3 Решение: Изразът представлява неопределена форма от вида. По правилото ln) на Лопитал образуваме отношението = ln, което отново представлява 3 33 неопределена форма от вида. Пак прилагаме правилото на Лопитал и получаваме отношението 93, което има граница нула при +. Следователно ln = Решението може да се запише накратко по следния начин: ln [ ] = ln ln [ ] = = = = 0 3

46 46 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ.3 Да се намери + ln ) lne e). Решение: Изразът представлява неопределена форма от вида правилото на Лопитал и получаваме: ln ) [ ] = + lne e) + e e e. Прилагаме e e = + e ) = e e e [ 0] 0 = + e = +e.4 Да се намери sin ) tg π. Решение: Имаме sin ) = 0, а tg π =. Затова изразът представлява неопределена форма от вида 0. Преобразуваме до неопределеност от вида 0 0 и прилагаме правилото на Лопитал. Получаваме: π sin ) tg [0 ] sin ) = cotg π = π π cos )sin = π [ 0] 0 cos ) = π sin π =.5 Да се намери cotg ). 0 Решение: Изразът представлява форма от вида. Преобразуваме до неопределеност от вида 0 и прилагаме правилото на Лопитал. Получаваме: 0 cotg ) [ ] cos = 0 0 sin ) cos sin [ 0 0] = = 0 sin cos sin cos 0 sin+cos sin = 0 sin+cos [ 0 0] = 0 sin cos cos sin = 0.6 Да се намери 0 sin ) sin Решение: Изразът представлява неопределена форма от вида. Нека ) sin sin y =

47 47 Логаритмуваме двете страни на горното равенство и получаваме Търсим границата при 0. Имаме: ln sin lny = 0 0 sin lny = sin ln sin [ 0 0] = 0 sin cos sin cos cos sin = 0 cos 0 sin = cos sin 0 cos = 0 cos sin cos cos sin [ 0 0] = = sin = 0 cos sin = 0 Получихме, че lny = lny = y = 0 0 sin Следователно ) sin =.7 Да се намери sin 0.sin Решение: Имаме неопределеност от вида 0. По правилото на Лопитал образуваме 0 отношението на производните.sin.cos cos = sin cos cos cos Първото събираемо клони към нула, но второто събираемо няма граница, защото cos няма граница при 0. И така, отношението на производните няма граница. От това, разбира се, нищо не следва Вж. коментара след Теорема.8). Границата, която търсим, може да съществува, а може и да не съществува. Трябва да потърсим друг начин за решаване на задачата. Например така: sin 0 sin = 0 sin sin ) = 0 0 Същественото тук е, че функцията sin е ограничена.) Задачи за самостоятелна работа:

48 48 ГЛАВА. ПРОИЗВОДНА НА ФУНКЦИЯ arctg + Отг. Отг..30 ln+ 3 ) e Отг arctg 3 Отг sin tg Отг ln +) sin e Отг ln ) tg π 4 Отг lnln ) Отг. 0 ).36 0 sin + ln ).37 0 sin ).38 0 arctg ) Отг. Отг. 0 Отг ln3 ) Отг Отг..4 +e ) 0 Отг. e 3

49 Глава 3 Изследване на функция Целта на тази глава е да запознае читателя с приложенията на граници и производни за изследване на функции и построяване на техните графики. Монотонност и екстремум на функция Дефиниция 3. Функцията y = y) се нарича растяща в интервала a, b), ако за всеки две числа и, такива че a < < < b, е вярно y ) y ). Функцията y = y) се нарича намаляваща в интервала a,b), ако за всеки две числа и, такива че a < < < b, е вярно y ) y ). Ако една функция е растяща намаляваща) в даден интервал, тя се нарича монотонна. Нека y) е растяща функция. Да вземем точките и +. Ако > 0, то < + и y = y + ) y) 0. Ако < 0, то + < и y = y+ ) y) 0. Следователно и в двата случая Вярно е и обратното: ако y y 0. 0, то функцията y) е растяща. Следователно y) е растяща в даден интервал y 0 Аналогично y) е намаляваща в даден интервал y 0 Теорема 3. Нека функцията y) е диференцируема в интервала a, b). Тогава:. y) е растяща в този интервал y ) 0. y) е намаляваща в този интервал y ) 0

50 50 ГЛАВА 3. ИЗСЛЕДВАНЕ НА ФУНКЦИЯ Доказателство: Ще докажем само първото твърдение. Второто се доказва аналогично. = Нека y) е растяща в интервала a,b). Тогава y 0 и y y ) = 0 0 = Нека y ) 0 в интервала a,b). За точките и +, вътрешни за интервала a,b), прилагаме теоремата на Лагранж. y+ ) y) + y = y c) 0 Следователно y) е растяща в интервала a,b). = y c), c,+ ) От теорема 3. лесно следва верността на следващата теорема. Теорема 3. Нека функцията f) е непрекъсната в някоя околност на точката 0, включително и в самата точка 0, и е диференцируема в тази околност, с евентуално изключение на точката 0. Нека за точките от същата околност f ) > 0 при < 0 и f ) < 0 при > 0. Тогава в точката 0 функцията има локален максимум. Теоремата е едно достатъчно условие за локален екстремум на функцията f) в точката 0. При това в самата точка 0 функцията може да няма производна. Следващата формула е известна като формула на Тейлър. f) = f 0 )+f 0 ) 0 )+ f 0 )! 0 ) + f 0 ) 0 ) 3 + 3! + + fn 0 ) 0 ) n + fn+) c) n! n+)! 0) n+) c 0,) Формулата на Тейлър, до втората производна, можем да запишем по следния начин f = f) f 0 ) = f 0 ) 0 )+ f c) 0 )! c 0,) Когато 0 = 0, формулата на Тейлър е известна като формула на Маклорън. Точките, в които първата производна на функцията се анулира, наричаме стационарни точки. Теорема 3.3 Нека 0 е стационарна точка за функцията f), а f ) е непрекъсната в точката 0. Ако f 0 ) < 0, функцията има локален максимум в точката 0. Ако f 0 ) > 0, функцията има локален минимум в точката 0.

51 Доказателство: Ще докажем само първото твърдение. Второто се доказва аналогично. От това, че f ) е непрекъсната в точката 0 и f 0 ) < 0 следва, че съществува околност 0 δ, 0 + δ), такава че за всяко 0 δ, 0 +δ) е изпълнено f ) < 0. Непрекъснатите функции в околност на точката запазват своя знак - теорема.5.) Избираме произволна точка 0 δ, 0 +δ) и прилагаме формулата на Тейлър до втората производна. f = f) f 0 ) = f 0 ) 0 )+ f c)! 0 ) = f c) 0 ),! защото f 0 ) = 0. Тъй като c 0,), то f c) < 0, a 0 ) 0. Следователно 5 f = f) f 0 ) = f c) 0 ) 0,! т.е. в точката 0 функцията има локален максимум. Най-голяма и най-малка стойност на функция в затворен интервал Нека функцията f) е непрекъсната в затворения интервал [a, b]. Най-голямата и най-малката стойности на функцията в този интервал намираме по следния начин:. Намираме точките, в които функцията има локални екстремуми нека те са,,..., k.. Най-голямото от числата fa),fb),f ),f ),...,f k ) е най-голямата стойност на функцията, а най-малкото - най-малката стойност на функцията. ЗАДАЧИ 3. Да се изследва за монотонност функцията y = Решение: Функцията е дефинирана за всяко. y ) = = 3+) 3) Оттук се вижда, че y ) 0 при, ) 3,+ ), a при,3) е в сила y ) 0. Това означава, че в първите два интервала функцията е растяща, а в интервала,3) е намаляваща. 3. Да се изследва за монотонност функцията y = sin. Решение: Функцията е дефинирана за всяко. Пресмятаме y ) = cos. Тъй като cos +, то y ) 0 за всяко и следователно функцията е растяща в интервала,+ ).

52 5 ГЛАВА 3. ИЗСЛЕДВАНЕ НА ФУНКЦИЯ 3.3 Да се изследва за монотонност функцията y = ln. Решение: Функцията е дефинирана при > 0. Пресмятаме y ) = ln +. Решаваме неравенството y ) 0, т.е. ln и получаваме e. Аналогично y ) 0 при 0 < e. Следователно, функцията е намаляваща в интервала 0,e ) и растяща в интервала e,+ ). 3.4 Да се намерят локалните екстремуми на функцията y = + +. Решение: Тъй като знаменателят не се анулира, функцията е дефинирана за всяко. Производната е y ) = + = + +) +) Знаменателят е положителен и следователно знакът на производната се определя от числителя. Квадратният тричлен + се анулира в = и = +, т.е. в тези точки първата производна е равна на нула. Имаме y ) > 0 при, ) и y ) < 0 при, ),+ ) От достатъчното условие за локален екстремум следва, че в точката = функцията има локален минимум, а в точката = + локален максимум. Стойностите им са y ) =, y + ) = Да се намерят локалните екстремуми на функцията y = ln+. Решение: Функцията е дефинирана при > 0. y ) = = Вижда се, че y ) = 0, y ) < 0 при <, и y ) > 0 при >. Следователно в точката = функцията има локален минимум. Пресмятаме y) =. 3.6 Да се намерят локалните екстремуми на функцията y = cos sin Решение: Функцията е дефинирана за всяко и е периодична с период π. Затова ще търсим локалните екстремуми само в интервала [0,π). y ) = sin cos = cossin+) Получихме, че y ) = 0, когато cos = 0 или sin =. Решенията на тези две уравнения в интервала [0,π) са = π, = 3π, 3 = 7π 6, 4 = π 6

53 53 Намираме втората производна на функцията След това пресмятаме y ) = 4cos+sin y ) = 6 > 0, y ) = > 0, y 3 ) = 3 < 0, y 4 ) = 3 < 0 Това означава, че в точките и функцията има локален минимум, а в точките 3 и 4 функцията има локален максимум. Стойностите им са: y ) = 3, y ) =, y 3 ) = 3, y 4) = Да се намерят най-малката и най-голямата стойности на функцията y = e e в интервала [,]. Решение: Намираме първата производна на функцията. y ) = e +e > 0, т.е. функцията е растяща и локални екстремуми няма. Следователно най-малката стойност на функцията се достига в левия край на интервала, а най-голямата в десния. Съответните стойности са: y ) = e e, y) = e4 e. Задачи за самостоятелна работа: 3.8 Да се изследват за монотонност функциите a) y = ln Отг. растяща при 0, e) намаляваща при e, + ) б) y = ln Отг. намаляваща при 0,0.5) растяща при 0.5, + ) в) y = e Отг. намаляваща при,0),+ ) растяща при 0,) г) y = e Отг. намаляваща при, 0) 0, ) растяща при,+ ) д) y = arcsin + Отг. растяща при,0) намаляваща при 0, + )

DIC_all_2014.dvi

DIC_all_2014.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 6 / Семинар 6: Лява и дясна граница. Непрекъснатост на числови функции. Изследване графиките на функции: Кривина, максимум, минимум и инфлексна точка Лява и дясна граница на функция Числото b се

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

ДИМЧО СТАНКОВ

ДИМЧО СТАНКОВ ДИМЧО СТАНКОВ c, r E ( ) ln ( ) (ln ) (З) (П) r() F (, ) k (З) О v МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ за студенти по икономика 7 П Р Е Д Г О В О Р Настоящият учебник е предназначен за студентите от специалност Икономика

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Microsoft Word - DIS.doc

Microsoft Word - DIS.doc Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант).. Уводни бележки. а) Интеграли и лица на фигури. Класическият въпрос за пресмятане лицата (

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >

Подробно

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти.

ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. Коренуване на произведение, частно, степен и корен.

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

mathematical interface_Biologija i Himija

mathematical interface_Biologija i Himija Логаритъм log log P т.е. P P Основа на логаритъма. log 0 и log Логаритъмът е степента (), на която трябва да бъде повдигната основата (), за да се получи числото Р. Логаритми, използвани във физикохимията:

Подробно

M10_18.dvi

M10_18.dvi СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква

Подробно

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете

Подробно