В настоящата тема ще разгледаме представянето на числата в изчислителните устройства. Ще покажем представянето на числата в позиционните бройни систем

Размер: px
Започни от страница:

Download "В настоящата тема ще разгледаме представянето на числата в изчислителните устройства. Ще покажем представянето на числата в позиционните бройни систем"

Препис

1 В настоящата тема ще разгледаме представянето на числата в изчислителните устройства. Ще покажем представянето на числата в позиционните бройни системи, като се акцентира на десетична, двоична и шестнадесетична бройна система. Тези бройни системи се използват най-често в компютърната техника и в програмирането. Ще обясним и начините за кодиране на числовите данни в компютъра цели числа без и със знак и различни видове реални числа. Още в древността човека е работил с числа. Първоначално хората са използвали подръчни средства (пръсти на ръце, клечици, камъчета и други елементи) за представяне на количествени елементи. В последствие са създадени и първите бройни системи и последвалото ги записване. Под бройна система се разбира начинът за представяне на числата с краен брой символи, имащи количествени стойности за десетична бройна система. Символите, с които се представят числата, се наричат цифри ( например,,2,3,4,5,6,7,8,9). Бройните системи биват позиционни и непозиционни. В компютърната техника се използват позиционни бройни системи. Позиционна е бройната система, в която числовата стойност на цифрата зависи не само от нейния символ, но и от нейното място (позиция) в записа на числото. Броят на различните цифри, които се използват за представяне на числата в позиционна бройна система, се нарича основа на бройната система. В позиционна бройна система числата се записват като последователност от цифри, например числото А в позиционна система с основа p (стойността на p може да бъде 2,8,,6) се записва по следния начин: ( ) =.... () Всяка цифра може да приема една от p възможни стойности, т.е. трябва да се изпълняват неравенствата: a p ( k =,, 2,, m ) a p ( i =, 2,, n) Номерът на дадена позиция по отношение на десетичната запетая се нарича разред на числата. Числото А (p) може да се представи и с полинома ( ) = (2) Както се вижда от (2), основата на бройната система показва и отношението между теглата на два съседни разреда (на по-старшия към по-младшия).

2 Полинома (2) може да се представи и със сумата А ( ) = задаваща стойността на цялата част на числото и сумата А ( ) = задаваща дробната част на числото A (p). В компютърната техника се използват числа от различни бройни системи като десетични, двоични, BCD, шестнадесетични, реални числа и двоични числа със знак. Използваната бройна система се означава с долен индекс (например 354, 2, BCD ). Основата на десетичната бройна система е наличието на различни цифри, които позволяват броенето от до 9. Ако броенето надхвърли цифрата 9 се осъществява преход към цифра на следваща позиция. Стойността става, а следващия подобен преход се извършва при достигане на числото 99 [8]. За по-добра яснота да покажем едно малко примерче за число в представено в десетична бройна система. Нека имаме цифрата Тя може да бъде представена със следната сума: ( ) = А ( ) + А ( ) = А ( ) = = А ( ) = = 235 Дробната част на числото може да се представи по следният начин: А ( ) = = А ( ) = =.634 Въпреки, че изглежда много прост, това е добър механизъм за запис на числа с цел сравняване на различни бройни системи. По аналогичен начин, както при десетичната бройна система, би могло да се разработи бройна система с друга основа, различна от. Колкото по-малко число е основата на бройната система, толкова по-малко символи съдържа азбуката на бройната система. Найпростата бройна система е двоичната бройна система. Азбуката на двоичната бройна система се състои от два символа и. Тъй като се използват само две цифри, мястото за преход не се изчислява на база х, а на база 2х. Оттук най-малкото възможно число (найвдясно) е 2 =, следва 2 = 2 и т.н. Съответствието между десетичните и двоични числа за началото на числовото множество (първите 6 числа) е дадено в таблица (нулите в началото на двоичните числа са незначещи и могат да не присъстват в записа на числата):

3 DE C BI N Таблица : Съответствие между двоични и десетични числа От таблицата се вижда механизмът на образуване на двоичните числа. Начинът е същият както при десетичните числа, но тук се комбинират само две цифри вместо. Следващото двоично число 6 съдържа 5 цифри -. Двоичната система е най-простата бройна система. Тя е и най-лесна за използване в изчислителни системи. Едно двоично число може да се представи по следния начин: ( ) = Ако се извършат действията в горния запис и се сумират отделните събираеми, ще се получи десетичният еквивалент на представеното двоично число. Това всъщност е и алгоритмът за преобразуване на двоично число в десетично. В таблица 2 е дадено съответствието между отделните степени на 2 и тяхното десетично представяне. Таблица 2: Представяне на десетично число с двоичен код Обратното преобразуване, от десетично в двоично число, се извършва на основата на следните разсъждения които важат за всички позиционни бройни системи. Трябва да кажем, че цялата и дробната част на числото А се преобразуват поотделно, след което се обединяват. От анализа на (2) следва, че ако се раздели цялата част на числото A (p) на основата q на новата бройна система, се получава остатък а и частно в скобите, което е многочлен, подобен на изходния, но на степен с единица по-ниска. Ако се продължи делението, докато се получи частно, равно на нула, се получават всички остатъци а i (i=,,2,3,..,m-), които представляват цифрите на цялата част на числото в новата бройна система с основа q. Последният остатък а т- е най-старшата цифра, а първият остатък а o най-младшата цифра на числото. Тоест ако А е десетично число, което може да се представи във вида: А = a k. k + a k-. k- +.+ a. + a. където a i са цифри от десетичната бройна система: a i {,,2,3,4,5,6,7,8,9}; i =,,2,..k ; a k Същото число в двоична бройна система би изглеждало по следния начин: А = b m.2 m + b m-.2 m- +.+ b.2 + b. където b i са цифри от двоичната бройна система: b i {,}; i =,,2,..m ; b m

4 Задачата за преобразуване на десетично число в двоично се състои в определяне на цифрите b i, представящи десетичното число в двоичен формат. Ако се раздели числото N на 2 се получава: А/2 = А + b /2, където А = b m-.2 m- + b m-2.2 m b b е частното от делението на числото А на 2. Цифрата b се явява остатък от целочисленото деление на десетичното число А. Остатъкът от делението b се явява същевременно и последна цифра от двоичното представяне на числото. При по-нататъшното прилагане на правилото към числото А, остатъкът ще представлява предпоследната цифра от двоичното представяне на А. Продължението на процеса води до определяне на следващите цифри в двоичното представяне на числото, докато се получи цялото двоично представяне на числото.преобразуването на дробната част на дадено число се получава като се умножи А ( ), с основата на новата бройна система q. Получената след умножението цяла час е а -. Останалата дробна част се умножава отново с q за да се получи следващата цифра от преобразуваното число. Ако се продължи този процес на умножение само на дробната част, се получават всички цели части а - j(j=,2,3,,n), които представляват цифрите на дробната част на числото в новата бройна система с основа q. Първата цяла част а - е първата цифра след десетичната запетая, т.е. цифрите се записват по реда на тяхното получаване. Процесът на преобразуване на дробната част от една бройна система в друга би се прекратил, ако на някоя стъпка се получи нулева дробна част. Това обаче на практика се случва рядко. Ето защо точността на преобразуване на дробната част се задава предварително до определен брой разреди. Пример: Да се преобразуват от десетична в двоична бройна система числата 9,625 и 32,724. Дробната част на второто число да се преобразува с точност до пети двоичен разред. Операция Остатък Запис 9 : 2 = 54 5 : 2 = : 2 = 3 3 : 2 = 6 6 : 2 = 3 3 : 2 = : 2 = Резултат: 9 () = (2) Решение: а) Преобразуване на 9,625 Цялата част на числото 9,625 e 9. Числото 9 започваме да го делим на 2 (основа на двоична бройната система, ако искаме да преобразуваме в друга бройна система например в шестнадесетична ще делим на 6) до момента когато числото неможе да се дели на 2. Получените остатъци се

5 записват в обратен ред на получаването им. Дробната част както бе показано по-горе се получава като то се умножи по основата на новата бройна система, в случая това е 2. Получената цяла част се записва, а остатъка се умножава отново по 2. В случая умножението се прекратява при получаване на резултат.. Операция Цяла част Запис.625 * 2 = * 2 =.5.5 * 2 =.. * 2 =. Резултат:,625 () =, (2) Крайният резултат от преобразуването се получава след като се съберат преобразуваните стойности на цялата и дробната част. Проверка: Резултат: 9,625 () =, (2) А = x2 7 + x2 6 + x2 5 + x2 4 + x2 3 + x2 2 + x2 +x2 = 9 () А 2 = x2 - + x2-2 + x2-3 = =.625 () А = А + А 2 = = б) Преобразуване на 32,724 Цялата част на числото 32,724 e 32. Числото 32 започваме да го делим на 2 до момента когато числото неможе да се дели на 2. Операция Остатък Запис 32 : 2 = 6 6 : 2 = 8 8 : 2 = 4 4 : 2 = 2 2 : 2 = : 2 = Резултат: 32 () = (2) Дробната част както бе показано по-горе се получава като то се умножи по основата на новата бройна система, в случая това е 2. Получената цяла част се записва, а остатъка се умножава отново по 2. В случая умножението се прекратява след петото умножение по

6 задание, независимо от това че не е получен резултат от умножението.. Операция.724 * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 =.68 Резултат: Цяла част Запис,724 () =, (2) Крайният резултат от преобразуването се получава след като се съберат преобразуваните стойности на цялата и дробната част. Проверка: Резултат: 32,724 () =, (2) А = x2 7 + x2 6 + x2 5 + x2 4 + x2 3 + x2 2 + x2 +x2 = 32 () А 2 = x2 - + x2-2 + x2-3 + x2-4 + x2-5 = = =.7875 () А = А + А 2 = = ,724 Както е видно от полученият по-горе резултат двете стойности не са еднакви. Получава се грешка от преобразуването.525. Ако продължи м преобразуването ( умножението на дробната част по 2) тази грешка ще намалява и дори може да изчезне, но за сметка на по-голям брой изчисления. Запомнете този пример, защото на този ефект се дължи получаването на грешни резултати при работа с дробни числа в компютърната техника. Двоичните числа са трудни за разчитане, тъй като хората са свикнали да работят с десетични числа. По тази причина е създадена бройната система BCD (Binary decoded Decimal, двоично кодирана десетична бройна система). При нея всяка от цифрите -9 се представя с 4-цифрено двоично число, както е показано на Таблица 3. Тази система е по-ясна за разчитане, но е необходимо повече място двоичната система позволява записа на числата от до 9 с 4 цифри. Двоичните числа от 2 до 2 не се използват в BCD системата. Ако някое от тези числа се появи в един BCD код, ПЛК ще даде грешка.

7 Таблица 3: Представяне на десетичните числа с BCD код BCD BCD 2 BCD 3 BCD 4 BCD 5 BCD 6 BCD 7 BCD 8 BCD 9 BCD Например десетичното число 847 ще бъде записано по следния начин в BCD код: Следователно са необходими 6 бита за представянето на едно 4-цифрено десетично число в BCD код. Най-често се използва шестнадесетичната бройна система за представяне на BCD кода, като се използват само числата от до 9. Така например в една програма за PLC (програмируем логически контролер) десетичното число 847 ще бъде записано като: W#6#847. Отрицателни числа също могат да бъдат представяни в BCD код. Знакът на числото се отбелязва в най-левия бит на числото, записано в BCD код. Така само 3 бита се използват за представяне на най-лявото от четирите възможни десетични числа [6]. Ако стойността на най-левия бит е, числото е отрицателно (съответства на знак - ), а ако е числото е положително (знак + ). Например отрицателното десетично число -847 в BCD код ще бъде записано като: BCD BCD Двоичните числа често са трудни за разчитане, а BCD кодът заема много място. За преодоляване на тези недостатъци е разработена шестнадесетичната бройна система (HEX). При нея се ползват 4 бита за едно число, което позволява представянето на числата от до 5, т.е. имаме броене до 6. Цифрите от до 9 представят съответните числа, както в десетичната система, следват буквите A, B, C, D, E и F, където A =, B =, C =2, D = 3, E = 4 и F = 5. Нарастването на броя на цифрите на едно шестнадесетично число става на база 6 [8]. Например числото C53B HEX се разчита като: 2 x x X 6 + x 6 = 449 Таблица 4: Пример за шестнадесетично число 6 3 = = = 6 6 = C 5 3 B В програмирането шестнадесетичната бройна система се използва най-често за бързо записване на двоични числа. При преобразуване на двоично число в шестнадесетично, всяка четворка двоични цифри се заменя със съответна шестнадесетична цифра. При обратното преобразуване всяка шестнадесетична цифра трябва да се замести със съответна четворка двоични цифри. Съответствието между двоичните и

8 шестнадесетични цифри е дадено в таблицата (същата както по-горе, но с шестнадесетични цифри): Таблица 5: Бързо преобразуване от двоична в шестнадесетична бройна система A B C D E F Разделянето на двоичното число на четворки започва отзад напред и за последната група (първите цифри на двоичното число) се допълват незначещи нули, ако е необходимо. Ето един пример на преобразуване на число от двоична система в шестнадесетична (2) : (2) 3 C B 3 E - шестнадесетичното число е 3CB3E (6) Този лесен начин за преобразуване на числата прави шестнадесетичната бройна система основна за комуникация между компютърната система и системните и приложни програмисти, които създават програмното осигуряване. Вместо да изпраща съобщения, съдържащи двоични числа с голям брой цифри, компютърната система изпраща компактни шестнадесетични числа, които много по-лесно могат да бъдат анализирани от потребителите. В този смисъл, шестнадесетичната бройна система се явява помощна, използвана предимно при разработване на програмното осигуряване поради това всеки програмен език поддържа шестнадесетична бройна система. Например в програмният език C/C++ шестнадесетичното число C53B HEX се записва като xc35b, където префиксът x се добавя пред числото. Преобразуването от десетична бройна система в шестнадесетична се извършва по същите правила като при двоична бройна при условие че се дели или умножава не на 2 а на 6. Например за да се преобразува от десетична в шестнадесетична бройна система числото 35,325 се изпълняват следните действия. Операция Остатък Запис 35 : 6 = 9 (B) 9 : 6 = 3 : 6 = Резултат: 35 () = 3B (6) Операция.325 * 6 =.5.5 * 6 = 8.. * 6 =. Резултат: Цяла част 8 Запис.325 () =.8 (6)

9 Крайният резултат от преобразуването е 35,325 () =.3В,8 (6) 9,625 () =, (2) В таблица 6 е показано съответствието на числата от д 255 между различните бройни системи A B C D E F A B C D E F A 2B 2C 2D 2E 2F A 3B 3C 3D 3E 3F A 4B 4C 4D 4E 4F A 5B 5C 5D 5E 5F A 6B 6C 6D 6E 6F A 7B 7C 7D 7E 7F A 8B 8C 8D 8E 8F A 9B 9C 9D 9E 9F A A A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA AB AC AD AE AF B B B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 BA BB BC BD BE BF C C D D E E F F 36 36

10 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 CA CB CC CD CE CF D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 DA DB DC DD DE DF E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 EA EB EC ED EE EF F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FE FF За да стане възможна работата с отрицателни числа е прието найлевият бит на едно двоично число да бъде използван за означаване на знака на числото: съответства на +, а на - [8]. Това означава, че първият бит най-отляво не се използва за представянето на стойността на числото. Отрицателните двоични числа се създават на базата на инвертирането на съответните положителни двоични числа, последвано от прибавяне на. Под инвертиране се разбира замяната на с и на с. Например десетичното число -3 се представя като: десетично число 2 двоичен код на положителното число 2 инвертирано двоично положително число 2 отрицателно двоично число Преобразуването на отрицателни двоични числа обратно в десетична бройна система се извършва на база, т.е. за изчисляването на десетичния аналог се използват само битовете със стойност. Към получения резултат се прибавя. Например отрицателното двоично число 2 ще се преобразува така: ((-) x ) x ( x x 2 + x 2 + ) = - Следователно: 2 = -27 и 2 = +27

11 Двоичната бройна система е основна за представяне на информацията в компютърните системи. Тъй като информацията трябва да се обработва, от съществено значение е как се извършват основните аритметични операции, когато числата са представени в двоична бройна система. Двоична и десетична бройна система са позиционни бройни системи. Правилата за изпълнение на аритметичните операции за двете бройни системи са еднакви. Различават се само в броят на цифрите. Правилата за събиране, изваждане и умножение на двоичните числа са следните: + = = x = + = - = x = + = - = x = + = - = x = Събирането и изваждането на многоразредни числа се изпълнява поразредно. При събиране на две единици се получава за дадения разред и пренос единица в следващия разред. При изваждане на от нула се взема заем от по-старшия разред. Умножение и деление на многоразредни двоични числа се извършва, както и умножение и деление на многоразредни десетични числа. Пример: а) Да се съберат числата, и,. б) От числото, да се извади,. в) Да се умножат числата, и,. г) Числото да се раздели на. а), б), +, -,,, в),, х, х, + +.,, Забележка: Умножението се извършва, като се започва с младшите разреди на множителя в първия случай и със старшите разреди във втория случай. г) : = -

12 - Пример. Да се запишат в двоично-десетичен код (BCD) и да се сумират десетичните числа 9 и Добавяне на числото 6 72 Старши Младши разред разред Забележка: Ако в процеса на сумиране на двоично-десетични числа за даден разред се получи забранена комбинация (от до ). необходимо е към нея да се добави числото 6, за да се получи десетичен пренос към по-старшия разред.. Да се преобразуват в двоична, осмична и шестнадесетична бройна система десетичните числа 2567,367 и - 756, Да се запишат в прав, обратен и допълнителен код числата-,; -,;,. 3. Защо се налага да се използват модифицирани кодове? От сумирането на какви числа се получават препълванията и? 4. Да се сумират в модифициран обратен код числата -, и. и в модифициран допълнителен код числата +, и -,. 5. Да се сумират в модифициран код числата:, и,;-, и -,. 6. Да се умножат числата -, и,; -, и-,. 7. Какви предимства и недостатъци има представянето на числата с плаваща запетая в сравнение с представянето с фиксирана запетая?

Microsoft Word - LECT_02.DOC

Microsoft Word - LECT_02.DOC Математически и логически основи на компютърните системи 1. Математически основи на компютърните системи 1.1 Бройни системи. Едно от най-древните математически открития на човека са числата. Много преди

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Microsoft PowerPoint - Ppt ppt [Read-Only]

Microsoft PowerPoint - Ppt ppt [Read-Only] ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА КАТЕДРА АВТОМАТИЗАЦИЯ НА ПРОИЗВОДСТВОТО ЦИФРОВИ СИСТЕМИ ЗА УПРАВЛЕНИЕ - ЧАСТ 2 Янко Янев ВИДОВЕ ТЕХНОЛОГИИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА ЦИФРОВИ СИСТЕМИ ЗА УПРАВЛЕНИЕ микропроцесори микроконтролери

Подробно

Matematika_6_uchebnik_Arhimed

Matematika_6_uchebnik_Arhimed ТЕМА СТЕПЕНУВАНЕ (Урок Урок ) В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: действие степенуване с естествен степенен показател действие степенуване с нулев и отрицателен показател свойства на степените стандартен запис на

Подробно

Разпределение ИУЧ МАТ 4. клас.

Разпределение ИУЧ МАТ 4. клас. УТВЪРДИЛ: Директор:... (Име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ИУЧ по предмета Математика 4. клас 34 седмици х 1 ч. седмично = 34 ч. годишно Месец Седмица на тема Тема на урока Очаквани резултати

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

УТВЪРДИЛ: Директор : (име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ЗИП МАТЕМАТИКА 3. клас 32 седмици х 1 ч. седмично = 32 ч. годишно Месец Седм

УТВЪРДИЛ: Директор : (име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ЗИП МАТЕМАТИКА 3. клас 32 седмици х 1 ч. седмично = 32 ч. годишно Месец Седм УТВЪРДИЛ: Директор :...... (име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ЗИП МАТЕМАТИКА 3. клас 32 седмици х 1 ч. седмично = 32 ч. годишно Месец Седмица на тема Тема на урока 09 1. 1. Начален преговор.

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Разпределение ИУЧ МАТ 2 клас 2019

Разпределение ИУЧ МАТ 2 клас 2019 УТВЪРДИЛ Директор:... (име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ИУЧ по предмета Математика 2. клас 32 седмици х 1 ч. седмично = 32 ч. годишно Месец Седмица на Тема на урока Очаквани резултати от обучението

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

ПРОГРАМНО ОСИГУРЯВАНЕ НА КОМПЮТЪРА

ПРОГРАМНО ОСИГУРЯВАНЕ НА КОМПЮТЪРА СРЕДИ ЗА ПРОГРАМИРАНЕ ПРОГРАМНО ОСИГУРЯВАНЕ НА КОМПЮТЪРА Същност на програмното осигуряване За да могат компютрите да разбират описаните на езика за програмиране алгоритми, те трябва да бъдат преведени

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

В тази част, ще разгледаме аритметичните и логически операции, както, и включването им в изрази. В следващата таблица са дадени всички възможни операц

В тази част, ще разгледаме аритметичните и логически операции, както, и включването им в изрази. В следващата таблица са дадени всички възможни операц В тази част, ще разгледаме аритметичните и логически операции, както, и включването им в изрази. В следващата таблица са дадени всички възможни операции в езикът C и С++. Символ Предназначение Аритметични

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Информатика

Информатика ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕН И МЕТАЛУРГИЧЕН УНИВЕРСИТЕТ - СОФИЯ ИНФОРМАТИКА част първа лектор: доц. д-р Атанас Атанасов Катедра Програмиране и използване на компютърни системи Лекция 3 ЛОГИЧЕСКИ ОСНОВИ НА КОМПЮТЪРНИТЕ

Подробно

ЕКСПЛОДИРАЩИ ТОЧКИ ГЛАВА 1 МАШИНИ Добре дошли на борда на нашето приключение. Това е математическо приключение базирано върху една моя история (аз съм

ЕКСПЛОДИРАЩИ ТОЧКИ ГЛАВА 1 МАШИНИ Добре дошли на борда на нашето приключение. Това е математическо приключение базирано върху една моя история (аз съм ЕКСПЛОДИРАЩИ ТОЧКИ ГЛАВА 1 МАШИНИ Добре дошли на борда на нашето приключение. Това е математическо приключение базирано върху една моя история (аз съм Джеймс), която не е истинска. Когато бях дете, аз

Подробно

УТВЪРДИЛ Директор: (Име, фамилия, подпис) Първи учебен срок 18 седмици х 4 часа седмично = 72 часа ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ по учебния предмет

УТВЪРДИЛ Директор: (Име, фамилия, подпис) Първи учебен срок 18 седмици х 4 часа седмично = 72 часа ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ по учебния предмет УТВЪРДИЛ Директор: (Име, фамилия, подпис) Първи учебен срок 18 седмици х 4 часа седмично = 72 часа ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ по учебния предмет математика за 1. клас по ред Учебна седмица по ред

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

kk7w.dvi

kk7w.dvi Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,

Подробно

C++

C++ Управляващи оператори в C++ Трифон Трифонов Увод в програмирането, спец. Компютърни науки, 1 поток, 2018/19 г. 18 30 октомври 2018 г. Трифон Трифонов (УП 18/19) Управляващи оператори в C++ 18 30 октомври

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Структура на програма в C - Част 2 - типове, функции

Структура на програма в C - Част 2 - типове, функции Структура на програма в C Част 2 - типове, функции Иван Георгиев, Христо Иванов, Христо Стефанов Технологично училище "Електронни системи", Технически университет, София 10 март 2019 г. И. Георгиев, Х.

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

MSDOS1

MSDOS1 ПРИЛОЖЕНИЕ C ANSI ESCAPE последователности Забележка Информацията в това приложение зависи от инсталацията и може да не се прилага в машините на всички производители. ANSI ESCAPE последователността представлява

Подробно

Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при

Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при изследване на устойчивостта на равновесната форма

Подробно

IATI Day 1/Junior Task 1. Trap (Bulgaria) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, кои

IATI Day 1/Junior Task 1. Trap (Bulgaria) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, кои Task 1. Trap (Bulgaria) Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, които са върхове с целочислени координати в квадратна решетка. Всеки две последователни точки от редицата определят единична хоризонтална

Подробно

Задача D

Задача D Задача 1. РЕЗУЛТАТ В час по математика Дора Янкова написала на дъската последователно n числа: първо, второ, трето, четвърто и т.н. Първият ученик от първото число извадил второто, прибавил третото, извадил

Подробно

Годишното тематично разпределение по Компютърно моделиране за 4. клас N седмица Тема очаквани резултати Методи бележки и коментари Първи учебен срок Т

Годишното тематично разпределение по Компютърно моделиране за 4. клас N седмица Тема очаквани резултати Методи бележки и коментари Първи учебен срок Т Годишното тематично разпределение по Компютърно моделиране за 4. клас N седмица Тема очаквани резултати Методи бележки и коментари Първи учебен срок Тема 1. Информация 1 1 Видове информация Познава начините

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.

Подробно

РЕФЕРАТ по дисциплината Дискретни структури 1. (*) Докажете асоциативността на операциите обединение и сечение на множества, тоест, че за произволни м

РЕФЕРАТ по дисциплината Дискретни структури 1. (*) Докажете асоциативността на операциите обединение и сечение на множества, тоест, че за произволни м РЕФЕРАТ по дисциплината Дискретни структури. (*) Докажете асоциативността на операциите обединение и сечение на множества, тоест, че за произволни множества A, B и C са изпълнени следните равенства: (A

Подробно

Slide 1

Slide 1 Списъци. Структура и синтаксис. Създаване и показване. Основни операции(добавяне, изваждане на елемент или цял подсписък; подреждане). Трансформации. проф. дмн С. Христова Списъци Списъците / list са основна

Подробно

Mathematica CalcCenter

Mathematica CalcCenter Mathematica CalcCenter Основни възможности Wolfram Mathematica CalcCenter е разработен на базата на Mathematica Professional и първоначално е бил предназначен за технически пресмятания. Информация за този

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно