Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле

Размер: px
Започни от страница:

Download "Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле"

Препис

1 Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисления върху уравненията за отравяне на ядрения реактор от изотопите 135 Xe и 149 Sm. Известно е [1], че тези уравнения имат аналитични решения. Това обстоятелство е използвано за да се оцени точно относителната грешка в решението при прилагане на поредица от различни стъпки на интегриране и изпробване на различни числени методи. Използваните числени процедури са реализирани в среда на MATLAB. Разгледани са следните три случая отравяне от 135 Xe и 149 Sm при първоначално пускане на реактора, отравяне от тези два изотопа при намаляване мощността с 30%, както и отравянето от 135 Xe след спиране на реактора. 2. Резултати от проведените изчисления Известно е, че размерът на стъпката на интегриране има директно отношение към точността на полученото решение. Обичайната представа за стъпката е да бъде по-малка от единица, така, че грешката да се оценява според метода с някаква степен на стъпката, която ще бъде още по-малка от единица. От друга страна, преходните процеси на отравяне от 135 Xe и 149 Sm до установяване на стационарните им концентрации са с продължителност от няколко до десетки денонощия. По тази причина, при представяне на уравненията в секунда, използването на стъпка, която е по-малка от единица би довело до много дълъг изчислителен процес. Този факт налага уравненията за отравянето да бъдат преработени с мерна единица за времето час. За сравнение на ефекта на преобразуването на секундите в часове e използвано уравнението за концентрацията на 135 I при пускане на ядрения реактор: j P N j f 5 j j Това уравнение може да се използва самостоятелно. В табл.1 са представени резултатите от серията изчисления върху това уравнение в два случая: за време измерено в секунди и за време измерено в часове.

2 Метод Рунге Кута 2 в секунди Рунге Кута 2 в часове Рунге Кута 4 в секунди Рунге Кута 4 в часове Рунге Кута 4 с Ромберг в секунди Рунге Кута 4 с Ромберг в часове Стъпка Относителна грешка Стъпка Относителна грешка Стъпка Относителна грешка h = x h = x h = x 10-6 h = x h = x 10-8 h = x 10-6 h = x h=10 0 h= x 10-9 h = x h= x h=1 4.5 x 10-9 h = x h= x h= x h = x h= x h=1 1.2 x Табл.1 Решения при различни числени методи и стъпки Може да се отбележи, че при една и съща абсолютна стойност на стъпката от 1h относителната грешка в резултата е една и съща и за двата случая. Това показва, че в представянето на уравнението няма значение мерната единица. По тази причина в следващите изчисления се използват уравнения с мерна единица секунда. Същата серия от изчисления е направена и с цел да се избере подходящ метод за интегриране на цялата система уравнения. За решаване на диференциалните уравнения с начални условия са използвани са следните три метода: метод на Рунге Кута от втори ред; метод на Рунге Кута от четвърти ред; метод на Рунге Кута от четвърти ред с екстраполация по Ромберг[2]. Екстраполацията по Ромберг се състои в следното: aко Yn 1 е полученото със стъпка * h за коя да е неизвестна функция в момент tn 1, а Yn 1 е получената стойност след двукратно интегриране със стъпка h 2, то ново, по-добро приближение се получава по следната формула: * * Yn 1 Yn 1 Ynew Yn Табл.1 представя относителната грешка при различните стъпки по времето при използване на трите метода върху уравнението за 135 I. Както се вижда и както се очаква, най-дори резултати се получават при метода на Рунге Кута от четвърти ред с екстраполация по Ромберг. За това в следващите изчисления на системите уравнения за отравянето от 135 Xe и 149 Sm се използва именно този метод. Следващото разглеждане е върху системата за отравяне с 135 Хе.

3 J Xe P N J f 5 J J P N N N Xe f 5 J J Xe Xe a, Xe Xe Добро приближение за стационарните концентрации на 135 Xe и 135 I се получава след три денонощия. Графиката на фиг.1 показва промяната в концентрацията на 135 Xe три денонощия след пускане на ядрения реактор, а на графиката на фиг.2 е показана промяната на концентрацията на 135 I. Фиг.1 Стационарна концентрация на 135 Xe Фиг.2 Стационарна концентрация на 135 I На фиг.3 се проследява и изменението на концентрацията на 135 Xe две денонощия след спирането на реактора. Фиг.3. Изменение на концентрация на 135 Xe

4 На графиката на фиг.4 е показано увеличаването на отравянето от 135 Xe (в синьо) и съответно намаляването на реактивността (в зелено) по тази причина три денонощия след пускане на ядрения реактор и две денонощия след спирането му. Фиг.4 Отравяне от 135 Xe и намаляване на реактивността при спиране на ЯР Следващият експеримент е направен след достигане на стационарните концентрации на 135 Xe (фиг.5) и 135 I (фиг.6) след намаляване мощността на ядрения реактор с 30%. Началните условия за концентрациите им са взети от предходното изчисление. Фиг.5 Концентрация на 135 Xe Фиг.6 Концентрация на 135 I

5 Фиг.7 Изменение на отравянето от Хе (в синьо) и реактивността (в зелено) при намаляване на мощността с 30% Същата серия изчисления е направена и за отравянето със 149 Sm, решавайки следните диференциални уравнения: Pm Sm P N Pm f, Г Pm Pm N N Pm Pm a, Sm Sm На фиг.8 е показан процесът за достигане на стационарните концентрации на 149 Pm и 149 Sm след 20 денонощия, а фиг.9 показва намаляване на концентрациите им след намаляване на мощността на реактора с 30% след 3 денонощия. Фиг.8 Стационарни концентрации на 149 Pm и 149 Sm

6 3. Заключение Фиг.9 Намаляване на концентрациите на 149 Pm и 149 Sm след намаляване на мощността с 30% Представените резултати постигат целта на доклада, а именно получаване на обективна оценка за точността на използваните методи поради факта, че разглежданите уравниения имат точно решение. Така, очевидно от използваните методи за предпочитане в бъдеще е методът на Рунге Кута от четвърти ред с екстраполация по Ромберг. В доклада е използвана постоянна стъпка на интегриране. За съвместното решение на уравнения в които неизвестните функции имат различен по продължителност преходен процес това не е подходящо. В такива случаи може да се прибегне до автоматичен избор на стъпката. Това се изразява в следното в интервалите от време, в които някоя от неизвестните функции се изменя бързо, стъпката трябва да бъде малка, докато в случаите, при които процесите се развиват по-бавно стъпката да се увеличава. 4. Използвана литература [1] Г.Глухов, Ядрени енергийни реактори, Ифо Дизайн, 2004 [2] Г.Венков, В.Пашева, Числено моделиране с ОДУ, ТУ-София, 2007

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 3.1 Обучение по Числени методи и моделиране на вериги и полета част I в магистърския кур

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 3.1 Обучение по Числени методи и моделиране на вериги и полета част I в магистърския кур Обучение по Числени методи и моделиране на вериги и полета част I в магистърския курс по Електротехника Тодорка Червенкова, Атанас Червенков A Training of Numerical Methods and Modeling of ircuits and

Подробно

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ . Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за

Подробно

Mathematica CalcCenter

Mathematica CalcCenter Mathematica CalcCenter Основни възможности Wolfram Mathematica CalcCenter е разработен на базата на Mathematica Professional и първоначално е бил предназначен за технически пресмятания. Информация за този

Подробно

_5. ???????????? ?3????????? ?? ????????????? ?? ?????????? ?? 2005 ?.

_5. ???????????? ?3????????? ?? ????????????? ?? ?????????? ?? 2005 ?. ЩЕ ИЗЧЕЗНЕ ЛИ БЪЛГАРСКАТА НАЦИЯ ПРЕЗ XXI ВЕК? Гл. ас. д-р Стефан Стефанов Катедра "Математика и статистика", СА "Д. А. Ценов" - Свищов (Продължение от брой 3) Резюме: В работата се разглеждат измененията

Подробно

Development of an active-matrix biosensor array

Development of an active-matrix biosensor array file:///c:/documents%20and%20settings/administrator/my%20documents/publications/ecs%202005%20bio/bio-ecs2005%20for%20posting3/slide01.jpg file:///c:/documents%20and%20settings/administrator/my%20documents/...lications/ecs%202005%20bio/bio-ecs2005%20for%20posting3/slide01.jpg

Подробно

Microsoft Word - ProectB.doc

Microsoft Word - ProectB.doc Епидемиологичен модел Целта, към която се стремим тук, е да се изследва как се разпространява заразно заболяване като функция на времето, предизвикано от малка група инфектирани индивиди, намиращи се сред

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно

Microsoft Word - KZ_TSG.doc

Microsoft Word - KZ_TSG.doc ПРИЛОЖЕНИЕ НА ТЕОРИЯТА НА СИГНАЛНИТЕ ГРАФИ ЗА АНАЛИЗ НА ЕЛЕКТРОННИ СХЕМИ С ОПЕРАЦИОННИ УСИЛВАТЕЛИ В теорията на електронните схеми се решават три основни задачи: ) анализ; ) синтез; ) оптимизация. Обект

Подробно

INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL "MECHANIZATION IN AGRICULTURE" WEB ISSN ; PRINT ISSN ИЗСЛЕДВАНЕ И ОПТИМИЗИРАНЕ ПЕРИОДИЧНОСТТА НА Д

INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL MECHANIZATION IN AGRICULTURE WEB ISSN ; PRINT ISSN ИЗСЛЕДВАНЕ И ОПТИМИЗИРАНЕ ПЕРИОДИЧНОСТТА НА Д ИЗСЕДВАНЕ И ОПТИМИЗИРАНЕ ПЕРИОДИЧНОСТТА НА ДИАНОСТИРАНЕ НА МАШИНИТЕ С ОТЧИТАНЕ НА ДОСТОВЕРНОСТТА НА РЕЗУТАТИТЕ ОТ ИЗМЕРВАНЕТО М.Михов - ИПАЗР"Н.Пушкаров" София.Тасев - ТУ София Резюме: Разгледан е процес

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

РЕЦЕНЗИЯ на дисертационна работа за придобиване на ОНС Доктор по докторантска програма от професионално направление 5.4 Енергетика, специалност Промиш

РЕЦЕНЗИЯ на дисертационна работа за придобиване на ОНС Доктор по докторантска програма от професионално направление 5.4 Енергетика, специалност Промиш РЕЦЕНЗИЯ на дисертационна работа за придобиване на ОНС Доктор по докторантска програма от професионално направление 5.4 Енергетика, специалност Промишлена топлотехника с автор: инж. Андрей Христов Андреев

Подробно

Моделиране с програмния продукт West на биохимичните процеси в биологичното стъпало на спсов – Кубратово. Симулации на експлоатационни режими и страте

Моделиране с програмния продукт West на биохимичните процеси в биологичното стъпало на спсов – Кубратово. Симулации на експлоатационни режими и страте МОДЕЛИРАНЕ С ПРОГРАМНИЯ ПРОДУКТ WEST НА БИОХИМИЧНИТЕ ПРОЦЕСИ В БИОЛОГИЧНОТО СТЪПАЛО НА СПСОВ КУБРАТОВО. СИМУЛАЦИИ НА ЕКСПЛОАТАЦИОННИ РЕЖИМИ И СТРАТЕГИЯ ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ инж. И. Давидов, доц. д-р инж. И.

Подробно

Възможности за рециклиране на плутоний в реактори с вода под налягане

Възможности за рециклиране на плутоний в реактори с вода под налягане Технически университет-софия Катедра Топлоенергетика и ядрена енергетика ДОКЛАД Въздействие на рециклирането на плутоний в реактори с вода под налягане върху материалния баланс на горивния цикъл и остатъчното

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc ВЪПРОС 1 КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНИ Във въпроса Кинематика на материална точка основни понятия и величини вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при

Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при изследване на устойчивостта на равновесната форма

Подробно

тема: „Ползите от удължаването на експлоатационния срок на ядрените централи”

тема: „Ползите от удължаването на експлоатационния срок на ядрените централи” тематична област: "Удължаване на срока на експлоатация на ядрени съоръжения" Изготвил: Силвия Кръстева, Студент по специалност Ядрена енергетика в ТУ-София Статистиката в световен мащаб показва, че най-голям

Подробно

Microsoft Word - UIP_mat_7klas_

Microsoft Word - UIP_mat_7klas_ Приложение 2 УЧЕБНО-ИЗПИТНА ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ В КРАЯ НА VII КЛАС І. Вид и времетраене Изпитът от националното външно оценяване е писмен. Равнището на компетентностите

Подробно

Slide 1

Slide 1 Методи и алгоритми за моделиране, симулация и оптимизация на полупроводникови сензори Венцеслав Шопов E-mail: vkshopov@yahoo.com BG051PO001-3.3.06-0002 Цел на дисертационния труд е да се създаде софтуерна

Подробно

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет Проектиране на непрекъснат П - регулатор инамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектирането им, могат да се окажат незадоволителни по отношение на

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

ОПРЕДЕЛЯНЕ НА РАВНОВЕСНА КОНСТАНТА НА ХОМОГЕННА РЕАКЦИЯ В РАЗТВОР Състоянието на системата от реагиращи вещества, при което скоростите на правата и об

ОПРЕДЕЛЯНЕ НА РАВНОВЕСНА КОНСТАНТА НА ХОМОГЕННА РЕАКЦИЯ В РАЗТВОР Състоянието на системата от реагиращи вещества, при което скоростите на правата и об ОПРЕДЕЛЯНЕ НА РАВНОВЕСНА КОНСТАНТА НА ХОМОГЕННА РЕАКЦИЯ В РАЗТВОР Състоянието на системата от реагиращи вещества, при което скоростите на правата и обратната реакция са равни, а съставът на системата не

Подробно

Семинар Класификация по разстоянието до центроидите на извадката Задача От лекциите по Аналитична геометрия си припомнете уравнението за равнина в три

Семинар Класификация по разстоянието до центроидите на извадката Задача От лекциите по Аналитична геометрия си припомнете уравнението за равнина в три Семинар Класификация по разстоянието до центроидите на извадката От лекциите по Аналитична геометрия си припомнете уравнението за равнина в тримерното пространство. Обобщете уравнението за случая на N-мерно

Подробно

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 48, серия 10 Кинетика на преориентация на F A центрове, при осветяване с неполяризирана F A светли

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 48, серия 10 Кинетика на преориентация на F A центрове, при осветяване с неполяризирана F A светли Кинетика на преориентация на F центрове, при осветяване с неполяризирана F светлина Димитър Попов, Йордан Димов Reorienaion Kineics Of F Ceners In KCL:Na Obained Under Illuminaion Wih Unpolarized F Lighs:

Подробно

ISSN

ISSN FRI-9.3-1-THPE-13 ANALYTICAL PRESENTATION OF THE DIMENSIONLESS CHARACTERISTICS OF CENTRIFUGAL FANS Prof. Gencho Popov, PhD E-mail: gspopov@uni-ruse.bg Assoc. Prof. Kliment Klimentov, PhD Е-mail: kklimentov@uni-ruse.bg

Подробно

Science & Technologies ИЗСЛЕДВАНЕ НА ПРЕХОДНИТЕ ПРОЦЕСИ НА ЗАДВИЖВАЩ ЕЛЕКТРОМАГНИТ ЗА ПОСТОЯНЕН ТОК Мустафа Ебазир, Петър Пенчев Република България, 8

Science & Technologies ИЗСЛЕДВАНЕ НА ПРЕХОДНИТЕ ПРОЦЕСИ НА ЗАДВИЖВАЩ ЕЛЕКТРОМАГНИТ ЗА ПОСТОЯНЕН ТОК Мустафа Ебазир, Петър Пенчев Република България, 8 ИЗСЛЕДВАНЕ НА ПРЕХОДНИТЕ ПРОЦЕСИ НА ЗАДВИЖВАЩ ЕЛЕКТРОМАГНИТ ЗА ПОСТОЯНЕН ТОК Мустафа Ебазир, Петър Пенчев Република България, 8000 Бургас, бул. Проф. Яким Якимов 1, Университет Проф. д-р. Асен Златаров,

Подробно

NUMERICAL EXPERIMENT OF THE BANDPASS FILTER WITH VIN BRIDGE PART.1. Plamen Angelov Angelov, Burgas Free University, Milena Dimitorova

NUMERICAL EXPERIMENT OF THE BANDPASS FILTER WITH VIN BRIDGE PART.1. Plamen Angelov Angelov, Burgas Free University, Milena Dimitorova NUMERICAL EXPERIMENT OF THE BANDPASS FILTER WITH VIN BRIDGE PART.. Plamen Angelov Angelov, Burgas Free University, pangelov@bfu.bg Milena Dimitorova Angelova, Burgas Free University Abstract: Many electronic

Подробно

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да

Подробно

ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти.

ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. Коренуване на произведение, частно, степен и корен.

Подробно

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

ИЗСЛЕДВАНЕ НА КИНЕТИКАТА НА ОСАПУНВАНЕ НА ЕТИЛАЦЕТАТ Цел: Да се изследва кинетиката на осапунване на етилацетат с натриева основа. Теоретична част: Ре

ИЗСЛЕДВАНЕ НА КИНЕТИКАТА НА ОСАПУНВАНЕ НА ЕТИЛАЦЕТАТ Цел: Да се изследва кинетиката на осапунване на етилацетат с натриева основа. Теоретична част: Ре ИЗСЛЕДВАНЕ НА КИНЕТИКАТА НА ОСАПУНВАНЕ НА ЕТИЛАЦЕТАТ Цел: Да се изследва кинетиката на осапунване на етилацетат с натриева основа. Теоретична част: Реакцията на осапунване на етилацетат с натриева основа

Подробно

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 4 Сравнително изследване на някои от характеристиките на измервателните системи за позиц

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 4 Сравнително изследване на някои от характеристиките на измервателните системи за позиц Сравнително изследване на някои от характеристиките на измервателните системи за позициониране и навигация на автомобили Даниел Любенов, Митко Маринов A comparative study of some characteristics of the

Подробно

Slide 1

Slide 1 11. Количествено ориентирани методи за вземане на решения в обкръжение на неопределеност и риск 1 Структура Матрица на полезността Дърво на решенията 2 11.1. Матрица на полезността 3 Същност на метода

Подробно