10 Годишен преговор Уроци стр Цели изрази Важно! Рационален израз израз, в който числата са записани с букви и цифри и са свързан

Препис

1 10 Годишен преговор Уроци стр Цели изрази Рационален израз израз, в който числата са записани с букви и цифри и са свързани със знаци за действия събиране, изваждане, умножение и деление. Постоянна величина (константа) е конкретна фиксирана стойност. Означава се с латинска буква, например, b, c, d и т.н. Числото π = 3,14, земното ускорение g = 9,8 N/kg са константи не променят стойността си. Променлива величина приема различни стойности. Означава се с латинска буква, например x, y, z. Цял рационален израз който не съдържа променливи в знаменателя. Нормален вид на едночлена Едночлен, който не може да се представи като произведение на по-малък брой множители, е в нормален вид. ( b) = (b ) = (b ) b = ( + b) ( b) 2 = (b ) 2 ( b) 2 = ( + b) 2 ( b) 3 = (b ) 3 ( b) 3 = ( + b) 3 Формули за съкратено умножение ( ± b)² = ² ± 2b + b² ( ± b)³ = ³ ± 3²b + 3b² ± b³ ( + b)( b) = ² b² ( ± b)(² b + b²) = ³ ± b³ Разлагане на многочлен чрез формули за съкратено умножение 2 + 2b + b 2 = ( + b) 2 2 2b + b 2 = ( b) 2 2 b 2 = ( + b)( b) 3 b 3 = ( b)( 2 + b + b 2 ) 3 + b 3 = ( + b)( 2 b + b 2 ) b + 3 b 2 + b 3 = ( + b) b + 3 b 2 b 3 = ( b) 3 Не могат да се разлагат на множители изразите: 2 + b + b 2 непълен квадрат на сбор 2 b + b 2 непълен квадрат на разлика 266

2 Тестови задачи 1 Ако x = 3, стойността на израза (3 x)(x + 3) ( x) 2 е: А) 18 Б) 9 В) 9 Г) 27 2 Стойността на произведението ( ) ( ) ( ) ( ) е: А) Б) В) 1 1 Г) Най-голямото от числата p = 19, 1 2 9, 1 2 q = ; r = ; s = е А) q Б) p В) r Г) s 4 Ако x + y = 2, стойността на израза Q = x 2 + 3x + 2xy + 3y + y 2 е равен на: А) 3 Б) 2 В) 9 Г) 2 5 За всяко x изразът 9 + 6x x 2 е: А) отрицателен Б) неположителен В) положителен Г) различен от 0 6 От равенствата: 1) (3x 2) 2 = 9 x 2 4 2) (3x 2) 2 = 9 x ) (3x 2)(3x + 2)= 9 x 2 4 4) (3x 2)( 3x 2) = 9 x 2 4 тъждество е само: А) 1 Б) 3 В) 4 Г) 2 7 Коефициентът на едночлена ( 2 x 4 ) 3. ( 0, 5xy) 2. y 3 е: А) 2 Б) 8 В) 0,25 Г) 2 8 Равенството 9 x 2 x + 64 = (3x + 8) 2 е тъждество, ако се замени с числото: А) 48 Б) 24 В) 24 Г) 48 9 Цената на 1 kg домати е лв., а цената на 1 kg краставици е b пъти по-голяма. Ако купите c kg краставици, те ще струват c А) ( + b)c лв. Б) лв. b В) (c + b) лв. Г). b. c лв. 10 Многочленът b е тъждествено равен на израза: А) 2( b 1)( + b + 1) Б) 2(2 b + 1)(2 + b 1) В) 2( 2 (b 1) 2 ) Г) 2(4 2 (b + 1) 2 ) 11 Галя поканила гости и приготвила за тях и за себе си по n кебапчета, но двама от гостите не дошли и за всекиго имало по две кебапчета повече от предвиденото. Броят на поканените е: А) n + 1 Б) n 2 В) 2n + 2 Г) n Ако p 2 < q 2, НЕ ВИНАГИ е вярно сравнението: А) p < q Б) p 2 q 2 < 0 В) p < q Г) p q 13 Ако x = p 3, изразът x 2 + 3x е тъждествено равен на: А) p 2 3p Б) p 2 + 3p 12 В) p 2 3p + 6 Г) p 2 3p Най-малката стойност на израза е. Раздел 10 Годишен преговор 267

3 Уроци стр Уравнения Уравнение от вида x + b = 0, където и b са числа, се нарича линейно уравнение. Числата и b се наричат коефициенти на уравнението. При 0 решението на уравнението е x = b. Правила за решаване на уравения 1 към двете страни на уравнението може да прибавяме едно и също число; 2 от двете страни на уравнението може да изваждаме едно и също число; 3 двете страни на уравнението могат да се умножат или разделят на едно и също число, различно от 0; 4 всеки член на уравнението може да се прехвърли от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак. Две уравнения се наричат еквивалентни (равносилни), ако имат едни и същи корени или нямат решение. Еквивалентността на две уравнения се означава със знака. Теореми за еквивалентност на уравнения Теорема 1: Ако в едно уравнение израз се замени с тъждествено равен на него израз, се получава уравнение, еквивалентно на даденото. Теорема 2: Ако в едно уравнение събираемо се прехвърли от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак, се получава уравнение, еквивалентно на даденото. Теорема 3: Ако двете страни на едно уравнение се умножат или разделят с едно и също число, различно от нула, се получава уравнение, еквивалентно на даденото. Всички действия, които позволяват теоремите, се наричат еквивалентни преобразувания. Уравнението (x + b)(cx + d)= 0 x + b = 0 или cx + d = 0 x 1 = b x 2 = d ( 0, b 0) c Уравнението x = е модулно уравнение. единствено решение x + b = 0, ако c = 0 Уравнението x + b = c няма решение, ако c < 0 Свойства на модулите b = b.b.c =. (b c) =. b c има две решения, x + b = c или x + b = c, ако c > 0 Моделиране с линейни уравнения Препоръчително е да спазвате следния алгоритъм при решаването на текстови задачи. 1 Изяснете описаната ситуация (удобно е да направите скица, чертеж, схема). 2 Определете неизвестното число и го означете, най-често с x. 3 Съставете математически модел линейно уравнение. 4 Решете уравнението. 5 Проверете в условието на задачата дали коренът на уравнението е решение. Производителност (мощност, норма) се нарича количеството работа, свършена за единица време (час или ден). Р. t = А, където P производителност, t време, А работа Мерни единици за работата брой изработени детайли, лева, куб. метра изкопана пръст, линейни метра плат и други. Когато не е посочено определено количество работа, тя се приема за

4 Тестови задачи 1 Коренът на уравнението 2x 2 = 3(x + 1) е: А) 5 Б) 5 В) 1 Г) 1 2 Кое от уравненията има отрицателен корен? А) 3x = 4 Б) 3 + 2x = 6 В) 5 5x = 5 Г) 5 5x = 5 3 Коя двойка уравнения НЕ са еквивалентни? А) 0,3x = 1 и 6x = 20 Б) (x 3) 2 (x + 3)^2 = 10 и 12x = 10 В) (x 5) = 0 и 6x 3 = 3 + 5x Г) (x + 1) 2 = 0 и x = 1 4 Коренът на уравнението x 3 x = 5 8 е: А) 9 4 Б) 9 В) 9,75 Г) 9, За кое уравнение всяко x е решение? А) x = 0 Б) (x 3) = x 2 В) 4x 3 = 0 Г) (5 x) 2 = x 2 10x Кучето на Дани бяга със скорост 2 m/s. Колко метра изминава за 2 min? А) 240 m Б) 100 m В) 120 m Г) 720 m 7 Една тръба пълни резервоар сама за 8,25 часа, а втора тръба пълни същия резервоар за два пъти повече време. За колко време двете тръби заедно ще напълнят басейна? А) 5 часа Б) 5,5 часа В) 7 часа Г) 8 часа 8 Колко процента солен разтвор ще се получи, ако към 200 g 25% разтвор се прибавят 300 g вода? А) 75% Б) 35% В) 25% Г) 10% 9 Скоростта, с която се движи една моторна лодка по течението, е 20,4 km/h. Скоростта на течението е 40 m/min. Каква е скоростта на лодката срещу течението в km/h? 10 Каква е стойностите на x, за които стойността на израза 2x 1 е 5 пъти помалка от стойността на израза 2 x Тримесечен срочен влог от лв. нараснал след 3 месеца на лв. Какъв е лихвеният процент за този вид влогове? 12 За да изпълни поръчка за направа на кухненски столове в определен срок, една фирма трябвало да изработва по 20 стола дневно. Поради недостиг на материал, първите 6 дни фирмата изпълнявала дневната си норма. След доставянето на материал, фирмата увеличила с 30% плануваната норма и 4 дни преди срока предала 10 стола над плана. Колко стола е била поръчката? Раздел 10 Годишен преговор 269

5 Уроци стр Основни геометрични фигури Особени двойки ъгли Два ъгъла са съседни, ако имат общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи. Теорема: Сборът на два съседни ъгъла е 180. Два ъгъла са противоположни (връхни), ако раменете им са противоположни лъчи. Теорема: Всеки два противоположни ъгъла са равни. Перпендикулярни прави са две прави, които при пресичането си образуват прав ъгъл b. Ъгли, получени при пресичането на две прави с трета Кръстни ъгли и \6 \3 \4 и \5} \1 и \8 вътрешно кръстни ъгли \2 и \7} външно кръстни ъгли Съответни ъгли и \6 \2 \4 и \8} съответни ъгли \1 и \5 \3 и \7} съответни ъгли Прилежащи ъгли и \5 \3 \4 и \6} \1 и \7 вътешно прилежащи ъгли \2 и \8} външно прилежащи ъгли Теореми-признаци за успоредност на две прави При пресичането на две прави с трета права: ако една двойка кръстни ъгли са равни, то правите са успоредни; ако една двойка съответни ъгли са равни, то правите са успоредни; ако сборът на два прилежащи ъгъла е 180, то правите са успоредни. Теореми-свойства на успоредните прави Ако успоредните прави и b са пресечени с трета права c, това означаваме: ( b) 3 c или ( b) ù c. Ако пресечем две успоредни прави с трета, то: всяка двойка кръстни ъгли са равни; всяка двойка съответни ъгли са равни; сборът на всеки два прилежащи ъгъла е 180. Сбор на ъглите в триъгълник. Външен ъгъл за триъгълник Теорема: Сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180. α + β + γ = 180 Теорема: Сборът от острите ъгли в правоъгълен триъгълник е 90. Външен ъгъл на триъгълник се нарича съседният ъгъл на който и да е от вътрешните ъгли на триъгълника. Външните ъгли на означаваме с α 1, β 1 и γ 1. Теорема: Сборът от външните ъгли на триъгълника е 360. Теорема: Всеки външен ъгъл на триъгълника е равен на сбора от двата ъгъла на триъгълника, които не са съседни на него. γ γ 1 α 1 α β 1 β α 1 + β 1 + γ 1 = 360 γ 1 = α + β γ 1 > α и γ 1 > β 270

6 1 Намерете стойността на x с данните от чертежа. а) б) в) 3x 66 2x x 2x г) д) е) x x x x 2 Намерете стойността на x и градусните мерки на ъглите, в които участва. а) б) в) 39 x 45 x 3x 138 г) д) 2x 4x x x 3 Намерете градусните мерки на ъглите, отбелязани с буква. а) c d b б) в) h g 70 e i i f 53 j 141 k m 64 г) r p 100 n q t s 4 Височините H 1 и H 2 на А се пресичат в точка О. Ълополовящите на ъглите \А и \ на АО се пресичат в точка P. Ако знаете, че \ = 52 и че\ = 78, намерете: а) мерките на ъглите \О, \P и \ б) ъгъла между височината H 2 и ъглополовящата на \. Раздел 10 Годишен преговор 271

7 Уроци стр Еднакви триъгълници Теорема: Първи признак за еднаквост Ако две страни и ъгъл между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл между тях от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Ако =, \ = \, = F, то ù F F Теорема: Втори признак за еднаквост Ако страна и два прилежащи ъгъла от един триъгълник са съответно равни на страна и два прилежащи ъгъла от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Ако \ = \, = F, \ = \F, то ù F. F F Теорема: Трети признак за еднаквост Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Ако ù, ù F, ù F, то ù F. Теорема-свойство: Признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника Ако хипотенузата и катет на правоъгълен триъгълник са съответно P равни на хипотенузата и катет на друг правоъгълен триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Ако PQR и XYZ са правоъгълни, PR = XZ, QR = YZ, то PQR ù XYZ. Q R Y X Z Теорема-свойство Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни P разстояния от краищата на отсечката. Ако PM, M = M, то P = P. M P M 2x 30 Теорема Ако в правоъгълен триъгълник един от острите му ъгли е 30, то катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата му. 60 x Теорема В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата. Q P R S Q P R S Теорема-свойство Ако точка е от ъглополовящата на даден ъгъл, то тя е на равни разстояния от раменете на ъгъла. Ако QS е ъглополовяща на \RQP, SP QP и SR QR, то SP = SR. M 272

8 Тестови задачи 1 На чертежа ù Страната АС на е с 2 cm по-малка от ВС. В страната 1 1 = 12 cm. и Р = 30 cm. Дължината на ВС е: А) 8 Б) 10 В) 12 x x + 2 Г) На чертежа GKL ù K. Кое от твърденията НЕ е вярно? А) К е среда на L L K Б) GK е равнобедрен В) \GK = \GKL Г) > GK G 3 На чертежа АВ ù. Точка Е среда на АВ и АЕ = ЕС =. Градусната мярка на \ е: А) 100 Б) 105 В) 120 Г) Даден е \:\:\С = 2:1:3. Точка е петата на перпендикуляра от към страната. ко А = 9 cm, пресметнете 5АС + 3АВ. 5 Точките и Е са среди съответно на страните АВ и АС на правоъгълния \С = 90, като ВС =. Периметърът на = 20,2 cm. Ако АС = 5,2 cm, е: А) 1 cm Б) 1,5 cm В) 1,8 cm Г) 3 cm 6 Даден е равнобедреният (АС = ВС). е ъглополовяща на \С. Ъглополовящата на \В и се пресичат в точка Е. Ако = 7 cm и ВС = 16 cm, лицето на е: А) 14 cm 2 L Б) 28cm 2 В) 56 cm 2 Г) 112 cm Раздел 10 Годишен преговор 273

9 Уроци стр Неравенства Израз, в който се използват знаците >, <, или, се нарича неравенство. Положителните числа са по-големи от 0 и записваме > 0. Отрицателните числа са по-малки от 0, записваме < 0. Неравенства от вида > bи < b се наричат строги. Неравенства от вида bи bсе наричат нестроги. Свойства на неравенствата За числата, b, c и d е вярно: 1 Ако > b, то b <. 2 Ако > b, то b > 0 и обратно, ако b > 0, то > b. Ако < b, то b < 0 и обратно, ако b < 0, то < b. 3 Ако > b и c > d, то + c > b + c за всяко c. Ако < b и c < d, то + c < b + c за всяко c Разнопосочни неравенства не могат да се събират. Две неравенства не могат да се изваждат. 4 Ако > b, то.c > b.c и c > b c за всяко c > 0. Ако < b, то.c < b.c и c < b за всяко c > 0. c 5 Ако > b, то.c < b.c и c > b c за всяко c < 0. Ако < b, то.c > b.c и c > b за всяко c < 0. c Неравенства от вида x + b > 0, x + b < 0,x + b 0, x + b 0, където x е неизвестно, а и b са числа, се наричат линейни неравенства с едно неизвестно. Да се реши неравенство с едно неизвестно, означава да се намерят всички негови решения или да се установи, че няма решение. Теореми за еквивалентност на неравенства Теорема 1: Ако в едно неравенство израз се замени с тъждествено равен на него израз, се получава неравенство, еквивалентно на даденото. Теорема 2: Ако в едно неравенство събираемо се прехвърли от едната страна на неравенството в другата с противоположен знак, се получава неравенство, еквивалентно на даденото. Теорема 3: Ако двете страни на едно неравенство се умножат или разделят с едно и също положително число, се получава неравенство, еквивалентно на даденото и еднопосочно с него. Теорема 4: Ако двете страни на едно неравенство се умножат или разделят с едно и също отрицателно число, се получава неравенство, еквивалентно на даденото и разнопосочно с него. Две неравенства се наричат еквивалентни (равносилни), ако имат едни и същи решения. Еквивалентността на две неравенства се означава със знака. Основни неравенства Изобразяване върху числова ос Записване с интервал Основни неравенства Изобразяване върху числова ос Записване с интервал x > + x [ (; + ) x < x [ ( ; ) x + x [ [; + ) x x [ ( ; ] 274

10 В равнобедрен триъгълник ъглите при основата (срещу бедрата) са равни. За да съществува триъгълник, трябва трите неравенства между страните в триъгълника да са изпълнени едновременно. c Тестови задачи 1 Ако < b, то е вярно неравенството: А) < b Б) 2 < b 2 В) > b Г) > b Ако > b, то НЕ е вярно неравенството: А) + 2 > b + 2 Б) 3 < b 3 В) < 2b + 1 Г) 6 6 < 6b 6 3 Коя двойка неравенства НЕ са еквивалентни: А) 5x 1 > 2x и 3x > 2 Б) 0,3x < 1и 6x < 20 В) x < 5 и 12x > 5 12 Г) 3x + 2 3x + 2 и 0x 0 4 Решенията на неравенството (x + 1) 2 > x(x + 5)+ 7 са: А) x > 7 5 Б) x < 7 5 В) x < 2 Г) x > 2 5 Всеки от трима работници може сам да свърши определена работа съответно за 9, 10 и 18 h. Тримата заедно могат да свършат не по-малко от 3 от работата за: 5 А) по-малко от 2 h. Б) не по-малко от 2 h и 15 min. В) повече от 2 h и 15 min. Г) не повече от 2 h. 6 Решенията на неравенството (3x 1)(1 + 3x) 9(x + 2) 2 1 са: А) x [ ( 1; + ) Б) x [ ( 1; + ) В) x [ (, 1] Г) x = 1 7 В, :: = 6:4:5. За ъглите на е вярно, че: А) α > β > γ Б) α < β < γ В) β < α < γ Г) α > γ > β 8 Две от страните на равнобедрен триъгълник се отнасят както 2:1, а периметърът му е 30 cm. Бедрото на триъгълника е: А) 14 cm Б) 12 cm В) 7,5 cm Г) 6 cm 9 Намерете най-малкото цяло число, което е решение на неравенството (x 2) 2 + 2(x 2) < (x 2)(x + 2) Дадено е неравенството: x 6 4x 3 4 x 2 9 > 1 5x 6 Броят на целите положителни решения е. 11 Едновременно от А за В и от В за А тръгнали един срещу друг два камиона. Скоростта на единия е 60 km/h, а на другия 70 km/h. Ако разстоянието между А и В е не по-малко от 260 km, двата камиона може да се срещнат след Дадено е неравенството ( x ) 2 ( x 2 1 ) 2 3( x 2 1 ) ( 1 + x 2 ) + x + 0, 5. 2 А) Решете неравенството. Б) Проверете дали числото = ( 32)2.( 8 4 ) е 16 5 негово решение. Раздел 10 Годишен преговор 275

11 Уроци стр Успоредник успоредник O O ромб O O правоъгълник Успоредник ; = ; = \ = \; \ = \ \ + \ = 180 ; \ + \ = 180 \ + \ = 180 ; \ + \ = 180 O = O; O = O Правоъгълник ; = ; = \ = \ = \ = \ = 90 \ + \ = 180 ; \ + \ = 180 \ + \ = 180 ; \ + \ = 180 = O = O = O = O квадрат Ромб ; = = = O = O; O = O и са ъглополовящи Квадрат ; = = = = O = O = O = O и са ъглополовящи h h b b h O Обиколка, P P = 2 + 2b = 2.( + b) P = 4 P = 2 + 2b = 2.( + b) P = 4 d 1 d 2 Лице, S S =. h = b. h b S =. h = d 1. d 2 2 S =. b S = 2 d 2 = 2 b d d 276

12 Тестови задачи 1 Обиколката на равностранен триъгълник със страна 8 cm е равна на обиколката на успоредник, на който страните се отнасят както 5:1. Намерете с колко сантиметра е по-дълга едната страна на успоредника от другата. 2 В успоредника ъглополовящата на \ пресича страната под ъгъл, равен на единия ъгъл на успоредника. Намерете колко градуса е тъпият ъгъл на успоредника. 3 Даден е. Точка Р е произволна и лежи върху. През нея са построени прави, успоредни на бедрата на триъгълника, които ги пресичат в точки М и N. Ако \ = 30, намерете големината на \NPM. 4 На чертежа, MNP и QRP са квадрати. Като знаете, че P = 5 cm и лицето на оцветената част е 40 cm 2, намерете обиколката на квадрата. 5 cm P Q R M N 5 Ако обиколката на успоредник е 16 cm и дължините на страните и височината към по-голямата са прости числа, намерете лицето на успоредника. 6 Даден е успоредник с полупериметър 115 cm. Ъглополовящите на \ и \ разделят страната на три равни части. Намерете дължината на. 7 Даден е успоредник. 1 е ъглополовяща на \С, 1 е ъглополовяща на \. Ако \ = 30 и \ 1 = 50 намерете острия ъгъл на успоредника. 8 Даден е правоъгълник. Точка М е произволна от страната, така че \M = 30. Точка лежи на симетралата на M. Намерете лицето на ΔM, ако S = 60cm 2. 9 Даден е правоъгълник. Точка М е произволна от страната, така че \M = 30. Точка лежи на симетралата на M. Намерете дължината на ВM, ако M = 6 cm. 10 Посочете верния отговор. Успоредник със страни а, b и диагонали d НЕ съществува, ако: А) а = 5 cm, b = 5 cm, d = 5 cm Б) а = 3 cm, b = 5 cm, d = 7 cm В) а = 5 mm, b = 5 mm, d = 5 cm Г) а = 35 mm, b = 10 cm, d = 75 mm Раздел 10 Годишен преговор 277

13 Уроци стр Елементи от вероятности и статистика Случайно събитие е събитие, което при определени условия може да се осъществи, а при други да не се осъществи. Вероятност за настъпване на случайно събитие Отношението на благоприятните изходи от даден експеримент към общия брой на всички възможни изходи от този експеримент. P = брой на благоприятните изходи брой на всички възможни изходи Тестови задачи 1 В едно училище 840 деца имат по един домашен любимец. Кръговата диаграма показва разпределението по видове домашни любимци. Намерете броя на всеки вид домашен любимец. Домашни любимци златна рибка куче хамстер котка птица Зеленчуци 2 Собствениците на 120 земеделски парцела определили кой от зеленчуците им е с най-висок добив. Определете от кръговата диаграма колко собственици са посочили съответния зеленчук. ряпа моркови 90 картофи лук праз 3 Наука. На кръговата диаграма са посочени източниците на естествено радиационно излъчване. Препишете и попълнете таблицата. Източник Гама-лъчи Космически лъчи Процент Земна радиация Радон Торон Естествен радиационен фон Радон 175, Земна радиация Гамалъчи Торон Космически лъчи 278