Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Размер: px
Започни от страница:

Download "Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п"

Препис

1 Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите за абелева група спрямо събирането и в допълнение ) (a b) c = a (b c) за a, b, c R, 6) (a + b) c = a c + b c и c (a + b) = c a + c b за a, b, c R. Казваме, че елементите a, R са делители на нулата, ако a 0 и b 0, но ab = 0. Пръстен, който не съдържа делители на нулата се нарича област. Казваме, че R е пръстен с единица, ако съществува единичен елемент 1 R, такъв че 1 a = a 1 = a за a R. Ако R е пръстен с единица 1, казваме, че елементът a R е обратим, ако същестува елемент a 1 R, такъв че aa 1 = a 1 a = 1. Множеството R = {a R a 1 R : aa 1 = a 1 a = 1} от обратимите елементи на R образува група спрямо операцията умножение, наречена мултипликативна група на пръстена R. Пръстен, в който всеки ненулев елемент е обратим, т.е. R = R\{0}, се нарича тяло. Казваме, че R е комутативен пръстен. ако ab = ba за a, b R. Комутативните тела наричаме полета. Типични примери са пръстенът на целите числа Z. Той е комутативен пръстен с единица, в който няма делители на нулата, т.е. е и област. Z обаче не е поле, т.к. единствено елементите 1 и 1 са обратими. Множествата Q R C са пръстени относно обичайното събиране и умножение на числа. Освен това те са полета. За всяко n N, множеството Z n от 1

2 2 остатъците при деление с n е пръстен. Ако F е произволно поле, множеството F n n е некомутативен пръстен с единица. F n n обаче не е област и не е тяло. Забележка: всяка адитивно записана абелева група G може да бъде вложена в пръстен, чрез дефиниране на нулево умножение, т.е. ab = 0 за a, b G. Задача 1. Покажете, че множеството M = {a a Z}, в което са въведени операция събиране по правилото a b = a + b 1 и операция умножение по правилото е пръстен. a b = a + b (ab), Решение. 1. Проверяваме асоциативността на. За произволни елементи a, b, c M имаме, че и (a b) c = (a + b 1) c = a + b 1 + c 1 = a + b + c 2 a (b c) = a (b + c 1) = a + b + c 1 1 = a + b + c 2, което показва, че притежава свойството асоциативност. 2. Търсим неутрален елемент 0 M M. Той трябва да изпълнява условието a 0 M = 0 M a = a за a M. Тогава имаме, че a 0 M = a, a + 0 M 1 = a, 0 M = 1.

3 3. За всеки елемент a M търсим противоположен елемент a M. Той трябва да изпълнява условието Тогава имаме, че a ( a) = a a = 0 M. a ( a) = 0 M, a + ( a) 1 = 1, a = 2 a. 4. Операцията има свойството комутативност, защото за всеки два елемента a, b M имаме, че a b = a + b 1 = b + a 1 = b a.. Операцията е асоциативна съгласно (a b) c = (a+b ab) c = a+b ab+c (a+b ab)c = a+b+c ab ac bc+abc и a (b c) = a (b+c bc) = a+b+c bc a(b+c bc) = a+b+c ab ac bc+abc за произволни елементи a, b, c M. 6. Ще проверим дистрибутивния закон (a b) c = a c b c, а проверката на другия е аналогична. И така, за произволни елементи a, b, c M имаме, че (a b) c = (a+b 1) c = (a+b 1)+c (a+b 1)c = a+b+2c ab ac 1 и a c b c = (a+c ac) (b+c bc) = a+c ac+b+c bc 1 = a+b+2c ab ac 1. С това шестте аксиоми са изпълнени и следователно множествто M е пръстен относно дефинираните операции. 3

4 4 Задача 2. Кои от множествата а) Z[ 2] = {a + b 2 a, b Z}, б) Q( 2) = {a + b 2 a, b Q} са полета? Решение. По познатия вече начин докажете, че и двете множества са комутативни пръстени спрямо стандратните събиране и умножение на числа. Сега... а) Пръстенът Z[ 2] е пръстен с единица. Наистина, ако 1 = x + y 2 е такъв елемент, че (a + b 2).1 = a + b 2 за всеки елемент a + b 2 Z[ 2], то имаме, че (a + b 2)(x + y 2) = a + b 2, ax + 2by + (ay + bx) 2 = a + b 2. Последното е изпълнено, точно когато x и y са целочислени решения на системата ax +2by = a, bx +ay = b За a, b Z. Това е възможно само при x = 1, y = 0. Очевидно елементът 1 = Z[ 2]. Освен това Z[ 2] е област, защото ако a 1 +b и a 2 + b 2 2 0, то (a 1 + b 1 2)(a2 + b 2 2) = a1 a 2 + 2b 1 b 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 2 0 поради причината, че (a 1, a 2 ) (0, 0) и (b 1, b 2 ) (0, 0) едновременно. Ще покажем, че Z[ 2] не е тяло, откъдето ще следва и че не е поле. Нека a+b 2 Z[ 2] е произволен ненулев елемент. Да видим дали във всички случаи той е обратим. Нека да допуснем, че същестува обратен елемент u + v 2 Z[ 2], такъв че Това означава, че (a + b 2)(u + v 2) = 1. au + 2bv + (av + bu) 2 = 1 или еквивалентно, че системата au +2bv = 1, bu +av = 0

5 има целочислено решение (u, v) за произволни неедновременно нулеви цели числа a, b Z. Но това би означавало, че a u = 2b 2 a, v = 2 b 2b 2 a 2 Z, а това няма как да е изпълнено за всяка целочислена двойка (a, b) (0, 0). Противоречието доказва, че не може да бъде намерет обратен елемент за произволен ненулев елемент от Z[ 2] и пръстенът не е тяло. б) Докажете, че Q( 2) също е комутативна област с единица. При търсенето на обратен елемент u + v 2 за произволен ненулев елемент от a + b 2 Q( 2) условието a u = 2b 2 a, v = 2 b 2b 2 a 2 Q вече не е противоречиво и следователно всеки ненулев елемент е обратим. С това Q( 2) е поле. Задача 3. Опишете пръстена Z и решете в него системата x +2y +3z = 4, 2x y = 1, 3x y +z = 2. Решение. Използваме таблици на Кейли за описанието на всяка една от операциите

6 Решаваме системата по метода на Гаус, използвайки таблиците. Умножаваме второто уравнение по 3, а третото по 2, за да получим x +2y +3z = 4, x 3y = 3, x 2y +2z = 4. Сега от воторото уравнение изваждаме първото и това ни дава което е еквивалентно на 3z = 1, 2z = 4. Умножавайки това уравнение с 3 получаваме z = 2. Замествайки тази информация в останалите две уравнения получаваме системата x +2y = 3, x 2y = 0. Тяхното почленно събиране ни дава уравнението чието решение е 2x = 3, x = 4. Накрая, например от второто уравнение получаваме, че което ни дава, че 2y = 4, y = 2. Следователно решението на системата е (x, y, z) = (4, 2, 2).

7 Задача 4. Да се докаже, че за всеки елемент a Z 1 на мултипликативната група на пръстена от остатъците при деление с 1 и за всяко нечетно естествно число m, уравнението x m = a има единствено решение в Z 1. Да се реши уравнението x 3 = 2 в Z 1. 7 Решение. Имаме, че Z 1 = ϕ(1) = ϕ(3)ϕ() = 8. Един елемент c Z 1 попада в мултипликативната група, точно когато е обратим, а това е еквивалентно на (a, 1) = 1. В такъв случай експлицитно намираме, че Z 1 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}. Да разгледаме уравнението x m = a. То е еквивалентно на сравнението x m = a(mod 1). Според теоремата на Ойлер ферма x ϕ(1) = x 8 1(mod 1). Следователно можем да намалим степента на уравнението до остатъка r при деление на m с 8. Т.к по условие m е нечетно, възможните остатъци са 1, 3,, 7. Това свежда задачата до разглеждането на четири вида уравнения. Ако r = 1, то уравнението е x = a и няма нужда от решаване. Ако r = 3, имаме уравнението x 3 = a и след повдигане на двете страни на трета степен получаваме решението При r = трябва да решим x 9 = x = a 3. x = a. След повдигане на двете страни на втора степен получаваме равенството x 10 = x 2 = a 2. Повдигаме и това равенство на квадрат, за да достигнем до x 4 = a 4.

8 8 Сега, умножавайки последното равенство с изходното, намираме решението x = a. В последния случай, при r = 7 имаме x 7 = a. Повдигаме на квадрат и получаваме x 14 = x 6 = a 2. Умножаваме това уравнение с изходното и получаваме x 13 = x = a 3. Умножаваме и това уравенение с изходното и т.н. повтаряме неколкократно процедурата до достигане на което всъщност ни дава решението x 9 = a 7, x = a 7. Сега, според изследванията, които направихме, имаме че решението на даденото уравнение x 3 = 2 е x = 2 3 = 8. Друг (и вероятно по-интересен) начин за решаване на задачата: Искането уравнението x m = a в Z 1 да има единствено решение може да се разглежда като търсене на единствен елемент b Z 1, за който b m = a. Означаваме b = m a и го наричаме m-ти корен на a. Тогава въпросното искане означава, че трябва да се докаже, че в мултипликативната група Z 1 има еднозначно извличане на m-ти корен за нечетно число m. Да разгледаме изображението ψ : Z 1 (Z 1) m,

9 дефинирано с ψ(a) = a m, където (Z 1) m = {a m a Z 1}. Още от самия начин, по който дефинирахме изображението и множеството от стойностите му, е ясно, че ψ е сюрекция. Директно проверяваме, че (Z 1) m Z 1 и че изображението ψ всъщност е хомоморфизъм на групи. Нека a, b Z 1 и a b. Да допуснем, че ψ(a) = ψ(b), т.е. Това уравнение е еквивалентно на a m = b m. (ab 1 ) m = 1, което ще рече, че редът на елемента ab 1 дели m. Нека ab 1 = r. Тогава r m но също и r дели реда на групата Z 1 = 8. Понеже m е нечетно, то (m, 8) = 1 и оттук трябва r = 1. Следователно получихме, че или еквивалентното ab 1 = 1 a = b, което противоречеи на избора на елементите a и b, които бяха различни. Противоречието доказва, че ψ е инекция, а оттук и изоморфизъм на групи. Следователно в Z 1 може еднозначно да се извлича m-ти корен, ако m е нечетно. Непразното подмножество S R на пръстена R се нарича подпръстен и пишем S R, ако a b S и ab S за a, b S. Непразното подмножество I l R на пръстена R се нарича ляв идеал на R, ако a b I l и ra I l за a, b I l, r R. Непразното подмножество I r R на пръстена R се нарича десен идеал на R, ако a b I r и ar I r за a, b I r, r R. Ако I е едновременно ляв и десен идеал на R, то казваме, че I е двустранен идеал или само идеал на R и пишем I R. От дефиницията е ясно, че всеки идеал на R е също и негов подпръстен. За елемента a R, множеството (a) = {ra r R} R е идеал на R, наречен главен идеал на R, породен от a. 9

10 10 Задача. Докажете, че множеството {( ) } a b S = a, b, c Z 0 c е подпръстен на пръстена Z 2 2 на 2 2 матриците с целочислени елементи, а множеството {( ) } a b J = a, b, c Z 0 c е идеал в S Решение. S е подпръстен на Z 2 2, защото ( ) ( ) ( ) a1 b 1 a2 b 2 a1 a = 2 b 1 b 2 S 0 c 1 0 c 2 0 c 1 c 2 и ( ) ( ) ( ) a1 b 1 a2 b 2 a1 a = 2 a 1 b 2 + b 1 c 2 S 0 c 1 0 c 2 0 c 1 c 2 за всеки два елемента на S. Множеството J е ляв идеал в S, защото ( ) ( ) ( ) a1 b 1 a2 b 2 a1 a = 2 b 1 b 2 J 0 c 1 0 c 2 0 c 1 c 2 за всеки два елемента от J, т.к. от a 1, a 2 Z a 1 +a 2 Z, аналогично b 1 + b 2, c 1 + c 2 Z и още защото ( ) ( ) ( ) x y a b xa xb + yc = J 0 z 0 c 0 zc ( ) ( ) x y a b за всяка матрица S и всяка матрица J т.к. от a 0 z 0 c Z xa Z за a Z, аналогично xb + yc, zc Z. По същия начин проверете, че J е десен идеал в S, откъдето ще следва, че J S. Задача 6. Нека е даден пръстенът R = {a, b, c, d, e, f}, зададен с таблициата за събиране

11 11 и таблицата за умножение + a b c d e f a a b c d e f b b c d e f a c c d e f a b d d e f a b c e e f a b c d f f a b c d e a b c d e f a a a a a a a b a b c d e f c a c e a c e d a d a d a d e a e c a e c f a f e d c b Кои са подпръстените и идеалите на R? Решение. За да имаме подпръстен S R, трябва a + b S и ab S за a, b S. От таблиците ясно се вижда, че нулевият елемент е a. Тогава задължително a S за произволен подпръстен на R. Да допуснем, че b S. Тогава получаваме веригата от следствия b + b = c S c + c = e S b + c = d S d + c = f S и получваме, че S = R е целият пръстен. Нека сега b / S. Нека c S. Тогава c + c = e S и оттук e + e = c, e + c = a. Освен това cc = e, ee = e, ec = ce = e. По този начин получихме нетривиален подпръстен {a, c, e}. Нека b / S, c / S, но d S. Тогава d + d = a и dd = d, откъдето следва, че {a, d} е друг нетривиален подпръстен на R. Нека b, c, d / S, но e S. Тогава бихме получили, че e + e = c S, което е противоречие. Нека b, c, d, e / S, но f S. Тогава бихме получили противоречието f + f = e S. С това всички нетривиални подпръстени на R са S 1 = {a, c, e} и S 2 = {a, d}.

12 12 Всеки идеал I R е подпръстен на R и затова трябва просто да проверим кои от вече намерените подпрсъстени издържат на умножение с произволни елементи от пръстена R. За S 1 виждаме от таблицата за умножение, че cx S 1 и ex S 1 за x R, което означава, че (c) = S 1 R. За S 2 от таблицата за умножение виждаме, че dy S 2 за y R и следователно (d) = S 2 R. Да проверим дали (c, d) R. Ако това беше вярно, то щяхме да имеме, че c + d = f (c, d), а оттук и cf = b (c, d). Т.к. b е единчният елемент на R, това означава, че (c, d) = R е тривиален идеал. И така, всички нетривиални идеали са I 1 = (c) и I 2 = (d). Задача 7. Да разгледаме пръстена на целите гаусови числа адитивната му подгрупа Z[i] = {a + bi a, b Z}, I = {a + bi Z[i] a 2b(mod )} и хомоморфизма на групи ϕ : (I, +) (C, +), дефиниран чрез ϕ(a + bi) = a + bi 2 + i. 1) Докажете, че образът на ϕ е Im ϕ = Z[i] и I е главен идеал в Z[i]. 2) Намерете всички a + bi I\{0} с минимален квадрат на модула a + bi 2 = a 2 + b 2. Решение. 1) За всеки елемент ϕ(a + bi) Im ϕ, където a + bi I имаме, че ϕ(a+bi) = a + bi 2 + i = (a + bi)(2 i) (2 + i)(2 i) Понеже a 2b(mod ), то 2a + b 2(2b) + b = 2a + b + (2b a)i b b(mod ), = 2a + b + 2b a i. т.е. 2a + b Z. Още, a 2b(mod ) означава, че (2b a) или с други думи 2b a Z. По този начи ϕ(a + bi) Z[i] и е доказано включването

13 Im ϕ Z[i]. За обратното включване да видим, че всяко цяло гаусово число a + bi има за прообраз елемента (a + bi)(2 + i) I. Наистина (a + bi)(2 + i) = 2a b + (a + 2b)i I, защото изпълнява условието 2a b 2a + 4b 2(a + 2b)(mod ). Освен това ϕ((a + bi)(2 + i)) = (a + bi)(2 + i) = a + bi. По този начин Z[i] Im ϕ и окончателно Im ϕ = 2 + i Z[i]. За да покажем, че I е главен идеал на пръстена Z[i], трябва да открием елемента, който го поражда. Както вече видяхме, за всяко цяло гаусово число a+bi, елементът (a+bi)(2+i) I, което доказва включването (2 + i) I. За обратното включване I (2 + i) трябва да покажем, че всеки елемент a + bi I се изразява като a + bi = (x + yi)(2 + i) за някакъв елемент x + yi Z[i]. Тогава въпросният елемент е x + yi = a + bi 2 + i, защото както вече видяхме a + bi Z[i] за всеки елемент a + bi I. И 2 + i така, I = (2 + i). 2) За всеки елемент a + bi I имаме, че a + bi 2 = a 2 + b 2 (2b) 2 + b 2 b 2 (mod ). Тъй като търсим ненулеви елементи, то минималната стойност на изараза a + b 2 = b се достига при b = ±1. Това задава четирите елемента 2 + i, 2 i, 2 + i, 2 i, които имат минимален квадрат на модула. Ясно е, че ако R е пръстен, а I е идеал в него, то (I, +) (R, +) е нормална подгрупа на адитивната група на R. Тогава множеството R/I = {r + I r R}, състоящо се от съседните класове на R по I, е пръстен относно операциите + и в R, наречен факторпръстен на R по идеала I. Ако R 1 и R 2 са два пръстена, а ϕ : R 1 R 2 е изображение, то ϕ се нарича хомоморфизъм на прсътени, ако са изпълнени условията ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), 13

14 14 ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) за всеки два елемента a, b R 1. Множеството Ker ϕ = {r R 1 ϕ(r) = 0 R2 } се нарича ядро на изображението ϕ и освен това е идеал в R 1. Множеството Im ϕ = {r R 2 r R 1 : ϕ(r) = r } се нарича образ на ϕ и е подпръстен на R 2. Хомоморфизмът на пръстени ϕ е изоморфизъм на пръстени, ако е взаимно-еднозначен. В такъв случай R 1 = R2. В сила е Теорема за хомоморфизмите на пръстени. Нека R 1 и R 2 са пръстени, а ϕ : R 1 R 2 е хомоморфизъм на пръстени. Тогава R 1 / Ker ϕ = Im ϕ. Задача 8. В пръстена Z[ 3] = {a + b 3 a, b Z} е даден главният идеал I = (1+2 3), породен от Да се докаже, че I = {a+b 3 Z[ 3] a 6b(mod 11)} и факторпръстенът Z[ 3]/I = Z 11. Решение. Нека означим I 1 = {a + b 3 Z[ 3] a 6b(mod 11)}. Всеки елемент от I има вида (x+y 3)(1+2 3) за произволен елемент x+y 3 Z[ 3]. Имаме, че Проверяваме сравнението което е еквивалентно на (x + y 3)( ) = x + 6y + (2x + y) 3. x + 6y? 6(2x + y)(mod 11), x + 6y 12x + 6y(mod 11), а оттам и на очевидно вярното сравнение x + 6y x + 6y(mod 11).

15 Следователно всеки елемент от I принадлежи и на I 1 и I I 1. За обратното включване взимаме произволен елемент a + b I 1. Ще покажем, че съществува елемент x + y 3 Z[ 3], такъв че a + b 3 = (x + y 3)( ). Последното е еквивалентно на равенството a + b 3 = x + 6y + (2x + y) 3 или на съществуване на целочислено решение на системата x +6y = a, 2x +y = b за произволни числа a, ( b Z, такива че a 6b(mod 11). Решенията на 6b a системата са (x, y) = 11, 2a b ). Очевидно x Z от условието, 11 наложено върху a и b. За y имаме, че y = 2a b 11 = 2(6b + 11k) b 11 = 11b + 11k 11 = b + k Z за произволно цяло число k Z. С това всеки елемент от I 1 принадлежи и на I и така I 1 I. Окончателно I = I 1. Разглеждаме изображението ϕ : Z[i] Z 11, дефинирано с ϕ(a + b 3) = a 6b = a 6b + 11Z Z 11. За произволни два елемента от Z[ 3] имаме, че ϕ[(a 1 +b 1 3)+(a2 +b 2 3)] = ϕ[(a1 +a 2 )+(b 1 +b 2 ) 3] = (a 1 +a 2 ) 6(b 1 +b 2 )+11Z = 1 и = (a 1 6b Z) + (a 2 6b Z) = ϕ(a 1 + b 1 3) + ϕ(a2 + b 2 3) ϕ[(a 1 + b 1 3)(a2 + b 2 3)] = ϕ[(a1 a 2 + 3b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 3] = = (a 1 a 2 +3b 1 b 2 ) 6(a 1 b 2 +a 2 b 1 )+11Z = a 1 a 2 6a 1 b 2 6a 2 b 1 3b 1 b 2 = 11Z = = a 1 a 2 6a 1 b 2 6a 2 b 1 36b 1 b Z = (a 1 6b Z)(a 2 6b Z) = = ϕ(a 1 + b 1 3)ϕ(a2 + b 2 3),

16 16 с което ϕ е хомоморфизъм на пръстени. Елементът a + b 3 Z[ 3] е от ядрото Ker ϕ ϕ(a + b 3) = 11Z a 6b = 11Z a 6b(mod 11) a + b 3 I, което означава, че Ker ϕ = I. Остава да докажем, че Z 11 Im ϕ. Наистина, за всяко число c = 0, 1,..., 10 съществуват някакви цели числа a, b Z (например a = 7c, b = c), такива че a 6b + 11Z = c + 11Z, т.е. ϕ(a + b 3) = c + 11Z за a + b 3 Z[ 3]. Това означава, че всеки елемент на Z 11 е от образа Im ϕ и комбинирайки това с тривиалното включване Im ϕ Z 11 имаме, че Im ϕ = Z 11. Сега, прилагайки теоремата за хомоморфизмите на пръстени, доказваме исканото твърдение Z[ 3]/I = Z 11. Задача 9. Да се докаже, че идеалът I = (1+, 1 ) на пръстена Z[ ] не е главен и да се докаже, че Z[ ]/I = Z 2. Решение. Тъй като идеалът I има два пораждащи елемента, то I = { (a 1 + b 1 )(1 + ) + (a2 + b 2 )(1 ) }, където a 1, a 2, b 1, b 2 Z. Тогава произволен елемент от него има вида a + b = (a 1 + b 1 )(1 + ) + (a2 + b 2 )(1 ) = = a 1 + a 2 b 1 + b }{{} 2 + (a 1 a 2 + b 1 + b 2 ). }{{} a b Забелязваме, че a b = 2a 2 6b 1 + 4b 2 и очевидно a b 0(mod 2), т.е. a b(mod 2). С други думи, т.к. елементът a+b I беше произволен, доказахме включването I {a + b Z[ ] a b(mod 2)}. Да видим дали имаме обратното включване. Нека a + b е такъв елемент, че a b(mod 2). Тогава може да запишем, че a = b + 2k за някакво цяло число k Z. Ще докажем, че този елемент се съдържа в I. За целта трябва да намерим елементи a 1 +b 2, a2 +b 2 Z[ ], такива че a + b = (a 1 + b 1 )(1 + ) + (a2 + b 2 )(1 ) = = a 1 + a 2 b 1 + b 2 + (a 1 a 2 + b 1 + b 2 ).

17 Поселдното е еквивалентно на това да намерим целочислено решение на системата a 1 +a 2 b 1 +b 2 = b + 2k, a 1 a 2 +b 1 +b 2 = b за произволни фиксирани числа b, k Z. Ако b 1, b 2 са свободните параметри на системата, тя ще има безбройно много решения за a 1 и a 2, като a 2 = 3b 1 2b 2 + k Z и a 1 = b 1 b 2 + b 4k Z. Следователно наистина можем да намерим целочислено решение на системата и тогава обратното включване е в сила. По този начин доказахме, че I = {a + b Z[ ] a b(mod 2)}. Сега е ясно, че 1 / I, защотo 1 = и 1 0(mod 2). Оттук следва и че I Z[ ] = (1). Още, 2 I, но I (2), защото например I, но не е в (2). Нека сега да допуснем, че идеалът I е главен, т.е. че съществува елемент a 0 + b 0 Z[ ]\{1, 2}, такъв че I = (a0 + b 0 ). Т.к. 2 I, то тогава трябва да съществува елемент x + y Z[ ], такъв че (x + y )(a 0 + b 0 ) = 2. Последното е еквивалентно на съществуване на целочислено решение на системата a 0 x +b 0 y = 2, b 0 x a 0 y = 0 за неизвестните x, y, което е невъзможно. Противоречието доказва, че допускането е грешно и остава да е вярно, че не съществува елемент на Z[ ], който да поражда I, т.е. I не е главен идеал. За останалата част на задачата разгледайте изображението ϕ : Z[ ] Z 2, дефинирано с ϕ(a + b ) = a b + 2Z за всеки елемент от Z[ ]. Докажете, че то е хомоморфизъм на пръстени с ядро Ker ϕ = I и образ Im ϕ = Z 2 и приложете теоремата за хомоморфизмите на пръстни. 17

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, освен ако не е специално указано. Да напомним, че асоциативен

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n,

Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, d n )} n Z от леви (десни) R-модули C n и R-модулни

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

M10_18.dvi

M10_18.dvi СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремата на Хилберт за нулите. Междувременно, направената

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 +

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + Примерни задачи за линейни изображения - 21-211 уч год Задача 1 В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + e 2 + pe 3, a 2 = e 1 + e 2 + (p + qe 3, a 3 = 2e 1 + 3e

Подробно

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Exam, SU, FMI,

Exam, SU, FMI, Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 9.1. Да се намерят стойностите

Подробно