Matematika_6_uchebnik_Arhimed

Препис

1 ТЕМА СТЕПЕНУВАНЕ (Урок Урок ) В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: действие степенуване с естествен степенен показател действие степенуване с нулев и отрицателен показател свойства на степените стандартен запис на число питагорова теорема УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: да представят произведение от равни множители като степени и обратно да умножават и делят степени с равни основи да степенуват произведение, частно и степен да пресмятат числена стойност на изрази, съдържащи степен да намират неизвестна страна на правоъгълен триъгълник при дължини на страните питагорови тройки

2 ДЕЙСТВИЕ СТЕПЕНУВАНЕ С ЕСТЕСТВЕН СТЕПЕНЕН ПОКАЗАТЕЛ Сборът от равни събираеми се записва по-кратко като произведение от даденото събираемо и числото, което показва техния брой: събираеми Произведението от равни множители също се записва по-кратко Приет е записът, множителя където е числото, което умножаваме, а е числото, което показва броя на равните множители и е естествено число Четем две на степен пета или две на пета степен (две на пета) Произведението от равни множители а, където е естествено число, се записва и се нарича степен с основа а и естествен степенен показател Записваме множителя Числото а се нарича основа на степента Основата а може да бъде естествено число, нула или дробно число Числото се нарича степенен показател Понятието степен въвеждаме при степенен показател, който е естествено число Примери: ,,,, ( ) Степенният показател се записва с по-малки цифри, поставени вдясно и по-нагоре от основата Ако основата на степента е обикновена дроб или израз, то тя се поставя в скоби При един множител а е прието да се записва а Примери: 0 0 0, 0, ЗАДАЧА Запишете като степен произведението: а) б),,, а) б),,,, множителя множителя

3 ЗАДАЧА Запишете във вид на произведение степените: а) 0 б) 0, в)* а) б) 0, 000,,, в) 0 0 ( ) ( ) ЗАДАЧА Запишете, прочетете и пресметнете степента: а) с основа и показател б) с основа, и показател а) ( ), една втора, цялото на четвърта степен, б),, едно цяло и две десети на втора степен,,,, Действие степенуване с естествен степенен показател Действието, при което се пресмята стойността на дадена степен, се нарича степенуване Да извършим действие степенуване означава да намерим произведението на множители, равни на При, Ако основата на степента е 0, степента 0 e равна на 0 Ако основата на степента е, степента е равна на Степента а (а на втора) се чете и а на квадрат а (а на трета) се чете и а на куб ЗАДАЧА Пресметнете: а) лицето на квадрат със страна 0 сm б) обема на куб с ръб 0 сm а) S S S 0 S 00 cm б) V V V 0 V 000 cm ЗАДАЧИ Запишете като степен произведенията: а) б) 0 в),,, г) множителя множителя Запишете като произведение от равни множители и пресметнете степените: а) б) в) г), д) * Четем две седми, цялото на шеста ( ) е) ( ) Извършете степенуването: а) б) в) 0, ( ) ( ) е) г) 0, д) Напишете следващото число х, ако: а),,,, х б),,,, x Дадени са числата: а) б) в) г) 0 д) 0 Всяко от тези числа представете като произведение от степени с основи про стите множители на числото

4 ЧИСЛОВИ ИЗРАЗИ, СЪДЪРЖАЩИ СТЕПЕНИ Пресмятане на числови изрази Когато степенният показател е числов израз, първо се намира числената стойност на показателя и след това се извършва действие степенуване ЗАДАЧА Пресметнете степените: а) б) в) г) а) б) в) г) Когато степенният показател е числов израз (Задача -б), в), г)), не е прието показателят да се поставя в скоби Когато един израз съдържа степени, първо се извършва действието степенуване Ако в израза има скоби, то първо се извършват действията в скобите ЗАДАЧА Пресметнете числената стойност на израза: а) 0 б) 0 в) + г) : + а) 0 0 б) в) г) : + : + + ЗАДАЧА Пресметнете числената стойност на израза: а) ( ) : б) ( 0 ( )): 0 а) ( ) : ( ) : : : 0 б) (0 ( )) : 0 (0 ( )) : 00 (0 ) : 00 (0 0) : : 00 ЗАДАЧА Пресметнете рационално: а) + б) 0 а) + ( + ) б) За рационално решение на Задача използваме разпределителното (дистрибутивното) свойство: а b + c (b + c) а b c (b c) b > c

5 Сравняване на степени с равни основи ЗАДАЧА Дадени са две степени с равни основи Поставете верния знак: >, <, а) и б) ( ) и ( ) а) От < следва, че < б) От > следва, че Правило за сравняване на степени с равни основи: Ако основата а >, то < < < Примери: ( > ), < Задача -а) ( < ) ( > ), < < < Ако основата 0 < а <, то > > > Примери: < > ( ), ( ) ( ) Задача -б) ( > ) ( < ), ( ) > ( ) > ( ) > Ако две степени имат равни основи, различни от нула, и равни степенни показатели, то степените са равни Примери:, защото ( ) ( ) ЗАДАЧА Сравнете степените: а) и б) а) < б) ( ) и ( ) > ( ) ( ) в) 0,0 и 0,0 ( ) > ( ) в) 00, 0, 0 ЗАДАЧИ Пресметнете степените: а) + б) в) г) Пресметнете числовите изрази: а) + б) : в) : + 0 г) : ( ) Намерете числената стойност на изразите: а) ( + ): + б) ( )( + ) + ( ) в) ( ( + 0, )) г) (( ) + ( + ) ) : ( + ) Пресметнете по два начина изразите: а) + б) в) Сравнете числените стойности на двата израза: а) и ( ) б) + и ( + ) Проверете верността на равенствата: а) + б) + в) + г) + д) ( + + ) + + е) ( )

6 0 НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТНА КОМПОНЕНТА ПРИ ДЕЙСТВИЕ СТЕПЕНУВАНЕ b Компонентите на действие степенуване са: основата степенният показател ( естествено число) степента b При действие степенуване се решават три вида задачи: I вид: x, x? По дадена основа и степенен показател да се намери степента Този вид задачи се решават, като се използва определението на понятието степен : x, x множителя x, x, x ЗАДАЧА Намерете x, ако: а) ( ) x б) 0 ( ), x в) ( ) х а) x x x б) 0, x x 0000,,,, 0, 00 x 0, 00 в) ( ) х х ( ) ( ) ( ) ( ) х II вид: x, x? По дадена основа и степен да се намери степенният показател Тази задача може да се реши, защото числото е произведение от множители, равни на : x,, те x, x x множителя множителя ЗАДАЧА Намерете x, ако: а) x б) 0, 0, в) 0, 0, x а) x б) 0, 0, в) x x 0, 0, x x ( ) x x ( ) ( ) ( ) x x x III вид: x, x? По дадени степенен показател и степен да се намери основата Тази задача може да се реши, защото числото е произведение от равни множителя:

7 ЗАДАЧА Намерете x, ако: ) x б) x а) б) x x x x x ( ) x Числото е произведение от три прости множителя, равни на, и три прости множителя, равни на, те на множителя, равни на ЗАДАЧА Намерете числото, което трябва да се постави в празните квадратчета,,,,, на таблицата,??????,, ЗАДАЧИ,,, ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), Ако две степени са равни и имат равни основи, различни от нула, то степенните им показатели също са равни Намерете x, ако: ) x б) а) x б) x в) ( ) д) x ( ) x г) 0, x 0,00 д) ( ) x ( ) x в) x 0, г) x а) x б) x в) x г) х д) x Запишете като степен с основа, която е просто число, следните числа:?? а) 0 б) в) г) 0?? Пречертайте таблицата в тетрадките си и попълнете празните квадратчета??

8 УМНОЖЕНИЕ НА СТЕПЕНИ С РАВНИ ОСНОВИ Като използваме определението за степен, получаваме:? множителя множителя? + ( + ) множителя + + ( + + ) множителя Правило: При умножение на степени с равни основи се получава степен със същата основа и показател, равен на сбора от показателите на множителите а m + m, а m p + m + p Практическо правило: Степени с равни основи умножаваме, като пишем същата основа и съберем показателите + Например: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + Правилото за умножение на степени с равни основи може да се използва и във вида m + а m, m + + p а m p Пример: ЗАДАЧА Напишете и изкажете като степен произведенията: а) б) а), б) ( ) в) 0,0, 0, г) ( ), в) 0, 0, г) 0 ЗАДАЧА Умножете степените: а) 0 0 б) 0,0, 0 0, 00 в) г) ( 0 ) ( 0 ) 0 а) б) 0,0, 0 0, 00 0, , в) + + г) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9 ЗАДАЧА Запишете като степен: ( ) г) ( x+ ) ( x+ ) а) б) x x в) а) + б) x x x + x в) ( ) ( ) ( ) + + г) ( x+ ) ( x+ ) ( x+ ) ( x+ ) ЗАДАЧА Намерете x, ако ( 0): x а) x: б) x а) x: б) + + x x + x + x x x x ЗАДАЧА Запишете като степен с основа изразите: а) + б) а) + ( + ) б) ( + + ) ЗАДАЧИ Запишете като степен произведени- б) x в) x : г) x : д) x : ята: а) б) в) 0, 0, 0, г) ( + x) ( + x) ( + x) д),,, е) () () Запишете като степен и пресметнете произведенията: а) б) 0, 0, ( ) ( ) в) г) ( ) ( ) д) ( ) Намерете x ( 0 ), ако: а) x Намерете x ( 0 ), ако: а) x 0 б) x 0 в) x : г) x : д) x : е) : x Запишете като степен с основа изразите: а) 0 б) + в) + г) - д) + + е) + + -

10 ДЕЛЕНИЕ НА СТЕПЕНИ С РАВНИ ОСНОВИ Нека 0 Като използваме определението за степен, получаваме: :?, те :? :?, или Правило: При 0 : m? ако > m,, те ако m, ако < m, където m и са естествени числа m m m, m ЗАДАЧА Пресметнете: а) : б) : в) : а) б) в) ЗАДАЧА Представете като степен частното: ( ) ( ) ) () : () б) x : x в) (xy) : (xy) 0 г) ( + b) : ( + b) а) () : () () () б) x x x x ( ) : ( ) ( ) ( ) в) (xy) : (xy) 0 (xy) 0 г) ( + b) : ( + b) ( + b) ( + b) (xy) 0 ЗАДАЧА Представете като степен с основа x (x 0) изразите: а) x x x x б) 0 x x x x а) x x + x x x x x x б) x x x x x x 0 + x x x x x x

11 ЗАДАЧА Пресметнете: а) б) в) 0 г) а) б) в) 0 г) ЗАДАЧА Намерете x ( 0), ако: а) x б) 0 : x в) x : 0 а) x б) : x в) x : 0 x x x 0 x x x x x x ЗАДАЧИ Пресметнете: а) : б) 0, : 0, ( ) ( ) в) : г) ( ) : ( ) а) : б) 0, : 0, ( ) ( ) в) : 0 г) ( ) : ( ) а) б) 0 в) г) 0 а) б) в) г) 0 Пресметнете стойността на частното: а) x : x за x б) x : x 0 за x в) x : x 0 за x г) x : x за x 0, Представете като степен частното (x 0): а) x x x б) x x x 0 x x в) x x x г) x x x Намерете x, ако: а) x б) 0 : x в) x : г) x

12 НАМИРАНЕ НА ЧИСЛЕНА СТОЙНОСТ НА ИЗРАЗИ, СЪДЪРЖАЩИ СТЕПЕНИ ЗАДАЧА 0 Пресметнете: а) а) 0 б) б) В Задача -б) Тогава можем да съкратим на ЗАДАЧА Представете като степен с основа израза: а) ( : + ): + б) ( + : ): + : а) ( : + ): + б) ( + : ): + : ( + ): + ( ): + : + + ( + ): + : + : При решаване на Задача -б) използваме правилото за деление на сбор: ( + b) : c : c + b : c (c 0) Задачата може да се реши и по други начини ЗАДАЧА x x Пресметнете стойността на израза A +, ако: 0 x а) x б) x в) x 0, г) x A x x + x + x + A x x x а) За x A x + +, б) за x A x + + ( ), в) за x 0, A x + 0, + 0, +,, г) за x A x ( )

13 ЗАДАЧА Изразете x ( 0) като степен на а и намерете числената му стойност за : а) x : : б) x : в) : x а) x : : б) x : в) : x x : x 0 x : x x 0 x : x : x x За x За x За x ЗАДАЧА Покажете, че числовият израз: а) A + + се дели на б) B а) A б) B ( + + ) + + ( + + ) А се дели на B е кратно на е кратно на При решаване на Задача използваме дистрибутивното (разпределителното) свойство: а b + c + d (b + c + d) ЗАДАЧИ Пресметнете: б) : x в) x : а) б) г) : x в) г) Пресметнете стойността на израза: а) A x y а) + : за x, y x y б) : x y б) B за x y в) x y x x y в) C г) за x y x y y x y y г) D Представете като степен с основа за x израза: x x y y а) ( + ) : + : Покажете, че: б) ( + ) : + а) + се дели на в) ( + ) : - б) + се дели на 0 Намерете x, ако: в) се дели на а) x г) се дели на

14 СТЕПЕНУВАНЕ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ Като използваме определението за степен и комутативното свойство на умножението, получаваме: (b)? (b)? Забелязваме, че (b) b, (b) b, По този начин можем да обосновем следното правило Правило за степенуване на произведение (а b) b Като използваме това правило, можем да степенуваме и произведение на повече от два множителя: ( b c) ( b) c b c Следователно при решаване на задачи за степенуване на произведение можем да изкажем следното правило Практическо правило Произведение се степенува, като се степенува всеки от множителите: ( b c d) b c d Примери: ( ) (0, 0,0) 0, 0,0 ЗАДАЧА Представете като произведение на степени изразите: а) ( ) б) (0, b) в) ( ) c г) ( c) д) ( b) е) ( b c) а) ( ) б) (0, b) 0, b в) ( ) ( ) г) ( c) c c c д) ( b) b е) ( b c) b c

15 При пресмятане на произведение от степени с равни показатели е удобно правилото за степенуване на произведение да се използва и във вида b ( b) Примери: 0, (0, ) 0, ( 0,) ЗАДАЧА Представете като степен произведенията: а) x б) b а) x x ( x) б) b b ( b) ЗАДАЧА Пресметнете по рационален начин: а) б) 0, в) ( ) г) ( ) а) ( ) б) 0, (0, ) ( ) ( ) г) в) ЗАДАЧА Пресметнете: а) а) ( ) ( ) б) ( ) ( ) ( ) б) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ЗАДАЧИ Представете като произведение на степени изразите: а) ( ) б) (0, b) ( ) г) ( ) в) m д) ( b c) е) ( b ) Представете като степен произведенията: а) x б) x в) с г) b Пресметнете по рационален начин: а) б) ( ) в) 0, г) 0, Намерете x, ако: а) x 0, б) x 0, в) x ( ) ( ) ( ) ( ) г) x Как се изменя лицето на квадрат, ако страната му се увеличи: а) пъти б) пъти? Как се изменя лицето на квадрат, ако страната му се намали: а) пъти б) пъти?

16 СТЕПЕНУВАНЕ НА ЧАСТНО Нека b 0 ( b )? ( )? b Забелязваме, че Като използваме определението за степен и правилото за умножаване на дроби, получаваме: ( ) ( ) b b b b b bbb b b b b b bbbb b ( ) ( ) b,, b b b и тн По този начин можем да обосновем следното правило Правило за степенуване на частно ( а b ) а b, b 0 Следователно при решаване на задачи за степенуване на частно можем да изкажем следното правило Практическо правило Частно се степенува, като се степенуват делимото и делителя Примери: 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ЗАДАЧА Представете като частно на степени изразите: а) ( ) б) а) в) ( ) в) ( ) г) ( ) б) ( ) г) ( ), m 0 m ( ) m ( m) m m При пресмятане на частни от степени с равни показатели в някои случаи е удобно да се използва правилото за степенуване на частно и във вида b ( b b ), 0 Примери: 0 ( ) ( ) 0, ( ) ( )

17 ЗАДАЧА Представете като степен: а) б) x а) x x ( x) x ( ) б) ЗАДАЧА Пресметнете по рационален начин: а) б) в) 0, 0, 0 а) в) 0, 0, 0 ( ) г) 0, ( ) б) 0, 0, 0 0 ( ) ( ) 000 ( ) г) 0, ( ) ( ) ЗАДАЧА Намерете х, ако: а) x : x : ( ) x : x x ЗАДАЧИ ( ) б) x ( ) в) х ( ) ( ) x : x а) б) x в) х ( ) ( ) ( ) x Представете като частно от степени изразите: 0 ( ) б) ( ) а) в) ( ) г) m ( ) Представете като степен: а) б) в) x г) x Извършете степенуването ( 0, b 0): ( ) б) а) в) b ( ) г) ( ) b х : х х Пресметнете по рационален начин: а) б) 0, 0, в) 0, 0 г) Намерете x, ако: ( ) а) x: б) x : ( ) ( ) в) x 0 г) 0, : x 0,

18 СТЕПЕНУВАНЕ НА СТЕПЕН Като използваме определението за степен и правилото за умножаване на степени с равни основи, получаваме: ( ) + +? ( ) ( ) ? ( ) и тн Забелязваме, че ( ), ( ), По този начин можем да обосновем следното правило Правило за степенуване на степен (а m ) m, m, естествени числа Следователно при решаване на задачи за степенуване на степен можем да изкажем следното правило Практическо правило Степен се степенува, като се пише същата основа и се умножат показателите ( ) ( ) m m m ЗАДАЧА (Устно) Извършете степенуването: а) ( ) б) ( ) в) ( ) г) ( ) 0 Отговор: а) 0, б), в), г) 0 ЗАДАЧА Представете във вид на степен с основа: а) б) в) г) а) ( ) б) ( ) в) ( ) г) ( ) При пресмятане на степени в някои случаи е удобно правилото за степенуване на степен да се използва и във вида m ( m ) ( ) m Пример: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) или ЗАДАЧА Като използвате правилото за степенуване на степен, пресметнете: а) б) в) г) а) ( ) б) ( ) в) ( ) г)

19 ЗАДАЧА Представете 0 във вид на степен с основа: а) б) 0 а) ( ) б) ( ) 0 ЗАДАЧА Намерете x, ако: а) ( x ) ( ) б) ( ) ( ) x а) ( ) ( ) x б) ( ) ( ) x 0 x 0 x 0 x x x ЗАДАЧА Намерете x, ако: x а) ( ) б) x в) : ( x > ) x а) ( ) x б) ( ) x в) : x x x 0 x 0 x x x+ + + x+ x + x x x + x x ЗАДАЧА Намерете x, ако: а) ( ) x ( ) б) x( ) ( ) 0 в) ( ) : x ( ) а) ( ) x ( ) б) x( ) ( ) 0 в) ( ) : x ( ) x x 0 : x x x x 0 x x x x x x 0 x x x ЗАДАЧИ Запишете като степен: а) ( ) б) ( 0, ) в) г) Като използвате правилото за степенуване на степен, пресметнете: ( ) а) б) в) 0 г) Представете 0 като степен с основа: а) б) в) г) 0 Представете като степен с основа: а) б) в) г) Намерете x, ако: а) ( ) x ( ) б) ( ) : x ( ) в) г) x( ) ( ) Намерете x, ако: x а) ( ) ( ) б) ( ) x ( ) x в) ( ) ( ) г)

20 ДЕЙСТВИЯ СЪС СТЕПЕНИ УПРАЖНЕНИЕ ЗАДАЧА Пресметнете: а) ( ) б) ( )( ) в) ( ) а) ( ) ( ) б) ( )( ) ( ) в) ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ЗАДАЧА x y Пресметнете стойността на израза A x y A x y x y x y x y y А х у,, 0 ЗАДАЧА Съкратете дробите ( 0): а) б) ( ) ( ) за x, y а) ( ) ( ) ( ) б) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ЗАДАЧА Опростете израза A b A b : b : b ( ) ( ) ( ) ( )( b ) : ( b ) ( b ) ( b ) ( ) b b b ( 0, b 0) + b

21 ЗАДАЧА + Пресметнете по два начина числената стойност на израза A ( + ) I начин: A + + II начин: A ЗАДАЧА Пресметнете числената стойност на израза: + + а) A б) B а) A 0 б) B ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ЗАДАЧИ Извършете степенуването: а) ( ) 0 б) ( ) в) ( ) г) ( ) д) ( b ) b е) Представете като степен (b 0): а) m б) в) b г) : b 0 д) b x е) b Пресметнете: а) б) в) г) ( ) Пресметнете: а) б) 0 в) 0 г) Опростете изразите: x y а) y x, x 0, y 0 b б), 0, b 0 b Пресметнете по два начина: а) б) в) г) Пресметнете: ) б) По дадената схема съставете израз и пресметнете стойността му: ) б)????

22 СТЕПЕНУВАНЕ НА РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА Произведението ( ) ( ) ( ) ( ) може да се запише като степен ( ) Основата на степента е отрицателно число и се поставя в скоби, защото ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ЗАДАЧА Извършете степенуването: а) ( ) б) ( ) в) ( ) г) ( ) а) ( ) ( ) ( ) ( ) + б) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + в) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) г) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Степен с основа отрицателно число и показател, който е четно число, е положително число (Задача -а, б)), който е нечетно число, е отрицателно число (Задача -в, г)) ЗАДАЧА (Устно) Определете знака на степента: а) ( ) б) в) (,) г) Отговор: а) ( ), б) (+), в) ( ), г) (+) Познатите правила за степените с показател естествено число, са в сила както при положителна основа, така и при отрицателна основа Свойства на степените с показател естествено число, 0 m m+ m m, m, 0, < m, 0 m m ( b ) b (, b ) 0 b bm m ( ) m Свойствата на степените са равенства, които могат да се прилагат и така: m + m, m ( m ) ( ) m и тн ЗАДАЧА Запишете като степен произведенията: а) ( ) ( ) ( ) б) b в) ( ) b b

23 а) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) 0 б) b ( ) b ( b) в) ( ) b b b ( b) ЗАДАЧА Пресметнете: а) ( ) б) ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) в) ( ) ( ) а) ( ) ( ), б) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )( ) в) ( ) ( ) ( ) ( ) При пресмятане на изрази (Задача -б)) следваме реда на действията: степенуване, умножение (деление) и събиране (изваждане) ЗАДАЧА Намерете числената стойност на израза A x x +, ако: а) x б) x A x x + а) За x A + + б) За x A ( ) ( ) ЗАДАЧА Разстоянието от Слънцето до Земята е приблизително, 0 km, а от Слънцето до планетата Уран е около, 0 km Колко пъти това разстояние е по-голямо от разстоянието Земя Слънце? ЗАДАЧИ Пресметнете: 0, 0, 0, 0,, Разстоянието Уран Слънце е приблизително пъти по-голямо от разстоянието Земя Слънце а) ( ) ( ) б) в) ( ) ( ) г) а) ( ) б) ( ) ( ) ( ) в) ( :( ) ) г) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Намерете числената стойност на израза A x, ако: а) x б) x в) x г) x Намерете числената стойност на израза A x x, ако: а) x б) x в) x г) x Намерете числената стойност на израза A x x +, ако: а) x б) x в) x г) x

24 СТЕПЕН С НУЛЕВ ПОКАЗАТЕЛ И СТЕПЕН С ЦЯЛ ПОКАЗАТЕЛ При по определение Това равенство е вярно и когато основата на степента е отрицателно число Примери: ( ) ( 0,) 0, Степен с нулев показател Знаем, че От друга страна, 0 Знаем, че От друга страна, 0 Прието е под 0, 0, да разбираме числото едно 0, 0 ЗАДАЧА Като използвате степените на числото 0, запишете като сбор число то ЗАДАЧА Запишете с едно число сбора За да представим едно число като сбор чрез степените на 0, цифрата на единиците умножаваме с 0 0 ( ) Отг: 0 Степен с цял отрицателен показател Знаем, че От друга страна, Знаем, че 0 0 От друга страна, 0 Прието е под да разбираме числото ( 0), където е цяло число 0, 0 ЗАДАЧА Запишете като степен с цял показател и основа цяло число дробите: а), б), в) г) а), б) 0, 0 в) ( ) г) 0 ЗАДАЧА Запишете като степен с основа 0 числата: а) 0 б) 00 в) 000 а) 0 0 б) 00 0 в)

25 ЗАДАЧА Като използвате степените на числото 0, запишете като сбор число то,, ЗАДАЧА Запишете като степен: а) с положителен показател,,, б) с отрицателен показател,, ( ), а) ( ) б) ЗАДАЧА Запишете като обикновена дроб числата: а) б) в) а) б) в) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) г) ( ) ( ) г) ( ) Когато степенният показател е (Задача ), при степенуването се получава реципрочното число на основата на степента Свойства на степените с цял показател m m+ ( b ) b а а m m 0, 0, b ( b ) 0, 0 b m m ( ), 0 ЗАДАЧИ Запишете чрез степените на числото 0 числата: а) б) 00 в) 0 г), Запишете с едно число сборовете: а) б) в) г) Запишете като степен на цяло число: а), б), Запишете като степен: а) с положителен показател -,, б) с отрицателен показател,, ( ) Запишете като обикновена дроб: а), б), ( ) ( ) ( ) ( ) в), г), Запишете като степен с показател : а), б),

26 0 СТЕПЕН С ЦЯЛ ПОКАЗАТЕЛ УПРАЖНЕНИЕ ЗАДАЧА Опростете и запишете като степен с основа цяло число изразите: а) 0 б) ( ) в) 0 ( ) а) 0 ( ) ( ) ( ) б) ( ) 0 ( ) 0 ( ) в) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 В Задача -в) + ( ) 0 ЗАДАЧА Запишете като степен с цял показател и основа цяло число дробите: а) а) в) б) в) г) ( ) ( ) б) ( ( ) ) ( ) + г) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ЗАДАЧА Пресметнете: а) ( ) ( ) б) ( ) ( ) ( ) ( ) в) (0, ) ( ) а) б) ( ) ( ) в) (, 0 )( ) 0

27 ЗАДАЧА x x y Опростете израза A ( ) ( ) ( x 0, y 0) и пресметнете ( y ) стойността му, ако х и у ( ) ( ) ( x x y A ) ( ) ( y ) ( x y ) ( ) ( xy) 0 0 x y x y xy x y x y ( ) ( ) ( ) A xy ( ) ЗАДАЧА Запишете като десетични дроби числата: а) 0 б) 0 в), 0 г), 0 а) 0 б) 0 в), 0 г), 0 0,00 0,0000 0,000 0,00000 ЗАДАЧИ Запишете като степен с основа цяло число изразите: а) ( ) ( ) ( ) б) ( ) ( ) в) ( ) ( ) ( ) 0 г) ( ) ( ) Пресметнете: а) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 б) ( ) в) ( 0,) ( 0,) г) ( ) ( ) ( ) Запишете като степен с цял показател и основа цяло число дробите: а) б) в) г) Опростете израза x x A ( ) ( ) (х 0) ( x ) и пресметнете стойността му при: а) х ( ) б) х ( ) в) х г) x ( ) Запишете като десетични дроби числата: а) 0 б) 0 в), 0 г), 0

28 СТАНДАРТЕН ЗАПИС НА ЧИСЛО ЗАДАЧА Като използвате степените на 0, запишете като сбор числото Записът 0, 0, 0, се използва за по-кратко записване на големи числа Множителите пред степените на 0 (,,, ) са естествени числа, по-големи или равни на и по-малки от 0, или числото нула Когато множителят пред 0 ( естествено число) е число (k), което е по-голямо или равно на и по-малко от 0, те k < 0, казваме, че числото е записано в стандартен запис Стандартен запис на естествено число Стандартен запис на естествено число А се нарича произведение от вида A k 0, където k < 0 и естествено число Степенният показател се нарича порядък на числото Примери: 000, 0000, , , 0 знака нули знака нули ЗАДАЧА Запишете със стандартен запис: разстоянието от Слънцето до планетата: а) Венера е приблизително сто и осем милиона километра б) Земя е приблизително сто и петдесет милиона километра в) Нептун е приблизително четири милиарда и петстотин милиона километра а) б) в) ,0 0, 0, 0 ЗАДАЧА Запишете със стандартен запис и определете порядъка на числата: а) 0 б) 0, 0 а) 0, 0 0, 0 девети порядък б) 0, 0 0, 0 0, 0 пети порядък ЗАДАЧА Запишете в десетична бройна система числата: а) 0 б), 0 в), 0 г),0 0 а) б), знака знака в), г), знака знака

29 ЗАДАЧА Светлината се разпространява със скорост km/s Известно е, че разстоя нието от Слънцето до Земята е, 0 km За колко секунди светлината идва от Слънцето до Земята? От зависимостта S v t намираме t, 0, 0, t, t 0, 0, t 00 0 Светлината идва от Слънцето до Земята за 00 s Стандартен запис на крайна десетична дроб Знаем, че големите числа се записват със стандартен запис като произведение на число k, k < 0, и степен на числото 0 с цял положителен показател Примери: , , 0 0 И за крайните десетични дроби се използва стандартен запис, като те се записват като произведение на число k, k < 0, и степен на числото 0 с цял отрицателен показател Примери: 0, , , ,, 0, ЗАДАЧА Запишете със стандартен запис числата: а) 0,000 б) 0,00000 в) 0,000 г) 0, а) 0,000 б) 0,00000 в) 0,000 г) 0, , 0, 0 ЗАДАЧИ Запишете със стандартен запис числата: а) б) в) 00 г) а) 000 б) в) г) а) 0 б) 000 в) г) а) 00 б) 000 в) г) а) 0 б) 0, 0 в) 0, 0 г) 0 Запишете в десетична бройна система числата: а) 0 б), 0 в) 0 г), 0 а), 0 б), 0 в),0 0 г),0 0 Запишете със стандартен запис числата: а) 0,000 б) 0,00 в) 0,00000 г) 0,000000

30 ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА ПРИЛОЖЕНИЕ НА СТЕПЕНИТЕ Даден е правоъгълен триъгълник с катети а и b и хипотенуза с Ще покажем, че сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата, те а + b c Начертаваме два квадрата със страна, равна на а + b Всеки от квадратите разделяме на части, както е показано на фигурите Фигурата се състои от четири правоъгълни триъгълника с катети а и b, квадрат със страна а и квадрат със страна b Сборът от лицата на двата квадрата е () + b ( + b) - b Фигурата се състои от четири правоъгълни триъгълника с катети а и b и квадрат със страна с* Лицeтo на квадрата със страна с е () с ( + b) - b От () и () следва, че + b с Тази зависимост между квадратите на страните в правоъгълен триъгълник е известна като питагорова теорема Питагорова теорема В правоъгълния триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата Питагоровата теорема се онагледява с тнар Гащи на Питагор Сборът от лицата на двата квадрата със страни катетите на правоъгълен триъгълник е равен на лицето на квадрата със страна хипотенузата Тройката цели числа, които са дължини на страните на правоъгълен триъгълник, се нарича питагорова тройка числа В следващата таблица са дадени най-често срещаните основни питагорови тройки,,,, 0,,,, 0, 0,,, 0,,,, 0,,, 0,,,,, 0,,,, 00, 0,,,, 0,,,, 0, 0,, 0 * Строго доказателство, че фигурата е квадрат, ще направим в клас

31 ЗАДАЧА Правоъгълният VАВС (SС 0 ) има катет а cm и лице В cm Намерете: а) дължината на катета b в сантиметри б) дължината на хипотенузата с в сантиметри в) обиколката Р на триъгълника ) B b б) Прилагаме питагоровата теорема а + b c b + c + c b c b cm 00 0 c 0 cm в) Р + b + c P P cm ЗАДАЧА В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А( 0), В( 0) и С(0 ) Намерете: а) лицето В на VАВС в квадратни мерни единици б) дължината на АС и ВС в мерни единици в) обиколката Р на VАВС в мерни единици а) АВ с 0 м ед б) За VАОС (SО 0 ) прилагаме CO h c м ед питагоровата теорема B c h c АС АО + СО АС + 0 B АС + h АС c В 0 кв м ед АС м ед Аналогично намираме ВС м ед в) Р VАВС АВ + АС + ВС P VАВС P VАВС м ед ЗАДАЧИ Правоъгълен VАВС (SС 0 ) има катет b cm и лице В cm Намерете дължината на: а) катета а б) хипотенузата с в) височината към хипотенузата h c В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А( 0), В( 0) и С(0 ) Намерете: а) В VАВС в кв м ед б) Р VАВС в м ед в) разстоянието от А до ВС в м ед В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А( 0), В( 0), С(0 ) и D( ) Намерете: а) В АВСD в кв м ед б) Р АВСD в м ед В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А( 0), В( 0), С( ) и D( ) Намерете: а) В АВСD в кв м ед б) Р АВСD в м ед

32 ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА УПРАЖНЕНИЕ ЗАДАЧА Oт точка А до точка В може да се стигне направо или през точка С Намерете с колко метра се скъсява пътят, ако се мине направо През т С S AB S AC + S CB + m За VАВС (SС 0 ) прилагаме питагоровата теорема AB AC + CB AB + AB + AB 00 0 AB 0 m Разстоянието се скъсява с 0 m ЗАДАЧА В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А( 0), В( 0), С(0 ), D( 0), E( 0) и F(0, ) Намерете: а) лицето на фигурата ABCDEF в квадратни мерни единици в) обиколката на фигурата ABCDEF в мерни единици а) В ф В VВСD + В VAEF 0 + В ф + 0 кв м ед б) За VАОF прилагаме питагоровата теорема: АF АО + ОF АF + АF АF м ед От VЕОF аналогично намираме EF м ед За VBОC прилагаме питагоровата теорема: BC BО + ОC BC + BC BC м ед От VОCD аналогично намираме CD м ед P ф AB + BC + CD + DE + EF + FA P ф м ед ЗАДАЧА В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А( ), В(0 ), С( 0), D( ), E( ) и F(, ) Намерете: а) лицето на фигурата ABCDEF в квадратни мерни единици в) обиколката на фигурата ABCDEF в мерни единици Построяваме точките A, B, C, D, E и F и опаковаме фигурата ABCDEF с правоъгълник AMNL по показания начин

33 а) В фиг B AMNL (В VВMС + В VDNE + В VALF ) BM CM DN EN AL FL AM AL ( + + ) ( + + ) ( + + 0) 0 кв м ед б) Прилагаме питагоровата теорема за: VВМС BC BM + CM BC 0 м ед VDNE DE DN + NE DE м ед VАLF AF AL + LF AF м ед P фиг AB + BC + CD + DE + EF + FA P фиг м ед ЗАДАЧА Права триъгълна призма ABCA B C има за основа правоъгълен VАВС (SС 0 ) с катет cm Призмата има обем V cm и височина h cm Намерете: ) дължината на катета b и на хипотенузата с на VАВС б) сбора от всички ръбове на призмата ) V B h B B : B cm B b b b cm б) S P + h ( + b + c) + h ( + + ) + + cm За VАВС прилагаме питагоровата теорема c + b c + c cm ЗАДАЧА Правоъгълният VАВС (SС 0 ) с катет АС cm е завъртян около катета ВС Повърхнината на полученото тяло е p cm Намерете обема V на полученото тяло Полученото тяло е конус с r AC cm, h BC и l AB В pr S S + B S prl B p p S + p 0p p l B p cm S 0p cm l 0 cm B h За VАВС (SС 0 ) V l r + h π 00 + h V h h cm V π cm ЗАДАЧИ В правоъгълна координатна система Оху са дадени точките А( 0), В( ), С(0 ) и D( ) Намерете: а) В АВСD в кв м ед б) дължините на АВ и ВС в м ед в) Р АВСD в м ед В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А( 0), В( 0), С(0 ), D( 0), E( 0) и F(0 ) Намерете: а) В АВСDEF в кв м ед б) Р АВСDEF в м ед

34 ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА СТЕПЕНУВАНЕ ЗАПОМНЕТЕ Степен с основа и степенен показател, който е естествено число, се записва и означава произведение от равни на множители:,, 0 0, множителя Действието, при което се пресмята стойността на дадена степен, се нарича степенуване Свойства на степените: m m+, 0, < m ( b) b m m m m 0, 0, m >, 0 ( b ), b 0 b, п цяло, 0, 0 ( ) ( ) число Въз основа на тези свойства се изказват правила за действия със степени ЗАДАЧА Проверете правилно ли е попълнена таблицата за степента m m m Отг: Таблицата е попълнена правилно ЗАДАЧА ( ) Пресметнете: а) ( ) а) ( ) ( ) б) + + б) + ( ) ( ) ( + ) ( ) ЗАДАЧА Опростете изразите (x 0, y 0): y а) A x y б) B x x y y а) A x y x y б) B x x x : : x x x y y x y x x x x x x : : : x : x : x x x x x x

35 ЗАДАЧА Подредете по големина числата, като започнете от най-малкото: Записваме числата като степени с основа : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), те 0 Получаваме < < < < < 0, те < < < < < ЗАДАЧА Намерете число, което е представено с израза: а) б) в) а) б) в) ЗАДАЧИ Пресметнете: а) б) : в) ( ) г) ( ) : + а) б) а) 0 б) 0 в) г) 0 0 а) + б) в) + 0 г) + + Запишете със стандартен запис числата: а) б) 000 в) г) Намерете x, ако: а) x б) x 0 в) x : г) ( ) x :, а) x : ( ) б) x 0 в), 00, x ( ) 0 г) ( ) x ( ) Намерете числената стойност на израза: а) A b : ( ) за, b 0, b б) B b : за b b, b 0, b в) C ( ) ( b ) за b ( ) г) D :, b b за, b 0, Запишете с числов израз: а) сбора от квадратите на числата и x б) квадрата на сбора на числата и x в) сбора от кубовете на числата и г) куба от сбора на числата и

36 ТЕСТ ВЪРХУ ТЕМАТА СТЕПЕНУВАНЕ Стойността на израза + е: А) 0 Б) В) Г) 0 Стойността на израза ( ) : + 0, е: А) 0, Б), В), Г), ( ) Стойността на израза А) 0 Б) В) 0 Г) Ако x, то x е: А) Б) В) Г) Не е вярно, че: А) > Б) : < : В) ( ) > ( ) ( ) > ( ) ( ) Г) Стандартният запис на числото е: А), 0 0 Б), 0 В), 0 Г), 0 е: ( ) При 0 изразът е ( ) равен на: А) Б) В) Г) Намерете числената стойност на израза А х х +, ако: а) х б) x В лявата колона на таблицата за отговори е написана буквата на числовия израз Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на израза със същата стойност (А) () (Б) (В) ( ) 0 Опростете израза () ( ) () ( ) ( ) () 0 + ( ) x xy A ( ) ( ) ( x 0, y 0) ( xy) и намерете числената му стойност при x + и y