Кирил Банков Илиана Цветкова Даниела Петрова Гергана Николова Стефчо Наков КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ

Препис

1 Кирил Банков Илиана Цветкова Даниела Петрова Гергана Николова Стефчо Наков КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ

2 КИРИЛ БАНКОВ ИЛИАНА ЦВЕТКОВА ДАНИЕЛА ПЕТРОВА ГЕРГАНА НИКОЛОВА СТЕФЧО НАКОВ КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ Математика 10. клас ПРОСВЕТА София

3 проф. д-р Кирил Георгиев Банков, Илиана Иванова Цветкова Даниела Петрова Петрова, Гергана Иванова Николова Стефчо Горчов Наков КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ПО МАТЕМАТИКА ЗА 10. КЛАС Редактор Пенка Нинкова Художник на графичния дизайн Бояна Павлова Художник на корицата Лало Николов Художник редактор Вихра Янчева Технически редактор Мариана Димитрова Коректор Жана Ганчева Българска. Издание I/2019 г. Формат 70х100/16. Печ. коли 3. Изд. коли 3,89. Код Издателство Просвета София АД София 1618, ул. Земеделска Печат Ропринт ЕАД София Кирил Георгиев Банков, Илиана Иванова Цветкова, Даниела Петрова Петрова, Гергана Иванова Николова, Стефчо Горчов Наков, 2019 г. Бояна Иванова Павлова художник на графичния дизайн, 2019 г. Лало Николаев Николов художник на корицата, 2019 г. Просвета София АД, всички права запазени. ISBN

4 СЪДЪРЖАНИЕ ОБЩА ХАРАКТЕРИСТИКА НА УЧЕБНИКА ПО МАТЕМАТИКА ЗА 10. КЛАС / 5 СТРУКТУРА НА УЧЕБНИКА ЗА 10. КЛАС/ 6 ОБЩА ХАРАКТЕРИСТИКА НА УЧЕБНОТО СЪДЪРЖАНИЕ ПО ТЕМИ И НЯКОИ МЕТОДИЧЕСКИ АКЦЕНТИ / 9 Начален преговор / 9 Примерна тема за входно ниво в два варианта / 9 Ирационални изрази. Ирационални уравнения / 13 Примерна тема за контролна работа в два варианта / 15 Прогресии / 18 Примерна тема за контролна работа в два варианта / 19 Статистика и обработка на данни / 22 Решаване на триъгълник / 23 Примерна тема за контролна работа в два варианта / 25 Елементи от стереометрията / 28 Примерна тема за контролна работа в два варианта / 29 Обобщителен преговор / 32 ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ / 33 3

5 Уважаеми учители, Книгата за учителя към учебния комплект по математика за 10. клас съдържа кратки методически коментари, които имат за цел да ви ориентират в творческия ни замисъл. Така по-лесно ще можете да използвате учебника съобразно собствения си стил на преподаване. За уроците към всяка тема са дадени целите и някои методически акценти. Тези кратки бележки не могат да заменят методиката на обучение по математика. Надяваме се обаче, че те ще са ориентир и за начинаещите, и за опитните учители да разгърнат по-успешно творческия си потенциал. В края на всяка тема от учебното съдържание в книгата за учителя е предложен примерен тест за проверка на знанията на учениците в два равностойни варианта. Всеки тест съдържа: 5 тестови задачи с избираем отговор (правилният отговор е само един от четири възможности); 2 задачи с кратък свободен отговор (ученикът трябва да напише само отговор); 1 задача с разширен свободен отговор (ученикът трябва да напише пълното решение на задачата). Времето за тяхното решаване е предвидено да е 1 учебен час. Въпреки това съзнаваме, че то може да варира в зависимост от възможностите на учениците. Ето защо препоръчваме за оценяване на учениците да използвате или целите тестове, или части от тях, като се съобразите с времето, което сте предвидили за оценяване, както и с възможностите на учениците, които оценявате. Препоръчително е да се включват задачи с различен формат с избираем отговор, с кратък свободен отговор и с аргументирано решение. Предвидено е място за записване на отговорите и решенията, така че тестовете може да се използват директно за копиране от книгата за учителя. Критерии за оценяване: Правилен отговор на всяка от задачите с избираем или с кратък свободен отговор се оценява с по 1 точка общо най-много 7 точки. Задача 8 се оценява с цяло число точки от 0 до 4 включително най-много 4 точки. Максималният брой точки от теста е 11. Оценката се получава така: от 0 до 3 точки Слаб; 4 и 5 точки Среден; 6 и 7 точки Добър; 8 и 9 точки Много добър; 10 и 11 точки Отличен. Пожелаваме ви приятна и успешна работа с нашия учебен комплект! Авторите 4

6 ОБЩА ХАРАКТЕРИСТИКА НА УЧЕБНИКА ПО МАТЕМАТИКА ЗА 10. КЛАС Десети клас е последният от трите класа от първия гимназиален етап на средното образование. Затова обучението в него трябва да затвърди създадените в 8. и 9. клас предпоставки за успешно завършване на този етап класовете от 8. до 10. Учебната програма пo математика за 10. клас е продължение на учебните програми от предходните класове, като завършва цикъла по математика за първия прогимназиален етап чрез подготовка за Националното външно оценяване. Това определя важността на правилното организиране и провеждане на учебно-възпитателния процес във всичките му аспекти. При разработването на учебния комплект авторите са се опитали да реализират цялостната дидактическа концепция, в основата на която са целите на обучението по математика в 10. клас, а именно: Разширяване и задълбочаване на знанията на учениците за алгебрични изрази чрез изучаване на ирационални изрази. Разширяване и задълбочаване на знанията на учениците за уравнения чрез изучаване на ирационални уравнения. Усвояване на понятието числова редица. Усвояване на прогресиите аритметична и геометрична, както и приложенията им при решаване на различни задачи, включително задачи за проста и сложна лихва. Разширяване и задълбочаване на знанията на учениците по статистика и обработка на данни. Разширяване и задълбочаване на знанията на учениците за решаване на триъгълник чрез синусова и косинусова теорема. Разширяване и задълбочаване на знанията на учениците за лице на триъгълник чрез използване на допълнителни формули. Усвояване на елементи от общата част на стереометрията. Разширяване и задълбочаване на знанията на учениците за пространствените тела. Задълбочаване на логическите знания и умения чрез увеличаване на ролята на мисленето в процеса на обучение за сметка на намаляване на теоретичната информация. Показване на връзка на математиката с други учебни дисциплини или ситуации от ежедневието чрез насочване на дейността на учениците към творческо прилагане на знанията и опита. Обогатяване на методи на разсъждение и развиване на наблюдателност, въображение и концентрация на мисълта. Формиране на положително отношение към математиката, създаване на интерес и мотивация у учениците за нейното изучаване чрез поднасяне на математическите знания по атрактивен и забавен начин. 5

7 СТРУКТУРА НА УЧЕБНИКА ЗА 10. КЛАС За изучаване на математиката в 10. клас са предвидени 72 учебни часа (36 учебни седмици по 2 учебни часа на седмица). Учебникът е структуриран по теми и уроци. Разработени са 65 урока. Оставени са 7 часа за проверка и оценка на знанията или като резервни часове. По преценка на учителя, съобразена с индивидуалните особености на учениците, резервните часове може да се използват за допълнителна работа върху учебния материал. Процентно разпределение на задължителните учебни часове Препоръчително В учебника За нови знания до 43 часа до 60% 39 часа 54% За упражнения над 30% 14 часа 36% За обобщение 4 часа За преговор 8 часа За контрол и оценка (за входно и изходно ниво, за класни и за контролни работи) до 8 часа до 10% 7 часа 10% Изложението на учебното съдържание стриктно следва дадената според учебната програма подредба на темите и подтемите. Да обърнем внимание, че учебникът е разработен така, че да улеснява учениците, когато го използват самостоятелно. Разбира се, за тази дейност на учениците са необходими и компетентни насоки от учителя. За представяне на учебното съдържание са използвани четири вида уроци за нови знания, за упражнения, за обобщение и за преговор. В много случаи при въвеждането на нови понятия и правила се използва индуктивният подход. Едновременно с това при геометричния материал продължава използването на въведения още в 7. клас дедуктивен метод за обосноваване и доказване на твърдения въз основа на геометрични аксиоми и/или вече доказани теореми. С помощта на въвеждащи задачи се търсят общи закономерности и се осъществяват плавен преход и приемственост при въвеждането на новите знания. В някои случаи въвеждащите задачи имат проблемен характер и помагат на учениците да изминат пътя на познанието и сами да открият новите знания и умения. Често пъти при въвеждане на нови знания се използват и допълнителна информация и закономерности от реалния живот, чрез които се мотивира необходимостта от тяхното изучаване. Понятията и правилата за развиване на умения се обясняват и формулират достъпно, като често са придружени с конкретен пример. С цел обучаването на учениците правилно да записват решение на математическа задача, в урока са дадени кратки и ясни решения на подбрани задачи с обучаващ характер. Урокът завършва с рубриката Запомнете!, с която се обобщават и систематизират новите понятия и правила от урока. След урока, в рубриката Задачи, са предложени задачи за самостоятелна работа, които неформално са на две нива: задачи, подобни на тези, решени в урока; задачи, които изискват комбинирано прилагане на различни знания и умения и творчески подход. Уроците за упражнения не съдържат нови знания. Чрез задачи се поддържат изучените знания и се попълват пропуските при усвояването им. Разглеждат се различни начини и варианти за използване на знанията при решаване на поставени проблеми. 6

8 Припомнят се важни факти и правила, необходими за решаване на задачите. С голяма част от задачите на учениците се дава възможност да проявят критическо мислене и творческа дейност. В края и на тези уроци, в рубриката Задачи, са предложени задачи, които може да се използват за допълнителна работа в час или за самостоятелна домашна работа. В уроците за нови знания и за упражнение чрез таблици, схеми и рубриката Практическо правило се подпомагат възприемането и по-лесното усвояване на учебния материал. Не на последно място е и емоционалното въздействие върху учениците при този по-различен стил на излагане на математически знания, чрез който се постигат следните цели: подчертават се съществени моменти от учебното съдържание; обръща се внимание на типични грешки, допускани от учениците; дават се правила за лесно запомняне на алгоритми за решаване на задачи; предлагат се различни начини за решаване на поставен проблем. В края на всяка тема има урок за обобщение. С тези уроци се систематизират знанията по съответната тема или цикъл от уроци и се разглеждат задачи за поддържане на тези знания. Освен рубриката Задачи тук е предложен и тест Задачи за самоконтрол, с който ученикът да провери и да направи самооценка на своите знания и умения. С тази цел в края на учебника, в частта Отговори, за всяка задача, заедно с отговора, са посочени страницата в учебника и номерът на задача, която е подобна на съответната задача от теста. Целта на този тест е да може ученикът да попълни своите пропуски и успешно да се подготви за контролна или класна работа. Уроците за преговор са осем: четири в началото на учебника и четири в края. С уроците за начален преговор се систематизират някои знания и умения от учебната програма за 9. клас, които са необходими при изучаването на новите теми в 10. клас. Успешното представяне на учениците на Националното външно оценяване по математика изисква разнообразни знания и умения. Във връзка с това с последните четири урока се прави обобщителен преговор върху изучения материал в 8., 9. и 10. клас, като се систематизират знанията и уменията за: решаване на изучените уравнения и неравенства в целия курс; функции и прогресии; ъгли, свързани с окръжността вписани и описани многоъгълници; решаване на триъгълник, успоредник и трапец. В края на годишния преговор е предложен тест за подготовка за НВО, който съдържа 34 задачи върху цялата учебна програма по математика от първия гимназиален етап на средното образование. Предложеният към комплекта електронен вариант на учебника съдържа разнообразни ресурси. Електронният учебник е ефективно средство за организиране на интерактивна и занимателна среда, отговаряща на потребностите на съвременния ученик. Атрактивните анимации и презентации за онагледяване на определения, твърдения и алгоритми при решаване на задачи дават възможност на ученика да е активен участник в обучителния процес, което е гаранция за трайно усвояване на учебното съдържание. Друг вид ресурси са интерактивни задачи за упражнения и проверка на разбирането и усвояването на знанията и уменията. Разнообразният формат на тези задачи (с избираем отговор, за свързване, със свободен отговор, за наредба, за попълване на текст, за откриване на вярност и невярност на твърдение и др.) ангажира вниманието на ученика и събужда интереса към предмета. Една част от тези задачи са допълнителни и не са включени в учебника, което осигурява условия за учене чрез практика и дава възможност на учителя да разнообрази учебния процес. Във връзка с предстоящото Национално външно оценяване по математика авторите 7

9 предлагат и допълнително учебно помагало Текуща подготовка по математика за Национално външно оценяване в 10. клас, което съдържа 30 теста за целогодишна и целенасочена подготовка. Форматът на тестовете съответства на формата за НВО: времетраене 90 минути (два слети учебни часа); 20 задачи, от които: 15 задачи с избираем отговор, с четири възможни отговора, от които точно един е правилният; 3 задачи с кратък свободен отговор, на които ученикът записва само отговора; 2 задачи с разширен свободен отговор, за решаването на които ученикът представя в писмен вид необходимите обосновки. Първите тестове обхващат преговорни теми от 8. и 9. клас. Във всеки следващ тест тематиката постепенно се разширява с нови теми от програмата по математика за 10. клас. Последните осем теста обхващат цялата учебна програма за НВО и са подходящи за интензивна подготовка преди изпита. 8

10 ОБЩА ХАРАКТЕРИСТИКА НА УЧЕБНОТО СЪДЪРЖАНИЕ ПО ТЕМИ И НЯКОИ МЕТОДИЧЕСКИ АКЦЕНТИ НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР общо 4 часа С началния преговор се актуализират знанията на учениците, необходими при изучаването на учебния материал в 10. клас. В първия урок се систематизират знанията и уменията на учениците за решаване на системи уравнения с две неизвестни, които са необходими както при изучаването на темата Прогресии, така и при решаването на геометрични задачи. Добре е тук да се обърне внимание на решаването на системи уравнения с две неизвестни, когато и двете уравнения са от втора степен. Учениците трябва да разберат, че основната цел на събирането е да се получи уравнение с едно неизвестно, или линейно уравнение. В следващите два урока се актуализират геометричните знания за подобни триъгълници и метричните зависимости между отсечки. Авторите смятат, че този преговор е необходим за осъществяването на плавното разширяване и изучаване на геометричния материал в 10. клас с темата Решаване на триъгълник. Във връзка с предстоящото Национално външно оценяване, в урок 4 се систематизират знанията за рационални неравенства, а в годишния преговор в края на учебната година тези знания се актуализират, като се обръща внимание на общото и различното при решаването на подобни уравнения. Предлагаме примерен тест, който може да се използва за входно ниво. 9

11 ПРИМЕРНА ТЕМА ЗА ВХОДНО НИВО В ДВА ВАРИАНТА Първи вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Коя от наредените двойки (x; y) е решение на уравнението x 2 3x + 2y y 2 = 1? А) ( 1; 0) Б) (0; 1) В) (1; 0) Г) (0; 1) 2. За коя стойност на реалното число k графиките на функциите f(x) = (2k 1) x 5 и g(x) = 5x + k са успоредни? А) k = 3 Б) k = 1 В) k = 3 Г) k = 1 3. На чертежа AL е ъглополовяща в триъгълника ABC. Дължината на CL е: А) 5 cm Б) 6 cm В) 9 cm Г) 15 cm C? cm L 8 cm 9 cm A 12 cm B 4. Отношението на две съответни страни в два подобни триъгълника е 3 : 4. Радиусът на вписаната окръжност в триъгълника с по-голямо лице е 10 cm. Радиусът на вписаната окръжност в другия триъгълник е: А) 7,5 cm Б) 6 cm В) 5 cm Г) 4,5 cm 5. Решението на неравенството x 2 x 2 < 0 е: А) ; 21 ; Б) ; 12; В) ( 1; 2) Г) ( 2; 1) На задачи 6 и 7 запишете само получения от вас отговор. 6. Намерете разликата x y, ако двойката (x; y) e решение на системата 2 x 3 y 7. 3x2y 17 Отговор: 7. На чертежа хордите АВ и CD се пресичат в точка М. Ако MA. MB = 24 cm и MC = 8 cm, намерете дължината на CD. Отговор: cm C A На задача 8 запишете обосновано решение. M D 8. Решете неравенството x 3x10 4 B Решение: 10

12 Втори вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Коя от наредените двойки (x; y) е решение на уравнението x 2 + 2x 3y + y 2 = 3? А) ( 1; 0) Б) (0; 1) В) (1; 0) Г) (0; 1) 2. За коя стойност на реалното число k графиките на функциите f(x) = 9x k и g(x) = (2k + 1)x + 6 са успоредни? А) k = 5 Б) k = 4 В) k = 4 Г) k = 5 3. На чертежа CL е ъглополовяща в триъгълника ABC. Дължината на BL е: А) 6 cm Б) 10 cm В) 12 cm Г) 14 cm 4. Отношението на две съответни страни в два подобни триъгълника е 5 : 3. Радиусът на вписаната окръжност в триъгълника с по-малко лице е 4,5 cm. Радиусът на вписаната окръжност в другия триъгълник е: А) 12,5 cm Б) 10 cm В) 9 cm Г) 7,5 cm 5. Решението на неравенството x 2 + x 2 < 0 е: А) ; 21 ; Б) ; 12; В) ( 1; 2) Г) ( 2; 1) На задачи 6 и 7 запишете само получения от вас отговор. 6. Намерете разликата x y, ако двойката (x; y) e решение на системата 3 x 2 y 4. 2x3y 19 Отговор: 7. На чертежа MC. MD = 18 cm и MA = 2 cm. D Колко сантиметра е дължината на AB? Отговор: cm C На задача 8 запишете обосновано решение. M B A 8. Решете неравенството x 2x15 5 Решение: A 16 cm 8 cm L? C 12 cm B 11

13 Отговори Първи вариант Задача Отговор Г В Б А В Примерни критерии за оценяване: Привеждаме неравенството във вида т. 2 x 3x10 4 Получаваме неравенството x 2 3 x т. 2 x 3x10 Намираме корените на числителя и на знаменателя и ги разполагаме върху числовата ос по големина: 3 65 ; 5; 2; т. 2 2 Намираме решението на неравенството: x ; ; ; 2. 1 т. 2 Втори вариант Задача Отговор В Б А Г Г Примерни критерии за оценяване: Привеждаме неравенството във вида x 2x т. Получаваме неравенството x 2 2 x x 2x15 1 т. Намираме корените на числителя и на знаменателя и ги разполагаме върху числовата ос по големина: 1 21 ; 3; 5; т. Намираме решението на неравенството: x ; ; ;. 1 т. 12

14 ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ 6 часа нови знания, 3 часа упражнения и 1 час обобщение общо 10 часа Разделът може да се раздели на два подраздела: Ирационални изрази и Ирационални уравнения. Първата част Ирационални изрази, е естествено продължение на дефинираните и изучени в 8. клас ирационални числа (съдържащи квадратен корен) и действията с тях. При дефинирането на понятието в урок 5 се обръща особено внимание на дефиниционното множество и множеството от стойности на един ирационален израз. Добре е в уроци 6, 7 и 8 да се създадат необходимите условия за изследователска дейност на учениците, които, като използват правилата за преобразуване на рационални изрази и квадратни корени, сами да достигнат до правилата за преобразуване на ирационални изрази, като се обръща внимание и на съществените разлики. Разглеждането на различни начини за преобразуване на ирационални изрази ще допринесе за систематизиране на знанията и уменията на учениците. По преценка на учителя може да се разгледат случаи на преобразуване на изрази, при които се използват формули за съкратено умножение, включващи трета и по-висока степен. Препоръчваме в рамките на урок 8 да се направи 15-минутно писмено изпитване върху преобразуване на ирационални изрази. Втората част на раздела Ирационални уравнения, е нова в учебната програма за 10. клас. Темите разглеждат понятието уравнение в нов аспект. При решаването му е необходимо да се подчертае, че познатите теореми за еквивалентни уравнения се прилагат съвместно със специфичните особености и изисквания на квадратния корен. В урок 9 за първи път на учениците се налага да правят разлика между тъждествени и нетъждествени преобразувания, между еквивалентни уравнения и уравнения следствие. За обосновка, че едно число е корен или не е корен на дадено уравнение, за първи път са прави проверка за вярност в даденото уравнение дейност, пряко свързана с определението на понятието корен на уравнение. Онагледяването на стъпките за решаване на ирационално уравнение с помощта на таблица и с презентация ще допринесе за трайното усвояване на алгоритъма. В урок 10 и в някои от следващите уроци се дава идеята и за решаване на ирационални уравнения чрез оценка на дефиниционните множества и множествата от стойности на участващите в уравнението функции. Тази идея може да се доразвие в часовете за разширена и/или допълнителна подготовка при утвърдени такива в училищния учебен план. В уроци 11 и 12 са разглеждат основни типове уравнения с два радикала и методите за тяхното решаване. Подходящо е учениците да се научат сами да правят избор за целесъобразност и оптималност на един или друг метод за решаване на конкретни задачи. Със задача 3 в урок 12 се актуализират знанията на учениците за решаване на дробни уравнения. При възможност може да се разглеждат различни типови задачи, подобни на предложените, като преподавателят сам прецени при кой от методите учениците срещат по-големи трудности. В урок 13 се разглежда рационалният метод за решаване на ирационални уравнения чрез въвеждане на ново неизвестно, т.е. чрез полагане. Показани са различни начини на полагане, като преподавателят може да предложи повече от един вариант за въвеждане на ново неизвестно на една и съща задача с цел оптимизиране на решението. При работа в часовете от Раздел Б на учебния план може да се разгледат въвеждането на повече от едно ново неизвестно и свеждането на ирационалното уравнение до система от рационални уравнения, познати от съдържанието на учебната програма в 9. клас. В избираемите и/или факултативните часове учебният материал може да се надгради с параметризация 13

15 на ирационалните уравнения, свързани с оценка на допустими и екстремални стойности на функциите, участващи в тях. Въпреки че не е обособен урок за моделиране на реална ситуация с ирационални изрази или с уравнение, новите понятия в уроците се въвеждат с конкретни геометрични конструкции, използващи Питагоровата теорема, лица на фигури и други зависимости. При възможност преподавателят може да покаже такива зависимости, свързани с някои физични, химични или природни процеси. В урока за обобщение преподавателят има възможност да припомни основните етапи, методи и дейности, свързани с ирационални изрази и уравнения. Предложен е и вариант за самоконтрол, при който ученикът сам може да прецени нивото на овладяване на изучавания материал. След този урок предлагаме да се направи контролна работа за диагностициране на индивидуалното ниво на постигане на очакваните резултати от темата Ирационални изрази и уравнения. 14

16 ПРИМЕРНА ТЕМА ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА В ДВА ВАРИАНТА Първи вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Кой от изразите с променлива x е ирационален? А) 3x 2 3 Б) 2 x + 3 В) 5 2x Г) Коя от стойностите на x е от дефиниционното множество на израза 2 x 4 5 x? А) 2 Б) 5 В) 6 Г) 9 3. Кое от уравненията има корен x = 1? А) x1 x 1 0 Б) 5x1 x 3 2 В) x = x Г) 5x 1 x 4. Решенията на уравнението x x12 са: А) x = 9 Б) x = 12 В) x = 16 Г) x = 16 и x = 9 5. Кое от уравненията НЯМА реален корен? А) x x 3 0 Б) x1 x10 2 В) x 4 x2 0 Г) 2x4 2 x На задачи 6 и 7 запишете само получения от вас отговор. 6. Корените на уравнението x x1 3са: Отговор: 7. Дефиниционното множество на израза На задача 8 запишете обосновано решение Решете уравнението x 3x 2 x 3x. x + 2 x 2 + 2x е: Отговор: Решение: 15

17 Втори вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Кой от изразите с променлива x е ирационален? А) x + 11 Б) 12 + x x 6 В) 54 Г) x x 2. Коя от стойностите на x НЕ е от дефиниционното множество на израза А) 2 Б) 1 В) 0 Г) 1 x 3? 1 x 3. Кое от уравненията има корен x = 2? А) 3x 6 1 x 0 2 Б) 4 x 2 x В) 3x7 1 x Г) x2 x Решенията на уравнението 2 x x3са: А) x = 3 Б) x = 1 В) x = 9 Г) x = 1 и x = 9 5. Кое от уравненията има реален корен? 2 А) x 3 x 3 0 Б) x x2 0 2 В) x x3 0 Г) x4 2x 0 На задачи 6 и 7 запишете само получения от вас отговор. 6. Корените на уравнението x 2x1 2 са: 7. Дефиниционното множество на израза На задача 8 запишете обосновано решение Решете уравнението 6xx 6xx 12. x 3 е: 2 x 3x Отговор: Отговор: Решение: 16

18 Отговори Първи вариант Задача Отговор В А Г А Б x = 2 ; 20; 8. Примерни критерии за оценяване: 2 Определяме DM: ; 0 3 ;. Полагаме x 3x y, y 0. 1 т. Получаваме уравнението y 2 y 2 = 0. Намираме корените y 1 = 2 и y 2 = 1. 1 т. Понеже y 0, единствената възможност е y = 2. Получаваме уравнението 2 x 3x 2. 1 т. Намираме корените x 1 = 1 и x 2 = 4. Проверяваме, че и двата корена са от DM на даденото уравнение (или правим проверка). 1 т. Втори вариант Задача Отговор Г Г Б Б А x = 1 ; 03; 8. Примерни критерии за оценяване: 2 Определяме DM: [0; 6]. Полагаме 6xx y, y 0. 1 т. Получаваме уравнението y 2 + y 12 = 0. Намираме корените y 1 = 3 и y 2 = 4. 1 т. Понеже y 0, единствената възможност е y = 3. Получаваме уравнението 2 6xx 3. 1 т. Намираме корена x = 3. Проверяваме, че коренът е от DM на даденото уравнение (или правим проверка). 1 т. 2. Книга за учителя по математика за 10. клас К. Банков и др. 17

19 ПРОГРЕСИИ 10 часа нови знания, 3 часа упражнения и 1 час обобщение общо 14 часа Този раздел дава възможности за онагледяване на изучавания материал и за възлагане на проекти на учениците. Примерите от света около нас, дадени в уроците, както и задачите от древността, са разбираеми за учениците и илюстрират свойства на редиците. Често учениците в първите часове трудно правят разлика между поредния елемент на редица и неговата стойност. За целта в урок 15 може да се използват няколко карти, които да се номерират. Така учениците по-лесно ще разберат, че стойността на първата карта a 1 е това, което тя изобразява. Уроците от 16 до 19 са посветени на изучаване на аритметичната прогресия. При изучаване на свойствата на аритметична прогресия учениците може да бъдат разделени в групи, на които да се възложат задачи: 1) Да се определи кои от дадени прогресии са растящи редици и кои са намаляващи, като са дадени a 1 и d; 2) Да се намери сборът от 5 или 6 двойки членове на прогресия, равноотдалечени от краищата на прогресията: например a 1 + a 11, a 2 + a 10, a 3 + a 9, a 4 + a 8, a 5 + a 7 ; 3) За аритметична прогресия да се намерят: a 1 + a 3, 2a 2, a 4 + a 6, 2a 5, a 10 + a 12, 2a 11. Прогресиите за задачи 2) и 3) може да бъдат зададени на дъската с първите си няколко члена. С така формулираните задачи учениците ще упражнят формулата за общия член на аритметичната прогресия и ще се създадат условия те сами да открият някои от свойствата ѝ. Уроците от 20 до 23 за геометрична прогресия са разработени по аналогичен начин на аритметичната прогресия. В уроци 24 и 25 за комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия е необходимо да се обърне внимание на двете условия, с които се съставя система уравнения: (1) уравнение, изразяващо зависимостта, дадена в условието на задачата; (2) уравнение, използващо свойствата на втората (новополучената) прогресия. Използването на различни схеми за онагледяване на условията на тези задачи ще допринесе за тяхното усвояване и осмисляне. При преподаване на лихва (уроци 26 и 27) може да се определи ученик за банкер, а друг за внасящ пари в банката. Банкерът казва какъв е лихвеният процент за определен период, а внасящият пари ученик посочва сумата, която ще внесе в банката. Учениците решават така поставената задача. При решаване на задачите, свързани с лихва, е подходящо учениците да използват калкулатори или компютри за извършване на смятането. Предлагаме ви някои проектни задачи, които може да се поставят на учениците при изучаване на раздела за прогресии: Примери за числа на Фибоначи в природата; Примери за аритметична прогресия в света около нас; Примери за геометрична прогресия в света около нас; Съставяне на комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия; Задачи, свързани с лихва. В урока за обобщение е добре да се обърне внимание на приликите и разликите на понятията аритметична и геометрична прогресия и техните свойства. 18

20 ПРИМЕРНА ТЕМА ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА В ДВА ВАРИАНТА Първи вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Намерете a 12 на редицата с общ член an 2 за n Î. n 2n 1 1 А) 2 Б) 2 В) 1 Г) Петият член на геометрична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 1 = 5 и q = 2, е: А) 80 Б) 40 В) 50 Г) Разликата на аритметична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 16 = 36 и a 1 = 12, е: А) 3,2 Б) 3 В) 1,6 Г) 1,5 4. Намерете първия член a 1 и сбора S 6 на първите 6 члена на геометрична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 6 = 192 и q = 2. А) a 1 = 6; S 6 = 126 Б) a 1 = 6; S 6 = 378 В) a 1 = 6; S 6 = 126 Г) a 1 = 6; S 6 = Като използвате калкулатор, намерете на колко лева е нараснала сумата от 3000 лв. за 2 години, ако е вложена в банка при 4% сложна годишна лихва. А) 4368 лв. Б) 3374,59 лв. В) 3244,80 лв. Г) 3120 лв. На задачи 6 и 7 запишете само получения от вас отговор. 6. Дадена е редица с общ член a n = n 2 3n + 5. Ако числото 59 е член на редицата, определете кой е номерът му в редицата. Отговор: 7. Дадени са аритметична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 4 + a 12 = 30, и геометрична прогресия b 1, b 2, b 3, с частно q, за която b = 9. Намерете сбора b12 10 S q, където S 15 е сборът на първите 15 члена на аритметичната прогресия. Отговор: На задача 8 запишете обосновано решение. 8. Три числа са последователни членове на растяща геометрична прогресия, като сборът на първите две числа е 18. Ако увеличим второто и третото число съответно с 4 и с 2 и запазим първото число, ще получим последователни членове на аритметична прогресия. Намерете първоначално дадените числа. Решение: 19

21 Втори вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Намерете a 3 на редицата с общ член a n + 1 = a n + n за n Î, ако a 1 = 5. А) 6 Б) 7 В) 8 Г) Единадесетият член на аритметична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 1 = 18 и d = 2, е: А) 4 Б) 8 В) 38 Г) Частното на геометрична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 6 = 5 и a 1 = 160, е: А) 1 Б) 0,5 В) 2 Г) 6, Намерете първия член a 1 и сбора S 12 на първите 12 члена на аритметична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 12 = 17 и d = 6. А) a 1 = 115; S 12 = 792 Б) a 1 = 115; S 12 = 588 В) a 1 = 49; S 12 = 396 Г) a 1 = 49; S 12 = Като използвате калкулатор, намерете на колко лева е нараснала сумата от 2000 лв. за 4 години, ако е вложена в банка при 2% сложна годишна лихва. А) 2124,42 лв. Б) 2164,86 лв. В) 2204,46 лв. Г) лв. На задачи 6 и 7 запишете само получения от вас отговор. 6. Намерете частното на растяща геометрична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 1 = 20 и сборът на първите три члена е S 3 = 195. Отговор: 7. Дадени са аритметична прогресия a 1, a 2, a 3,, a n,, за която a 12 = 3, и геометрична прогресия b 1, b 2, b 3,, b n,, за която b 6. b 14 = 4. Намерете произведението S 23. b 10, където S 23 е сборът на първите 23 члена на аритметичната прогресия. Отговор: На задача 8 запишете обосновано решение. 8. Три числа са последователни членове на растяща аритметична прогресия и сборът им е 12. Ако увеличим първото и третото число съответно с 3 и с 6 и запазим второто число, ще получим последователни членове на геометрична прогресия. Намерете дадените числа. Решение: 20

22 Отговори Първи вариант Задача Отговор Б А В А В или Примерни критерии за оценяване: За написване на двете прогресии a, 18 a, b и a, 22 a, b т a ab За съставянe на системата 1 т. 222 aab 2 За намиране на решенията на системата (13,5; 1,5) и (6; 24) 1 т. За извода, че решение е само a = 6 и b = 24 1 т. Забележка: Задачата може да се реши и чрез записване на прогресиите a 1, a 1 q, a 1 q 2 и a 1, a 1 q + 4, a 1 q и съставяне на необходимата система. Втори вариант Задача Отговор В В Б Г Б 2,5 ± Примерни критерии за оценяване: За написване на двете прогресии a, b, 12 (a + b) и a + 3, b, 18 (a + b) 1 т. За съставянe на системата 2 ba 12 ab 1 т. 2 b a3 18 a b За намиране на решенията на системата ( 2; 4) и (13; 4) 1 т. За извода, че решение е само a = 2 и b = 4 1 т. Забележка: Задачата може да се реши и чрез записване на прогресиите a 1, a 1 + d, a 1 + 2d и a 1 +3, a 1 + d, a 1 + 2d + 6 и съставяне на необходимата система. 21

23 СТАТИСТИКА И ОБРАБОТКА НА ДАННИ 3 часа нови знания общо 3 часа Тази кратка тема е нова в учебната програма за 10. клас. В нея се допълват някои статистически знания и умения, изучаването на които започва в предишните класове (още от 5. клас). В урок 29 се преговаря представянето на данни с таблици и диаграми като една от основните страни на описателната статистика. Важен елемент от новите знания е да се разберат понятията генерална съвкупност (или популация ) и извадка. Това е свързано и с най-общата идея за провеждане на статистическо изследване: Често пъти генералната съвкупност съдържа толкова много елементи, че изучаването на интересуващото ни свойство не е възможно да стане чрез събиране на данни от цялата популация. В такива случаи данни се събират не от всеки елемент на генералната съвкупност, а само от онези, които са попаднали в извадката. Другото важно понятие в урока е наредена извадка (или вариационен ред ). Учениците трябва да свикнат, че за целите на обработката на данни е по-удобно те да са представени като вариационен ред. В урок 30 се изучават трите важни величини, които описват централните тенденции: средноаритметично (средна стойност), медиана и мода. Въпреки че с първата от тях учениците са запознати още в 6. клас, тук е добре да се обърне внимание на факта, че средноаритметичното представя средата и в някакъв смисъл обезличава крайностите. Друг важен момент е, че средноаритметичното, медианата и модата имат смисъл за числови статистически променливи, докато за променливи, чиито стойности се изразяват с думи, има смисъл само модата. В урока се изучава и понятието квартили, които са в основата на така нареченото петчислено представяне на данни. Основната цел на урок 31 е да обясни на учениците смисъла на средноаритметичното, медианата и модата, най-вече от гледна точка на това коя от тези величини е добре да се използва за описание на централните тенденции в различни случаи. Основното, което трябва да разберат учениците, е: (1) Средноаритметичното се влияе от наличието на малък брой екстремални стойности, които са съществено различни от болшинството от стойности. Използва се, когато няма екстремални стойности и когато стойностите на медианата и модата са близки до средноаритметичното; (2) Медианата не се влияе съществено от наличието на екстремални стойности. Използва се при наличие на такива стойности или когато средноаритметичното, медианата и модата се различават съществено; (3) Модата се използва, когато стойностите на променливата се изразяват с думи. Тъй като тази тема е много кратка, считаме, че няма възможност да се направи контролна работа върху нея. Вместо това предлагаме на учителите да поставят проектна работа на учениците. Например учениците може да се насочат към сайта на Националния статистически институт ( където в раздел Статистически данни могат да се намерят данни от различни области на живота. От учениците може да се поиска да анализират някои такива данни (например намиране на централни тенденции) или да ги интерпретират (каква информация може да се извлече от данните). Подходящо е такъв проект да се даде през втория от трите часа и да се коментира по време на третия час. 22

24 РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК 10 часа нови знания, 4 часа упражнения и 1 час обобщение общо 15 часа Традиционната методическа последователност за изучаване на тригонометрични функции е следната: първо в 9. клас се определят тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник; след това в 10. клас въведените понятия се обобщават за ъгли от 0 до 180. Затова в началото на урок 32 е необходимо да се систематизират знанията за тригонометричните функции на остър ъгъл и по естествен начин да се стигне до тяхното представяне като координати на точка от единичната окръжност, която лежи в първи квадрант на правоъгълна координатна система. Целесъобразно е учениците да усвоят добре често използваното нанасяне на ъгъл с връх в началото на правоъгълна координатна система. В урок 33 се разширяват дефинициите за функциите: sinα; cosα; tgα; cotgα за α Î [0 ; 180 ]. Трябва да се обърне внимание на функционалните стойности на тези функции. Решаването на задачи за определяне на знака на тригонометрични функции и изрази дава възможност да се акцентира върху разширяването на допустимите стойности на аргумента и съответните функционални стойности. В следващите уроци чрез решаване на задачи се доказва верността на основното тригонометрично тъждество sin 2 α + cos 2 α = 1 за всеки ъгъл от интервала [0 ; 180 ] и tgα. cotgα = 1 за α 0, 90, 180, което дава възможност на учениците да комбинират новите и старите знания в позната ситуация. Доказват се и тъждествата за ъгли, допълващи се до 180, като се използват новите понятия за тригонометричните функции, което затвърждава знанията и уменията на учениците (урок 34). Разширява се и таблицата със стойностите на тригонометричните функции на често използвани ъгли. Съответствието между ъгъл и стойност на тригонометрична функция дава възможност по зададена функция да се определя съответният ъгъл. Пак чрез решаването на задачи учениците имат възможност да докажат и нови тригонометрични тъждества за остър ъгъл α: sin(90 + α) = cosα, cos(90 + α) = sinα, tg(90 + α) = cotgα, cotg(90 + α) = tgα (урок 35). Може да мотивирате учениците, като ги подтикнете да открият сами различни приложения на новите знания. Едно от основните приложения на тригонометрията е решаване на геометрични задачи. Няколко са важните теореми, които помагат за това. Една от тях е така наречената синусова теорема, която се доказва в урок 36. В следващия урок 37 се разглеждат две основни задачи за решаване на триъгълник чрез използване на синусова теорема: по дадени страна и два ъгъла; по дадени две страни и ъгъл срещу една от тях. Тук е добре да се наблегне на следното практическото правило: Ако за триъгълник са дадени две страни и ъгъл срещу по-малката от тях, след намирането на синуса на ъгъла срещу другата дадена страна чрез синусовата теорема, трябва да се съобрази, че този ъгъл може да бъде както остър, така и тъп, т.е. съществуват два различни триъгълника с дадените елементи един остроъгълен и един тъпоъгълен. След това вниманието се насочва към установяване на еднозначно определяне на триъгълник чрез: страна и два ъгъла; две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях. Урокът за упражнение върху синусова теорема (урок 38) насочва вниманието към задачи с приложение на теоремата в различни ситуации. 23

25 Следващото основно приложение на тригонометрията при решаването на триъгълник е така наречената косинусова теорема. В урок 39 се доказва теоремата и се развиват уменията на учениците да я прилагат директно в произволен триъгълник. Следва урок 40, в който се използва косинусовата теорема, за да се реши триъгълник, определен по един от следните два начина: по дадени три страни; по дадени две страни и ъгъл между тях. Извежда се непосредствено следствие от косинусовата теорема за изразяване на косинусите на ъглите на произволен триъгълник чрез дължините на страните му. Насочва се вниманието към еднозначното определяне на ъгъл в интервала [0 ; 180 ] при даден косинус и определянето на вида на триъгълник според ъглите. В упражнението (урок 41) за приложение на косинусовата теорема задачите развиват уменията на учениците да използват твърдението за ъгли, допълващи се до 180. В следващите два урока (уроци 42 и 43), в които се извеждат формули за медианите и ъглополовящите в произволен триъгълник, учениците затвърждават знанието и умението да прилагат косинусовата теорема в различни ситуации. В практиката често се налага пресмятане на лицето на равнинни фигури и това е занимавало хората още в дълбока древност. Триъгълникът е основна планиметрична фигура и често разделяме геометрични фигури на триъгълници, за да определим лицето им. Още в 5. клас се изучава лице на триъгълник. В 10. клас (уроци 44 и 45) знанията се допълват с още няколко формули за лице на триъгълник. При доказването на някои от формулите се използват уменията на учениците да прилагат синусовата теорема. В обобщителния урок 46 към темата Тригонометрични функции се систематизират всички нови знания от този дял. Това осигурява по-успешното им осъзнаване, анализ и прилагането им на практика. Даденият след този урок тест в рубриката Задачи за самоконтрол е за самостоятелна работа вкъщи. След решаването на теста учениците могат да проверят своите отговори на посочената страница и да се самооценят. 24

26 ПРИМЕРНА ТЕМА ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА В ДВА ВАРИАНТА Първи вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Ъгъл α е нанесен така, че върхът му е в началото на правоъгълна координатна система, едното рамо на ъгъла съвпада с положителната посока на оста Ox, а второто му рамо пресича единичната окръжност в точка P. Ако α = 120, то координатите на точка P са: А) 1 3 ; 2 2 Б) 3 1 ; 2 2 В) 1 2 ; 3 2 Г) 1 ; За DABC е дадено, че BC = 4 3 cm и BAC = 60. Дължината на описаната около триъгълника окръжност е равна на: А) 4π cm Б) 8π cm В) 16π cm Г) 24π cm 3. Ако радиусът на описаната около равнобедрения DABC окръжност е 15 cm и косинусът на един от ъглите му е 4, то дължината на основата на триъгълника е: 5 А) 6 cm Б) 9 cm В) 18 cm Г) 20 cm 4. Намерете лицето на DABC, ако AC = 5 cm, BC = 8 cm и ACB = 60. А) 20 3 cm 2 Б) 20 cm 2 В) 10 3 cm 2 Г) 10 cm 2 5. Дължините на страните на триъгълник са 13 cm, 7 cm и 8 cm. Мярката на най-големия ъгъл в триъгълника е: А) 90 Б) 120 В) 150 Г) 135 На задачи 6 и 7 запишете само получения вас отговор. 6. Намерете ъглополовящата на най-големия ъгъл в триъгълник с дължини на страните 4 cm, 8 cm и 9 cm. Отговор: cm 7. В равнобедрен триъгълник с основа 10 cm медианата към бедрото е с дължина 66 cm. Намерете дължината на бедрото. Отговор: cm На задача 8 запишете обосновано решение. 8. За DABC е дадено, че AB = 4 cm, AC = 15 cm и BC = 13 cm. а) Намерете лицето на триъгълника. б) Намерете радиусите на вписаната и на описаната за триъгълника окръжност. в) Определете вида на триъгълника според ъглите. Решение: 25

27 Втори вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Ъгъл α е нанесен така, че върхът му е в началото на правоъгълна координатна система, едното рамо на ъгъла съвпада с положителната посока на оста Ox, а второто му рамо пресича единичната окръжност в точка P. Ако α = 150, то координатите на точка P са: А) 1 3 ; 2 2 Б) 3 1 ; 2 2 В) 1 2 ; 3 2 Г) 1 ; За DABC е дадено, че BC = 3 2 cm и BAC = 45. Дължината на описаната около триъгълника окръжност е равна на: А) 3π cm Б) 9π cm В) 6π cm Г) 12π cm cm и ко- 3. Ако радиусът на описаната около равнобедрения DABC окръжност е 25 6 синусът на един от ъглите му е 7, то основата на триъгълника е равна на: 25 А) 8 cm Б) 12 cm В) 18 cm Г) 24 cm 4. Намерете лицето на DABC, ако AC = 5 cm, BC = 8 cm и ACB = 30. А) 10 cm 2 Б) 10 3 cm 2 В) 20 cm 2 Г) 20 3 cm 2 5. Дължините на страните на триъгълник са 2 2cm, 2 cm и 2 5cm. Мярката на най-големия ъгъл в триъгълника е: А) 90 Б) 120 В) 135 Г) 150 На задачи 6 и 7 запишете само получения вас отговор. 6. Намерете ъглополовящата на средния по големина ъгъл в триъгълник с дължини на страните 6 3 cm, 6 cm и 12 cm. Отговор: cm 7. В равнобедрен триъгълник с основа 8 cm медианата към бедрото е с дължина 57 cm. Намерете дължината на бедрото. Отговор: cm На задача 8 запишете обосновано решение. 8. За DABC е дадено, че AB = 7 cm, AC = 15 cm и BC = 20 cm. а) Намерете лицето на триъгълника. б) Намерете радиусите на вписаната и на описаната за триъгълника окръжност. в) Определете вида на триъгълника според ъглите. Решение: 26

28 Отговори Първи вариант Задача Отговор Г Б В В Б 14 cm 8 cm 8. Примерни критерии за оценяване: За намерено: а) лицето 24 cm 2 ; 1 т. б) радиуса на вписаната окръжност r = 1,5 cm; 1 т. радиуса на описаната окръжност R = 65 cm. 1 т. 8 в) За установяване, че триъгълникът е тъпоъгълен. 1 т. Втори вариант Задача Отговор Б В А А В 4 3 cm 10 cm 8. Примерни критерии за оценяване: За намерено: а) лицето 42 cm 2 ; 1 т. б) радиуса на вписаната окръжност r = 2 cm; 1 т. радиуса на описаната окръжност R = 12,5 cm. 1 т. в) За установяване, че триъгълникът е тъпоъгълен. 1 т. 27

29 ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА 10 часа за нови знания, 4 часа упражнения и 1 час обобщение общо 15 часа В 5. и 6. клас учениците са разгледали някои пространствени форми и са изучили основни свойства на телата. В 10. клас те за първи път се запознават с общата стереометрия. Поставени са основите на нейното изграждане. Една от целите е учениците да продължат запознаването с аксиоматичния подход в изграждането на една математическа теория нещо, което те са виждали при аксиоматичното изучаване на планиметрията в 7. клас. В урок 47 са формулирани аксиомите в равнината и пространството, като е направена аналогия между някои от тях. Дадени са и три теореми, които дават възможност да определим еднозначно една равнина. Добре е да обърнем внимание, че за да докажем теоремите, разполагаме само с основните понятия и аксиомите и най-често използваният метод на доказателство е чрез допускане на противното. Задачите за упражнение в този урок, както и в следващите четири урока са тясно свързани с теорията и нейното пряко приложение. В урок 48 трябва да се акцентира на съществуването на кръстосани прави в пространството и е добре да се обясни как се намира ъгълът между тях. Тук много помага използването на знанията на учениците за куб и паралелепипед, за да могат по-лесно да възприемат новите понятия и твърдения. В следващия 49 урок се разглеждат взаимните положения между права и равнина и се акцентира върху критериите за успоредност и за перпендикулярност на права и равнина. Продължение на изследването на взаимните положения между права и равнина е урок 50. В този урок се изучава основната за стереометрията теорема за трите перпендикуляра. За по-лесното ѝ разбиране и усвояване е добре да се дадат повече примери, като се ползват и знанията за телата от прогимназиалния курс. В последния за общата част на стереометрията урок 51 се разглеждат взаимните положения на две равнини и се въвеждат понятията двустенен ъгъл и линеен на двустенен ъгъл, които често затрудняват учениците. Тук биха помогнали отново повече нагледни примери. За всички уроци дотук е подходящо в часовете да се използват максимално електронните ресурси и колкото е възможно повече да се онагледява, защото учебният материал, предвиден в програмата, съдържа много нови понятия, задачите са теоретични и учениците трудно навлизат в тематиката. По преценка на преподавателя може да не се доказват всички теореми за сметка на по-подробното обяснение и онагледяване. В следващите пет урока (от 52 до 56) се актуализират знанията за многостени призма и пирамида, техните основни елементи, намиране на лице на повърхнина и обем. Тук е важно да се обърне внимание на връзката между елементите на многостените и новите знания от общата част на стереометрията. Също така да се изгради умение да се определят равнини и в тях да се прилагат знанията от планиметрията. В двата урока за упражнение върху пирамида са разгледани различни типове основни задачи. Уроците от 57 до 60 са посветени на ротационните тела. Тук е предвиден само един урок за упражнения, защото надграждането на знанията от прогимназията е сравнително малко. Акцентът е върху задачи от практиката. Урок 61 е за обобщение и преговор и целта му е да систематизира знанията по стереометрия, изучени в 10. клас. 28

30 ПРИМЕРНА ТЕМА ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА В ДВА ВАРИАНТА Първи вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Ъгълът между равнините (АСС 1 ) и (BDD 1 ) в куба АBCDA 1 B 1 C 1 D 1 е: А) 0 Б) 45 В) 60 Г) Обемът на куб с диагонал, равен на 12 cm, е: А) 64 cm 3 Б) 64 3 cm 3 В) 192 cm 3 Г) cm 3 3. Цилиндър е получен чрез въртене на квадрат със страна 5 cm около една от страните му. Лицето на повърхнината на цилиндъра е: А) 25π сm 2 Б) 50π сm 2 В) 100π сm 2 Г) 125π сm 2 4. Даден е прав кръгов конус с образуваща 12 cm и височина 6 cm. Обемът му е: А) 108π cm 3 Б) 216π cm 3 В) 294π cm 3 Г) 300π cm 3 5. Височината на пирамида с основа равнобедрен трапец е равна на cm. Средната основа и бедрото на трапеца са съответно с дължини cm и 8 3 cm, а ъгълът при голямата му основа е 60. Обемът на пирамидата е: А) 52 cm 3 Б) 52 3 cm 3 В) cm 3 Г) 104 cm 3 На задачи 6 и 7 запишете само получения от вас отговор. 6. Лицето на повърхнината на правилен тетраедър е 36 3 cm 2. Намерете обема на тетраедъра. Отговор: 7. Диагоналът на основата на правилна четириъгълна призма е равен на 8 2 cm, а диагоналът на околна стена е равен на 10 cm. Намерете лицето на повърхнината на призмата. Отговор: На задача 8 запишете обосновано решение. 8. Дадена е триъгълна пирамида ABCM, за която ръбът MA е перпендикулярен на равнината на основата (ABC). а) Намерете ъгъла между околната стена (MAB) и равнината на основата (ABC). б) Намерете лицето на повърхнината на пирамидата, ако MA = 4 2cm, а основата е равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза ВС = 8 cm. Решение: 29

31 Втори вариант На задачи 1 5 оградете буквата пред верния отговор. 1. Ъгълът между равнините (АСС 1 ) и (BСС 1 ) в куба АBCDA 1 B 1 C 1 D 1 е: А) 0 Б) 45 В) 60 Г) Обемът на куб с диагонал, равен на 18 cm, е: А) 324 cm 3 Б) cm 3 В) 648 cm 3 Г) cm 3 3. Цилиндър е получен чрез въртене на квадрат със страна 3 cm около една от страните му. Обемът на цилиндъра е: А) 9π сm 3 Б) 12π сm 3 В) 18π сm 3 Г) 27π сm 3 4. Даден е прав кръгов конус с образуваща 10 cm и височина 6 cm. Лицето на повърхнината на конуса е: А) 128π cm 2 Б) 144π cm 2 В) 288π cm 2 Г) 384π cm 2 cm. cm и 4 3 cm, 5. Височината на пирамида с основа равнобедрен трапец е равна на Средната основа и бедрото на трапеца са съответно с дължини а ъгълът при голямата му основа е 60. Обемът на пирамидата е: А) 26 cm 3 Б) 15 3 cm 3 В) cm 3 Г) 78 cm 3 На задачи 6 и 7 запишете само получения от вас отговор. 6. Лицето на повърхнината на правилен тетраедър е 9 3 cm 2. Намерете радиуса на описаната около основата окръжност. Отговор: 7. Диагоналът на основата на правилна четириъгълна призма е равен на 8 2 cm, а диагоналът на околна стена е равен на 10 cm. Намерете обема на призмата. Отговор: На задача 8 запишете обосновано решение. 8. Дадена е триъгълна пирамида ABCM, за която ръбът MA е перпендикулярен на равнината на основата (ABC). а) Намерете ъгъла между околната стена (MAС) и равнината на основата (ABC). б) Намерете лицето на повърхнината на пирамидата, ако MA = 2 2cm, а основата е равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза ВС = 4 cm. Решение: 30