MergedFile

Препис

1 ЛЕКЦИИ по КОМПЛЕКСЕН АНАЛИЗ доц д-р Ваня Хаджийски второ издание София 8 г

2 На светлата памет на моите родители

3 СЪДЪРЖАНИЕ Предисловие 9 Лекция Комплексни числа Редици и редове от комплексни числа Алгебрична структура на комплексните числа Геометрично представяне Комплексната равнина 3 Тригонометричен вид Формула на Моавър 4 Редици от комплексни числа 7 Редове от комплексни числа 9 Задачи Лекция Топология в комплексната равнина отворени затворени компактни свързани множества Разширената комплексна равнина Сфера на Риман Отворени и затворени множества Компактни множества 5 Разстояние между множества 7 Свързани множества Области 8 Разширената комплексна равнина Сфера на Риман 3 Топология в разширената комплексна равнина 33 Задачи 34 Лекция 3 Функция на комплексна променлива Непрекъснатост Реална и комплексна диференцируемост Уравнение на Коши-Риман Конформни изображения 36 Функция на комплексна променлива 36 Непрекъснатост 37 Реална и комплексна диференцируемост Уравнение на Коши-Риман 38 Формален подход към C-диференцируемостта Операторите и 43 Връзка между холоморфните и хармоничните функции 43 Крива в C Конформни изображения 44 Холоморфност и конформност в безкрайната точка 48 Задачи 49 Лекция 4 Дробно-линейната функция 5 Конформност групово и кръгово свойство 5 Дробно-линейната трансформация и двойното отношение на четири точки Запазване на инверсията 5 Дробно-линейните автоморфизми на основни области 57 Задачи 59 Лекция 5 Степенни редове 6 Област на сходимост Формула на Коши-Адамар 6 Теорема за диференциране на степенните редове Теорема за единственост 6 Гранична теорема на Абел 65 Задачи 67

4 Лекция 6 Елементарни функции на комплексна променлива 69 Функциите e si cos 69 Функцията log 73 α Функцията C \ α C Бином на Нютон 76 Обратни тригонометрични функции-функцията arctg 78 Задачи 8 Лекция 7 Линеен интеграл от функция на комплексна променлива Теорема на Лайбниц-Нютон 8 Дефиниция на линеен интеграл Свойства 8 Примитивна Теорема на Лайбниц-Нютон 87 Задачи 9 Лекция 8 Основна теорема на Коши класическа форма 93 Едносвързана област Теорема на Жордан 93 Теорема на Коши класическа форма 94 Задачи 99 Лекция 9 Теорема на Коши за сложен контур Формула на Коши Безкрайна диференцируемост на холоморфните функции Теорема на Коши за сложен контур Формула на Коши Безкрайна диференцируемост на холоморфните функции Теорема на Морера3 Задачи 6 Лекция Редици и редове от холоморфни функции Теорема на Вайерщрас 8 Равномерна сходимост на редици и редове от функции 8 Теорема на Вайерщрас Задачи 3 Лекция Развитие на холоморфна функция в ред на Тейлър Неравенства на Коши за коефициентите Теорема на Лиувил 4 Ред на Тейлър 4 Неравенства на Коши за коефициентите Теорема на Лиувил Основна теорема на алгебрата 6 Задачи 8 Лекция Нули на холоморфни функции Теорема за единственост Теорема за единственост Представяне в околност на нула 3 Задачи 3 Лекция 3 Развитие в ред на Лоран Теорема на Лоран 5 Задачи 3

5 Лекция 4 Изолирани особени точки Теореми на Риман и на Сохоцки-Вайерщрас 3 Изолирани особени точки 3 Отстранима особена точка Теорема на Риман 3 Полюс 33 Съществена особена точка Теорема на Сохоцки-Вайерщрас 34 Безкрайната точка 36 Задачи 37 Лекция 5 Теорема за резидуумите Развитие на функцията cot gπ в ред от елементарни дроби 38 Резидуум 38 Правила за пресмятане на резидууми 39 Теорема за резидуумите 4 Разлагане на cot gπ в ред от елементарни дроби 44 Задачи 46 Лекция 6 Логаритмичен индикатор Принцип за аргумента 48 Логаритмичен индикатор 48 Принцип за аргумента 5 Задачи 54 Лекция 7 Теорема на Руше Принцип за запазване на областите Критерии за еднолистност 55 Теорема на Руше 55 Принцип за запазване на областите 57 Критерии за еднолистност 58 Задачи 6 Лекция 8 Принцип за максимума на модула Лема на Шварц Автоморфизмите на единичния кръг 6 Принцип за максимума на модула Лема на Шварц 6 Автоморфизмите на единичния кръг 64 Задачи 65 Лекция 9 Глобална теорема на Коши-хомологична версия 66 Задачи 74 Лекция Цели функции Теорема на Вайерщрас 75 Безкрайни произведения от комплексни числа и функции 75 Цели функции Теорема на Вайерщрас 8 Задачи 87 Лекция Мероморфни функции Теорема на Митаг-Лефлер 88 Задачи 93 Допълнение Лекция Гама-функцията на Ойлер 95 Функция на Вайерщрас 95

6 Гама-функцията на Ойлер 97 Теорема за единственост Интегрално представяне 98 Задачи Лекция 3 Равномерно приближение с полиноми и рационални функции 3 Теорема на Рунге за компакт 3 Метод за изтласкване на полюсите Малка теорема на Рунге 6 Теорема на Рунге за отворени множества 8 Приложения на теоремите на Рунге Задачи Литература 4

7 Предисловие към второто издание Второто издание на лекциите е допълнено с две лекции: Гама функцията на Ойлер и Равномерно приближение с полиноми и рационални функции Теореми на Рунге Това са теми които съм излагал пред студентите от специалност Математика в годините когато курсът по Комплексен анализ бе двусеместриален а след промяната са част от изборният курс Избрани глави от Комлексния анализ Също така са отстранени забелязаните неточности за което съм изключително благодарен на моите студенти от сп Математика и сп Приложна математика февруари 8 г В Хаджийски Предисловие Това са записки на лекциите на основния курс по Комплексен анализ Теория на функциите на една комплексна променлива които чета един семестър на студентите от направление Математика на Факултета по Математика и информатика на Софийския университет Целта на тези записки е да помогне на студентите да усвоят основите на предмета и да ги подготви както за усвояването му на по-високо ниво така и за приложението му в други области Подходът ми към изграждането на курса е класически и по идеи и дух е близък до учебникa на доц Т Аргирова По-точно това е тн подход на Коши-Риман в основата на който лежи концепцията за комплексна диференцируемост Опорна точка на този подход е разбирането за взаимната зависимост между функциите на реална и комплексна променлива Това дава шанс на студентът да усети че комплексният анализ е естествено продължение на реалния анализ Освен това така той тя има още една възможност да преговори реалния анализ а и въвеждането му в комплексния анализ става по-гладко Също така този подход позволява по-бързо да се достигне до сърцевината на комплексния анализ там където са съществените разлики със ситуацията в реалния случай Изключение от класическия подход е Лекция 9 чета я само на специалност Математика в която следвайки елегантното доказателство на JDixo [8] излагам хомологичната версия на Глобалната теорема на Коши Записките са структурирани в лекции като това са отделни теми а не реалните лекции В края на всяка от лекциите са включени неголям брой задачи Повечето имат по-скоро теоретичен характер Целта им е да допълнят и задълбочат изложената в лекцията тема Умишлено не съм включил задачи за упражнения каквито могат да се намерят в сборниците [5] и [6] Използваните означения са стандартни При номерирането са използвани две числа: първото посочва номера на лекцията а второто поредния номер съответно на теоремата твърдението лемата задачата и тн в лекцията Номерата на някои от задачите са отбелязани със знака Това означава че те ще се използват по-нататък в изложението В записките има малко фигури които не са достатъчни за онагледяване на изложениeто Затова съветвам всеки който ги използва да скицира свои чертежи Благодаря на своя колега Вили Черногоров за начертаването на фигурите Особено съм благодарен на глас Александър Александров затова че прочете ръкописа и допринесе за отстраняване на редица неточности май 5 г ВХаджийски 9

8 Лекция Комплексни числа Редици и редове от комплексни числа В основата на комплексния анализ са алгебричната геометричната и топологичната структура на комплексните числа В тази лекция ще изложим основните алгебрични и геометрични свойства на комплексните числа а също и основни понятия и твърдения за редици и редове от комплексни числа Комплексните числа се появяват в 6-ти век по съвсем естествен начинпри решаването на кубични уравнения не на квадратни! и са свързани с имената на няколко италиански учени В 545 г ГКардано публикува в своята прочута Ars maga Велико изкуство формулата за корените на кубичното 3 уравнение x px + q общото кубично уравнение се свежда до тази форма известна днес като формула на Кардано: 3 3 q q p q q p x като отбелязва че тя е открита от СФеро и НФонтана Тарталя Тази 3 формула въвежда комплексни числа ако q p 3 < При това корените на уравнението в които те фигурират не могат да бъдат отхвърлени както е ставало при квадратните уравнения защото всяко кубично уравнение има поне един реален корен Така формулата на Кардано поставя въпроса: Какви са тези числа и как се действа с тях? Самият Кардано не се занимава с този въпрос Първият който приема насериозно новите числа и извършва систематични пресмятания с тях е Р Бомбели чиято Алгебра се е появила в 57 г но както той пише: в цялата работа има повече софистика отколкото истина Въпреки успешното използване на комплексните числа от РБомбели почти 5 години на тях се е гледало с недоверие и дори с известна неприязън Дори математици като Декарт Ойлер Лайбниц са ги разглеждали като невъзможни наричайки ги имагинерни Oттук е и означението i въведено от Ойлер в 777г Задоволителен отговор на въпроса Какво е комплексно число? е получен едва в края на 8-ти век Независимо един от друг Весел Арган и Гаус достигат до една проста и естествена интерпретация на комплексните числа като точки или вектори в равнината Термина комплексно число е въведен от Гаус но първата строга формална дефиниция дължим на неговия съвременник Хамилтон Алгебрична структура на комплексните числа Дефиниция Комплексно число се нарича всяка наредена двойка от реални числа В множеството на комплексните числа C { : a b a b R } се въвеждат равенство и операциите събиране и умножение: a b c d a c и b d a b + c d a + c b + d

9 Лекция Комплексни числа a b c d ac bd ad + bc Относно тези операции C е поле с нула двойката и единица двойката Ако a b C то обратният му елемент относно събирането е a b a b а относно умножението при е a + b a + b Множеството от комплексни числа от вида a е подполе на C и е изоморфно на полето на реалните числа като изоморфизмът се задава с изображението a a Ето защо оттук нататък ще отъждествяваме реалното число a с комплексното число a Да въведем означението i : Числото i се нарича имагинерна единица на C Имаме че i ii те i е един от корените на уравнението + другият е i С тези уговорки всяко комплексно число a b може да бъде записано в така наречения алгебричен вид a + ib или a + bi Действително a b a + b a + b a + ib Чрез този запис действията с комплексни числа се свеждат до съответните действия с реални числа като просто се разкриват скобите и се взема предвид че i Така полето на комплексните числа е разширение на полето на реалните числа в което уравнението + има решение Нещо повече всеки полином с комплексни коефициенти има корен в C Това е съдържанието на основната теорема на алгебрата доказателство на която ще изложим и в този курс вж Лекция Но това разширение има и един сериозен недостатък C не наследява наредбата на R Действително ако в C имаше наредба наследяваща тази на R то или i > или i > очевидно i Ако i > то ii > откъдето > което е абсурд Ако пък i > то i i > > и отново абсурд Така в C неравенствата > w < w са лишени от смисъл освен ако и w не са реални числа С всяко комплексно число a + ib се свързват означенията: Re : a - реална част на Im : b - имагинерна част на a + b - модул на a ib - комплексно спрегнато на В сила са равенствата:

10 Лекция Комплексни числа Re Re i Im Im i ± w ± w w w w w w w w w Геометрично представяне Комплексната равнина Следвайки формалната дефиниция на комплексно число като наредена двойка от реални числа естествено е да си го представим като точка в Евклидовата равнина с декартова координатна система Иначе казано с всяка точка M a b R се асоциира комплексното число a + ib Така на реалните числа съответстват точки от абсцисната ос поради което тя се нарича реална ос а на чисто имагинерните числа те числата от вида ib b R съответстват точки от ординатната ос поради което тя се нарича имагинерна ос и се бележи с ir Освен това тъй като всяка точка M от равнината се определя еднозначно от радиус-вектора си OM то оттук нататък ще отъждествяваме комплексното число a + ib както с точката M a b така и с радиус-вектора OM Равнината R се нарича комплексна равнина и се бележи с C фиг фиг Сега въведените по-горе означения придобиват ясен геометричен смисъл Така е дължината на вектора а е точката симетрична на относно реалната ос фиг Векторната интерпретация на комплексните числа нагледно илюстрира събирането и изваждането на комплексните числа чрез стандартното правило на успоредника фиг Ясно е че евклидовото

11 4 Лекция Комплексни числа разстояние между точките и е равно на дължината на вектора те на Така е разстоянието между + и и затова са в сила неравенствата на триъгълника фиг + + Те изразяват геометричния факт че дължината на всяка страна в един триъгълник е не по-малка от модула на разликата от дължините на останалите две страни и не надминава сумата от дължините им Тези неравенства са строги освен ако някое от и е нула или ако векторите и са колинеарни и разнопосочни за първото неравенство и ако те са колинеарни и еднопосочни - за второто По-общо по индукция се доказва че Тригонометричен вид Формула на Моавър Векторът се определя еднозначно от дължината си и от ъгъла който + сключва с положителнатa част на реалната ос - R Този ъгъл се нарича аргумент на и се бележи с arg Числото няма аргумент Ясно е че ако ϕ е един аргумент на то ϕ + π Z е също аргумент на и това са всичките му аргументи Оттук нататък с arg ще означаваме множеството от всички аргументи на Също така ако ϕ е един аргумент на ще пишем arg ϕ а не ϕ arg Измежду всички аргументи на съществува един единствен който принадлежи на интервала π π ] Означава се с arg и се нарича главен аргумент на Множеството от всички аргументи на е arg {arg + π Z } Нека x + iy r и ϕ е един аргумент на Тогава фиг3 x r cosϕ y r siϕ и rcosϕ + isiϕ фиг3

12 Лекция Комплексни числа 5 Този запис се нарича тригонометричен вид на Ясно е че аргументите на са решенията на системата x cosϕ y siϕ Ще отбележим още че ако ϕ е един аргумент на то tg ϕ y x но не всяко решение на това уравнение е аргумент на Така ако + i то tg ϕ откъдето ϕ π 4 или ϕ 5π 4 ϕ π ] и ϕ 5π 4 е аргумент на i а не на + i ϕ За удобство се въвежда означението на Ойлер e i : cosϕ + isiϕ Така тригонометричният запис на приема вида re iϕ Очевидно iϕ iϕ iθ e e e ϕ θ π Z e e iϕ iϕ и са в сила формулите на Ойлер iϕ iϕ iϕ iϕ e + e e e cos ϕ siϕ i От събирателните формули за тригонометричните функции следва iϕ iθ i ϕ+ θ iϕ iθ i ϕθ e e e e e e Така със символа iϕ x e се оперира както с познатата ни функция e x R все едно че i е реално число След като се дефинира e C става ясно че тези равенства са верни Две комплексни числа записани в тригонометричен вид са равни само ако модулите им са равни и аргументите им се различават с ϕ θ целочислено кратно на π те ако re i w ρe i то Освен това w r ρ и ϕ θ π Z i ϕ + θ w rρe и i ϕ θ w r ρ e Оттук следва w w и arg w arg + arg w Забележка Равенството arg w arg + arg w не е числово равенство и следва да се разбира като съвпадане на множества те ако arg е един аргумент на arg w е един аргумент на w то съществува аргумент на w така

13 6 Лекция Комплексни числа че arg w arg + arg w То не винаги е вярно ако аргумента е еднозначно определен Така например arg π но arg arg π + π фиг4 Тригонометричният запис на комплексните числа нагледно илюстрира геометричния смисъл на произведението на две комплексни числа Числото w се получава от чрез хомотетия с коефициент w и въртене около координатното начало на ъгъл arg w Така ако разгледаме триъгълника с върхове в точките и и след това построим подобен и еднакво ориентиран на него триъгълник с върхове в точките w така че векторът w да е съответен на вектора то третият връх на този триъгълник е w фиг4 От по индукция следва iϕ iϕ e e те cos ϕ + isiϕ cosϕ + isi ϕ за всяко реално число ϕ и за всяко цяло число Това равенство се нарича формула на Моавър Едно важно следствие от нея е формулата за -тите корени на едно комплексно число Твърдение Уравнението c c C c N има точно различни корена и те се задават с формулата i θ + π c e където θ е един аргумент на c iϕ Доказателство Нека re и имаме c ρe iθ Тогава от формулата на Моавър i ϕ i ρ θ c r e e r ρ и ϕ θ + π Z откъдето

14 Лекция Комплексни числа 7 r ϕ θ + π Z ρ и Така за корените на уравнението получаваме i θ + π c e Z При получаваме различни корена Поради периодичността на функциите cos θ и si θ за всяка друга стойност на съответните стойности на ги дублират като l ± mod за всяко l Z и Така уравнението c c C c N има точно различни корена и те се задават с формулата Те са върхове на правилен -ъгълник вписан в окръжност с център координатното начало и радиус c Тази формула за пресмятане на корените ще наричаме също формула на Моавър l Редици от комплексни числа Дефинициите за редица подредица ред сходимост точка на сгъстяване и тн в комплексната равнина са същите както в реалния анализ Поради това всички основни резултати от теорията на сходимостта на редици и редове в реалния случай без затруднение се пренасят и за редици и редове от комплексни числа Ето защо тук ще се ограничим само с едно кратко изложение на някои основни понятия и резултати необходими ни за по-нататък Дефиниция Околност ε - околност на точката C се нарича всеки кръг { ε ε } K ε C : < > Дефиниция 3 Редицата { } e сходяща към C ако за всяко ε > съществува число ν ν ε така че K ε при > ν те за всяко ε - околност на вън от нея лежат само краен брой от членовете на редицата Точката наричаме граница на редицата и пишем при или lim Дефиниция 4 Редицата { } се нарича редица на Коши ако за всяко ε > съществува число ν ν ε така че m < ε при m > ν Теорема Критерий на Коши Редицата { } сходяща точно когато тя е редица на Коши от комплексни числа е Следното твърдение свежда въпроса за сходимост на редица от комплексни числа към сходимост на редици от реални числа

15 8 Лекция Комплексни числа Твърдение Редицата { } lim точно когато lim Re Re и от комплексни числа е сходяща към те lim Im Im Доказателство Следва от очевидните неравенства приложени за { } max Re w Im w w Re w + Im w w C w Нека сега членовете на редицата { } са записани в iarg тригонометричен вид те e където arg е един фиксиран аргумент на те { arg } е редица Каква е връзката между сходимостта на редицата { } и редиците { } si x cos x следва arg и { }? От непрекъснатостта на функциите Твърдение 3 Ако lim и lim arg arg то lim Нека сега lim Ясно е например от неравенството на триъгълника че lim сходяща дали нейната граница е arg Но дали редицата { } arg? е сходяща и ако е Забележка При този въпрос е безсмислен защото lim lim Следните два примера показват че без допълнителни предположения отговорът е отрицателен i Пример Нека + Очевидно разходяща защото arg π докато arg π arg е Но редицата { } Пример Нека i Сега arg π докато arg π Твърдение 4 Нека lim и ϕ е един фиксиран аргумент на Тогава ако изберем ϕ π ϕ + π ] arg то lim arg ϕ ако във всяка ε - околност K ε на има безбройно много членове на редицата Дефиниция 5 Точката C е точка на сгъстяване на редицата { }

16 Лекция Комплексни числа 9 Твърдение 5 Точката C е точка на сгъстяване на редицата { } когато съществува подредица { } Дефиниция 6 Редицата { } така че K R за всяко така че точно е ограничена ако съществува число R > Теорема Болцано-Вайерщрас Всяка ограничена редица от комплексни числа има точка на сгъстяване те има сходяща подредица Редове от комплексни числа Дефиниция 7 Нека е редица от комплексни числа Редът се нарича сходящ ако редицата от парциални суми S е сходяща при в противен случай казваме че редът е разходящ Ако S lim S то S се нарича сума на реда и пишем S Непосредствено от Твърдение следва Твърдение 6 Редът Im е сходящ точно когато редовете са сходящи и тогава Re + i Im Твърдение 7 Критерий на Коши Редът всяко ε > съществува число ν ε > m >ν В частност при m следва че ако редът Дефиниция 8 Редът сходящ Твърдение 8 Ако редът m+ + m+ + + Re и е сходящ точно когато за ν така че < ε за всеки е сходящ то се нарича абсолютно сходящ ако редът е абсолютно сходящ то той е сходящ е

17 Лекция Комплексни числа Твърдение 9 Ако a и редът абсолютно сходящ a е сходящ то редът е За да установим дали един ред от комплексни числа е абсолютно сходящ можем да използваме всички познати ни от реалния анализ критерии за сходимост на редове с неотрицателни членове Тук ще приведем само критерия на Коши Преди това ще припомним следната Дефиниция 9 Нека { a} е редица от реални числа Числото α се нарича най-дясна точка на сгъстяване на редицата { a} α limsupa lim a ако α е точка на сгъстяване на редицата { } а подредица { } така че а α ; a означава се те съществува За всяко ε > съществува число ν ν ε така че a < α + ε за всяко >ν те надясно от α + ε за всяко ε > има само краен брой членове на редицата и значи никое α > α не е точка на сгъстяване на { } Теорема 3 Критерий на Коши Нека { } l lim Тогава редът l > a е редица от комплексни числа и е абсолютно сходящ ако l < и е разходящ ако Доказателство Нека l < и ε > е такова че l + ε < Съществува число ν ν ε така че < l + ε < l + ε при > ν и от Твърдение 9 следва че редът подредица { } е абсолютно сходящ Ако l > то съществува така че l Това означава че за безбройно много стойности на и общият член на реда не клони към нула Следователно редът е разходящ Задачи Нека a b C a b R Да се докаже че C е поле относно обичайните b a операции събиране и умножение на реални матрици и то е изоморфно на C

18 Лекция Комплексни числа Забележка Това е още един начин за въвеждане на комплексните числа Върху страните на четириъгълник външно са построени квадрати Да се докаже че двете отсечки свързващи центровете на квадратите построени върху срещуположните страни на четириъгълника са равни и взаимно перпендикулярни 3 Да се докаже Твърдение 4 4 Да се докаже че ако редицата { } lim 5 Да се докаже че ако { a} и { } числа то limsup a е сходяща и lim то b са две редици от положителни реални b lim sup a limsupb при условие че произведението в дясната страна на неравенството е добре дефинирано те изключваме случая когато единият множител е а другият е В случай че една от редиците е сходяща имаме равенство

19 Лекция Топология в комплексната равнина отворени затворени компактни свързани множества Разширената комплексна равнина Сфера на Риман В тази лекция ще въведем известна терминология и ще изложим основни свойства на различни видове множества в комплексната равнина Отворени и затворени множества Дефиниция Нека M C е произволно подмножество на комплексната равнина Една точка C се нарича вътрешна респективно външна точка на M ако съществува околност K ε на така че K ε M съответно K ε C \ M Ако във всяка околност на има точки както от M така и от C \ M то се нарича гранична точка на M Множеството от вътрешните точки на M наричаме вътрешност на M и бележим с itm а множеството от външните точки на M - външност на M и бележим с ext M Множеството от граничните точки на M наричаме граница на M и бележим с M Така точките в комплексната равнина се разделят относно M на три непресичащи се множества те C it M ext M M Дефиниция Пробита околност на точката се нарича множеството K ε { : < < ε} те това е околност на от която е отстранена самата точка Дефиниция 3 Една точка C се нарича точка на сгъстяване на множеството M ако във всяка нейна пробита околност има точка на M Ако съществува пробита околност на M в която няма други точки на M то се нарича изолирана точка на M Обединението на едно множество M и всичките му точки на сгъстяване се нарича затворена обвивка на M и се бележи с M Твърдение Една точка C е точка на сгъстяване на множеството M C точно когато съществува редица от точки М такава че и lim Примери Нека M K ε Всяка точка М е вътрешна Действително K δ K ε за < δ< ε те M itm Освен това { : ε} ε { : ε} ε { : ε} ext M > M C M K ; Нека M { : Im } Тук itm extmc \ M M M M ;

20 Лекция Топология в комплексната равнина 3 i i 3 Нека M i Сега {} M M M и itm extmc \ M ; M K ε : < < ε Имаме M itm M C ε 4 Нека { } { } M K ε ext MC \ M 5 Нека M { C : x+ iy x y Q } Тъй като множеството на рационалните числа Q е изброимо и навсякъде гъсто в множеството на реалните числа то M е изброимо и навсякъде гъсто в C Тогава M MC и itm extm Забележка От самите дефиниции е ясно че: всяка вътрешна точка на M е точка на M и е точка на сгъстяване на M но вж Примери 3 една точка може да е точка на сгъстяване на M и да не принадлежи на M Също така ако C е точка на сгъстяване на M то във всяка пробита околност на има безбройно много точки на M ; всяка точка от M M е или точка на сгъстяване на M или е изолирана точка на M ; M M M it M M C \ ext M Дефиниция 4 Едно множество M C се нарича отворено ако всичките му точки са вътрешни те за всяко М съществува ε -околност K ε ε може да зависи от така че K ε M Предвид it M M това означава че M е отворено точно когато M itm Примери За всяко C K ε е отворено множество затова го наричаме отворен кръг H + : Im > е отворено множество; { } 3 H { : Im } + не е отворено множество; H + но не е вътрешна точка на H + ; 4 Ако M C е произволно подмножество на комплексната равнина то itm и extm са отворени множества 5 C е отворено множество; 6 е отворено множество: ако допуснем че не е отворено то съществува! такова че във всяка ε-околност на има точки непринадлежащи на Понеже в изобщо няма точки това не е възможно Нещо като служебна победа поради неявяване на противника Теорема Ако { U α } α A на комплексната равнина то е произволна фамилия от отворени подмножества U α α A е отворено множество; Ако U U U са отворени подмножества на комплексната равнина то U е отворено множество

21 4 Лекция Топология в комплексната равнина Доказателство Ако U α за всяко α A то U α α A е отворено множество Ако това не е така и U α то съществува α A така че U α Понеже K ε U U и значи α Ако α A α U α A U α е отворено то съществува ε> такова че U α α A е отворено множество твърдението е вярно Нека U и U Тогава U и тъй като U е отворено множество то съществува ε > такова че K ε U Нека ε mi{ ε ε ε} Ясно е сега че ε> и K ε K ε U Следователно K ε U и U е отворено множество Забележка Сечението на безброй много отворени множества може да не е U K са отворени множества но отворено множество Така U {} не е отворено н н С така дефинираните отворени множества C се превръща в топологично пространство Дефиниция 5 Нека X е произволно множество Една система τ от подмножества на X се нарича топология в X ако X τ ; Обединението на всяка съвкупност от елементи на τ е елемент на τ ; 3 Сечението на краен брой елементи на τ е елемент на τ Двойката X τ се нарича топологично пространство а елементите на τ - отворени множества Дефиниция 6 Едно множество M C се нарича затворено ако допълнението му C \ M е отворено множество Примери 3 C и са затворени множества; H + : Im е затворено множество; { } 3 K ε { : ε} е затворено множество затова го наричаме затворен кръг; 4 Ако M C е произволно подмножество на комплексната равнина то M и M са затворени множества Твърдение Едно множество M C е затворено точно когато то съдържа всичките си точки на сгъстяване те M M или предвид M M точно когато M M

22 Лекция Топология в комплексната равнина 5 Още една полезна характеристика на затворените множества е следната: Твърдение 3 Едно непразно множество M C е затворено точно когато границата на всяка сходяща редица от точки на M е точка от M те когато н М и то M В сила е следният аналог на Т Теорема Ако равнина то Ако { V α } α A V V са затворени подмножества на комплексната V V е затворено множество; комплексната равнина то е произволна фамилия от затворени подмножества на V α α A е затворено множество Забележка 3 Обединението на безброй много затворени множества може да не е затворено множество Така V : Re са затворени множества но { : Re } V > е отворено множество Накрая ще отбележим че едно множество M C може да не бъде нито M : < не е отворено нито затворено Например множеството { } отворено защото M но не е вътрешна точка на M и не е затворено защото е точка на сгъстяване на M но M Компактни множества Дефиниция 7 Едно множество M C се нарича ограничено ако съществува R> така че < R за всяко M те ако M K R Ако M е ограничено множество диаметър на M се нарича числото diam M sup{ w : w M} Дефиниция 8 Едно множество K C се нарича компактно компакт ако то е затворено и ограничено множество Като вземем предвид теоремата на Болцано-Вайерщрас и Твърдение 3 получаваме следната характеристика на компактните множества в комплексната равнина Теорема 3 Едно множество K C е компактно точно когато всяка редица от точки на K има сходяща подредица чиято граница е точка от K Доказателство Нека K C е компакт те затворено и ограничено множество Тогава всяка редица { } теоремата на Болцано-Вайерщрас има сходяща подредица от точки на K е ограничена и според Понеже K е затворено множество то Твърдение 3 K Обратно нека всяка редица от точки на K има сходяща подредица с граница точка от K Ако допуснем че K не е ограничено то за всяко

23 6 Лекция Топология в комплексната равнина естествено число съществува { } K така че > Всяка подредица на е неограничена и значи е разходяща Ако K не е затворено то съществува точка на сгъстяване на K - точки на K такава че K Съществува редица { } от Тогава всяка подредица на тази редица е също сходяща към и значи нейната граница не е точка от K Следователно K е и ограничено и затворено множество Ще приведем още една по-обща характеристика на компактните подмножества на комплексната равнина Преди това Дефиниция 9 Отворено покритие на едно множество M C се нарича всяка съвкупност от отворени множества { U α } α A чиито обединение съдържа M те M ; подпокритие е подсъвкупност със същото свойство; крайно U α α A подпокритие е покритие съставено от краен брой множества те съществуват краен брой α α α A така че U α M Теорема 4 Хайне-Борел Едно множество K C е компактно точно когато всяко отворено покритие на K съдържа крайно подпокритие Така имаме три еквивалентни определения за това едно множество K C да е компактно: K е затворено и ограничено; Всяка редица от точки на K има сходяща подредица чиято граница е точка от K ; Всяко отворено покритие на K има крайно подпокритие Забележка 4 В случая на общо топологично пространство тези три твърдения за множеството K не са еквивалентни и за определение на компактно множество се възприема третата версия Възможността едно отворено покритие да се редуцира до крайно покритие свежда доказателството на едно твърдение за компакт до доказването му само за кръг Ето защо много локални свойства свойства които са изпълнени в околност на всяка точка на едно множество са и свойства на целия компакт Така че компактността е едно хубаво свойство на множествата Примери 4 C не е компакт; е компакт; 3 За всяко C K r е компакт; 4 H { : Im } + не е компакт Едно интересно свойство на компактните множества е следната теорема на Кантор която ще използваме при доказателството на теоремата на Коши за триъгълен контур

24 Лекция Топология в комплексната равнина 7 Теорема 5 Кантор Ако { K} е редица от непразни вложени едно в друго компактни подмножества на комплексната равнина те K K K и diam K при то съществува единствена точка C такава че К за всяко Доказателство Да изберем по една точка K за всяко Ще покажем че редицата { } е редица на Коши Нека ε> е произволно Тъй като diam K при то съществува естествено число ν такова че diam K < ε за всяко > ν Тогава m K ν+ при m > ν защото Km Kν+ К Kν+ и m < diam K ν + < ε Следователно Критерий на Коши редицата е сходяща и нека lim Понеже за всяко в К са всички членове на редицата с изключение на краен брой те m K при m> Km K при m> и К е затворено множество то К за всяко Да допуснем сега че съществува и К за всяко Тогава < diam K и условието diam K при не е изпълнено С това теоремата е доказана Разстояние между множества Дефиниция Нека A и B са две непразни подмножества на комплексната равнина Разстояние между A и B се нарича числото { } dist A B if w : A w B Ясно е че dist A B и ако A B то dist A B Но може A B и dist A B ; например A K B C Обаче ако A и B са затворени и поне едно от тях е компакт то dist A B > По-точно в сила е Твърдение 4 Ако A и B са две непразни непресичащи се затворени подмножества на комплексната равнина и поне едно от тях е компактно то съществуват точки a A и b B така че dist A B a b> Доказателство Нека A е компакт и d dist A B От самото определение следва че съществуват редици от точки a така че lim a b d така че a A и b B Тъй като A е компакт съществува подредица { a } a и a A Ще покажем че редицата { b } Действително от неравенството на триъгълника имаме Понеже редиците { a b } и { } е ограничена и редицата { } b a е ограничена b a b + a са сходящи те са ограничени и значи Сега от теоремата на Болцано-Вайерщрас следва че съществува подредица за да не претрупваме записа да я означим

25 8 Лекция Топология в комплексната равнина b пак с { } така че b множество Тогава d lim a b a b > b Освен това b B защото B е затворено Забележка 5 Условието поне едно от множествата да е компактно е x съществено Например множествата AR и B { x e x R } са затворени не се пресичат и dist A B Свързани множества Области Интуитивно казваме че едно множество е свързано ако то е съставено само от едно парче За нас е важно да прецизираме тази идея и това ще направим в следващите редове Дефиниция Едно множество M C се нарича свързано ако не съществуват отворени множества U и V такива че U M V M U V M и M U V В частност ако M е отворено то е свързано ако не съществуват непразни непресичащи се отворени множества U и V така че M U V Това означава че ако едно отворено и свързано множество се представя като обединение на две непресичащи се отворени множества U и V то или U или V Същото е вярно и ако заменим отворени със затворени Дефиниция Всяко отворено и свързано множество се нарича област Примери 5 Всяко едноточково множество е свързано но всяко крайно множество от поне две точки не е свързано; Всяка отсечка [ ] { : t + t t []} свързваща точките C и C е свързано множество; съставена от 3 Всяка начупена линия [ ] [ ] [ ] [ ] 3 краен брой последователно свързани отсечки така че краят на всяка отсечка е начало на не-повече от една отсечка е свързано множество; : < Re < : Im > не е свързано 4 Множеството { } { } Това определение за свързаност изказано в негативен смисъл не се поддава на геометрична интерпретация Но е удобно при доказателствата Има още един вид свързаност тн линейна свързаност която има ясен геометричен смисъл и в случая на отворени множества е еквивалентна на дефинираната току-що Дефиниция 3 Път Крива в C се нарича всяко непрекъснато изображение t : a b a b a b R в комплексната равнина [ ] C на интервала [ ]

26 Лекция Топология в комплексната равнина 9 Иначе казано път това е комплекснозначна функция t x t + iy t на реалната променлива t непрекъсната за всяко t [ a b] реалнозначните функции xt и t което означава че y са непрекъснати в интервала [ ] a b Казваме че пътят свързва началната му точка a с крайната му точка b Множеството { : t t [ a b] } се нарича носител на пътя и се бележи с Дефиниция 4 Едно множество M C се нарича линейно свързано ако всеки две точки и от M могат да се свържат с път лежащ в M те M Сега ще покажем че за отворени множества въведените два вида свързаност съвпадат Теорема 6 Нека G C е отворено множество Следните твърдения са еквивалентни: Всеки две точки от G могат да се свържат с начупена линия лежаща изцяло в G ; G е линейно-свързано множество; 3 G е свързано Доказателство Очевидно Ще докажем че 3 Да допуснем че G не е свързано множество те съществуват отворени множества G и G G G G G G G G така че G G G Нека G и G са произволни точки и t :[ a b] G a b е път който ги свързва Нека t sup{ t [ a b] : s G a s t} < Имамече a< t< b защото множествата G и G са отворени Ще покажем че точката t не принадлежи нито на G нито на G Действително ако G то съществува околност K ε G Това означава че има точка t K ε от G G за която t > t Аналогично ако G то има точка t от G G G G за която t < t И двете заключения противоречат на дефиницията на точна горна граница Следователно G което не е възможно Това противоречие доказва свързаността на G За да завършим доказателството на теоремата остава да покажем че 3 Нека G е отворено и свързано множество G и да дефинираме { [ ] } G G : начупена линия d G G G / G Ясно е че G G G и G G Ще покажем че G Нека G и d G е начупена линия която свързва със Тъй като G е отворено множество съществува околност K ε G Но всяка точка K ε се свързва със чрез отсечката [ ] и тогава начупената линия d [ ] G свързва със те K ε G и значи G е отворено множество Аналогично следва че и G е отворено множество Действително

27 3 Лекция Топология в комплексната равнина ако G то съществува околност K ε G Всички точки от тази околност ще лежат в G защото в противен случай в K ε ще има точка от G и тогава както по-горе ще съществува начупена линия свързваща със Тъй като G е свързано множество то или G или G Но G и значи G Следователно G G С това теоремата е доказана Забележки 6 В доказателството на импликацията 3 не използвахме че G е отворено множество Така всъщност доказахме че всяко линейно свързано множество е свързано Обратното не е вярно за произволни множества Така множеството G { y y [ ]} xsi x ] x е свързано но не е линейно свързано Твърдението в допуска следното уточнение: Всеки две точки от G могат да се свържат с начупена линия чийто отсечки са успоредни или на реалната ос или на имагинерната ос и лежаща изцяло в G Работата е в това вж доказателството че отсечката [ ] можем да заменим с други две едната от които е успоредна на реалната ос а другата на имагинерната ос Следствие Единствените подмножества на C които са едновременно отворени и затворени са и самото C Доказателство Да допуснем противното и нека U C е непразно едновременно отворено и затворено множество Тогава VC \ U е непразно отворено множество U V и C U V те C не е свързано множество Но C е отворено и очевидно линейно свързано всеки две точки от комплексната равнина се свързват чрез отсечка множество и според Т5 е свързано Това противоречие доказва твърдението Сега ще покажем че всяко множество в комплексната равнина може да се представи като обединение на свързани множества Дефиниция 5 Нека M C Едно подмножество K M се нарича компонента на свързаност на M ако то е свързано и не се съдържа строго в никое друго свързано подмножество на M Теорема 7 Всяко множество M C се представя по единствен начин като обединение на компонентите си на свързаност Доказателство Нека M и K е обединението на всички свързани K подмножества на M които съдържат да отбележим че K { } Ще докажем че K е свързано множество Да допуснем противното и нека U и V са отворени множества такива че U K V K U V K и K U V Нека за определеност U и V K е произволна точка От самото определение на K следваче съществува свързано подмножество K

28 Лекция Топология в комплексната равнина 3 съдържащо и За него имаме U K V K U V K и K U V което противоречи на свързаността му И така множеството K е свързано и е максимално сред свързаните подмножества на M съдържащи точката те K е компонента на свързаност на M Остава да покажем че всеки две компоненти или нямат обща точка или съвпадат Действително нека K и K са две компоненти на свързаност на M които имат обща точка Тогава K K е свързано подмножество на M съдържащо компонентите K и K Това е възможно само ако K K K K Така за всяка точка M съдържащата я компонента се определя еднозначно Следствие Компонентите на свързаност на всяко отворено множество в C са области и са изброимо много Доказателство Нека G C е отворено множество D е негова компонента на свързаност и D е произволна точка Тъй като G е отворено то съществува околност K ε G Но K ε е свързано множество съдържащо и от самото определение за компонента следва K ε D те D е отворено множество За да се убедим че компонентите са изброимо C x+ iy C : x y Q от точки в много да разгледаме множеството { } комплексната равнина чиито координати са рационални числа То е изброимо и е навсякъде гъсто в C поради което всяко отворено подмножество на C в частност всяка компонента на G съдържа точка от C Следователно множеството от компонентите е изброимо Q Q Разширената комплексна равнина Сфера на Риман Както вече отбелязахме комплексната равнина не е компакт За да преодолее този недостатък Риман допълва комплексната равнина с една идеална точка безкрайната точка Така се получава едноточковата компактификация на комплексната равнина или още разширената комплексна равнина която ще означаваме с C C { } Комплексната равнина C ще наричаме крайна комплексна равнина Новата точка не е елемент от полето на комплексните числа и не участва в алгебричната структура на C но можем да дефинираме някои алгебрични действия с нейно участие без това да ни доведе до безсмислици По дефиниция ще считаме че ± ± C C C C

29 3 Лекция Топология в комплексната равнина Изразите ± за нас няма да имат смисъл Също така понятията реална част имагинерна част аргумент на безкрайната точка са лишени от смисъл Но е естествено да считаме че + Разширената комплексна равнина се илюстрира геометрично чрез тн модел сфера на Риман върху която безкрайната точка има конкретно представяне и е равноправна с всички останали точки Нека фиг 3 S ξη : ξ η R + + е двумерната сфера в 4 и радиус допираща тримерното евклидово пространство с център се до равнината в координатното начало Тази точка ще наречем южен полюс на сферата S а диаметрално противоположната ѐ точка N ще наречем не случайно северен полюс Да отъждествим комплексната равнина C с равнината като осите Ox и Oy съвпаднат съответно с осите Oξ и Oη На всяка точка Z ξη S Z N да съпоставим точката x+ iy C фиг в която лъчът NZ пресича C Точката се нарича стереографска проекция на точката Z Така получаваме взаимно еднозначно съответствие между продупчената сфера S /{ N } и комплексната равнина Това съответствие се нарича стереографска проекция и се използва в картографията за направа на плоски географски карти Да опишем аналитично стереографската проекция Най-напред да изразим координатите на Z чрез тези на Параметричното уравнение на лъчът N е ξ tx η ty t t<+ t съответства на северния полюс а t на Пресечната му точка със сферата S се получава

30 Лекция Топология в комплексната равнина 33 за стойност на параметъра t за която t x + y + t откъдето 4 намираме t Следователно координатите на точката + Z ξη S Z N се пресмятат по формулите ξ x η y Обратно предвид t координатите на се изразяват чрез тези на Z с формулите ξ η x y От и е ясно че когато + съответната точка Z е произволно близко до северния полюс N и обратно на всички точки от сферата които са произволно близко до N съответстват точки от C с произволно голям модул Това просто наблюдение прави безкрайната точка естествен кандидат за образ на северният полюс N при стереографската проекция По такъв начин установяваме взаимно еднозначно съответствие между разширената комплексна равнина C C { } и сферата S Така получихме геометричен модел на разширената комплексна равнина в който е видима точка Този модел те сферата заедно със стереографската проекция се нарича сфера на Риман Ще отбележим още че от и следва кръговото свойство на стереографската проекция а именно: Твърдение 5 При стереографската проекция на окръжностите и правите в C съответстват окръжности върху Римановата сфера при това на окръжност в C съответства окръжност не минаваща през северния полюс N а на права окръжност през N Ето защо е удобно правите в C да разглеждаме като окръжности през безкрайната точка Сега предното твърдение можем да изкажем така: При стереографската проекция на окръжностите върху Римановата сфера съответстват окръжности в разширената комплексна равнина Топология в разширената комплексна равнина Преди всичко трябва да въведем понятието околност на безкрайната точка Като се ръководим от геометричният модел на разширената комплексна равнина естествено е околност на да наречем всяко множество в C което е образ при стереографската проекция на сферична околност на северният полюс N Тук под сферична околност на точка P от сферата разбираме шапката която отсича от нея равнина перпендикулярна на диаметъра през P и съдържаща P Така достигаме до следното определение:

31 34 Лекция Топология в комплексната равнина Дефиниция 6 Околност на се нарича външността на всеки кръг с център C : > R в нулата те { } { } Имайки предвид това определение всички основни топологични понятия и твърдения изложени преди за C се пренасят и за разширената комплексна равнина C като се премахне изискването за ограниченост Ще се спрем накратко на някои от тях Ясно е че lim lim + Теорема 8 Болцано-Вайерщрас Всяка редица { } сгъстяване C има точка на Дефиниция 7 Едно множество F C се нарича компактно ако то е затворено множество Теорема 8 За едно множество F C следните твърдения са еквивалентни: F е компактно; От всяко отворено покритие на F може да се избере крайно подпокритие; 3 Всяка редица от точки на F има сходяща подредица чиято граница е точка от F В частност разширената комплексна равнина е компакт Така добавяйки към крайната равнина една идеална точка ние наистина я компактифицирахме Забележка 7 Стереографската проекция задава хомеоморфизъм между C и сферата на Риман те те са топологично еквивалентни Така всяко топологично понятие или свойство на сферата се пренася с нейна помощ в разширената комплексна равнина В частност тъй като сферата е компакт то и разширената комплексна равнина е компакт Задачи Нека D C е област Да се докаже че съществуват компактни множества K такива че K K K и D K Упътване K { D : dist D } Да се докаже Твърдение 5 3 Използвайки стереографската проекция можем да въведем сферично разстояние в C чрез евклидовото разстояние върху сферата По-точно нека C и Z ξ η Z ξ η са съответните им точки върху сферата Дефинираме сферично разстояние ρ чрез формулата: ρ d Z Z ξ ξ + η η + Да се докаже че:

32 Лекция Топология в комплексната равнина 35 C ; а ρ + + ρ C ; + б ρ ρ ρ ; в г C ρ е пълно метрично пространство ρ ;

33 Лекция 3 Функция на комплексна променлива Непрекъснатост Реална и комплексна диференцируемост Уравнение на Коши-Риман Конформни изображения Функция на комплексна променлива Под комплекснозначна функция на комплексна променлива ще разбираме изображение f : M C M C на подмножество на комплексната равнина в комплексната равнина те това е функция чийто дефиниционно множество M и множество от стойности f M са подмножества на комплексната равнина Ще използваме записа w f M Както е общоприето под функция ще разбираме еднозначно изображение те на всяко M съответства единствено число w f f M Една от спецификите на комплексния анализ това което го отличава от реалния анализ е че в него по съвсем естествен начин възниква необходимостта от изучаване на многозначните функции т е функции при които на всяко съответства повече от една стойност на f Такива са например функциите arg Тук ние ще третираме многозначните функции като съвкупност от еднозначни функции наричани еднозначни клонове на многозначната функция Така има два еднозначни клона а arg има безбройно много еднозначни клонове Ако еднозначното изображение f : M C M C е инективно ще казваме че f е еднолистна функция в M тетова е функция за която ако то f f Ако една функция е еднолистна то тя има обратна еднозначна функция; ако не е еднолистна в такъв случай е общоприет термина многолистна функция нейната обратна функция е многозначна функция Например функциите и e не са еднолистни в C и техните обратни функции и log са многозначни Като вземем предвид че ние отъждествихме комплексната равнина C с евклидовата равнина R можем да интерпретираме комплекснозначната функция w f на комплексната променлива x + iy и като функция w f x y на двете реални променливи x и y Освен това дефинирайки функциите u x y u Re f и v x y v Im f можем да запишем f x y u x y + iv x y и да разглеждаме f като векторнозначна функция на две реални променливи те като изображение f : x y u v на подмножество на R в подмножество на R Функциите u x y и v x y ще наречем съответно реална и имагинерна част на функцията f Тези интерпретации естествено ни водят до заключението че теорията на функциите на комплексна променлива тривиално се свежда до теорията на функциите на две реални променливи Това заключение обаче е твърде прибързано и общо Има функции които са функции само на x + iy а не просто функции на x и y Например x y + ixy x + iy От друга страна функцията x + y + ixy не може да се представи като функция само на x + iy Нашата цел е да отделим и изучим този специален клас от функции 36

34 Лекция 3 Функции на комплексна променлива 37 всяка от които може да се изрази като функция само на една единствена променлива x + iy Изненадващото е че това се постига с едно единствено и съвсем естествено изискване а именно тези функции да са диференцируеми Също така изненадващо е че свойството диференцируемост има неочаквани и дълбоки последствия за самата природа на тези функции едно от най-важните от които е че локалните свойства на функцията до голяма степен определят нейните глобални свойства Диференцируемите функции ще наречем холоморфни и те са основният обект в този курс Непрекъснатост Диференцируемостта която формално се дефинира както в реалния анализ предполага непрекъснатост Затова тук ще изложим най-важните факти касаещи непрекъснатостта на функция на комплексна променлива Дефиниция 3 Една функция f : M C е непрекъсната в M ако за всяко ε > съществува δ > зависещо от ε и от така че f f < ε за всяко M за което < δ Геометрично това означава че за всяка околност K w ε на w f съществува околност K δ на така че f K δ M K w ε Забележка 3 Според тази дефиниция ако дефиниционното множество M има изолирани точки то f е непрекъсната във всяка от тях Ако е точка на сгъстяване на еквивалентно на съществуването на lim f че за всяка редица от точки { } редица { } M предното определение е и lim f f Това означава M за която lim съответната f е сходяща и lim f f Една функция f : M C е непрекъсната в M ако тя е непрекъсната във всяка точка M Лесно се доказва че една функция е непрекъсната точно когато са непрекъснати нейните реална и имагинерна части Ето защо всички основни резултати за непрекъснатост изложени в курса по реален анализ за функции на две реални променливи без изменение се пренасят и за функции на комплексна променлива А именно че линейна комбинация произведение частно суперпозиция на непрекъснати функции са също непрекъснати Дефиниция 3 Една функция f : M C е равномерно непрекъсната в M ако за всяко ε > съществува δ > зависещо само от ε така че f f < ε за всеки M M за които < δ