КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN

Препис

1 КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN

2 Книга за учителя по математика за 0 клас Автори Емил Миланов Колев, 09 Иван Георгиев Георгиев, 09 Стелиана Миткова Кокинова, 09 Графичен дизайн Николай Йорданов Пекарев, 09 Издател КЛЕТ БЪЛГАРИЯ, 09 ISBN E Възпроизвеждането на това издание или на отделни негови части под каквато и да е форма без изричното писмено съгласие на КЛЕТ БЪЛГАРИЯ ООД е престъпление

3 ПРИМЕРНИ МЕТОДИЧЕСКИ РАЗРАБОТКИ НА УРОЦИ

4 УРОК 7 ФОРМУЛА ЗА СБОРА НА ПЪРВИТЕ N ЧЛЕНА НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ Вид на урока: За нови знания 7 ФОРМУЛА ЗА СБОРА НА ПЪРВИТЕ n ЧЛЕНА НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ Индексът n показва колко събираеми има в дясната част на равенството Начин за запомняне на формулата за сбора на първите n члена Равенствата следват от Теорема от предишния урок Когато знаем първия член a и разликата d вместо да намираме a n е по-лесно да използваме тази формула ЩЕ НАУЧИТЕ Как се пресмята сборът на първите n члена на аритметична прогресия Формулата от Теорема са запомня като: Сборът на първия и последния член, разделен на две, умножен по броя на членовете За аритметична прогресия a, a, a,, a n, с S n означаваме сбора на първите n члена на прогресията, те S n = a + a + + a n ТЕОРЕМА За аритметична прогресия с първи член a и разлика d е изпълнено равенството a an Sn n Доказателство: Записваме: S n = a + a + + a i За аритметична прогресия намерете: а) S, ако a = 67 и a = ; б) S, ако a = 0,5 и d = a an Решение: а) От Sn n при n = получаваме a a 67 S ( ) 6 a n d б) От S ( ) n n при n = получаваме S + + a n- + a n S n = a n + a n- + + a n-i+ + + a + a и събираме почленно двете равенства: S n = (a + a n ) + (a + a n- ) + + (a i + a n-i+ ) + + (a n- + a ) + (a n + a ) Тъй като a + a n = a + a n- = = a i + a = = a + a = a + a, то горното n-i+ n- n равенство се записва във вида: a an Sn a an n Sn n Ако във формулата от Теорема заместим a n с a + (n )d, ще получим S n a an a a n d a n d n ( ) n ( ) n a d Приложение на двете формули за намиране на S n 4

5 УРОК 7 ФОРМУЛА ЗА СБОРА НА ПЪРВИТЕ N ЧЛЕНА НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ За намиране на S n има три основни задачи Намерете първия член a на аритметична прогресия, за която d = и S = a n d Решение: Във формулата S ( ) n n заместваме d =, n = и S = и получаваме: a ( ) a 6 7 a a Намерете разликата d на аритметична прогресия, за която a = и S 9 a ( 9) d 8d Решение: От S9 9 9 получаваме: 8d 9 6 ( 8d) 9 d Дадена е аритметична прогресия с първи член a = 5 и разлика d = Намерете n, ако S n = 9 a n d Решение: От формулата S ( ) n n при S n = 9, a = 5 и d = получаваме: 78 = n(n ) n n 78 = 0 Корените на това квадратно уравнение са n = и n = Тъй като n > 0, получаваме n = По дадени n, S n и d да се намери a По дадени n, S n и a да се намери d По дадени a, d и S n да се намери n Намерете: а) S 9, ако a = 4 и a 9 = ; б) S 4,ако a = 7 и a 4 = 69; в) S 0, ако a = 6,5 и d = 8,; г) S, ако a и d = 7 Намерете първия член a на аритметична прогресия, за която: а) S 7 = 4 и d = ; б) S 6 = 96 и d = ; в) S 9 = 0 и d = ; г) S = 75 и d = 8 5 ЗАДАЧИ Намерете разликата d на аритметична прогресия, за която: а) a = и S 8 = 6; б) a =,5 и S 4 = 50; в) a = и S = 6 9 ; г) a = 9 и S = Намерете n, ако: а) a = 7, d = и S n = 8; б) a =, d = 8 и S n = 0; в) a = 0, d = 4 и S n = 0; г) a =, d = 5 6 и S = 6 n Задачи за намиране на едно от числата a, d и n по дадени S n и другите две числа 4 Задача за прилагане на двете основни формули 5

6 УРОК 8 РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА СИНУСОВАТА ТЕОРЕМА УПРАЖНЕНИЕ Вид на урока: Упражнение 8 РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА СИНУСОВАТА ТЕОРЕМА УПРАЖНЕНИЕ Директно приложение на синусовата теорема Използване на равенството sinα = sin(80 α) и приложение на синусовата теорема ЩЕ УПРАЖНИТЕ Как се решава произволен триъгълник, като се използва синусовата теорема A M C 8 B В ABC са дадени AC = cm, BC = 8 cm Точка М е от страната АВ, като sin BMC = 0,4 Да се намерят дължините R AMC и R BMC на радиусите на описаните окръжности съответно около AMC и BMC Решение: От синусовата теорема за BMC получаваме откъдето намираме R BMC = 0 cm BC 8 R BMC 0, sin BMC 04, От AMC 80 BMC следва, че sinamc sin 80 BMCsin BMC 04, Тогава от синусовата теорема за AMC следва откъдето R AMC AC R AMC 0, sin AMC 04, 5 cm Използване на равенството sin(90 β) = cosβ и основното тригонометрично тъждество sin β + cos β = за намиране на sinbad A D 4 C 90 β β H B Отсечките АD и СH са височини в тъпоъгълния ABC, в който C > 90 Ако DH = 4 cm и sin ABC =, да се намери страната АС 5 Решение: Да означим ABC В BAD имаме BAD 90 и като използваме, че от β < 90 cos 0, получаваме 9 4 sinbad sin 90cos sin 5 5 Използване на синусовата теорема за намиране на AC C От AHC ADC 90 следва, че четириъгълникът AHCD e вписан в окръжност с диаметър АС Прилагаме синусовата теорема за AHD: HD HD 4 5 AC AC 0 cm sinhad sin BAD 4 A 5 M R O B Даден е ABC, за който AB =0 cm и ACB 5 Да се намери разстоянието от центъра на описаната около триъгълника окръжност до страната АВ Решение: Нека О е центърът на описаната около ABC окръжност, а ОМ е разстоянието от О до страната АВ Тогава М е средата на АВ и AM = AB = 5 cm 90 6 Свойство на хорда в окръжност

7 УРОК 8 РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА СИНУСОВАТА ТЕОРЕМА УПРАЖНЕНИЕ Прилагаме синусовата теорема за ABC AB RR 0 cm sin5 От питагоровата теорема за AOM намираме: OM AO AM и OM = 50 = 5 cm Приложение на синусовата теорема Приложение на питагоровата теорема A 60 D H 0 C B Да се намери радиусът на окръжността, описана около трапец с основи 9 cm и cm и ъгъл при малката основа 0 Решение: Нека трапецът ABCD с основи AB = a = 9 cm, DC = b = cm и BCD 0 е вписан в окръжност с радиус R, а DН е неговата височина Щом трапецът е вписан, то той е равнобедрен и BAD 80060, AH a b cm, BH a b 6 cm В правоъгълния AHD имаме DH tg ADH AH tg 60 AH От питагоровата теорема за BHD намираме: BD BH DH и BD = 6 = 7 Прилагаме синусовата теорема за BCD : BD BD R R sinbcd sin 0 7 cm Приложение на синусовата теорема в по-сложни задачи Използване на свойствата на равнобедрения трапец за намиране на BH Приложение на синусовата теорема ЗАДАЧИ Радиусът на описаната около ABC окръжност е 7 cm и cos BAC 4 Намерете дължината на страната ВС 7 Върху страната АВ на ABC е избрана точка М така, че sin BMC = 06, Намерете АС и ВС, ако дължините на радиусите на описаните около AMC и BMC окръжности са съответно R AMC 5 cm и R BMC 0 cm Радиусът на описаната около ABC окръжност е 8 cm, BAC 60, AB : AC =, : а AL e ъглополовящата на BAC L BC Намерете дължината на отсечката CL 4 През точка М, външна за окръжност k с радиус 0 cm, са построени допирателна МС и секуща МАВ Намерете АС, ако MCA 45 5 Ако ВС е най-голямата страна в разностранния ABC, а d е диаметърът на описаната около триъгълника окръжност и BC : d =:, намерете мярката на BAC 6 Даден е ABC с C 45 и AB = 6 cm Окръжност k с диаметър АВ пресича АС и ВС в точки M и N Намерете дължината на отсечката MN 7 Мярката на BAC е 0', а точката C се намира на равни разстояния от правите AB и AD, като CD AD, CB AB Ако AC = 0 cm, намерете BD 8 Равнобедреният трапец ABCD е вписан в окръжност с радиус R Ако CD = R и BAC 5, намерете диагонала на трапеца 9 7

8 УРОК 46 РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ Задачи със свободен отговор, за решаването на които се прилагат комбинирани разсъждения на базата на основни знания и формули Задачи с избираем отговор за проверка на основни знания и формули 46 РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ I част II част Стойността на израза 6 Ако sin, 90 80, намерете стойността на израза A sin60cos0tg0cotg 90 е: 5 sin cos tg А) + Б) Даден е ABC, в който AC = 4 cm, BC = 8 cm и ACB 0 Намерете дължината на ъглополовящата CL L AB Стойността на израза В) Г) 6 sin 5sin 65tg5 tg55 III част е: 8 Даден е ABC с ъглополовяща ВD Намерете А) Б) 0 лицето на триъгълника, ако ABC = CAB и AC = CD = 8 cm В) Г) За триъгълника ABC е дадено, че sin :sin 5: 5 За дължините на страните а и b е изпълнено: А) a = 5 b Б) a = 5 b В) a = 5 b Г) a = b Триъгълникът АВС е със страна BC = 0 cm и BAC 50 Дължината на окръжността, описана около триъгълника, е: А) 0π Б) 0 π В) 0π Г) 0 π 5 Триъгълникът АВС е със страни BC = 4 cm AC = 8 cm и AB = 4 7 cm Дължината на медианата към най-голямата страна е: А) Б) 4 В) Г) 4 08 Задача за подробно описване на решението 8

9 УРОК 66 ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ Проверка на знания за перпендикулярни и успоредни прави Проверка на знания за намиране на обем на пирамида, един от околните ръбове на която е перпендикулярен на равнината на основата 66 ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ 5 Цилиндър и сфера имат еднакви радиуси r Ако лицата на повърхнините им също са равни, то от- I част Кое от твърденията А), Б) и В) е НЕВЯРНО? ношението h: r на височината на цилиндъра и радиуса му е: А) Ако две прави са успоредни на трета, те са успоредни помежду си Б) Ако две прави са перпендикулярни на трета, А) : II част Б) : В) : Г) 4: те са успоредни помежду си В) Ако две прави са перпендикулярни на равнина, 6 Основата на триъгълна пирамида АВСМ е ABC със страни AB = 6cm и AC = BC = 5 cm те са успоредни помежду си Лицето на ABM e 5 cm, а ръбът МС е пер- Г) И трите твърдения са верни пендикулярен на равнината на основата Намерете Точката А лежи в равнина α, а точката В е на разстояние cm от α Ако М дели отсечката АВ обема на пирамидата M вътрешно в отношение MA : MB =:, то разстоянието от М до α е: А) cm Б) cm В) 4 cm Г) 9 cm 5 B C B A M Катетът АС на правоъгълния равнобедрен ABC лежи в равнина α, върхът В е на разстояние 6 cm от α, a хипотенузата АВ сключва с α ъгъл 0 Двустенният ъгъл между равнината на триъгълника и α e: А) 0 Б) 45 В) 60 Г) 90 α A 0 C 4 Обемът на конус с радиус r = 5 и образуваща l = е равен на: А) 90π Б) 00π В) 0π Г) 00π α B 6 D 5 A 7 Височината на четириъгълна пирамида е cm, околните стени сключват с основата ъгъл 45, а сборът от дължините на два срещуположни основни ръба е 0 cm Намерете обема на пирамидата A 45 B M III част 8 Ортогоналната проекция на върха D на тетраедъра АВCD върху равнината на основата е центърът О на описаната около ABC окръжност Намерете ъглите, които околните ръбове сключват с ABC, ако е известно, че ACB 60 и DO : AB =: 6 C D Проверка на знания за разстояние от точка до равнина Проверка на знания за намиране на обем на пирамида с основа описан четириъгълник Проверка на знания за двустенен ъгъл Проверка на знания за намиране на ъгъл между права и равнина 58 Проверка на знания за обем на конус Проверка на знания за лице на повърхнина на цилиндър и сфера 9

10

11 ВАРИАНТИ ЗА ДИАГНОСТИКА НА РЕЗУЛТАТИ ОТ ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В 0 КЛАС

12 НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР ВАРИАНТ I част В кутия има 6 зелени и x червени топки Намерете x, ако вероятността произволна избрана топка да е червена е 5 А) Б) В) Г) 4 Изразът е равен на: А) Б) 4 В) 5 Г) 6 Решението на неравенството x 7x + > 0 е: А) x, 4, Б) x, 4, В) x (, 4) Г) x [, 4] 4 Ако cos 8 7 А) 5 и α (0, 90 ), намерете sinα Б) 9 7 В) 5 7 Г) Броят на решенията на системата x 5 x 6 0 е равен на: xy y 0 А) Б) В) Г) 4 II част 6 В правоъгълен триъгълник ABC е построена височината CH към хипотенузата AB Намерете лицето на триъгълник ABC, ако AH = 5 cm и BC = 6 cm 7 Най-малката стойност на функцията f(x) = ax + x + е равна на Намерете стойността на a III част 8 Намерете лицето на равнобедрен трапец ABCD с малка основа CD = 8 cm, бедро AD = 5 cm и височина h = cm

13 НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР ВАРИАНТ I част В кутия има 8 зелени и x червени топки Намерете x, ако вероятността произволна избрана топка да е червена е 5 А) Б) В) Г) 4 Изразът е равен на: А) Б) 4 В) 5 Г) 6 Решението на неравенството x 6x + 8 < 0 е: А) x, 4, Б) x, 4, В) x (, 4) Г) x [, 4] 4 Ако sin 7 5 А) 5 и α (0, 90 ), намерете cosα Б) 8 7 В) 5 7 Г) Броят на решенията на системата x xy 0 е равен на: y yx А) Б) В) Г) 4 II част 6 В правоъгълен триъгълник ABC е построена височината CH към хипотенузата AB Намерете лицето на триъгълник ABC, ако BH = AH + 5 и CH = 6 cm 7 Най-малката стойност на функцията f(x) = ax x + е равна на Намерете стойността на a III част 8 Намерете лицето на равнобедрен трапец ABCD с малка основа CD = 6 cm, бедро AD = 7 cm и височина h = 5 cm

14 ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВАРИАНТ I част Изразът x НЯМА смисъл при: А) x < 0 Б) x < В) x Г) x (0; ) Числената стойност на израза A x x 6x9 за x е: А) 4 5 Б) 5 В) 5 Г) 4 5 Решенията на уравнението x x 0 са: А) само x = Б) само x = В) x = и x = Г) x ( ; ) 4 Кое от уравненията НЯМА реални корени? А) x x Б) x x В) x 4x Г) x x 5 Дефиниционното множество на уравнението x x е: А) Б) [; ] В) (; ) Г) ( ; ] II част 6 Намерете стойността на израза P 54x x при x = 7 Запишете множеството от решенията на уравнението x x x x III част 8 Решете уравнението x x x 0 x 4

15 ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВАРИАНТ I част Изразът НЯМА смисъл при: x 5 А) x < 0 Б) x < 5 В) x 5 Г) x (0; 5) Числената стойност на израза A x x 6x7 за x = е: А) 4 9 Б) В) Г) 4 9 Решенията на уравнението x 5 x 0 са: А) само x = Б) само x = 5 В) x = и x = 5 Г) x ( ; ) 4 Кое от уравненията НЯМА реални корени? А) x x Б) 4x 4x В) 7x 7x Г) x 9 x Дефиниционното множество на уравнението x7 8x е: А) Б) [7, 8] В) (7; 8) Г) ( ; 8] II част 6 Намерете стойността на израза P x x при x = 7 Запишете множеството от решенията на уравнението x x x x III част 8 Решете уравнението x x 0 x x 5

16 ПРОГРЕСИИ ВАРИАНТ I част Седмият член на геометрична прогресия, за която a = 64 и a 5 = 4 е равен на: А) 4 Б) В) Г) 4 Разликата на аритметична прогресия, за която a = 4 и a 0 = 86 е равна на: А) 7 Б) 8 В) 9 Г) 0 Влог се олихвява 4 години при проста лихва от % Намерете големината на влога, ако той е нараснал с 800 лева А) лева Б) лева В) лева Г) 000 лева 4 Сборът е равен на: А) 0 Б) 44 В) 70 Г) 87 5 Сборът от първите 8 члена на геометрична прогресия с първи член a = и частно q = е равен на: А) 765 Б) 768 В) 50 Г) 55 II част 6 Намерете числата a и c, ако a, 8 и c образуват аритметична прогресия, а a, 8 и c + a образуват геометрична прогресия 7 Банка олихвява влогове с проста лихва от x% За три години лихвата по влога е равна на лихвата на два пъти по-голям влог за една година при лихва от (x +,5)% Намерете x III част 8 Намерете частното q на геометрична прогресия a, b, c, ако числата a, c, a + b + c образуват аритметична прогресия 6

17 ПРОГРЕСИИ ВАРИАНТ I част Осмият член на геометрична прогресия, за която a = и a 5 = 4 е равен на: А) 96 Б) 9 В) 84 Г) 56 Разликата на аритметична прогресия, за която a = и a 9 = 70 е равна на: А) 7 Б) 8 В) 9 Г) 0 Влог от лева се олихвява при проста лихва от,5% След колко години влогът ще стане 500 лева? А) години Б) 4 години В) 5 години Г) 6 години 4 Сборът е равен на: А) 8 Б) 44 В) 60 Г) 80 5 Сборът от първите 8 члена на геометрична прогресия с първи член a = и частно q = е равен на: А) 765 Б) 768 В) 50 Г) 8 II част 6 Намерете числата a и c, ако a, и c образуват аритметична прогресия, а a + c, и c образуват геометрична прогресия 7 Банка олихвява влогове с проста лихва от x% За четири години лихвата по влога е равна на лихвата на три пъти по-голям влог за една година при лихва от (x +)% Намерете x III част 8 Намерете частното q на геометрична прогресия a, b, c, ако числата 5a, c, a + b + c образуват аритметична прогресия 7

18 5 РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК ВАРИАНТ I част Стойността на израза sin0 cos50 + tg45 + cotg50 е: А) + Б) + В) Г) Стойността на израза sin 5 + sin 75 +tg5 tg85 е: А) 0 Б) В) Г) Равнобедреният ABC с основа AB = cm и tga = 4 има лице: A) 8 cm Б),6 cm В) 7 cm Г) 8 cm 4 Даден е правоъгълен триъгълник с хипотенуза 0 cm и лице 4 cm Радиусът на вписаната в този триъгълник окръжност е: A) cm Б) cm В) cm Г) cm 5 Триъгълникът АВС е със страни BC = 8 cm, AC = 6 cm и AB = 8 7 cm Дължината на медиана към наймалката страна е: А) Б) 4 В) Г) 4 II част 6 Ако sin, sin cos, намерете стойността на израза A sin cos 7 Даден е ABC, в който AC = cm, BC = 4 cm и ACB = 0 Намерете дължината на ъглополовящата CL (L AB) III част 8 В остроъгълния ABC медианата АМ (M BC) и височината СН (H AB) са съответно равни на 6 5cm и cm Ако страната BC = 0 cm, намерете дължината на радиуса на описаната около ABC окръжност 8

19 5 РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК ВАРИАНТ I част Стойността на израза sin45 + cos5 tg0 + cotg0 е: А) 0 Б) В) sin 0sin 70tg 8 tg 6 Стойността на израза е: 4 А) Б) В) Г) Г) Равнобедреният ABC с основа AB = 6 cm и cotga = 4 има лице: A) 48 cm Б) 4 cm В), cm Г) cm 4 Даден е правоъгълен триъгълник с хипотенуза 0 cm и лице 96 cm Радиусът на вписаната в този триъгълник окръжност е: A) cm Б) cm В) cm Г) 4 cm 5 Триъгълникът АВС е със страни BC = 4 cm, AC = 8 cm и AB = 4 7 cm Дължината на медиана към наймалката страна е: А) Б) 4 В) Г) 4 II част 6 Ако sin, sin cos, намерете стойността на израза A sin cos 7 Триъгълникът АВС е със страни BC = 8 cm, AC = 8 cm и AB = 4 cm Намерете дължината на ъглополовящата AL (L BC) III част 8 В ABC със страна AB = 0 cm точката О е центърът на вписаната окръжност, AO = cm и BO = cm Намерете лицето на ABC 9

20 6 ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА ВАРИАНТ I част Всяка от правите a и b пресича две кръстосани прави Кое от твърденията е възможно? () a и b са успоредни; () a и b са пресекателни; () a и b са кръстосани А) само () Б) само () В) само () Г) () и () Основата на пирамида е ромб, а ортогоналната проекция на върха на пирамидата е един от върховете на ромба Околните стени са: А) равнобедрени триъгълници Б) равностранни триъгълници В) правоъгълни триъгълници Г) два правоъгълни и два неправоъгълни триъгълника Основният ръб и апотемата на правилна триъгълна пирамида са съответно 6 cm и 4 cm Височината на пирамидата е: А) 5 cm Б) cm В) cm Г) cm 4 Лицето на повърхнината на конус с радиус r = 5 и образуваща l = е: А) 0π Б) 65π В) 90π Г) 00π 5 Цилиндър и сфера имат еднакви радиуси r Ако обемите им също са равни, то отношението h : r на височината на цилиндъра и радиуса му е: А) : 4 Б) : В) 4 : Г) 4 : II част 6 Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA B C D с основен ръб AB = и околен ръб CC = Намерете синуса на ъгъла между правите BC и A D 7 Лицето на повърхнината на сфера σ с център О е 5π cm Построена е равнина λ, която е на разстояние cm от О Намерете лицето на сечението на λ и σ III част 8 Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб a = 6 cm и околен ръб l = 4 cm Намерете височината и апотемата на пирамидата 0

21 6 ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА ВАРИАНТ I част Правите a и b са перпендикулярни на правата m Кое от твърденията (), () и () е НЕВЪЗМОЖНО? () a и b са успоредни; () a и b са пресекателни; () a и b са кръстосани А) само () Б) само () В) само () Г) и трите твърдения са възможни Основата на пирамида е правоъгълник, а върхът на пирамидата се проектира ортогонално във връх на правоъгълника Околните стени са: А) правоъгълни триъгълници Б) равнобедрени триъгълници В) равностранни триъгълници Г) два правоъгълни и два неправоъгълни триъгълника Всички ръбове на тетраедър са равни, а r е радиусът на вписаната в негова стена окръжност Лицето на повърхнината на тетраедъра е: А) r Б) 9r В) 6r Г) r 4 Лицето на повърхнината на прав кръгов цилиндър с радиус r = 5 и образуваща OO = е: А) 00π Б) 00π В) 5π Г) 50π 5 Конус и кълбо имат еднакви радиуси r Ако обемите им също са равни, то отношението h : r на височината на конуса и радиуса му е: А) : 4 Б) : В) 4 : Г) 4 : II част 6 Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA B C D с основен ръб AB = и околен ръб CC = Намерете синуса на ъгъла, който диагоналът BD сключва със стената ADD A 7 Лицето на повърхнината на сфера σ с център O е 6π cm През точка М, вътрешна за σ, е построена равнина λ, перпендикулярна на МО Ако лицето на сечението на σ и λ е 4π cm, намерете дължината на отсечката МО III част 8 Дадена е правилна четириъгълна пирамида с височина h = cm и ъгъл φ = 60 между околна стена и основата Намерете основния и околния ръб на пирамидата

22 7 ГОДИШЕН ПРЕГОВОР ВАРИАНТ I част Колко корена има уравнението 87x x 4? А) 0 Б) В) Г) безброй Дадена е аритметична прогресия с първи член a = и разлика d = Сумата на първите 0 члена с нечетни номера е равна на: А) 59 Б) 6 В) 60 Г) 80 Към реда,, 6, 8,, е добавено ново число Намерете средното аритметично на данните от новия ред, ако е известно, че двата реда имат една и съща медиана А) 7 Б) 49 В) 8 Г) На чертежа ABC е страни AC = 5 cm и BC = 6 cm, а отсечката CH = 4 cm (H AB) е височина Радиусът на описаната около ABC окръжност е: А) 5 8 В) 5 Б) 5 4 cm cm Г) cm 5 В куба ABCDA B C D синусът на ъгъла между правите AD и A B е равен на: А) Б) В) Г) II част 6 Частното на геометрична прогресия е q =, а сумата на първите три члена е S = 6 Намерете сумата на първите осем члена на прогресията 7 В равнобедрения ABC точката D е средата на основата АВ, AL (L BC) е ъглополовящата на BAC, а О е центърът на вписаната окръжност Намерете отношението CO : CD, ако е известно, че CL : LB = 4 : III част 8 В ABC AB = 8, AC = 5 и BAC = 60 Намерете височината АН (H BC) на триъгълника

23 7 ГОДИШЕН ПРЕГОВОР ВАРИАНТ I част Колко корена има уравнението x 8x6 4 x? А) 0 Б) В) Г) безброй Частното на геометрична прогресия, за която S 6 = 9S, е равно на: А) Б) В) Г) Към реда,, 6, 7, 7, 8, е добавено число така, че двата реда имат една и съща средноаритметична стойност Медианата на новия ред е: А) 5,5 Б) 6 В) 6,5 Г) 7 4 Намерете дължината на страната АВ на ABC, ако BC = cm, AC = 4 cm и cos А) 7 cm Б) 5 cm В) cm Г) 6 cm 5 В куба ABCDA B C D косинусът на ъгъла между правите AD и BC е равен на: А) 0 Б) В) Г) II част 6 За членовете на числовата редица (a n ) са в сила равенствата a = и a n = a n + за всяко n Пресметнете сумата S = a + a + + a 9 + a 0 7 Даден е ABC със страни AC = 5, BC = 4 и ACB = BAC Намерете дължината на ъглополовящата CL (L AB) на ACB III част 8 Точките М и N лежат на страните АС и ВС на ABC, като AM = CM, CN = BN и S MNC = 4 cm Намерете лицето на ABC

24 ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА I СРОК ВАРИАНТ I част Стойността на израза cos 4sin cotg tg при α = 60 е: 4 А) Б) В) Г) Ако α (90 ; 80 ) и sin, то стойността на cosα е: А) 5 Б) В) 5 Г) Разликата d на аритметична прогресия с първи член a = и сбор на първите 0 члена S 0 = 45 е равна на: А) Б) В) Г) 5 4 Първият член a на геометрична прогресия с частно q = и сбор на първите 5 члена S 5 = 4 е равeн на: А) Б) В),6 Г) 4 5 За една година влог от 4500 лева нараства с 5 лева Лихвеният процент на този влог е равен на: А),5% Б) % В),5% Г) 4,5% II част 6 Каква сума трябва да се внесе в банка при сложна лихва с лихвен процент %, ако след две години влогът трябва да е нараснал с 404 лева? 7 Решете уравнението x x5 III част 8 Намерете първият член и разликата на аритметична прогресия, за която a 6 = 0 и a, a 4 и a 8 образуват геометрична прогресия 4

25 I част Стойността на израза sin ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА I СРОК ВАРИАНТ cos tg cotg при α = 0 е: А) 6 Б) 6 В) 0 Г) Ако 90; 80 и sin 8, то стойността на cosα е: А) Б) В) 5 7 Г) 8 7 Разликата d на аритметична прогресия с първи член a = и сбор на първите 0 члена S 0 = 0 е равна на: А) Б) В) Г) 5 4 Първият член a на геометрична прогресия с частно q = и сбор на първите 5 члена S 5 = 8 е равeн на: А) Б) В),6 Г) 4 5 За една година влог от 600 лева нараства със 6 лева Лихвеният процент на този влог е равен на: А),5% Б) % В),5% Г) 4% II част 6 Каква сума трябва да се внесе в банка при сложна лихва с лихвен процент %, ако след две години влогът трябва да е нараснал с 609 лева? 7 Решете уравнението x x x 4x 6 III част 8 Намерете първият член и разликата на аритметична прогресия, за която a 5 = 5 и a, a и a 9 образуват геометрична прогресия 5

26 ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА II СРОК ВАРИАНТ I част В окръжност с радиус R = cm e построена хорда AB = 6 cm, а М е произволна точка от по-голямата дъга AB Мярката на AMB: А) e 0 Б) e 45 В) e 60 Г) не може да се определи Лицето на ABC със страни AC = 5 cm, BC = cm и AMB = 45 е равно на: А) 0,5 cm Б) cm В), 5 cm Г) cm Околният ръб АМ на правилна триъгълна пирамида АВСМ е два пъти по-голям от основния ръб АВ и сключва с основата ъгъл α, чийто косинус е равен на: А) 6 Б) В) 4 Г) 4 4 Лицето на основата на прав кръгов конус е 9π cm, a лицето на околната повърхнина е 5π cm Дължината на височината на конуса е: А) cm Б) 4 cm В) 5 cm Г) 4 cm 5 Обемът на кълбо е 6π cm и е равен на обема на цилиндър, чиято височина е равна на радиуса на кълбото Лицето на околната повърхнина на цилиндъра е: А) 6π cm Б) 6π cm В) π cm Г) π cm II част 6 В ABC със страни AB = cm, AC = cm и BAC = 60 намерете дължината на медианата АМ (M BC) 7 Дължините на ръбовете на правоъгълен паралелепипед са в отношение : : 4, а най-голямата по площ стена е с 6 cm по-голяма от тази на стената с най-малка площ Намерете обема на паралелепипеда III част 8 Основата на тетраедър ABCD е равностранен ABC, a стената ABD e перпендикулярна на равнината на основата Намерете обема на тетраедъра, ако AD = 5 cm, BD = 8 cm и ADB = 60 6

27 ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА II СРОК ВАРИАНТ I част В ABC с A = 0, C = 05 и AC = 6 cm дължината на страната ВС е: А) cm Б) cm В) cm Г) cm В ABC със страни AC = 4 cm и BC = 6 cm отсечката CM = 0 cm е медиана Дължината на страната АВ е: А) 7 cm Б) 8 cm В) 9 cm Г) 0 cm M Околният ръб АМ на правилна шестоъгълна пирамида АВСDEFМ е два пъти по-голям от основния ръб АВ и сключва с основата ъгъл α с мярка: А) 0 Б) 45 В) 60 Г) 90 F E O D C А B 4 Лицето на основата на прав кръгов конус е 6π cm, a лицето на околната повърхнина е 0π cm Обемът на конуса е: А) π cm Б) 6π cm В) 6π cm Г) 48π cm 5 Кълбо k с радиус R = 5 cm и център О e пресечено с равнина λ Лицето на полученото сечение е π cm Разстоянието от О до λ е: А) cm Б) cm 5 В) cm Г) 6 cm II част 6 В ABC със страни AB = 6 cm, BC = 7 cm и CA = 8 cm намерете дължината на ъглополовящата АL (L BC) 7 Обемът на правилна четириъгълна призма е cm, а лицето на околната ѝ повърхнина е 4 cm Намерете дължината на диагонала на призмата III част 8 Основата на права призма ABCA B C е тъпоъгълен ABC със страни AB = 8 cm, BC = 7 cm и A = 60 Намерете обема на призмата, ако лицето на околната ѝ повърхнина е 80 cm 7

28

29 ОТГОВОРИ НА ВАРИАНТИТЕ ЗА ДИАГНОСТИКА НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА ЗА 0 КЛАС

30 НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР Вариант Г Б А В В S = 9 5cm a = S = 04 cm 8 Нека DH е височината на трапеца От правоъгълния AHD получаваме AH = AD DH = 8 те AB CD AH = 9 Тъй като AH, намираме AB = AH + CD = 6 За лицето на трапеца пресмятаме: AB CD 6 8 S h 7 04 cm Вариант Б Г В Г А S = 9 cm a = S = 0 cm 8 Нека DH е височината на трапеца От правоъгълния AHD получаваме AH = AD DH = 64 те AB CD AH = 8 Тъй като AH, намираме AB = AH + CD = За лицето на трапеца пресмятаме: AB CD 6 S h cm Вариант ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ В В В Г А P = ; x = x 8 Да положим y x x x Тогава y y x 0 0 Дефиниционното x y 0 0 множество на уравнението е y ; и се определя от решенията на системата y 0 Тогава y0 y y0 y y 0 y y y 8 y 9 y8 y 84 y 8DM Следователно уравнението има единствено решение y = 8 След връщане в полагането получаваме x x y x x x x 7 Вариант В В А Г Б P 4 x = 4 5 0

31 x 8 Да положим y x Тогава x x 0 y 0 y x Дефиниционното x y 0 0 множество на уравнението е y ; и се определя от решенията на системата y 0 Тогава y0 y y0 y y 0 y y y 8 y 9 y8 y 84 y 8DM Следователно уравнението има единствено решение y = 8 След връщане в полагането получаваме x x 4 y 8 0x 8 x x x 5 Вариант ПРОГРЕСИИ В Г А Г Г a = 4, c = x = q = ; 4 8 Тъй като a, c, a + b + c образуват аритметична прогресия, то c = a + a + b + c От това равенство получаваме c a b = 0 От друга страна b = aq и c = aq и след заместване и съкращаване на a, намираме q q = 0 Корените на това квадратно уравнение са q = ; 4 Вариант Б В В А А a = 8, c = 6 x = q = ; 8 Тъй като 5a, c, a + b + c образуват аритметична прогресия, то c = 5a + a + b + c От това равенство получаваме c 6a b = 0 От друга страна b = aq и c = aq и след заместване и съкращаване на a, намираме q q 6 = 0 Корените на това квадратно уравнение са q = ; Вариант 5 РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК Г Г В Г Б A 7 CL = R = cm

32 8 Означаваме AB = c и ABC = β В правоъгълния BHC: CH BH = BC CH = 0 = 8 = 6, BH = 6 cm, sin BC 0 5 и BH 6 4 cos Прилагаме косинусовата теорема за страната АМ в ABM: BC 0 5 AM AB BM AB BMcos 65 c 00 c 0 4 c 6c c = 0, c = 4, като решение е c = 0 От AB = 0 cm и BH = 6 cm намираме AH = 4 cm Тогава в правоъгълния AHC AC = AH + CH = = 60 и AC = 4 0 cm От синусовата теорема за ABC AC следва, че R sin и R AC cm sin 5 Вариант Г В A Г В A = 7 AL = 4 0 S ABC = 5 cm 8 От косинусовата теорема за AOB следва, че: AO BO AB 4 cos AOB 0 4 и AOB = 5 AO BO 4 Построяваме OH AB (OH = r е радиусът на вписаната окръжност) От SAOB AOBO 5 sin и SAOB ABOH r = = 0 0 следва, че r = = cm 0 5 Точката О е центърът на вписаната окръжност, АО и ВО са ъглополовящи на BAC и ABC Тогава AOB90 ACB 590 ACB ACB 45 и ACB = 90 abc Означаваме BC = a, AC = b и AB = c От r намираме abrc 0 cm 5 5 Тогава SABC pr abcr cm Вариант 6 ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА В Г Б В В 9 4 5, cm k = 7 cm; h = cm 8 Нека АВСМ е правилна триъгълна пирамида с основа равностранния ABC, основен ръб AB = a, околен ръб BM = l, височина MO = h и апотема MH = k За радиусите R на описаната и r на вписаната окръжности за ABC имаме съответно: R a 6 a 6 = = = cm и r = = = cm 6 6

33 От правоъгълните триъгълници ВНМ и ВОМ намираме: a MH BM BH k l 6 9 7, откъдето получаваме k = 7 cm; 4 MO BM BO h l R h и h = cm Вариант Г А А Г Г 5 cm a = cm; l = 5 cm 8 Нека АВСDМ е правилна четириъгълна пирамида с основа квадрата АВСD, основен ръб AB = a, околен ръб BM = l и височина MO = h Означаваме с H средата на ВС За радиусите R на описаната и r на вписаната окръжности за АВСD имаме съответно R = a a и r = От правоъгълните триъгълници НОМ и ВОМ намираме: OH OM r a cotg cotg r h cotg cotg 60 h BM = OM + OB a и l h R h 9 Вариант 7 ГОДИШЕН ПРЕГОВОР и a = cm; 965, l = 5 cm А Г В Б В S 8 = 785 CO : CD = 8 : AH = 60 8 От косинусовата теорема за ABC намираме BC AB AC AB ACcos и BC = Пресмятаме лицето SABC ABAC sin 60 BCAH AH AH Вариант Г В В В В S = 0 CL = 0 S ABC = 6 cm

34 8 Нека BN = x, CM = y и C = γ Тогава CN = x, AM = y, S MNC CNCM sin xysin, S xy ABC ACBC 9 sin sin, S = SMNC 9 и S 9 S 9 ABC = MNC = 4 = 6 cm Вариант ABC ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА I СРОК А А В Б Г K 0 = лева x = 0 a = d = 5 6 Ако началната сума е K 0, то след втората сума влогът ще бъде K K0 K0, Тогава K = K 0,0404, откъдето K 0 = лева Тъй като и двете страни на последното уравне- 7 Записваме уравнението във вида x x 5 ние са неотрицателни, след повдигане в квадрат получаваме еквивалентното уравнение: 4 x 5 x 0 x x5x5 x5 x 0 x 0 0 Корените на квадратното уравнение са x = 0 и x = 4, като x > 0, x < 0 Следователно ирационалното уравнение има единствено решение x = 0 x 4x80 0 x 0 8 Тъй като a, a 4 и a 8 образуват геометрична прогресия и a = a + d, a 4 = a + d и a 8 = a + 7d, то a4 aa8 a d ada 7d a d Сега от a 6 = 0 и a 6 = a + 5d = 6a получаваме a = d = 5 Вариант Г В Б Г В K 0 = лева x =, x = a = d = 5 6 Ако началната сума е K 0, то след втората сума влогът ще бъде K K0 K0, Тогава K = K 0,0609, откъдето K 0 = лева 7 Полагаме x 4x t, t 0 Тогава x x t t и x x Решаваме уравнението t t 6 t t 5 0 t 5 0, t 0 При t = намираме: x x x x0 x, x, които са търсените решения 4

35 8 Тъй като a, a и a 9 образуват геометрична прогресия и a = a + d, a 9 = a + 8d, то a aa a d a a 8d a d 9 Сега от a 5 = 5 и a 5 = a + 4d = 5a получаваме a = d = 5 Вариант ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА II СРОК Б В А Б Г AM = 9 V = 96 cm V = 5 cm 8 В ABD построяваме височината DН към страната АВ От (ABD) (ABC) следва, че DН е височината на пирамидата От косинусовата теорема за ABD намираме AB AD BD AD BDcos и AB = 7 cm От SABD ADBD 60 ABDH DH 58 sin 7 намираме DH = 58 = 7 AB Лицето на равностранния ABC e S = = 49 ABC cm, а обемът на тетраедъра V = SABC DH = = 5cm 4 7 Вариант Г Б В Б Б AL = 6 cm cm V = 60 cm Означаваме AC = x и прилагаме косинусовата теорема за страната ВС BC = AB + AC ABACcos x x x 8x50 x, x 5 При x = ABC е тъпоъгълен (тогава AB > AC + BC 64 > ), а при x = 5 триъгълникът е остроъгълен (AB < AC + BC 64 < ) По условие триъгълникът е тъпоъгълен, следователно AC = cm и периметърът на триъгълника е P = = 8 cm, а лицето B ACBC 60 8 sin 6 cm От равенството S = Ph за лицето на околната повърхнина намираме височината h на призмата: S 80 h = = = 0 cm P 8 Обемът на призмата е V = Bh = 6 0 = 60 cm 5

36 ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА 0 КЛАС ПЪРВИ УЧЕБЕН СРОК 8 СЕДМИЦИ Х ЧАСА СЕДМИЧНО = 6 ЧАСА по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Урочна единица за Очаквани резултати от обучението Методи на работа Забележки/ коментари Квадратни корени Действия с корени Преобразуване на изрази, съдържащи квадратни корени Входно равнище Тема за самоконтрол 4 Ирационални изрази 5 Преобразуване на ирационални изрази 6 Ирационални уравнения с един квадратен радикал 7 4 Ирационални уравнения с един квадратен радикал Упражнение 8 4 Ирационални уравнения с два квадратни радикала 9 5 Ирационални уравнения с два квадратни радикала Упражнение 0 5 Ирационални уравнения, които се решават с полагане 6 Ирационални уравнения, които се решават с полагане Упражнение Начален преговор Начален преговор Контрол Нови знания Нови знания Нови знания Упражнение Нови знания Упражнение Нови знания Упражнение Знае как се намира квадратен корен и основните свойства на квадратните корени Знае как се преобразуват изрази, съдържащи квадратни корени Отчитане на нивото на знания на учениците в началото на 0 клас Знае понятието ирационален израз и множеството от допустимите стойности (дефиниционното множество) на ирационален израз Знае как да рационализира изрази от вида f x f x и g x h x g x Знае определението за ирационално уравнение, решение на ирационално уравнение и примери за решаване на уравнения с един корен Надгражда и усъвършенства знанията за решаване на уравнения с един корен Знае да решава ирационални уравнения с два квадратни радикала чрез свеждане до еквивалентни уравнения или уравнения следствия Надгражда и усъвършенства знанията за решаване на ирационални уравнения с два квадратни радикала чрез свеждане до еквивалентни уравнения или уравнения следствия Знае да решава ирационални уравнения с подходящо полагане Надгражда и усъвършенства знанията за решаване на ирационални уравнения с подходящо полагане Прилага свойствата на квадратните корени Опростява изрази, съдържащи квадратни корени Писмена работа Прилага знанията за ирационален израз и множеството от допустимите стойности (дефиниционното множество) на ирационален израз за решаване на задачи Прилага знанията за рационализирането на ирационални изрази Прилага знанията за решаване на уравнения с един корен Затвърждава знанията за решаване на уравнения с един корен Прилага знанията за решаване на ирационални уравнения с два квадратни радикала Затвърждава знанията за решаване на уравнения с два квадратни радикала Прилага знанията за решаване на ирационални уравнения с подходящо полагане Затвърждава знанията за решаване на ирационални уравнения с подходящо полагане 6

37 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Урочна единица за Очаквани резултати от обучението Методи на работа Забележки/ коментари 6 Ирационални изрази Ирационални уравнения Тема за самоконтрол 7 Числови редици Начини за задаване на числови редици 4 7 Аритметична прогресия Формула за общия член на аритметичната прогресия 5 8 Аритметична прогресия Формула за общия член на аритметичната прогресия Упражнение 6 8 Свойства на аритметичната прогресия 7 9 Формула за сбора от първите n члена на аритметичната прогресия 8 9 Формула за сбора от първите n члена на аритметичната прогресия Упражнение 9 0 Геометрична прогресия Формула за общия член на геометричната прогресия 0 0 Геометрична прогресия Формула за общия член на геометричната прогресия Упражнение Свойства на геометричната прогресия Контрол Нови знания Нови знания Упражнение Нови знания Нови знания Упражнение Нови знания Упражнение Нови знания Знае понятията ирационален израз и множеството от допустимите стойности (дефиниционното множество) на ирационален израз, знае да решава ирационални уравнения с един и два квадратни радикала чрез свеждане до еквивалентни уравнения или уравнения следствия или чрез подходящо полагане Знае какво е числова редица и начините за задаване на числови редици Умее да намира членове на числови редици Знае какво е аритметична прогресия и формулата за общия член на аритметична прогресия Умее да прилага формулата за общия член за намиране на членове на аритметична прогресия Знае кога три числа образуват аритметична прогресия Знае свойството за сбора на равно отдалечени членове Знае формулите за сбор на първите n члена на аритметична прогресия Затвърждаване на знанията за формулата за сбор на първите n члена на аритметична прогресия Знае какво е геометрична прогресия и формулата за общия член Затвърждаване на знанията за формулата за общия член Знае кога три числа образуват геометрична прогресия Знае свойството за произведението на равно отдалечени членове Диагностика доколко умее да намира множеството от допустимите стойности (дефиниционното множество) на ирационален израз и да решава ирационални уравнения с един и два квадратни радикала чрез свеждане до еквивалентни уравнения или уравнения следствия или чрез подходящо полагане Прилага знанията си за намиране на членове на числови редици Доказва, че дадена редица е аритметична прогресия Прилага формулата за общия член за намиране на членове на аритметична прогресия Доказва, че дадена редица е аритметична прогресия Прилага формулата за общия член Прилага основните свойства на аритметичната прогресия Прилага формулите за сбор на първите n члена на аритметична прогресия в задачи Прилага формулите за сбор на първите n члена на аритметична прогресия Доказва, че дадена редица е геометрична прогресия Прилага формулата за общия член за намиране на членове на геометрична прогресия Доказва, че дадена редица е геометрична прогресия Прилага формулата за общия член за намиране на членове на геометрична прогресия Прилага основните свойства на геометричната прогресия 7

38 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Урочна единица за Очаквани резултати от обучението Методи на работа Забележки/ коментари тика 0 5 Централни тенденции мода, медиана и средноаритметично 6 Централни тенденции Упражнение 6 Тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли в интервала [0 ; 80 ] 7 Основни тригонометрични тъждества в интервала [0 ; 80 ] 5 8 Таблица за стойностите на тригонометричните функции от някои специални ъгли в интервала [0 ; 80 ] Нови знания Формула за сбора от първите n члена на геометричната прогресия Формула за сбора от първите n члена на геометричната прогресия Упражнение 4 Комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия 5 Проста лихва Сложна лихва 6 Практически задачи, свързани със сложна лихва 7 4 Практически задачи, свързани с лихва Упражнение 8 4 Прогресии Тема за самоконтрол 9 5 Описателна статис- Упражнение Нови знания Нови знания Нови знания Упражнение Знае формулата за сбор на първите n члена на геометрична прогресия Затвърждаване на знанията за формулата за сбор на първите n члена на геометрична прогресия Умее да прилага знанията за аритметична и геометрична прогресия в задачи Знае какво е лихвен период, проста и сложна лихва Знае формулата за намиране на сложна лихва Умее да определя лихви и нарастване на капитал Прилага формулата за сбор на първите n члена на геометрична прогресия в задачи Прилага формулите за сбор на първите n члена на аритметична прогресия в задачи Намира членове на редици, някои от които образуват геометрична или аритметична прогресия Намира неизвестни данни в задачи за лихва Определя лихви и нарастване на капитал Затвърждаване на знанията за лихви Контрол Проверка на знанията Писмена работа Нови знания Нови знания Упражнение Нови знания Нови знания 4 7 Основни тригонометрични тъждества в интервала [0 ; 80 ] Упражнение Упражнение Нови знания Знае какъв е предметът на статистиката Знае основните числови характеристики на вариационен ред Затвърждаване на знания за централни тенденции Знае тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и котангенс в правоъгълен триъгълник и дефиниция им с единичната (тригонометричната) окръжност Знае основните тригонометрични тъждества в интервала [0 ; 80 ] Надгражда и усъвършенства знанията за основните тригонометрични тъждества в интервала [0 ; 80 ] Знае стойностите на тригонометричните функции от някои специални ъгли в интервала [0 ; 80 ] Представя данни и намира вариационни редове Намира мода, медиана и средноаритметично Намира мода, медиана и средноаритметично Прилага знанията за тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и котангенс Прилага знанията за основните тригонометрични тъждества в интервала [0 ; 80 ] Затвърждава знанията за основните тригонометрични тъждества в интервала [0 ; 80 ] Прилага знанията за стойностите на тригонометричните функции от някои специални ъгли в интервала [0 ; 80 ] 6 8 Класна работа Контрол Проверка на знанията Писмена работа 8

39 по ред ВТОРИ УЧЕБЕН СРОК 8 СЕДМИЦИ Х ЧАСА СЕДМИЧНО = 6 ЧАСА Учебна седмица Тема на урочната единица Урочна единица за 7 9 Синусова теорема Нови знания 8 9 Решаване на произволен Нови триъгълник с знания помощта на синусовата теорема 9 0 Решаване на произволен триъгълник с помощта на синусовата теорема Упражнение Упражнение 40 0 Косинусова теорема Нови знания 4 Решаване на произволен Нови триъгълник с знания помощта на косинусовата теорема 4 Решаване на произволен триъгълник с помощта на косинусовата теорема Упражнение 4 Формули за медиани на триъгълник Формули за ъглополовящи на триъгълник 44 Формули за медиани на триъгълник Формули за ъглополовящи на триъгълник Упражнение 45 Формули за лице на триъгълник 48 4 Аксиоми за точките, правите и равнините в пространството Взаимно положение на две прави Упражнение Нови знания Упражнение Нови знания 46 Формули за лице на триъгълник Упражнение 47 4 Решаване на триъгълник Тема за самоконтрол Упражнение Контрол Нови знания Очаквани резултати от обучението Знае синусовата теорема Знае да решава произволен триъгълник с помощта на синусовата теорема Надгражда и усъвършенства знанията за решаване на произволен триъгълник с помощта на синусовата теорема Знае косинусова теорема Знае да решава произволен триъгълник с помощта на косинусовата теорема Надгражда и усъвършенства знанията да решава произволен триъгълник с помощта на косинусовата теорема Знае формулите за медианите и ъглополовящите в произволен триъгълник Надгражда и усъвършенства знанията за формулите за медианите и ъглополовящите в произволен триъгълник Знае различни основни формули за намиране на лице на триъгълник Надгражда и усъвършенства знанията за намиране на лице на триъгълник Знае основните тригонометрични тъждества и стойности на тригонометричните функции в интервала [0 ; 80 ], синусовата и косинусовата теорема, формули за медианите и ъглополовящите и различни формули за намиране на лице на триъгълник Има представа за аксиоматично изграждане на стереометрията Знае релациите успоредност, перпендикулярност и кръстосани прави 9 Методи на работа Прилага знанията за синусова теорема Прилага знанията за синусовата теорема за решаване на триъгълник Затвърждава знанията за решаване на произволен триъгълник с помощта на синусовата теорема Прилага знанията за косинусова теорема Прилага знанията да решава произволен триъгълник с помощта на косинусовата теорема Затвърждава знанията да решава произволен триъгълник с помощта на косинусовата теорема Прилага знанията за формулите за медианите и ъглополовящите в произволен триъгълник Затвърждава знанията за формулите за медианите и ъглополовящите в произволен триъгълник Прилага знанията за намиране на лице на триъгълник Затвърждава знанията за лице на триъгълник Диагностика на знанията за основните тригонометрични тъждества и стойности на тригонометричните функции в интервала [0 ; 80 ], синусовата и косинусовата теорема при решаване на триъгълник, формули за медианите и ъглополовящите и различни формули за намиране на лице на триъгълник Прилага знанията за релациите успоредност, перпендикулярност и кръстосани прави Забележки/ коментари

40 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица 49 5 Ъгъл между две прави в пространството 50 5 Аксиоми за точките, правите и равнините в пространството Взаимно положение на две прави Ъгъл между две прави в пространството Упражнение 5 6 Взаимно положение на права и равнина Перпендикулярност на права и равнина 5 6 Взаимно положение на права и равнина Перпендикулярност на права и равнина Упражнение 5 7 Ортогонално проектиране Разстояние от точка до равнина Ъгъл между права и равнина 54 7 Ортогонално проектиране Разстояние от точка до равнина Ъгъл между права и равнина Упражнение 55 8 Взаимно положение на две равнини Двустенен ъгъл Ъгъл между две равнини 56 8 Взаимно положение на две равнини Двустенен ъгъл Ъгъл между две равнини Упражнение 57 9 Призма Права призма 58 9 Призма Права призма Упражнение Урочна единица за Нови знания Упражнение Нови знания Упражнение Нови знания Упражнение Нови знания Упражнение Нови знания Упражнение 59 0 Пирамида Нови знания Очаквани резултати от обучението Знае определението за ъгъл между кръстосани прави Надгражда и усъвършенства знанията за основните начини за определяне на равнина в пространството и умее да намира ъгъл между кръстосани прави Знае определението и достатъчните условия за успоредност и перпендикулярност между права и равнина Разбира на конкретно ниво понятията необходимо условие, достатъчно условие и необходимо и достатъчно условие Надгражда и усъвършенства знанията за взаимните положения между права и равнина, обосновава невярност на твърдение с контрапример Знае какво е ортогонално проектиране и как се определя разстоянието от точка до равнина и ъгъл между права и равнина Надгражда и усъвършенства знанията да намира отсечки и техните проекции, на разстояния от точка до равнина и на ъгли между права и равнина Знае понятията двустенен ъгъл и линеен ъгъл на двустенен ъгъл и теоремите, свързани с успоредни равнини Надгражда и усъвършенства знанията да пресмята дължини на отсечки, свързани с успоредност на равнини и намиране на ъгли в случаи на пресекателни равнини Знае кое тяло се нарича призма, кои са нейните елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът ѝ Надгражда и усъвършенства знанията да намира повърхнина и обем на права призма Знае кое тяло се нарича пирамида, кои са нейните елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът ѝ 40 Методи на работа Прилага знанията за ъгъл между кръстосани прави в конкретни примери Затвърждава знанията за определяне на равнина в пространството и намиране на ъгъл между кръстосани прави Прилага знанията за успоредност и перпендикулярност между права и равнина Затвърждава знанията за взаимните положения между права и равнина Прилага знанията за ортогонално проектиране и разстояние от точка до равнина и ъгъл между права и равнина Затвърждава знанията да намира отсечки и техните проекции, на разстояния от точка до равнина и на ъгли между права и равнина Прилага знанията за двустенен ъгъл и линеен ъгъл на двустенен ъгъл и теоремите, свързани с успоредни равнини Затвърждава знанията да пресмята дължини на отсечки, свързани с успоредност на равнини и намиране на ъгли в случаи на пресекателни равнини Прилага знанията за призма, кои са нейните елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът ѝ Затвърждава знанията да намира повърхнина и обем на права призма Прилага знанията за пирамида, кои са нейните елементи, как се пресмятат повърхнината и обемът ѝ Забележки/ коментари

41 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица 6 Прав кръгов цилиндър 6 Прав кръгов цилиндър Упражнение Урочна единица за 60 0 Пирамида Упражнение Упражнение Нови знания 6 Прав кръгов конус Нови знания 64 Прав кръгов конус Упражнение Упражнение Упражнение 65 Сфера и кълбо Нови знания 66 Сфера и кълбо Упражнение 67 4 Елементи от стереометрията Тема за самоконтрол Упражнение Контрол Очаквани резултати от обучението Надгражда и усъвършенства знанията за повърхнина и обем на пирамида Знае кое тяло се нарича прав кръгов цилиндър, кои са неговите елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът му Надгражда и усъвършенства знанията за повърхнина и обем на прав кръгов цилиндър Знае кое тяло се нарича прав кръгов конус, кои са неговите елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът му Надгражда и усъвършенства знанията за намиране на повърхнина и обем на прав кръгов конус Знае кое тяло се нарича сфера/ кълбо, кои са неговите елементи, как се пресмятат повърхнината на сферата и обемът на кълбото и какво представлява сечението на сфера и кълбо с равнина Надгражда и усъвършенства знанията да намира повърхнина на сфера и обем на кълбо и на лица на сечения на кълбо с равнина Знае основни факти от общата стереометрия и да намира повърхнина и обем на изучаваните тела 68 4 Класна работа Контрол Диагностика на знанията за основните елементи от стереометрията и тригонометричните функции 69 5 Ирационални уравнения Годишен Систематизира знанията върху преговор преговаряната тема 70 5 Прогресии Годишен Систематизира знанията върху преговор преговаряната тема 7 6 Решаване на триъ- Годишен Систематизира знанията върху гълник 7 6 Изходно равнище Тема за самоконтрол преговор Контрол преговаряната тема Отчитане на нивото на знания на учениците при завършване на 0 клас Методи на работа Затвърждава знанията за пирамида и как се пресмятат повърхнината и обемът ѝ Прилага знанията за прав кръгов цилиндър, кои са неговите елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът му Затвърждава знанията за прав кръгов цилиндър, за неговите елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът му Прилага знанията за прав кръгов конус, кои са неговите елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът му Затвърждава знанията за прав кръгов конус, кои са неговите елементи и как се пресмятат повърхнината и обемът му Прилага знанията за сфера/ кълбо, за неговите елементи и как се пресмятат повърхнината на сферата и обемът на кълбото, какво е сечението на сфера и кълбо с равнина Затвърждава знанията за сфера/кълбо, неговите елементи, как се пресмятат повърхнината на сферата и обемът на кълбото, лица на сечения на кълбо с равнина Диагностика на знанията за основните елементи от стереометрията и на знанията за намиране на повърхнина и обем на изучаваните тела Писмена работа Затвърждава знанията Затвърждава знанията Затвърждава знанията Диагностика на знанията за основните теми на учениците при завършване на 0 клас Забележки/ коментари 4

42 Приложение УЧЕБНА ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА ДЕСЕТИ КЛАС (ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНА ПОДГОТОВКА) КРАТКО ПРЕДСТАВЯНЕ НА УЧЕБНАТА ПРОГРАМА Обучението по математика в Х клас е насочено към овладяване на базисни знания, умения и отношения, свързани с постигане на изискванията за резултатите от обучението по учебен предмет математика и с изграждане на ключови компетентности на ученика ОЧАКВАНИ РЕЗУЛТАТИ В КРАЯ НА КЛАСА Области на компетентности Числа Алгебра Фигури и тела Функции Измерване Логически знания Елементи от вероятности и статистика Моделиране Знания, умения и отношения В резултат на обучението си ученикът: извършва тъждествени преобразувания на ирационални изрази (съдържащи квадратни корени); намира числена стойност на ирационален израз; решава ирационални уравнения без параметър, съдържащи до два радикала; умее да намира елементите на аритметична и геометрична прогресия; знае синусова и косинусова теорема; умее да решава произволен триъгълник; прилага знания от тригонометрията в планиметрията и в стереометрията; знае: успоредност между права и равнина в пространството; успоредност между две равнини в пространството; перпендикулярност между права и равнина в пространството; перпендикулярност между две равнини в пространството; умее да декомпозира стереометрична задача на няколко планиметрични; умее да намира елементи на права призма, пирамида, цилиндър, конус, сфера и кълбо знае тригонометрични функции на ъгъл в интервала [0 ;80 ] и техните графики и свойства; умее да намира лице на триъгълник чрез подходяща формула; умее да намира лице на повърхнина и обем на права призма, пирамида, цилиндър и конус; умее да намира лице на повърхнина на сфера и обем на кълбо; може да конструира числови редици по дадено правило; знае аритметична и геометрична прогресия и техните свойства; решава практически задачи, свързани със сложна лихва разбира на конкретно ниво смисъла на кванторите за всяко и съществува и понятията необходимо условие, достатъчно условие и необходимо и достатъчно условие, на релациите следва и еквивалентност ; разграничава еквивалентни от нееквивалентни преобразувания при решаване на ирационални уравнения; преценява вярност, рационалност и целесъобразност при избор на подход в конкретна ситуация и умее да обосновава изводи; образува на конкретно ниво отрицание на просто съждение; умее да конкретизира общовалидно твърдение и обосновава невярност на твърдение с контрапример; умее да декомпозира стереометрична задача на няколко планиметрични знае понятията генерална съвкупност и извадка; умее да намира централните тенденции в данни мода, медиана, средно аритметично моделира процеси с прогресия; оценява съдържателно получен резултат, коректност на аргументи и ги интерпретира, предвижда в определени рамки очакван от моделирането резултат 4

43 УЧЕБНО СЪДЪРЖАНИЕ Теми Ирационални изрази Ирационални уравнения Ирационални изрази Преобразуване на ирационални изрази Ирационални уравнения с един квадратен радикал 4 Ирационални уравнения с два квадратни радикала 5 Ирационални уравнения, които се решават чрез полагане Компетентности като очаквани резултати от обучението знае понятието ирационален израз; може да определя допустими стойности на ирационален израз; умее да пресмята числена стойност на ирационален израз; може да извършва тъждествени преобразувания на ирационални изрази; умее да рационализира изрази от вида: може да решава ирационални уравнения без параметър: с най-много два радикала; с полагане; разбира на конкретно ниво смисъла на релациите следва и еквивалентност Нови понятия/знания Ирационален израз (радикал), допустима стойност на ирационален израз, числена стойност на ирационален израз, ирационално уравнение, решение на ирационално уравнение Прогресии Числови редици Начини за задаване на числови редици Аритметична прогресия Формула за общия член на аритметична прогресия Свойства на аритметичната прогресия 4 Формула за сбора от първите n члена на прогресия 5 Геометрична прогресия Формула за общия член 6 Свойства на геометричната прогресия 7 Формула за сбор от първите n члена на геометрична прогресия 8 Комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия 9 Проста лихва Сложна лихва 0 Практически задачи, свързани със сложна лихва знае понятието числова редица и понятията и свойствата, свързани с него; конструира числова редица по дадено правило; умее да определя дали една редица е монотонна; знае понятията аритметична и геометрична прогресия и техните свойства; умее да намира елементите на аритметична и геометрична прогресии; умее да решава комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия; умее да моделира с прогресия; знае понятието лихва и умее да моделира с него; разбира на конкретно ниво смисъла на кванторите за всяко и съществува ; умее съдържателно да интерпретира получен резултат; преценява вярност, рационалност и целесъобразност при избор на подхода в конкретна ситуация и умее да обосновава изводи Числова редица, крайна и безкрайна числова редица, член на числова редица, общ член на числова редица, номер на член на числова редица, растяща числова редица, намаляваща числова редица, монотонна числова редица, монотонност, рекурентна зависимост, аритметична прогресия, разлика на аритметична прогресия, геометрична прогресия, частно на геометричната прогресия, проста лихва, сложна (капитализирана) лихва, депозит (влог), лихвен период, лихвен процент, първоначален капитал, нараснала сума, кредит, рента, погасителна вноска, лизинг Статистика и обработка на данни Описателна статистика Централни тенденции мода, медиана и средно аритметично знае понятието генерална съвкупност; умее да намира мода, медиана и средноаритметично и знае тяхното значение; умее да извършва петчислено представяне на данните Данни, крайна генерална съвкупност, извадка, наредена извадка/вариационен ред, медиана, мода, размах (обхват), квартили 4

44 Теми 4 Решаване на триъгълник 4 Тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и котангенс в интервала [0 ;80 ] 4 Основни тригонометрични тъждества в интервала [0 ;80 ] 4 Таблица за стойностите на тригонометричните функции от някои специални ъгли в интервала [0 ;80 ] 44 Синусова теорема 45 Решаване на произволен триъгълник с помощта на синусова теорема основни задачи 46 Косинусова теорема 47 Решаване на произволен триъгълник с помощта на косинусова теорема основни задачи 48 Формули за медиани на триъгълник Формули за ъглополовящи на триъгълник 49 Формули за лице на триъгълник 5 Елементи от стереометрията 5 Прави и равнини в пространството Взаимно положение на две прави и ъгъл между тях 5 Взаимно положение на права и равнина Перпендикулярност на права и равнина 5 Ортогонално проектиране Ъгъл между права и равнина 54 Взаимно положение на две равнини Ъгъл между две равнини 55 Права призма 56 Пирамида 57 Прав кръгов цилиндър 58 Прав кръгов конус 59 Сфера и кълбо Компетентности като очаквани резултати от обучението знае определенията на основните тригонометрични функции и основните тъждества в интервала [0 ;80 ]; умее да намира стойностите на тригонометричните функции за някои специални ъгли, както и ъгъла по дадена стойност на функцията; знае и умее да прилага синусова и косинусова теорема за решаване на произволен триъгълник; знае и умее да прилага формулите за медиани и ъглополовящи в триъгълник; умее да преценява вярност, рационалност и целесъобразност при избор на подход за решаването на проблем знае основните начини за определяне на равнина в пространството; умее да намира линеен ъгъл на двустенен ъгъл; знае взаимните положения на две прави в пространството; умее да намира ъгъл между две кръстосани прави; умее да намира елементи на права призма пирамида, цилиндър, конус, сфера и кълбо; умее да намира лице на повърхнина и обем на права призма, пирамида, цилиндър, конус, сфера и кълбо; разбира на конкретно ниво смисъла на кванторите за всяко и съществува ; разбира на конкретно ниво понятията необходимо условие, достатъчно условие и необходимо и достатъчно условие и умее да ги прилага адекватно при конкретна ситуации; умее да конкретизира общовалидно твърдение и обосновава невярност на твърдение с контрапример; умее да образува на конкретно ниво отрицание на съждение; преценява вярност, рационалност и целесъобразност в конкретна ситуация и умее да обосновава изводи Нови понятия/знания Тригонометрична окръжност Равнина, успоредни равнини, пресичащи се равнини; пресечница на две равнини, двустенен ъгъл, линеен ъгъл на двустенен ъгъл, кръстосани прави, ъгъл между две кръстосани прави, успоредност между права и равнина, успоредност между две равнини, ортогонално проектиране, проекция, ъгъл между права и равнина, голяма окръжност на сфера Годишен брой часове в десети клас 6 учебни седмици по учебни часа седмично = 7 часа При реализация на програмата спазването на хронологията в разпределението на съдържанието е задължително Разпределението на съдържанието, включено в посочените в програмата подтеми (заглавия с двойна номерация), се прави по преценка на този, който я реализира (автори на учебници и учебни помагала, преподаватели) Необходимо е да се предвидят минимум 0% от хорариума за систематичен преговор и обобщение по възлови теми от учебното съдържание от VІІІ до Х клас 44

45 ПРЕПОРЪЧИТЕЛНО ПРОЦЕНТНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ЗАДЪЛЖИТЕЛНИТЕ УЧЕБНИ ЧАСОВЕ ЗА ГОДИНАТА: За нови знания до 4 часа до 60% За упражнения За преговор За обобщение Практически дейности За контрол и оценка (за входно и изходно ниво, за класни и за контролни работи и проекти) до 8 часа над 0% до 0% СЪОТНОШЕНИЕ ПРИ ФОРМИРАНЕ НА СРОЧНА И ГОДИШНА ОЦЕНКА: Оценки от устни изпитвания 5% Оценки от писмени изпитвания 0% Оценки от контролни и от класни работи 50% Оценки от други участия (работа в час, изпълнение на домашни работи, работа по проекти и др) 5% ДЕЙНОСТИ ЗА ПРИДОБИВАНЕ НА КЛЮЧОВИТЕ КОМПЕТЕНТНОСТИ, КАКТО И МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ Практически дейности, които могат да се реализират в класната стая: Да използват динамичен софтуер за демонстрация на свойствата на геометричните фигури и тела и тригонометричните функции, което спомага за придобиване на математическа компетентност и ключови компетентности: умения за общуване на чужди езици; основни компетентности в областта на природните науки и технологиите; дигитална компетентност; социални и граждански компетентности; инициативност и предприемчивост Да решават с помощта на калкулатор или подходящ софтуер практически задачи, свързани с понятието лихва Установяване на междупредметни връзки С информационните технологии там, където е необходимо по-добро онагледяване на учебния процес или формиране на определени практически умения може да се търсят възможности за провеждане на съвместни уроци, например при използване на конкретен динамичен софтуер При статистика и обработка на данни има възможности за връзка с химия и опазване на околната среда, физика и астрономия, биология и здравно образование, социология, икономика, финанси, предприемачество, селско стопанство, метеорология и др 45

46

47 ОТГОВОРИ, УПЪТВАНИЯ И РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ УЧЕБНИКА ПО МАТЕМАТИКА ЗА 0 КЛАС

48 КВАДРАТНИ КОРЕНИ ДЕЙСТВИЯ С КОРЕНИ а) 9 ; б) 0 ; в) ; г) а) 8; б) ; в) ; г) а) 4 0 < 9 ; б) 5 5 < 8 ; в) 7 > ; г) а) ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИЗРАЗИ, СЪДЪРЖАЩИ КВАДРАТНИ КОРЕНИ 4 ; б) 5 5 ; в) 5 0 ; г) а) 7 а) ; б) 6 ; б) 4; в) ВХОДНО РАВНИЩЕ ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ Г) Б) Б) В) А) 60 cm 4 8 Да означим дължината на бедрото AD с x Тъй като в ABCD може да се впише окръжност, имаме AB + CD = AD + BC От това равенство следва 0 + = x + BC, откъдето BC = x Нека точка H от AB е такава, че CH е перпендикулярна на AB Тогава триъгълник е правоъгълен, като BH = AB AH = 8, CH = AD = x и BC = x От питагоровата теорема получаваме: BC = CH + BH ( x) = x + 8 x =5 За лицето на трапеца получаваме: S AB CD h cm 4 ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ 5 Изразът x 6 x (отг Г) съществува при 5 0 x60 x и следователно няма смисъл при x 6 Дефиниционната област се определя от съществуването на x и неравенството x 0, те от x 0 и x (отг Г) Числената стойност на израза 5 x 9 y за x = 5 и y = 9 е равна на Тъй като x 0 за всяко x, то x винаги съществува и допустимите стойности на израза определят от неравенството x 0, те при x ; 00; 5 Изразът не е дефиниран за x = 0 и x = 5, за x = 5 стойността е 0, а за x = 4 е 48 x x се

49 5 ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ I начин Квадратният корен A x b x b съществува при xb0 b 0 и A x b x b, ако x = x Последното равенство е изпълнено при x 0 Следователно xbx b е вярно за x 0, b 0 (отг Б) II начин При b 0 b не съществува и В) и Г) отпадат Като вземем предвид, че xb 0, то равенството xb x b ще е възможно, ако x b 0 x 0 От b 0 и x 0 следва, че отговорът на задачата е Б) От и следва, че A A ; B A Полагаме x u, u 0 При x 0, x 4 получаваме u 0, u x x u u Тогава x x x x x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u uu uu u uu u u u u u x u u u u u u u u u u u u x x 6 ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ЕДИН КВАДРАТЕН РАДИКАЛ а) Повдигаме двете страни на уравнението x x в квадрат и получаваме: 4(x ) = x + 4x + 4 x 4x + 6 = 0 Полученото уравнение няма реални корени (D = 4 6 = ) и следователно ирационалното уравнение няма решение, те x б) x = ; в) x = 0 ; г) x а) xx x x Повдигаме двете страни на уравнението x x в квадрат и получаваме: 4(x + ) = x + 4x + 4 x 4x = 0 x = 0, x = 4 С проверка установяваме, че и двете числа са решения на даденото уравнение: x 0: 0 - вярно; x 4: 9 4 вярно б) xx70 xx7 Повдигаме двете страни на уравнението xx7 в квадрат и получаваме: x = x + 4x + 49 x + 5x + 50 = 0 x = 0, x = 5 49

50 С проверка установяваме, че само x = 0 е корен на ирационалното уравнение: x 0 : вярно; x 5: невярно в) x = ; г) x = 6; д) x 7 ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ЕДИН КВАДРАТЕН РАДИКАЛ УПРАЖНЕНИЕ а) От x 0 и x 4 0 следва, че x x4 0, равенството x x4 е невъзможно и уравнението няма реални корени б) Неравенствата x 0 (тогава съществува x ) и x 6 0 x x 6 са изпълнени единствено при x =, което е решението на задачата в) Уравнението x4 x няма реални корени, тъй като системата x 0 4x 0 г) Уравнението x x xx е равносилно на x x x От (x ) 0 следва, че равенството е възможно само при x = С проверка установяваме, че x = е решение 0 а) Дефиниционното множество на уравнението е DM : x и x x x 0 x x x 0 x DM, x DM, x DM Решенията на уравнението са x = и x = б) Уравнението е равносилно на x x I начин При x x x x x x x 0 x xx x0 x xx x 0 Корените на x + x = 0 са x = и x =, а на x x = 0: x = 0 и x = От x следва, че решение на задачата е само x = II начин x x x x Равенството е възможно само ако x 0 x Тогава x x x 0 и x = x При x решаваме уравнението x = x x(x ) = 0 x = 0, x =, като решение е само x = в) x = 0 и x = ; г) x = 0 и x = 5 x няма решение x 4 50

51 8 ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ДВА КВАДРАТНИ РАДИКАЛА а) Дефиниционното множество на уравнението е y [; ) и се определя от решенията на системата y 0 0 Тогава y0 y y0 y y 0 y y y 0 y 8 y 9 y8 y 84 y 8 ; Следователно уравнението има единствено решение y = 8 б) Уравнението е равносилно на x x 9 Повдигаме двете му страни в квадрат и получаваме уравнението x x 9 следствие на () То е равносилно на: x4 x 4 x94 x x4 x x Повдигаме в квадрат двете страни на (): 4( x) = (x + ) 4 4x = x + 4x + 4 x + 8x = 0 x = 0, x = 8 С проверка в () установяваме, че решение е само числото x = 0: при x = 0 равенството 9 е вярно; при x = 8 равенството 9 е невярно С проверка в даденото уравнение установяваме, че само x = 0 е корен в) x = 5; г) x а) x ; б) x 5 ; в) x ; г) x = ± 9 ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ДВА КВАДРАТНИ РАДИКАЛА УПРАЖНЕНИЕ а) Дефиниционното множество на уравнението е x [ ; ] Тогава x x x x x xx xx xx x x, x0 x x0, x0 ; 5 5 Корените на x x са x 0 ;, x 0 ; Следователно уравнението има единствено решение x 5 б) Дефиниционното множество на уравнението е x [ ; 9] Тогава x 9x x x9x x 6x x x При x последното уравнение е равносилно на x + = 9 6x + x x 8x + 7 = 0 x =, x = 7, като само x [ ; 9] и x Следователно уравнението има единствено решение x = Забележка Кое от числата x = и x = 7 е корен на даденото уравнение може да установим с директна проверка, без да се налагат ограниченията x [ ; 9] и x Числото x = е решение, тъй като равенството 8 е вярно, докато при x = 7 се получава невярно числово равенство 8 в) x = ; г) x = 4 а) x = ; б) x = 6, x = 9; в) x =, x = 4; г) Равенството x x x x x 0 е възможно само, ако и трите корена приемат едновременно стойност 0 Това е изпълнено само при x = 5

52 0 ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ, КОИТО СЕ РЕШАВАТ С ПОЛАГАНЕ x x а) В уравнението x x полагаме u x, u 0 Решаваме дробното уравнение: x u u u 0 u 0, u 0 u x x От u = намираме 5 x x x x 0 с корени x,, x x които са решенията на даденото уравнение б) Уравнението е равносилно на 5x 5x 5x 5x9 0 Полагаме 5x 5x9 u, u 0 и получаваме: u + u = 0 u + u = 0 u = 4 < 0, u = > 0 От 5x 5x9 намираме 5x 5x + 9 = 9 x x = 0 x = 0, x = Следователно уравнението има две решения: x = 0 и x = x в) Полагаме u, u 0 и получаваме уравнението u x u + u = 6 u + u 6 = 0 u =, u = (u < 0 < u ) 6, което при u > 0 е равносилно на u x x От x x x x 4 4, намираме, че уравнението има единствен корен x = 5 x г) 5x 4x 0x x4 0x x6 0x x 4 Полагаме 0x x4 u, u 0 Тогава 0x x + 4 = u и получаваме квадратното уравнение u = u u u + = 0 u =, u = Двата корена са положителни числа Заместваме ги в равенството 0x x + 4 = u При u = : 0x x44 0x x0 x 0, x ; 0 при u = : 0x x4 0x x0 x, x4 0 Полагаме x x4 u, u0 Тогава x + x + 4 = u и получаваме квадратното уравнение u 4 + u = 6 u + u 0 = 0 u = 6, u = 5 (u < 0 < u ) Заместваме u = 5 в равенството x + x + 4 = u x + x + 4 = 5 x + x = 0 Полученото уравнение има корени x и x (D = 69), чийто сбор е x b x a Полагаме u 9x 6x, u 0Тогава () 9x + 6x + = u, откъдето изразяваме 9x + 6x = u При u 0 решаваме уравнението u u u u 9 u u4 0 с корени u = 7 < 0 и u = 6 > 0 Заместваме u = 6 в () и получаваме 9x 6x 6 x x0 x, x, които са търсените решения 5

53 ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ, КОИТО СЕ РЕШАВАТ С ПОЛАГАНЕ УПРАЖНЕНИЕ 4x x 5 а) В уравнението x 4x полагаме u, u 0 4x x 5 Решаваме дробното уравнение: u u 5u0u, u, като u u > 0 и u > 0 са решения 4x 4x От u = намираме 4 4x 4x 4 0 x 4 x x x, а от u = получаваме 4x 4x 6x x 5x x x x 4 5 б) Полагаме u = x x Тогава u u9 u u u9 u u 6 u u u u 6u9 u 8u70 u, u 7 Числото u = е решение, тъй като равенството 8 е вярно, докато при u = 7 се получава невярно числово равенство 8 От u = x x = x x + = 0 намираме x = и x = в) x = 0 г) Уравнението x 4 4 x x x представяме във вида x 4 x x 4 Полагаме x 4 u, u 0 и получаваме уравнението u 4, което при u > 0 е равносилно на x u u + u = 4u u 4u + 4 = 0 (u ) = 0 u = x Тогава x x u 4 x 4x x x x x x Следователно ирационалното уравнение има единствено решение x = x + x = ; x x а) x = 9; б) 8; в) x ; x ; г) x ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ В Г А Г Б A x 4 ; x x = 6 8 Уравнението е равносилно на x 0x x Повдигаме двете му страни в квадрат и получаваме: x 0x + = x x 0x + = 8 8x + x x + x + 4 = 0 x = 6, x = 4 С проверка установяваме, че решение е само числото x = 6: при x = 6 получаваме вярно числово равенство; при x = 4 получаваме невярно числово равенство 5

54 ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ НАЧИНИ ЗА ЗАДАВАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ 5 За да е намаляваща редицата, трябва да е изпълнено неравенството a n > a n Тогава a n > a n, откъдето получаваме a n < 0 Следователно всички членове на редицата са отрицателни и a < 0 4 АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ ФОРМУЛА ЗА ОБЩИЯ ЧЛЕН НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ 4 а) От a 0 = a + 9d и a = a + d получаваме системата a d 9 След изваждане получаваме d = 6, откъдето d = и тогава a a d 58 = 4; б) От a 8 = a + 7d и a = a + 0d получаваме системата a d 7 5 След изваждане получаваме d = 0, откъдето d = 0 и тогава a a 0d 5 = 75 5 Ако d > 0, имаме a n = a n- + d > a n- и следователно редицата е растяща Ако d < 0, имаме a n = a n- + d < a n- и следователно редицата е намаляваща 6 Броят на задачите през всеки от дните образуват аритметична прогресия с първи член a = и разлика d = Тогава a = a + d = + = 7 Да разгледаме два последователни члена на тази редица: a n = xn + y и a n+ = x(n + ) + y За тяхната разлика имаме a n+ a n = x(n + ) + y xn y = x Това означава, че разликата на всеки два последователни члена на редицата е равна на x, те редицата е аритметична прогресия 5 АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ ФОРМУЛА ЗА ОБЩИЯ ЧЛЕН НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ УПРАЖНЕНИЕ а) Тъй като a a = d, то d = 7 и тогава a = a d = ; б) Тъй като a 0 a 7 = d, то d = 0,75 и тогава a = a 7 6d = 7,75; в) Тъй като a a = 9d, то d = 9 и тогава a = a d = 8; г) Тъй като a 89 a 56 = d, то d = 5 и тогава a = a 56 55d = 44 а) Тъй като 6 = a a 5 = 6d то d = Сега от 50 = a + a 7 = a + 48d получаваме a = ; б) Тъй като 9 = a 00 + a 0 = a + 99d и 57 = a 77 + a 88 = a + 6d, след изваждане получаваме 6 = 6d, те d = От първото уравнение намираме a = 4 От 8d = a 0 a = 6 получаваме d =, откъдето a = a d = 0 Търсим n, за което a n = a + (n )d = 0 + (n )( ) = 0 От това равенство намираме n = 66 5 Броят на произведените през всеки месец автомобили образува аритметична прогресия с първи член a = 000 и a = 550 Тогава a a = 550 = d, откъдето d = 50 6 Тъй като 6d = a 7 a = 8, то d = и останалите членове са,, 4, 7, 0 7 От a n + a n+ = a + (n )d =, + (n )0,5 =,7 получаваме n = 8 От 4 = a + a + a 4 + a 5 = 4a + 8d = 4(a + d) = 4a следва, че a = 6 54

55 6 СВОЙСТВА НА АРИТМЕТИЧНАТА ПРОГРЕСИЯ а) От x = + 5 намираме x = 4; б) От (x) = x + 8 намираме x = ; в) От 7 = (x ) + (x + 6) намираме x = 5; г) От ( ) = x + 4x намираме x + x + = 0, те x = ; д) От = 6 + x намираме x = 6, те x = 4 или x = 4; е) От 5 = x + x получаваме x + x 0 = 0 Тъй като x + x 0 = (x )(x + x + 5), то x = е единственото решение а) Тъй като a = и a 4 = 9, то d = a 4 a =, откъдето d = 4 Следователно x = + ( 4) = и y = + ( 4) = 5; б) От (x + ) = x + y и y = (x + ) + x получаваме x = y 4 и x + = y Следователно x = 6 и y = 0; в) От y = x + x и 4x = y + 5 получаваме x = y и 4x = y + 5 Следователно x = и y = ; г) От (x y) = (x + y) + (x + ) и (x + ) = (x y) + получаваме y = и x = 5 y Следователно x = 6 и y = а) От a 7 + a = a + 6d = (a + 8d) = a 9 получаваме a 9 = 8; б) От a 8 + a 0 = a + 6d = a 7 + a получаваме a 8 + a 0 = 8; в) a 5 + a 6 + a + a = 4a + d = (a 7 + a ) = 6 4 a + a + a + a = 4a + 4d = 4(a + 6d) = 4a 7 = 8 5 a 4 + a 9 + a 57 + a 7 = 4a + 596d = (a + 98d) = (a 00 + a 00 ) = 4 6 От ( ) = x + y и ( x) = 8 + y 6 получаваме x + y = 4 и x + y = Следователно x = 8 и y = 4 7 Тъй като a = и a 7 = 9, то 6d = a 7 a = 0, те d = 5 Числата са 6,, 4, 9 и 4 8 Тъй като b = a + c и y = x + z, то (b + y) = a + c + x + z = (a + x) + (c + z), което означава, че a + x, b + y и c + z образуват аритметична прогресия 9 От (x + ) = x x 6 получаваме уравнението x + x x + = 0 Тъй като x + x x + = (x + )( x x + 4), единственото решение е x = 7 ФОРМУЛА ЗА СБОРА НА ПЪРВИТЕ n ЧЛЕНА НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ a a a a a 9d a d а) S9 9 8; б) S ; в) S0 0 85, ; г) S a n d От S ( ) S n n n n( n) d изразяваме a ; n а) a ( ) 8 ; б) a 8, 5; в) a ; г) a

56 a n d От S ( ) S n n n na изразяваме d nn ( ) а) d ; б) d ; в) d ; г) d = = , a n d 4 От S ( ) n n получаваме dn + (a d)n S n = 0 Положителните корени на това квадратно уравнение са решения на задачата а) n + 5n 56 = 0 с корени n = 7 и n = 8; б) 8n 4n 04 = 0 с положителен корен n = 6; в) 4n 4n 440 = 0 с положителен корен n = ; г) 5 n n7 0 с положителен корен n = ФОРМУЛА ЗА СБОРА НА ПЪРВИТЕ n ЧЛЕНА НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ УПРАЖНЕНИЕ a 7d a d a d а) S9 8 5 ; б) S 47 ; в) S 85 ; a 6d г) S7 7 9 ( 6) а) a =, d = и от a n = + (n )( ) = 6 намираме n = 0 От тук S ; 7 5 б) a = 7, d = и от a n = 7 + (n ) = 5 намираме n = 8 От тук S a n d От S ( ) n n получаваме dn + (a d)n S n = 0 Положителните корени на това квадратно уравнение са решения на задачата а) 5n n 4 = 0 с положителен корен n = 8; б) n n5 0 с положителен корен n = 4 4 a n d 4 От S ( ) S n n n n( n) d изразяваме a n 09 а) a ; б) a, 5 0 a n d 5 От S ( ) S n n n na изразяваме d nn ( ) 7 а) d = = 98 ; б) d a a5 a5 6 а) От 5 S5 5 5 намираме a 5 = 8; a б) От a4 a4 S4 4 намираме a 4 = 4 a a 7 7 От 49 S7 7 намираме a + a 7 = 4 и понеже a 4 = a + a 7, то a 4 = 7 ( ) 0d 8 От 77 S намираме d = и следователно a 5 = + 4 = 5 9 а) Тъй като S 5 = S 6, то a 6 = 0 и следователно 0 = 8 + 5d, те d =,6; б) Тъй като S 0 = S, то a + a + a = 0 и следователно 0 = a + d, = a + ( ), те a =

57 9 ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ ФОРМУЛА ЗА ОБЩИЯ ЧЛЕН НА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ а) a n = ( ) n ; б) a n = 7( 7) n n ; в) a n 5 ; г) a n =,50 n а) a = = 4, a = 0 = 04, a = = 4096; б) a = 7, a = 4, a = 87 а) a ; б) q = 4 5 a8 5 4 а) От q = = 4 = получаваме q = и следователно a = ; a a5 б) От q получаваме q a 8 и следователно а = 80 5 a 8 = 7 = 8 0 ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ ФОРМУЛА ЗА ОБЩИЯ ЧЛЕН НА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ УПРАЖНЕНИЕ а) a = 7 =4, a = 7 = 8, a 4 = 7 = 56; б) a = 4 = 8, a = 6 =, a 4 = 64 = ; в) a = 0,56 =, a = 0,56 = 8, a 4 = 0,56 = 08; г) a =, a =, a 4 = 9 a a a5 a4 a6 a а) q = = и a = = 5; б) q и a 4 ; в) q 7, те q = и a ; a q a4 q a q 9 4 a a8 г) q = = 0000, те q 0 и a 7 7 a8 q 0 а) Решаваме системата a aq 4 с разделяне на двете уравнения и получаваме a = и q = ; aq aq 4 5 aq aq 4 б) Решаваме системата с разделяне на двете уравнения и получаваме а 4 aq aq 4 = и q = 4 От q n = 4 5 От q a 8 следва, че q = и a Сега от 04 a a = = 4 следва, че q = и а a = 6, а = 8, а 4 = 54, а 5 = От 5 n + 5 n = 40 получаваме n = 48, откъдето n = 5 0 n n4 a n следва, че 7 От aa 5 a q aq a следва, че а = 4 8 От a + b + c =, abc = 7 и b = ac получаваме b = 7 Следователно b = и от a + c = 0 и ac = 9 намираме a =, c = 9 или a = 9, c = 57

58 СВОЙСТВА НА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ а) От x = 4x получаваме x = 4; б) От (0 + x) = (x )( 7) получаваме x + 47x + 46 = 0, откъдето x = или x = 46; в) От 9x = (x + ) получаваме x 4x 4 = 0, откъдето x = или x ; г) От ( ) = x получаваме x ; д) От (x + ) = x (x + ) получаваме x = ; е) От (5x) = x 4 получаваме x = ±5 a4 а) Тъй като q = = 8, то q = и следователно x = 6, y = ; a б) Решаваме системата ( ) x xy чрез повдигане на първото уравнение на втора степен и заместваме в y 8x( x ) y = 8x(x + ) Получаваме x + = x, откъдето x =, y = 8; в) От второто уравнение на системата y x = получаваме y = 4, след което от първото намираме x ; 4x = x y г) От второто уравнение на системата xy x ( x y ) 4 получаваме x = ±y и след заместване в първото x 4x y намираме x = 6, y = или x =, y = 6 а) От 8 = aa 8 0 = a q = a9 следва, че a 9 ; б) a 7 a = a 8 a 0 = 8; в) От a 5 a = a 6 a = a 8 a 0 = 8 следва, че a 5 a 6 a a = 64 4 Тъй като a = a a, то a a a 5 a 6 = 49 = От a a 7 = a 7 a = a 0 a 0 = следва, че a a 7 a a 7 = = 44 6 Тъй като a = 0 и a 9 = 80, то q a = = 8, откъдето q a Тъй като by by ( ac)( xz) ( ax)( cz), то ax, by и cz образуват геометрична прогресия 8 От (x + y) = x(x+y) следва, че x =, и от y = x(x+y) = y + получаваме y = или y = 0,5 9 От (x + ) = (x + )(x + x ) получаваме x x 4 = 0, те (x )( x + x + ) = 0 или x = ФОРМУЛА ЗА СБОРА ОТ ПЪРВИТЕ n ЧЛЕНА НА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ Със заместване във S a q n n q получаваме: а) S 64 0 = 047 ; б) S 5 4 ; в) S 4 = ; г) S 7 = 5 4 От a S q n q n получаваме: а) a 8 6 = б) a = 7 58

59 q а) От 4 ( q ) намираме q 4 q ; б) От 60 4 q 4( q q q ) получаваме q q + q + q 4 = 0 (q )(q + q + 7) = 0, те q = 4 От n намираме n = 4, откъдето n = 5 5 От 7 S 4 a или 6 55 q намираме ( q)( q)( q) 0, те q = q или q Тогава S S 4 5 q q ФОРМУЛА ЗА СБОРА ОТ ПЪРВИТЕ n ЧЛЕНА НА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ УПРАЖНЕНИЕ Със заместване във S a q n n q получаваме: 5 а) S = 5; б) S 4 = 5; в) S 4 = 4; г) S 5 = 47; д) S 6 = 89; е) S = 4; ж) S 7 = 89; з) S 4 = От a S q n q n получаваме: а) a = ; б) a = 8 а) От a + a q = и a + a q + a q = 9 след разделяне получаваме (q + ) = 0, те q = Тогава a = и S 4 = 5; б) От S q q 5 S q q q получаваме q = 4 или q 4 5 Тогава S = или S 4 = 50 4 а) От a ( + q + q ) = S следва q + q = 0, откъдето q = (q ); б) От a ( + q + q + q ) = S 4 следва q + q + q 4 = 0, откъдето (q )(q + q + 7) = 0 или q = 5 а) От a ( q 4 ) = и a (q 5 q) = 8 след разделяне получаваме q = 4 Тогава a ; 55 б) От a ( + q q ) = 5 и a (q + q 4 q 5 ) = 40 след разделяне получаваме q = Тогава a = 4 КОМБИНИРАНИ ЗАДАЧИ ОТ АРИТМЕТИЧНА И ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ От a + b + c = 8 и a + c = b следва b = 6 Тогава a + c = и 6 = a(c + 8), откъдето след заместване c = a получаваме a = или a = 8 Числата са, 6, 0 или 8, 6, 6 След заместване на y = x 7 в (x ) = 7(y + 5) получаваме x 6x + 5 = 0, те x = или x = 5, като само x = 5 дава решение y = Първото условие дава, че числата са a, a, 4a и от второто условие следва a + 4a = (a +), те a = 6 Числата са 6,, 4 4 От 0 ( n ) 0 n получаваме n + 09n 409 = 0 с корени n = и n < 0 59

60 а) Увеличението е 5 ПРОСТА ЛИХВА СЛОЖНА ЛИХВА p 5 K 00, p 5 = = 85 лева; б) Увеличението е K 00 00, = 7400 = 85 лева 00 От 000 = p 5000 намираме p = 4 00 От = K получаваме K = лева 00 4 След първата година лихвата е 600 лева, след втората година е 6 лева и след третата година е 64,4 лева Общо влогът е нараснал с 86,4 лева 5 От =, K намираме K лева 00 6 Тъй като,0 4 =, 5508, то влогът ще нарасне с,6% 7 От 5 000, и , следва, че лихвата от първия влог е по-голяма 4 Сумата е станала ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ЛИХВА 5 67 и следователно е нараснала с 67 лева От първия влог лихвата е 000 5, , лева 6 лева, а при втория Погасителната вноска е 405 = 0 9 лева , 08, лева годишно Общо ще се върне сума от 08, 4 Не! От първия влог се получава лихва от %0 000 = 900 лева Погасителната вноска по заема е , 05, лева 05, 7 ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ЛИХВА УПРАЖНЕНИЕ Лихвата по първият влог е 5, = 500 лева, а лихвата по вторият е = Общо за телевизора са платени 060 = 800 лева и тази сума е 0% от цената без оскъпяване Следователно 0 x = 800, откъдето x = 500 лева , 056, Годишната вноска е равна на лева, те на месец приблизителната вноска е, лева Доходът трябва да бъде = 760 лева 4 От K,0 5 = K намираме K лева 5, 60

61 ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЗА ЪГЛИ В ИНТЕРВАЛА [0 ; 80 ] а) не; б) не; в) да; г) да; д) не; е) да; ж) да; з) да а) ; б) 0 ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ТЪЖДЕСТВА ЗА ЪГЛИ В ИНТЕРВАЛА [0 ; 80 ] а) Тъй като tgα < 0, то α (90 ; 80 ) От sin определяме sinα = cosα и заместваме в основното тригонометрично тъждество: cos sin cos 4cos cos 5cos cos Тогава cos и sin б) Тъй като cosα < 0, то α (90 ; 80 ) От sin α + cos α = sin cos sin 9 9 и α (90 ; 80 ) следва, че cosα > 0 и sin 5 Тогава tg sin 5 cos 4 ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ТЪЖДЕСТВА ЗА ЪГЛИ В ИНТЕРВАЛА [0 ; 80 ] УПРАЖНЕНИЕ sin 90tg cos sin tg cotg 80 tg cotg cos coscos sin coscos sin cos coscos coscos cos cos cos cos80 sin cos 80 sin cos A sinsin 90 sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos а) B = 6 5 ; б) B 6 5 ; в) B = 5 ; г) Тъй като tgα < 0, то α (90 ; 80 ) От sin определяме sinα = cosα и заместваме в основното cos тригонометрично тъждество: sin cos 4cos cos 5cos cos 5 Тогава cos 5, sin и B 5 sin cos

62 5 ТАБЛИЦА ЗА СТОЙНОСТИТЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ ОТ НЯКОИ СПЕЦИАЛНИ ЪГЛИ В ИНТЕРВАЛА [0 ; 80 ] От това, че хипотенузата е два пъти по-голяма от един от катетите следва, че ъгълът срещу този катет е 0, а срещу другия катет 60 Мерките на външните ъгли на триъгълника са 50, 0 и 90 и cos50, cos0 и cos90 = 0 При C = 0, то A = B = 75, а ако C = 50, то A = B = 5 а) От cos0 = cos (80 50 ) = cos50 следва, че sin 50 + cos 0 = sin 50 + cos 50 = 4 4sin 0cos5 Тогава A 6 sin 50 cos 0 б) От cos70 = cos (80 0 ) = cos0 следва, че cos0 + cos70 = cos0 cos0 = 0 cos0cos70 0 Тогава B 4cos 0sin5 4 sin sin 5 sin90 sin50 в) При α = 0 C cos cos 4 cos90 cos0 0 6 СИНУСОВА ТЕОРЕМА От ACB = 0 и AL ъглополовяща в равнобедрения ABC следва, че BAC = 0, LAC = 5 и ALC = 45 Прилагаме синусовата теорема за ALC: AL AC ACsin AL sinacl sin ALC 0 6 6cm sin 45 Нека в ABC A = 8, B = 7, а R =0 cm е радиусът на описаната около триъгълника окръжност Тогава C = 80 (A + B) = 80 (8 + 7 ) = 60 е средният по-големина ъгъл, а АВ е средната по големина страна От синусовата теорема намираме: AB Rsin C 0 sin cm Нека в остроъгълния ABC BAC = α, 0 < α < 90 BC BC От синусовата теорема намираме R sin sin R и α = 60 4 Прилагаме синусовата теорема в ABC: AB R C AB R sin Тогава C = 0 или C = 50 Но по условие АВ е най-голямата sin C R R страна в триъгълника, от което следва, че C = 50 6

63 7 РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА СИНУСОВАТА ТЕОРЕМА По условие CD = AC В правоъгълния ADC sin A = CD = AC Тогава A = 0 = B и ACB = 0 От синусовата теорема за ABC намираме AC BC R sin 0 cm и AB Rsin 0 cm В правоъгълния ADC sin A = CD = AC, AD = AC CD = 9 4 = 5 и AD = 5 Тогава AB = AD = 5 и от синусовата теорема за ABC намираме: BC R R sin A 9 4 и AB R ACB AB sin sin ACB R 9 9 Нека R и R са радиусите на описаните окръжности съответно около ABC и AIB Точката I е пресечна C точка на ъглополовящите в ABC и AIB AB Тогава R R sin 60 cm и AB 5 5 RR cm sin0 8 РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА СИНУСОВАТА ТЕОРЕМА УПРАЖНЕНИЕ Нека R =7 cm е радиусът на описаната около ABC окръжност, а BAC = α От тъждеството sin α + cos α = намираме sin cos 6 и sin От синусовата теорема следва, че BC Rsin 7 4 cm 7 От синусовата теорема за BMC намираме BC = R BMC sinbmc = 00,6 = cm От AMC = 80 BMC следва, че sinamc = sinbmc = 0,6 Тогава в AMC AC = R AMC sinamc = 50,6 = 8 cm BC От синусовата теорема намираме: R BC Rsin cm sin 60 По условие AC AB = AC CL и от = (свойство на ъглополовящата AL) следва, че AB BL CL BL = и CL = 4 = 8 cm 4 От MCA= AC (периферен ъгъл) и ABC = AC (вписан ъгъл) следва, че ABC = 45 AC От синусовата теорема за ABC намираме: R AC 0 0 cm sin 45 6

64 BC BC 5 Прилагаме синусовата теорема в ABC: d sin BAC sin BAC d Тогава BAC = 45 или BAC = 5 Но по условие ВС е най-голямата страна в триъгълника, от което следва, че BAC = 5 6 От N k следва, че ANB = 90 Тогава в ANC NAC = 90 ACN = 45 От синусовата теорема за AMN намираме: MN ABsin MAN 6 sin cm 7 От ABC = ADC = 90 следва, че точките A, B, C и D лежат на една окръжност с диаметър AC = 0 cm Тъй като точката C се намира на равни разстояния от правите AB и AD, то AC е ъглополовяща на BAD Тогава BAD = BAC = 45 От синусовата теорема за ABD намираме: BD Rsin 450sin cm 8 Ще докажем, че CAD = 0 I начин От CD = R следва, че CD 60 и CAD < CD 0 II начин От синусовата теорема за ACD следва, че CD R CAD CD R sin и CAD = 0 sin CAD R R Тогава ABC = BAD = 45 и прилагаме синусовата теорема за ABC: AC R AC Rsin 45R R sin 45 9 КОСИНУСОВА ТЕОРЕМА От косинусовата теорема за страната АС намираме: AC AB BC AB BCcos 60 4 и AC = cm Мярката на C може да намерим от косинусовата теорема: AC BC AB cos C 4 0 и C = 90 ; AC BC или от синусовата теорема: AB AC C AB sin B sin и C = 90 ; sinc sin B AC или от обратната теорема на Питагор: от AC + BC = AB следва, че C = 90 От косинусовата теорема в AMC и ABC последователно намираме: AM AC CM cos A AM AC 46 4 ; BC AB AC AB ACcos A и BC = cm 64

65 Нека AB = x От косинусовата теорема за страната ВС намираме: BC AB AC AB AC 05 x 6 x4 cos x 4x90x, От x > 0 следва, че AB cm 40 РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА КОСИНУСОВА ТЕОРЕМА Означаваме AC = x и прилагаме косинусовата теорема за страната ВС: BC = AB + AC ABACcos x x x 8x50 x =, x = 5 При x = ABC е тъпоъгълен (тогава AB > AC + BC 64 > ), а при x = триъгълникът е остроъгълен (AB < AC + BC 64 < ) Следователно AC = 5 cm Нека в ABC AC =, BC = и C = 0 От косинусовата теорема получаваме AB = BC + AC BCACcos0 = и AB = От AB = BC = следва, че A = C = 0 и B = 0 Следователно ABC е равнобедрен и тъпоъгълен (отг А) I начин Нека в ABC AC = 0 cm, BC = 0 cm, C = 60, а R е радиусът на описаната около триъгълника окръжност Прилагаме последователно косинусовата и синусовата теорема за страната АВ: AB = AC + BC ACBCcos60 = , AB AB AB = 00 = 0 cm и R R sinc 0 0 cm (отг В) sin 60 II начин Нека М е средата на ВС Тогава CM = MB = 0 cm, AMC е равностранен (AC = CM и C = 60 ) и AM = 0 В ABC АМ е медиана и от AM = BC следва, че BAC = 90 и R = BC = 0 cm (отг В) 4 а) c = 7 cm; б) c = 4 cm; в) c = 5 cm ; г) c = 5 cm 5 а) α = 60 ; б) α = 90 ; в) α = 0 ; г) α = 45 4 РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА КОСИНУСОВАТА ТЕОРЕМА УПРАЖНЕНИЕ Означаваме страните на триъгълника с а = x, b = x, c = x +, където x > е цяло число От неравенството на триъгълника a + b > c намираме: x + x > x + x > Като вземем предвид, че a < b < c, триъгълникът ще е тъпоъгълен тогава и само тогава, когато a + b < c (x ) + 4x < (x + ) x x + + x < x + x + x 4x <0 65

66 Решенията на последното неравенство са 0 < x < 4 Но от x > следва, че търсеното число е от интервала < x < 4 Единственото цяло число в този интервал е x = Страните на триъгълника са a = 4, b = 6, c = 8 Най-големият ъгъл на този триъгълник е срещу най-голямата страна c = 8 AC BC AB Следователно cos C AC BC Нека CD = x От ADC = ABC = 60 (вписани ъгли) и косинусовата теорема за ADC намираме: AC CD AD CD ADcos 609 x 5 x 5 x 5x 6 = 0 x =, x = 6 Следователно CD = cm (отг В) Да означим BAC = ACD = α (кръстни ъгли) От ACD намираме: AC CD AD 6 0, , 5 cos AC CD 645, 54 Прилагаме косинусовата теорема за страната ВС в ABC: BC AB AC 47 5 AB AC 64 6, cos , BC = 4 cm Тогава P ABCD = AB + BC + CD + DA = ,5 + = 9,5 cm 4 Нека A = α и от косинусовата теорема за APC и ABC последователно намираме: AP AC CP cos 9 0 AP AC ; BC AB AC AB ACcos = 7 06 = 6 и BC = 4 cm 08 4 ФОРМУЛИ ЗА МЕДИАНИ НА ТРИЪГЪЛНИК ФОРМУЛИ ЗА ЪГЛОПОЛОВЯЩИ НА ТРИЪГЪЛНИК От AC + BD = AB + AC намираме AC = = 6 и AC = 4 cm В AOD със страни AD = cm, AO = cm, DO = cm пресмятаме AO DO AD 4 cos AOD и следователно AOD = 60 AO DO От косинусовата теорема в ABC намираме AB AC BC AC BCcos 04 7 и AB = 7 Тогава за дължината на медианата СМ получаваме: 4CM AC BC AB 4 7, CM = и CM = 4 cm m = 85, cm; m = 65, cm; m = 85 cm a b c 66

67 4 la = 90 4 cm; lb = 8 cm; lc = 0cm 5 Прилагаме косинусовата теорема за ABD: BD AB AD AB ADcos и BD = 5 cm От равенството AC + BD = AB + AD намираме AC = = 7 и AC = 7 cm 4 ФОРМУЛИ ЗА МЕДИАНИ НА ТРИЪГЪЛНИК ФОРМУЛИ ЗА ЪГЛОПОЛОВЯЩИ НА ТРИЪГЪЛНИК УПРАЖНЕНИЕ Медиани: 7 cm; cm; 85 cm и ъглополовяща 48 7 cm Страни: cm; 9 cm и cm и ъглополовяща cm а) От (a + b)(a b) = c(c b) a b = c bc a = b + c bc и от косинусова теорема за страната ВС на ABC a = b + c bccosa следва, че cos A = и A = 90 б) Заместваме a = и b = в равенството a = b + c bc и получаваме: 7 = 9 + c c c c 8 = 0 c = 6, c = Следователно AB = 6 cm За медианата СМ към страната АВ намираме: CM a b c cm 4 AC = 5 cm; l b = cm; cos(m b ; l b ) 0,99 а) 0 cm ; б) 54 cm ; в) 6 cm 44 ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦЕ НА ТРИЪГЪЛНИК а) 5 cm ; б) cm 4 cm ; в) a 5 7 а) S = 0 cm ; hb = cm; r = cm; R= cm ; б) S = 84 cm ; hb = cm; r = 4 cm; R= cm 5 8 a b c 4 При a = 5, b = 6 и c = 7 пресмятаме p 9 и S ppap bp c cm От S = pr намираме r = S p = 6 6 = 9 Лицето на вписания в триъгълника кръг е S кръг = πr = cm cm

68 45 ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦЕ НА ТРИЪГЪЛНИК УПРАЖНЕНИЕ a b c При a = 4, b = 5 и c = 7 пресмятаме p 8 cm и S p pa p b p c cm aha bhb chc От S = = = намираме h = S a a = = S 6 cm, h = b b = = S h = c c = = 8 6 cm 7 a b c При a = 5, b = 7 и c = 8 пресмятаме p 0 и S p pa p b p c cm abc От S = намираме R abc = = = = cm 4 R 4S 40 Дължината на описаната около триъгълника окръжност е l R Построяваме височината СН и означаваме BAC = α От тъждеството sin α + cos 9 6 α = намираме sin cos и sin sin 4 I начин Пресмятаме tg и от правоъгълния AHC определяме cos CH AH tg 6 4 8cm AB CH Тогава S = = 8 = ABC 48 cm II начин В правоъгълния AHC AH AH 65 cos AC 0cm AC cos Тогава SABC ABAC sin cm 5 4 От MG' = MG (G' и G са симетрични относно М) и MG : CM = : (G е медицентър) следва, че MG' : CM = : и S BMC' : S BMC = : Но S ABC = S BMC (М е среда на АВ) и следователно S ABC = S BMC = 6S BMC' = 64 = 4 cm cm и cm 46 РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ Б Б В В А A = 4 CL = 8 S =

69 8 От AC = CD = 8 и ABC = CAB следва, че AD =, CD = 6 и AD = BD = От AB AD = = = (ВD е ъглополовяща) означаваме BC = x, AB = x, а от равенството BC CD 6 BD = ABBC ADCD 44 = x 6 намираме x = 08 и x = 6 Лицето на ABC със страни a = 6, b = 8 и c = намираме по Хероновата формула: p 9 9 и S Забележка Стойността на х може да получим и от равенството BC CD x 6, което следва от BDC ~ ABC AC BC 8 x 47 АКСИОМИ ЗА ТОЧКИТЕ, ПРАВИТЕ И РАВНИНИТЕ В ПРОСТРАНСТВОТО ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВЕ ПРАВИ Ако трите точки не лежат на една права, според една от аксиомите следва, че през тях минава точно една равнина Ако точките са от една права, то през тях (и през правата) могат да минат безброй равнини а) Точките трябва да лежат на една права В противен случай може да мине точно една равнина (ако точно три от тези точки са от една права или са върхове на четириъгълник) или да не лежат в една равнина (ако са върхове на тетраедър) б) Точките ще са в една равнина, ако точно три от тях лежат на една права, или ако четирите са върхове на четириъгълник През две точки могат да минат безброй равнини През три върха на куб може да мине единствена равнина, тъй като върховете не лежат на една права Тъй като всеки два околни ръба на пирамида се пресичат във върха на пирамидата, то през тях минава единствена равнина Отговор: () и () 4 а) Ако две прави лежат в една равнина, те са пресекателни или успоредни б) Ако правите нямат общи точки, то те са успоредни или кръстосани 5 Щом правите са от една равнина, то те са пресекателни или успоредни 6 Правата ВС пресича CC в точка С и е успоредна на C C, тъй като от ВС AD и AD A D следва, че ВС A D Правата ВС е кръстосана с правите AD и AD, защото ВС лежи в равнината (ABCD), a AD и AD я пресичат в точки, нележащи на ВС Аналогично, ВС е кръстосана с C D тъй като ВС лежи в равнината (BCC B ), a C D я пресича в точка C BC 69

70 48 ЪГЪЛ МЕЖДУ ДВЕ ПРАВИ В ПРОСТРАНСТВОТО От условието следва, че а и b са кръстосани или пресекателни Това означава, че a b и (a, b) 0 a c Нека a, b и c са прави, за които c a и a b От определението за ъгъл между b две прави следва, че (c, b) = (c, a) = 90 и c b От b AB следва, че (b, AB) = 0 В правоъгълния ABC от tg A = BC = следва, че A = 60 Тогава B = 0 AC От b AB следва, че (b, AC) = (AB, AC) = A = 60 и (b, BC) = (AB, BC) = B = 0 4 Построяваме височината СН (H AB) и от AHC определяме cos A = AH = и A = 0 AC Тогава ACB = 0 и от b AC следва, че (b, AB) = (AC, AB) = 0 и (b, BC) = (AC, BC) = 60 (съседния ъгъл на ACB) 5 От B C BC следва, че (AC, B C ) = (AC, BC) = 45 Като вземем предвид, че ръбовете BB, CC и DD са успоредни и равни, то BDD B e успоредник и BD B D Аналогично се доказва, че BC AD Тогава (AC, B D ) = (AC, BD) = 90 и (AC, BC ) = (BC, AD ) = 60, тъй като ACD е равностранен (АС, AD и CD са диагонали в еднакви квадрати) 6 В A BB MN е средна отсечка и MN A B Тогава (MN, BC ) = (A B, BC ) = A BC От A B = BC = A C (диагонали в еднаквите квадрати ABB A, BCC B и A B C D ) следва, че A BC е равностранен и A BC = 60 Следователно (MN, BC ) = 60 7* Нека Р е средата на АВ Тогава PM и PN са средни отсечки съответно в ABD и ABC, PM BD, PN AC, PN = AC, PM = BD, (AC, MN) = (PN, MN) = PNM и (AC, BD) = (PN, PM) = MPN Oт AC BD и AC = BD следва, че NPM = 90, PN = PM, MPN е равнобедрен правоъгълен и PNM = 45 Следователно (MN, AC) = АКСИОМИ ЗА ТОЧКИТЕ, ПРАВИТЕ И РАВНИНИТЕ В ПРОСТРАНСТВОТО ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВЕ ПРАВИ ЪГЪЛ МЕЖДУ ДВЕ ПРАВИ В ПРОСТРАНСТВОТО УПРАЖНЕНИЕ Правата m не може да е успоредна на а Ако допуснем, че m a, от m b ще следва, че b a, което противоречи на условието, че a и b са кръстосани Следователно правите а и m са пресекателни или кръстосани 70 m b a b m a

71 Точките M, N, P и Q лежат в една равнина, тъй като MNPQ е успоредник (вж задача от урока) и твърденията от А) и Б) са неверни Равенството MN = NP от Г) е възможно само, ако AC = BD Правите AN и BР са кръстосани, тъй като АN е права от равнината (ABC), a BР пресича тази равнина в точка B AN Верният отговор е В) От AB CD и AB MA следва, че CD MA и (MA, CD) = 90 От MA AD, MA = AB и AD = AB следва, че MAD е правоъгълен и равнобедрен и ADM = 45 Като вземем предвид, че BC AD, то (BC, MD) = (AD, MD) = ADM и (BC, MD) = 45 4 В ABC MN е средна отсечка, MN AB и MN = AB Тогава (AB, ND) = (MN, ND) = MND = 60 Означаваме MN = x и от косинусовата теорема в MND намираме: MD = MN + ND MNNDcos60 x x x x = 0 x =, x = Следователно MN = cm и AB = MN = 4 cm 5 В ABC от AM : MC = BN : NC и обратната теорема на Талес следва, че MN AB Тогава (AB, МD) = (MN, МD) = NМD и (AB, ND) = (MN, ND) = MND От MN AB следва, че MNC ~ ABC, MN AB = и MN = AB = Oт MN MD ND следва, че MDN = 90 и NMD = 0, тъй като ND = MN Тогава MND = 60 Следователно (AB, МD) = 0, (AB, ND) = ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ПРАВА И РАВНИНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТ НА ПРАВА И РАВНИНА Тъй като правата няма общи точки с равнината, то с правите от равнината тя е или успоредна или кръстосана Невъзможното твърдение е това от подточка в) a е перпендикулярна на α Ако допуснем, че а α, то от b α следва, че а b, което е невъзможно, тъй като по условие а b Верният отговор е В), тъй като от b a и а α следва, че b α 4 a) От A B AB и следва, че A B (ABCD) От AB CD C D и AB = CD = C D (срещуположни страни в квадратите ABCD и CDD C ) следва, че ABC D е успоредник, BC AD и BC (ADD A ), тъй като AD (ADD A ) б) От AA AB и AA AD следва, че AA (ABCD) и AA BD, тъй като BD (ABCD) в) От AC BD (диагонали в квадрата ABCD) и AA BD (доказано в подточка б)) следва, че AC (BDD B ) 7

72 5 а) От MD (ABCD) и AC (ABCD) следва, че AC MD б) От AC MD (доказано в подточка а)) и AC BD (диагонали в ромба ABCD) следва, че AC (BDM) в) От AC (BDM) (доказано в подточка б)) и MB (BDM) следва, че AC MB 6 От MN (ABCD) и BD (ABCD) следва, че MN BD От AC BD (диагонали в ромба ABCD) и MN BD следва, че BD (ACM) и BD AM, BD CM, тъй като околните ръбове АМ и СМ лежат в равнината (ACM) 5 ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ПРАВА И РАВНИНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТ НА ПРАВА И РАВНИНА УПРАЖНЕНИЕ От AA AB и AA AD (ABB A и ADD A са квадрати) следва, че AA (ABCD) и AA BD От BD AC (диагонали в квадрата ABCD) и BD AA следва, че BD (ACC A ) и BD A C, тъй като A C е права от тази равнина Ако AQ CD, то от PQ CD следва, че AQ PQ и АBPQ е правоъгълен трапец с BAQ = AQP = 90 Нека М е средата на хипотенузата АВ AB AB Тогава CG = CM = = = 4 cm От CD AC и CD BC следва, че CD (ABC) и CD CG В правоъгълния CGD пресмятаме DG = DC + CG = = 5 и DG = 5 cm 4 От ACD = BCD = 90 следва, че CD AC, CD BC и CD (ABC) Тогава ръбът CD e перпендикулярен и на правата AB от основата АBC От CD AB и AD AB (по условие BAD = 90 ) следва, че AB (ACD) и AB AC Следователно ABC е правоъгълен с BAC = 90 5 От AM = CM (по условие) и AO = CO (свойство на диагоналите на успоредник) следва, че МО е медиана и височина, те MO AC Аналогично, от BMD следва, че MO BD Получихме, че МО е перпендикулярна на пресекателните прави AC и BD от равнината на успоредника и следователно MO (ABCD) 7

73 6 От CD (ABC) следва, че CD AB, CD AC и CD BC, те триъгълниците ACD и BCD са правоъгълни (фиг ) фиг фиг В ABC построяваме медианата ВМ и означаваме AB = x (фиг ) Тогава AC = AB = x и AM = MC = x Триъгълникът АВМ е равностранен, тъй като AB = AM = x и BAM = 60 Тогава BM = x и BM = AC, откъдето следва, че ABC = 90, те ABC е правоъгълен От CD AB и BC AB следва, че AB (BCD), AB BD и ABD е правоъгълен Забележка Доказателството, че ABC е правоъгълен може да се направи и с косинусовата теорема: BC AC AB AC ABcos 604x x x x x и BC = x Тогава AB + BC = x + x = 4x = AC, откъдето следва, че ABC = 90 5 ОРТОГОНАЛНО ПРОЕКТИРАНЕ РАЗСТОЯНИЕ ОТ ТОЧКА ДО РАВНИНА ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРАВА И РАВНИНА а) Правите са перпендикулярни на проекционната равнина и следователно са успоредни помежду си б) Едната права е перпендикулярна на проекционната равнина, а другата права не е Тогава правите не са успоредни помежду си Следователно те са кръстосани или се пресичат в) Правите не могат да са пресекателни Следователно те са успоредни или кръстосани г) Правите не могат да са успоредни Следователно те са пресекателни или кръстосани Нека отсечката АВ е успоредна на проекционната равнина π, а А В e нейната ортогонална проекция Ако α е равнината, определена от успоредните прави АA и BВ, то от AB π и AB следва, че АВ В А Тогава АВВ А е успоредник и АВ = А В Нека М е средата на отсечката АВ, а А, В и M са съответните ортогонални проекции на трите точки От AM AM = и AM = MB следва, че А MB MB M = M В и M е средата на А В 4 Ръбовете АВ, CD и C D и DD са перпендикулярни на равнината (ВCC B ) Тогава точките В, В, С, C и C сa проекциите съответно на точките A, В, С, D и D върху тази равнина, а отсечките ВC, BC и CC са проекциите съответно на АD, BD и DD Проекцията на CD е точката C, тъй като CD (ВCC B ) 7

74 5 Нека точката А лежи в α, Н е проекцията на В в α, а φ е ъгълът, който АВ сключва с равнината Тогава в правоъгълния AHB BH = ABsinφ = 4sinφ a) От φ = 0 намираме BH 4sin 04 cm б) От φ = 45 определяме BH 4sin 454 cm в) При φ = 60 пресмятаме BH 4sin 604 cm 6 Ще разгледаме случаите, когато A α, АВ няма общи точки с α и АВ пресича α I случай Нека A α Тогава A A и от правоъгълния ABB намираме, че AB = ABcosφ Означаваме с М пробода на правата АВ с α II случай Нека отсечката АВ няма общи точки с α Построяваме AH A B Тогава BMB = BAH = φ (съответни ъгли), AHA B е правоъгълник и AH = A B В правоъгълния AHB AH = ABcosφ Следователно A B = ABcosφ III случай Отсечката АВ пресича α В правоъгълните триъгълници АMA и BMB изразяваме A M = AMcosφ и B M = BMcosφ Тогава A B = A M + B M = AMcosφ + BMcosφ = (AM + BM)cosφ = ABcosφ 5 ОРТОГОНАЛНО ПРОЕКТИРАНЕ РАЗСТОЯНИЕ ОТ ТОЧКА ДО РАВНИНА ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРАВА И РАВНИНА УПРАЖНЕНИЕ Означаваме с М средата на отсечката AB, а с M ортогоналната ѝ проекция в α а) В АBB MM е средна отсечка и MM = BB = 5 cm б) В трапеца ABB A MM е средна основа и MM AA BB cm I начин Построяваме AA A B (B BB ) и нека AB MM = M, AB NN = N Тогава AA = M M = N N = B B = 6 и BB = От MM NN BB следва, че AM M ~ AN N ~ AB B, MM AM MM BB BB AB NN AN BB cm и NN cm BB AB Следователно MM = M M + MM = 6 + = 7 cm и NN = N N + NN = 6 + = 8 cm 74

75 II начин От AM = MN = NB следва, че MM и NN са средни основи в трапеците ANN A и MBB M MM BB x 9 Означаваме MM = x Тогава NN, x 9 MM AA NN 6 x x и от x 4x x намираме x = Следователно MM = 7 cm и NN 8 cm Ако А и В са произволни точки от k, то АО и ВО са проекциите на наклонените МА и МВ а) От AO = BO = R следва, че MA = MB Тъй като А и В са произволни точки, то равенство важи за всички точки на k и М е на равни разстояния от тези точки б) От AO = BO = R следва, че наклонените МА и МВ сключват един и същи MO R ъгъл φ с α В правоъгълния AOM MAO = φ и tg AO R и φ = 45 4 Тъй като проекцията на върха D на тетраедъра е центърът О на описаната около ABC, то ъглите, които околните ръбове сключват с (ABC), са равни помежду си и нека (AD, ABC) = DAO = α AB AB От синусовата теорема в ABC намираме AO R 60 sin DO DO В правоъгълния AOD пресмятаме tg и α = 45 AO AB Следователно околните ръбове сключват ъгъл 45 с равнината на основата АВС 5 Тъй като околните ръбове сключват равни ъгли с основата, то О е центърът на описаната около ABC окръжност и AO = R е неин радиус В AOD от DO AO tg60 получаваме, че R = DO Означаваме ACB = γ и от синусовата теорема в ABC намираме AB AB AB R sin sin R DO От sin следва, че γ = 45 или γ = 5 Тъй като О е вътрешна точка за ABC, то триъгълникът е остроъгълен и γ = 45 6 Щом околните ръбове сключват с основата равни ъгъли, то върхът М на пирамидата се проектира в центъра О на описаната около ABCD окръжност Тогава трапецът е вписан в окръжност с радиус AO = R и AC = BD От правоъгълния AOM намираме AO OM cotg 45 и R = = cm От синусовата теорема за ABC получаваме AC Rsin 60 cm Следователно AC = BD = cm 75

76 54 ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВЕ РАВНИНИ ДВУСТЕНЕН ЪГЪЛ ЪГЪЛ МЕЖДУ ДВЕ РАВНИНИ Щом правите лежат в успоредни равнини, те нямат обща точка Следователно правите са успоредни или кръстосани Равнината (ACD ) е пресекателна с (ABC ), тъй като имат обща точка А От AC A C и AD BC следва, че (ACD) (A BC ) (AC A C следва от успоредника ACC A или от пресичането на успоредните равнини (ABCD) и (A B C D ) с равнината (ACC A )) Означаваме с A средата на ръба AD, с α равнината, минаваща през A и успоредна на основата (ABC), а с B и C пресечните точки на α с ръбовете BD и CD От α (ABC) следва, че пресечниците A B и АВ на α и (ABC) с равнината (ABD) са успоредни прави Тогава в ABD A B е средна отсечка, тъй като A e средата на AD и A B АВ Следователно B e средата на ВD Аналогично се доказва, че C е средата на СD 4 Ако α е равнината, успоредна на основата (ABC), то пресечниците на тези равнини с равнините (ABD), (BCD) и (ACD) са успоредни прави: A B АВ, B C ВC и A C АC Тогава A B D ~ ABD и B C D ~ BCD, AD BD = и BD CD = AD BD BD CD Следователно AD BD CD = = AD BD CD 5 От MH μ и s μ следва, че MH s По условие HN s Следователно s (MNH) и MNH е линеен ъгъл на двустенния (λ, μ) 6 Като вземем предвид, че MD = ADM CDM и (ABCD) MD (по условие), то ADC е линеен ъгъл на двустенния (ADM, CDM) Точката D е ортогоналната проекция на върха М върху основата ABCD и DA AB (ABCD е правоъгълник) От предходната задача 5 следва, че DAM е линеен ъгъл на двустенния (ABM, ABCD) 7 Точката D е ортогоналната проекция на върха С върху равнината α и CB AB От задача в урока следва, че DBC е линеен ъгъл на двустенния (ABC, α) 76

77 55 ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВЕ РАВНИНИ ДВУСТЕНЕН ЪГЪЛ ЪГЪЛ МЕЖДУ ДВЕ РАВНИНИ УПРАЖНЕНИЕ Правите а и b са пресекателни и определят равнина, която пресича успоредните равнини α и β в успоредни пресечници AB MA От AB A B следва, че ABM ~ A B M и = AB MA MA AB Пресмятаме MA = AA MA = 5 4 = cm и AB = = = 05cm, MA 4 Нека CD е разстоянието от С до α и CM AB (M AB) Тогава AM = MB = 6 cm и CMD = 60 е линеен ъгъл на двустенния (ABC, α) От правоъгълните AMC и CMD последователно намираме: CM = AC AM = 0 6 = 64 = 8 и CM = 8 cm; CD sin 60 CD 8 4 CM Следователно разстоянието от С до α е 4 cm Нека BD = 6 е разстоянието от В до α От BD α и BD AC следва, че BCD = φ е линеен ъгъл на двустенния (ABC, α) От равноберения ABC намираме BC = AB = 6 BD 6 Тогава в BCD sin BC 6 и φ = 60 Следователно (ABC, α) = 60 4 От CD (ABC) следва, че ACB е линеен ъгъл на (ACD, BCD) и следователно (ACB) = 0 Построяваме височината СМ (M AB) в равнобедрения ABC Тогава ACM = 60 и от AMC намираме CM ACcos 60 От CD (ABC) и CM AB следва, че CMD е линеен ъгъл на (ABD, ABC) В правоъгълния CMD пресмятаме tg CMD = CD = и CMD = 60 CM 5 Нека О е ортогоналната проекция на върха на пирамидата върху равнината на основата Щом всички околни ръбове на пирамида са равни, а околните стени сключват с основата равни ъгли, то основата е описан и вписан многоъгълник, като О е център и на двете окръжности а) Триъгълникът е равностранен, тъй като центърът О на описаната окръжност е център и на вписаната окръжност б) Около успоредник може да се опише окръжност само ако е правоъгълник и да се впише окръжност само при ромб Следователно основата на пирамидата е квадрат в) Трапецът е равнобедрен, тъй като е вписан, и в него може да се впише окръжност 6 По условие всички ръбове на четириъгълната пирамида са равни Тогава основата е ромб, тъй като основните ръбове са равни От равенството на околните ръбове следва, че около основата може да се опише окръжност и следователно ромбът е квадрат 77

78 Като вземем предвид, че върхът на пирамидата се проектира в центъра на квадрата и в квадрата може да се впише окръжност, то околните стени сключват равни ъгли с основата Нека върхът на пирамидата е М, основата ѝ е квадратът ABCD, а Н е средата на ръба ВС Тогава MHO е линеен ъгъл на двустенния ъгъл при ръба ВС Ако а е страната на квадрата, то OH = a, MH a = (MH е височина в равностранния BMC) и от правоъгълния MOH намираме cos MHO OH a = = = MH a 56 ПРИЗМА ПРАВА ПРИЗМА а) Твърдението е вярно, защото всички околни стени на права призма са правоъгълници б) Твърдението не е вярно Ако една от околните стени е правоъгълник, то околният ръб в тази стена е перпендикулярен на основния ръб от стената Това не е достатъчно да се твърди, че околният ръб е перпендикулярен на равнината на основата на призмата Другите две страни на четириъгълника са околни ръбове на призмата В случая на наклонена призма четириъгълникът е успоредник (подточка а)), ако призмата е права четириъгълникът е правоъгълник (подточка б)) Верният отговор е В) Основата на правилната четириъгълна призма е квадрат Щом една от околните стени е квадрат, то околният всички ръбове са равни и стените са квадрати 4 Ако призмата е n - ъгълна, то всеки връх на едната основа може да се свърже с n върха от другата основа, които не лежат в една и съща околна стена Броят на всички възможни диагонали е n(n ) а) При n = 4 броят на диагоналите е 4(4 ) = 4 б) При n = 5 броят на диагоналите е 5(5 ) = 0 в) При n = 0 броят на диагоналите е 0(0 ) = 70 5 a) Основата на правилната триъгълна призма е равностранен триъгълник с лице B = a Лицето на 4 a околната повърхнина е S = a, а на пълната S S B 6 a a Обемът на призмата е V = Bh = a = 4 4 б) Основата на правилната четириъгълна призма е квадрат с лице B = a Лицето на околната повърхнина е S = 4a, а на пълната S = S + B = 6a Обемът на призмата е V = Bh = a a = a 6 Площта, която трябва да се боядиса е таван с лице 54 = 0 m, две по-големи стени с общо лице 5 = 0 m и една малка стена от 4 = m или общо 6 m За боядисването са необходими 6, броя кутии Следователно минималният брой на закупените кутии трябва да е 7 78

79 7 Нека измеренията на паралелепипеда са a, b и c, като a : b : c = : 4 : и нека a = x, b = 4x и c = x От равенството d = a + b + c = 9x + 6x + 44x = 69x и d = cm намираме x =, a =, b = 4 и c = cm Повърхнината на паралелепипеда е S = (ab + ac + bc) = ( ) = 9 cm, a обемът V = abc = 4 = 44 cm 57 ПРИЗМА ПРАВА ПРИЗМА УПРАЖНЕНИЕ Нека а и h са дължините на основния ръб и на височината, а d = cm e диагоналът на призмата От a: h= : означаваме a = x и h = x От d = a + h = 4x + 9x + x = намираме x =, a = cm и h = cm Повърхнината на призмата е S = a + 4ah = 4 + cm, a обемът V = a h = = 6 cm От равенството 5 + = следва, че основата на призмата е правоъгълен триъгълник с катети a = 5 cm, b = cm, хипотенуза c = cm и лице B = ab 5 = = 0 cm a) Диаметърът на описаната около основата окръжност е c = cm Повърхнината на призмата е S = S + B = (a + b + c)c + B = = 450 cm, a обемът V = Bc = 0 = 90 cm a b c б) Радиусът на вписаната в правоъгълния триъгълник окръжност е r 5 cm Тогава околният ръб (височината) на призмата е h = 4 cm Повърхнината на призмата е S = S + B = (a + b + c)h + B = = 80 cm, a обемът V = Bh = 04 = 0 cm Нека а и h са основния ръб и височината на призмата a От V Bh h a h 4 и S ah6 ah намираме a = cm и h = cm 4 4 От DC BCCB следва, че BD, BCCBCBD 0 От правоъгълните триъгълници BC D и BCC намираме BC CD cotg 0, CC BC BC 7 6 и CC = cm Повърхнината на паралелепипеда е S = (ABBC + BCCC + ABCC ) = cm, a обемът V = ABBCCC = 4 = cm 5 Означаваме с a = AB, b = BC и c = CC измеренията на паралелепипеда Отсечките BD и BC са проекциите на диагонала BD съответно върху равнините (ABCD) и (BCC B ) Тогава DBD BD, ABCD45 и CBD BD, BCCB 0 От правоъгълните триъгълници BDD и BC D пресмятаме c BDsin 45 6 cm и a BDsin 0 6 cm 79

80 От равенството BD a b c намираме b Следователно AB = BC = 6 cm, CC = 6 cm и b = 6 cm 6 Нека средата М на ръба АВ е ортогоналната проекция на върха A върху равнината на основата ABCD Тогава MA е височина на паралелепипеда, MAA = (AA, ABCD) = 45 и в правоъгълния AMA MA AM a a = = и AA = a В ромба ABCD BAD = 60, ABD е равностранен с лице S = ABD и 4 a SABCD = SABD = a a a Обемът на паралелепипеда е V = SABCD MA = = 4 58 ПИРАМИДА Тетраедър: основата и околните стени са произволни триъгълници Правилна триъгълна пирамида: основа равностранен триъгълник; околни стени равнобедрени триъгълници Правилен тетраедър: основата и околните стени са равностранни триъгълници a) НЕ Ако околните ръбове са равни следва, че около основата е вписан многоъгълник, но не и че е правилен многоъгълник б) НЕ Ако основата е правилен многоъгълник, проекцията на върха може да е произволна точка от основата, която не е център на многоъгълника в) ДА Щом околните ръбове са равни, то основата е вписан многоъгълник с равни страни, от което следва, че е правилен многоъгълник и върхът се проектира в неговия центъра (център на описаната окръжност) Ще използваме означенията и резултатите от задача от урока Тогава α = MAO, φ = MNO и sin h l, sin h k h а) sin l h б) sin l h, sin 5 k 7 h, sin 5 k a 4 Повърхнината на тетраедъра е S = 4SABC = 4 = a 4 a 6a a 6 От AOM пресмятяме h a R a и h = 9 9 a a 6 a Обемът на тетраедъра е V = SABC h = = 4 80

81 5 При означенията и резултатите от предходните задачи следва, че R a cos a a r a и cos k a 6 6 От зад 4 от урок 5 следва, че околните ръбове са равни и φ = (AD, ABC) = 60 В ABC от косинусовата теорема намираме AB AC BC AC BCcos AB 5 и AB = 5, а от синусовата теорема: R 0 sin 45 и R = R В AOD h DO R tg 60 и AD R 0 cos60 Дължините на околните ръбове са AD = BD = CD = 0 cm Пресмятаме SABC ACBC 45 sin и обема на пирамидата V = SABC h = = 0 0 cm 7* Ще докажем твърдението за триъгълна пирамида (в общия случай за n-ъгълна пирамида разсъжденията са аналогични) Нека ABC e основа на пирамида АВСМ Тъй като околните стени сключват еднакви ъгли с основата, то върхът М се проектира в центъра О на вписаната в триъгълника окръжност Ако N, P и Q са петите на перпендикулярите, спуснати от О към страните АВ, ВС и АС, то ON = OP = OQ = r, MON MOP MOQ и MN = MP = MQ = k Но MN, MP и MQ са височини в околните стени и AB k BCk AC k AB BC ACk S SABM SBCM SACM pk Пресмятаме отношението B pr S r pk k cos, от което следва, че B = Scosφ 8* От зад 4 от урок 55 следва, че S ABCD = 60 cm SABCD MO 60 Обемът на пирамидата е V = = = 60 cm От равенството SABCD S cos S намираме околната повърхнина S = 60 cm Тогава пълната повърхнина е S S B 60 cm 59 ПИРАМИДА УПРАЖНЕНИЕ Ако околните стени са равностранни триъгълници, то страните на основата са равни Тъй като и околните ръбове са равни, то върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната около основата окръжност От това следва, че основата е правилен многоъгълник и верният отговор е Г) а) В ABC BAC + ACB = = 90 и ABC = 90 От CD (ABC) следва, че ръбът CD е перпендикулярен на страните на ABC 8

82 Триъгълниците ACD и BCD са правоъгълни, тъй като CD AC и CD BC От CD AB и CB AB следва, че AB (BCD), AB BD и ABD e правоъгълен От BCD намираме BD = BC + CD = + = 4 и BD = cm, а от ABC получаваме BC AC AC AC sin 60 sin 60 cm и AB BC cotg 60 cm б) Пресмятаме повърхнината S на пирамидата: S S S S S 8 ABC ABD ACD BCD AB BC AB BD AC CD BC CD cm Обемът на пирамидата е V = SABC h = = cm 6 a) От MD (ABCD) следва, че MD AD и MD CD От правоъгълния ADM намираме: AM = AD + DM = a + a = 4a и AM = a; tg DAM MD a = = = и DAM = 60 AD a От AB AD и MD AD следва, че AB (ADM) и AB AM Аналогично се доказва, че CM BC От BC AD следва, че (MA, BC) = (MA, AD) = DAM = 60, а от AB CD намираме (MA, CD) = (MA, AB) = BAM = 90 a б) Обемът на пирамидата е V = SABCD MD = a a = Като вземем предвид, че ADM CDM и ABM CBM, за повърхнината на пирамидата намираме: a a S SADM SABM SABCD a a a a 4 Нека АВСМ е правилна триъгълна пирамида с основа равностранния ABC, основен ръб AB = a, околен ръб AM = l, височина MO = h, апотема MN = k и (l, ABC) = AMO = α, (ABM, ABC) = MNO = φ За радиусите R на описаната и r на вписаната окръжности за ABC имаме съответно: R = a a и r = 6 a) От правоъгълните триъгълници NОМ и AОМ намираме: a a NO NM OM r k h и a = 6 cm 6 a 6 AM AO OM l R h h 4 6 и l = 4 cm a 6 б) Лицето на основата е B= SABC = = = 9 cm 4 4 Обемът на пирамидата е V = Bh = = 9 6, P а повърхнината S S B ABC k 8 7 B cm MO h MO h в) В AOM от sin намираме α = 0, а от MON определяме sin AM l 4 MN k 7

83 5 Нека АВСDМ е правилна четириъгълна пирамида с основа квадрата АВСD, основен ръб AB = a, околен ръб BM = l, височина MO = h и апотема MN = k За радиусите R на описаната и r на вписаната окръжности за АВСD имаме съответно: R = a a и r = a) От β = 45 следва, че правоъгълния BOM е равнобедрен Тогава: OM h sin sin hlsin и BM l a OB = OM Rh 6 a 6 Получихме: h = 6 cm, a = 6 cm a б) От BHM намираме k l и k = 54 = 6 HM k 6 Тогава tg BH a 6 OH r a 6 В HOM cotg OM h h 6 Следователно tg, cotg 6 Нека в пирамидата ABCDM точката О е ортогоналната проекция на върха М върху равнината на основата АBCD Тъй като околните стени сключват еднакви ъгли с основата, то O е център на вписаната в АBCD окръжност k От равенството B = Scos60 намираме околната повърхнина S = S ABCD = 6 = 7 cm Пълната повърхнина на пирамидата е S S B cm В правоъгълния MOH пресмятаме MO rtg60 Обемът на пирамидата е V = SABCD MO = = 6 6 cm 7 Нека в правилната шестоъгълна пирамида MABCDEF с връх М точката О е центърът на основата, а N е средата на ръба ВС Означаваме AB = a = (основен ръб), MO = h = (височина), AM = l (околен ръб), MN = k (апотема), AO = R (радиус на описаната около основата окръжност) и NO = r (радиус на вписаната в основата окръжност) a Тогава MAO = α, MNO = φ, R = a = ( AOB е равностранен) и r = = (височина в равностранния BOC) От AOM намираме l h R 4 6 4, h tg и α = 60, а от MON получаваме R h k h r 5 и tg r 8

84 60 ПРАВ КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР Височините на двата конуса са равни (HO = O 'O ' това са разстоянията между успоредните равнини λ и λ ) Oста на наклонения цилиндър е по-голяма O O > O 'O ' (в правоъгълния O HO O O > HO и HO = O 'O ') Обемите са двата цилиндъра са равни, тъй като височините им са равни, а основите са еднакви кръгове От SC SC rh rh rh rh и r = r следва, че r h = r h, h = h и h : h = : Тогава V rh r h 9 V rh и V r h : V = : Нека правоъгълникът е ABCD със страни AB = cm и AD = cm, а g e права, минаваща през една от страните му Полученото ротационно тяло е цилиндър с радиус r и височина h Ако g = AD, то r = AB = cm, h = AD = cm, V r h cm и S rhr4 50 cm Ако g = AB, то r = AD = cm, h = AB = cm, V r h 8 cm и S rhr6 50 cm 4 Нека AB = a и AD = b са страните на правоъгълника, g e оста на въртене, радиусът на ротационни цилиндър е r, а височината h Ако g = AD, то r = a, h = b, V = πa b и S = πr (h + r) = πa (b + a) Ако g = AB, то r = b, h = a, V = πb a и S b ab Тогава V ab a, S V ba b S a b a a ba b b и V V S = S 5 Варелът е с височина h =,6 m = 6 dm, радиус r = 40 cm = 4 dm и обем V r h dm Водата заема 75 % V ,, dm Като вземем предвид, че dm = литър, то водата във варела е приблизително 60 литра 6 Радиусът на цилиндъра е r = 5 m, площта на околната повърхнина е S = πrh = π5 = 0π, а тази на тавана B = πr = 5π Площта за боядисване е S B , 45, 6 m, за което ще са необходими около литра боя 84

85 6 ПРАВ КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР УПРАЖНЕНИЕ r h B S S V a) 9π 6π 4π 9π б) π 6π 8π π в) 4π 8π 6π 8π г) 4π 4π π 4π д) π 4π 6π π От V = πr h = π r h = и h = r следва, че r =, r = cm и h = cm Повърхнината на цилиндъра е S = S = πr(h+r) = 6π cm Да означим с O и O петите на перпендикулярите, спуснати от А и D към правата g Тогава полученото ротационното тяло се състои от цилиндъра C с ос OO и образуваща ВС, от който е издълбан цилиндър C с ос OO и образуваща АD Повърхнината на това тяло е обединението на околните повърхнини на двата цилиндъра и двата венеца на основите За околните повърхнини S C и S C намираме: SC OBBC 78, SC OA AD Лицето S B на венеца пресмятаме като разлика от лицата на основите на двата цилиндъра: SB OB OA За лицето на повърхнината S T на ротационното тяло получаваме: ST SC SC SB cm Обемът на ротационното тяло е разлика от обемите на двата цилиндъра Тогава V V V OB BC OA AD cm T C C 4 Обемът V на тръбата е разлика от обемите на двата цилиндъра C и C с диаметри d = 40 cm и d = 6 cm Радиусите на цилиндрите в метри са r = 0, m и r = 0,8 m и V r hr h 0 0, 08, 0, 0 8, 000, 076 0,864 m Приблизителната тежест на тръбата е 78590, kg 5* Ако l = πr е дължината на окръжността на основата на цилиндъра, то h и l са дължините на страните на правоъгълника, който е развивка на околната повърхнина По условие lh =, a от питагоровата теорема следва зависимостта l + h = 5 За l и h получаваме системата l h 5, чиито положителни решения са l = 4, h = или l =, h = 4 lh Ако h = cm, от l = πr = 4 намираме r cm и V r h 4 cm Ако h = 4 cm, от l = πr = намираме r cm и V r h 9 7 cm

86 6* От V = πr h = π и S = πr(h + r)= 6π за r и h получаваме системата r h r Заместваме h = в първото уравнение: rh r r r r r 0 r (r )r (r ) = 0 (r )(r + )r (r ) = 0 (r )(r + r ) = 0 r r 0 r, r Тогава h = = r Следователно r = cm, h = cm 6 ПРАВ КРЪГОВ КОНУС r h l B S S V a) 5 π π π б) π π + π в) π π π π г) 4π 4π 4 + 8π д) 4 5 9π 5π 4π π В урок 5 доказахме, че Две наклонени от една и съща точка към дадена равнина са равни тогава и само тогава, когато сключват равни ъгли с основата От това следва, че образувателните на прав кръгов конус сключват равни ъгли с равнината на основата, тъй като са равни отсечки, спуснати от върха към равнината на конуса Нека AM = l = cm е образуваща на конусa, О е центърът на основата, AO = r и MO = h В AOM MAO = 0, r lcos 0 6 cm и hlsin 0 6cm Повърхнината на конуса е S rlr6 6 6 cm, а обемът V r h cm 4 Нека ABC с C = 90 се върти около права g минаваща през катета АС От S = ABC ACBC = BC = 8 намираме AC = BC = 6 cm и AB = BC = 6 cm Ротационното тяло е конус К с радиус r = BC = 6, образуваща l = AB = 6 и височина h = AC = 6 Повърхнината на К е S rlr cm, а обемът V r h cm 86

87 5* Нека триъгълникът е АВС с хипотенуза АВ и катети AC = BC AC От S ABC 8 8 намираме AC = 6 cm Тогава AB = 6 cm и AO = CO = cm, където О е средата на АВ Ротационното тяло Т представлява два еднакви конуса с обща основа кръг център О и радиус r = OC Обемът на тялото е сбор от обемите на двата конуса или удвоеният обем на единия конус: VT VK r AO 8 6 cm Лицето на повърхнината на ротационното тяло е сбор от лицата на околните повърхнини на двата конуса: S S S S rac 6 6 cm T K K K 6 ПРАВ КРЪГОВ КОНУС УПРАЖНЕНИЕ Нека М е върхът на конуса, О центърът на основата, а AM = l е негова образуваща, a α ъгълът който образуващата сключва с основата а) Лицето на околната повърхнина е S = πrl, а на основата B = πr r От S = B πrl = πr l = r и cos намираме α = 60 l б) От AOM намираме r h cotg cm и l = r = cm За обема и лицето на повърхнината на конуса получаваме: V r h cm, S = πr(l + r) = π68 = 08π cm Ако l е образуващата на конуса, а осното сечение е равностранен триъгълник, то l = 6 cm Лицето на сечението на конуса с равнина, минаваща през две негови образуващи, ъгълът между които е 0, е S l 0 6 sin 9 cm Нека R е радиусът на основата на конуса, AM = l е образуваща на конуса, а N е средата на АВ Тогава ONM = 0 е линеен ъгъл на двустенния ъгъл между γ и основата В равностранния ABM MN = r = 6 и AB = AM = r = 4 От правоъгълните триъгълници MON и AON намираме: 6 MO MN sin 0, NO MNcos 06, R AO AN NO 9 и R = 9 За обема и лицето на повърхнината на конуса получаваме: Rh 9 V 9, S RlR От h = и r = 8 r = 4 намираме образуващата l h r 96 5 и l =5 Повърхнината на конуса е S rl 0 0, 468, cm Като вземем предвид, че площта на един лист е m, броят на листовете за обшиване на покрива е 69,08 : 5 87

88 5 Ротационно тяло Т представлява цилиндър С, от който са издълбани два еднакви конуса К В ABC построяваме височината АН и от правоъгълния AHC намираме CH AC AH Лицето на повърхнината на ротационното тяло е сбор от лицата на околните повърхнини на цилиндъра и двата конуса: ST SC SK r AB rac Обемът на тялото е разликата от обема на цилиндъра и на двата еднакви конуса: VT VC VK r AB r CO Ротационното тяло Т представлява цилиндър С, от който е издълбан конус К с образуваща ВС Радиусът на цилиндъра и конуса е r = В трапеца ABCD построяваме CH DA Тогава CH =, BH = 4 и от BHC намираме BC BH CH Лицето на повърхнината на ротационното тяло е сбор от лицата на околната повърхнина и на основата на цилиндъра и лицето на околната повърхнина на конуса S S B S rab r rbc T C C K Обемът на тялото е разлика от обемите на цилиндъра и конуса VT VC VK r DO r CO СФЕРА И КЪЛБО Повърхнината на сфера σ с радиус r e S = 4πr, а на сфера σ с радиус R = nr e S = 4πR = 4π(nr) = 4πn r Toгава S S 4 nr 4 r n и S = n S, като при n =, S = 4S, а при n =, S = 9S Обемът на кълбо k с радиус r e V r, а на кълбо k с радиус R = nr e V R nr nr Toгава V V = n и V = nv, като при n =, V = 8V, а при n =, V = 7V Нека S 4 r и S 4 r са повърхнините на двете кълба 4 От S 4 r r S 4 r следва, че r = Тогава V r r r r V 4 r r 4 Ако r е радиусът на полуокръжността, то дължината ѝ е πr = 6π и r = 6 Лицето на получената сфера е S = 4πr = 4π6 = 44π cm Aко а е страната на квадрата, повърхнината и обемът на полученото тяло (цилиндър с радиус r = a и височина h = a) са съответно S T = πr(h+r) = 4πa и V T = πr h = πa Повърхнината и обемът на кълбо с радиус R = a са S k = 4πR = 4πa и 4 4 V R a Следователно S T = S k, V T > V k 88

89 6 Нека k A и k B са окръжностите, които са сеченията на λ A и λ B със σ, C k A и D k B са произволни точки от тези окръжности и AC = r A и BD = r B Тогава OC = OD = R са радиуси на σ и разглеждаме правоъгълните триъгълници АОС и BOD a) От OA = OB следва, че AOC BOD по IV признак (OA = OB, OC = OD = R и A = B = 90 ) и r A = r B σ б) От OA > OB и OC = OD = R следва, че r R OA, r R OB, r < r и r A < r B A B A B 7 Нека k(o ; r) е окръжността, която е сечение на сферата σ(o; R = ) с равнината, на разстояние OO =, a A k е произволна точка от окръжността От правоъгълния AOO намираме r R OO 5 и r = 5 Дължината на k е l = πr = 0π cm 8 Нека R е радиусът на σ, k(o ; r) e сечението на λ и σ, а A k е произволна точка от окръжността 5 От S = 4R = 5π намираме R = и R = От правоъгълния AOO намираме r R OO 4 и r = 4 4 Лицето на сечението на λ и σ е S r 4 cm 9 65 СФЕРА И КЪЛБО УПРАЖНЕНИЕ Нека О е центърът на вписания в равностранния ABC кръг, а Н е средата на АВ Страната на триъгълника е AB = 6 cm, a радиусът на кръга r = = cm AB 6 При въртенето на триъгълника около правата през височината СН се получава конус К с радиус R = AB AB = cm, височина h = = cm и образуваща l = BC = 6 cm и кълбо k с радиус r = cm, издълбано във вътрешността на конуса Обемът V T на полученото тяло е разлика от обемите VK R h 9 9 на 4 4 конуса и V r 4 на кълбото Повърхнината S T на ротационното тяло е сбор от повърхнините S K = πr(r+l) = π9 = 7π на конуса и S σ = 4πr = 4π = π Следователно VT VK V cm и ST SK S 7 9 cm Забележка В разглеждания случай казваме, че кълбото k е вписано в конуса К Нека k е кръг с радиус R = 5 cm, а ABCD е правоъгълник със страна AD = 6 cm, вписан в k Тогава BD = 0 cm е диаметър и от питагоровата теорема за ABD намираме AB = 8 cm При завъртането на кръга и изрязания правоъгълник около диаметъра, успореден на АD, се получава кълбо k с радиус R = 5 cm с изрязан във вътрешността цилиндър C с радиус r = 4 cm и височина h = AD = 6 cm 89

90 Обемът V T на полученото тяло е разлика от обемите V R 5 на кълбото и V C = πr h = π66 = 96π на цилиндъра Повърхнината S T на ротационното тяло е сбор от повърхнините S σ = 4πR = 4π5 = 00π на сферата σ, определена от кълбото и S C = πr(h+r) = π40 = 80π на цилиндъра 500 Следователно VT V VC 96 cm и S T = S σ + S C = 00π + 80π = 80π cm Сечението на σ с α е окръжност k с център O и радиус R, като O е ортогоналната проекция на центъра О на сферата върху равнината α, а R радиусът на описаната окръжност около ABC За ABC намираме: BC AB AC AB ACcos , BC = 9 и BC 9 9 R R sin 60 Тогава лицето на сечението е S k R 9 cm, а разстоянието от до О до α 0 OO R R 9 9 4* Нека равнините α и α отсичат от сферата σ(o; R) окръжностите k (O ) и k (O ), АВ е общата хорда на k и k, а С е нейната среда Тогава АВ е перпендикулярна на CO и CO и O CO = 90 е линеен ъгъл на двустенния ъгъл, определен от α и α От OO α, OO α и O CO = 90 следва, че C O OO е правоъгълник със страни OO = CO = cm и OO = CO = cm От правоъгълния BCO намираме BO BC CO 49, a от BOO пресмятаме R BO OO BO 4 7 Лицето на повърхнината на сферата е S σ = 4πR = 4π = 5π cm 5* Сеченията на λ и λ със σ са окръжностите k (O ; R ) и k (O ; R ), като O и O са ортогоналните проекции на центъра О на сферата върху λ и λ Разстоянието между λ и λ е O O = 7, а от лицата на сеченията S R = и R = 4 R 9 и S R 6 намираме Нека O A и O A са два успоредни радиуса на k и k, а R е радиусът на сферата От правоъгълните триъгълници A O O и A O O може да запишем: OO R R R 9, OO R R R 6 Тогава OO + OO = O O R 9 R 6 7 R 6 7 R 9, повдигаме в квадрат R R 9 R 9 R 9 4 R = 5 и намираме R = 5 Повърхнината на сферата е S σ = 4πR = 4π5 = 00π 90

91 6* Сеченията на λ и λ със σ са окръжностите k (O ; R ) и k (O ; R ), като O и O са ортогоналните проекции на центъра О на сферата върху α и α Разстоянието между λ и λ е O O =, а от лицата на сеченията S и S R 6 намираме R = и R = 4 R 9 Нека O A и O A са два успоредни радиуса на k и k, а R е радиусът на сферата От правоъгълните триъгълници A O O и A O O може да запишем: OO R R R 9, OO R R R 6 Тогава OO OO OO R 9 R 6 R 9 R 6, повдигаме в квадрат R 9 R 6 R 6 R 6 R 5 и намираме R = 5 Повърхнината на сферата е S σ = 4πR = 4π5 = 00π 66 ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ I част Невярно е твърдението от отг Б) Нека двете прави са a и b, като a c и b c Правите a и b може да са кръстосани или пресекателни и пак да са перпендикулярни на правата с Ако М и B са проекциите на М и В в α, от MM BB следва, че AMM ~ ABB и MM AM MM MM cm (отг Б) BB AB 4 Ако D е проекцията на върха В в α, от BC AC следва, че (ABC, α) = BCD = φ От правоъгълния ABD с BAD = 0 намираме AB = BD =, а от равнобедрения правоъгълен ABC пресмятаме BC = AB = 6 BD 6 В BCD sin и φ = 45 (отг Б) BC 6 4 Височината на конуса е h l r , а обемът V r h 5 00 (отг Б) 5 Повърхнината на цилиндъра е S C = πr(r + h), а на сферата S σ = 4πr От S C = S σ πr(r + h) = 4πr r + h = r r = h следва, че h : r = : (отг А) II част 6 От MC (ABC) и AC = BC следва, че AM = BM, ABM e равнобедрен и нека MN е негова височина (N е средата на АВ) AB MN MN От S = = 6 = ABM 5 намираме MN = 4 5cm, а от ACN получаваме CN = AC AN = 5 9 = 6 и CN = 4 cm В MNC пресмятаме MC = MN CN = 80 6 = 64 и MC = 8 cm AB CN Обемът на пирамидата е V = SABC MC = MC = = 64 8 cm 9

92 7 Щом околните стени сключват с основата равни ъгли, то височината се проектира в центъра О на вписаната в ABCD окръжност Нека MNO = 45 е линеен ъгъл на двустенния (ABM, ABCD) и NO = r е радиус на вписаната в основата окръжност От правоъгълния MON намираме r = MOcotg45 = От AB + CD = BC + AD = 0 (свойство на описания четириъгълник) следва, че P ABCD = 0, p = 0 cm и S ABCD = pr = 0 = 0 cm SABCD MO 0 40 Обемът на пирамидата е V = = = cm III част 8 Тъй като проекцията на върха D на тетраедъра е центърът О на описаната около ABC, то ъглите, които околните ръбове сключват с (ABC), са равни помежду си и нека (AD, ABC) = DAO = α От синусовата теорема в ABC намираме AO R AB sin 60 AB DO DO В правоъгълния AOD пресмятаме tg и α = 45 AO AB Следователно околните ръбове сключват ъгъл 45 с равнината на основата АВС 67 ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ а) Повдигаме двете страни на уравнението x x 7 в квадрат и получаваме: x x 4x49 x 5x500 x 0, x 5 С проверка установяваме, че само x = 0 е корен на ирационалното уравнение: x 0 : вярно; x 5: невярно б) Повдигаме двете страни на уравнението x x в квадрат и получаваме: x x 6x9 x 8x0 x 6, x С проверка установяваме, че само x = 6 е корен на ирационалното уравнение: x 6: 9 6 вярно; x : невярно в) Повдигаме двете страни на уравнението 87x x 4 в квадрат 4 При x40 x то е равносилно на: 8 87x9x 4x6 9x 7x80 x, x От x < и x < следва, че уравнението няма решение, те x г) Повдигаме двете страни на уравнението x x в квадрат и получаваме: 4x x 4x4 x 4x 6 0 Полученото уравнение няма реални корени (D = 4 6 = ) и следователно ирационалното уравнение няма решение, те x 9

93 д) При x уравнението x x x е равносилно на: 5 5 x x4x 4x x 6x0 x, x Следователно ирационалното уравнение има единствен корен x 5 а) Дефиниционното множество на уравнението е DM : x Тогава x x x 5 x x x x x 5 x x 6 x При x 6 последното уравнение е равносилно на 8x 8x = x x + 6 7x + 4x 6 = 0 8 x, x, като само x 7 DM и x 6 Следователно уравнението има единствено решение x = 8 Забележка Кое от числата x = и x е корен на даденото уравнение може да установим с 7 директна проверка, без да се налагат ограниченията x и x 6 Числото x = е решение, тъй като равенството 4 9 е вярно, докато при x 8 7 и x не съществуват б) Дефиниционното множество на уравнението е DM : x [; ] изразите x Тогава x x x x6x x6 4 x x6 7 x При x 7 последното уравнение е равносилно на x 6 = 49 4x + x x 6x + 55 = 0 x =, x = 5, като само x DM и x 7 Следователно уравнението има единствено решение x = 5 Забележка Кое от числата x = и x = 5 е корен на даденото уравнение може да установим с директна проверка, без да се налагат ограниченията x [; ] и x 7 Числото x = 5 е решение, тъй като равенството 8 е вярно, докато при x = се получава невярно числово равенство 8 в) Дефиниционното множество на уравнението е x [ 4; ] Тогава 4x x 4x x 4x 4x x 4 x x 4 x x 4 x x, x 0 x x 4 0, x 0; Корените на x + x 4 = 0 са x 50;, x 50; Следователно уравнението има единствено решение x 5 а) Уравнението е равносилно на x x7 x x5 0 Полагаме x x5 u, u 0 и получаваме: u + u = 0 u + u = 0 u = 4 < 0, u = > 0 9

94 От x x5 намираме x x59 x x40 x, x 4 Следователно уравнението има две решения: x = и x = 4 б) Уравнението е равносилно на x x5x x5 0 Полагаме x x5 u, u0 и получаваме u + u = 0 с корени u = 4 < 0 и u = > 0 От u = намираме: x x5 x x59 x x40 x, x 4 Следователно даденото уравнение има две решения: x = и x = 4 x x 4 x в) В уравнението полагаме u, u 0 x 4 x x 4 Решаваме дробното уравнение: u u u 0 u 0, u 0 u От u = намираме x x 4 x x 4 x x8 x x4 0 с корени x 5,, които са решенията на даденото уравнение 68 ПРОГРЕСИИ а) От a 5 = a + 4d = 4 изразяваме и a = 4 4d, заместваме в равенството a 9 = a + 8d = 6 4 4d + 8d = 6 4d = и намираме d = Тогава a = 4 4d = 4 4 = б) От S 9 a a9 a a 4 8 намираме a = 6, а от a 9 = a + 8d 4 = 6 + 8d 8d = 0 получаваме d = 5 в) a a a a a4d a8d 8 a d a d 9 a d 8 a 4d 9 Изваждаме почленно двете уравнения и получаваме d = и d = Тогава a d a d 4 Следователно a =, d = a a a a aa5 5 г) a a5a a5 5 a a 5 5a a a a 5 5 a a 5 Събираме и изваждаме двете уравнения на последната система и получаваме: a a 5 4 a d 4 d, a 7 a 4d 94

95 а) От a = a q = и a 6 = a q 5 = 6 намираме a aq 8 q 8, q = и a a aq б) От S 5 S 4 = a 5 = 5 и a 5 a = 0 следва, че a = 5 Пресмятаме a aq 5 q 5 и намираме q 5 Тогава a a 5 aq 4 a5 a4 576 aq aq aq q в) От намираме a a 9 aqa 9 a q 9 aq q q 64 q 4 и a a q 9 q a q 6 a q 56 S6 S 56 q q г) Преобразуваме S5 S a q 5 a q 8 q q 8 и след почленно деление на двете равенства получаваме q = От a q q q 8 a a q q q 6 a q q q 5 8 8a 8 намираме a = I начин Нека първите три члена на геометричната прогресия са x, xq, xq По условие x + xq + xq = 65 () Числата x, xq + 0, xq образуват аритметична прогресия Тогава (xq +0) = xq + x x xq + xq = 0 () От () и () стигаме до системата xxqxq 65 xxqxq 0 x qq x qq 0 = a 5 q = 5 = = q = 4 = x qq 65 Делим почленно x qq 0 и от qq q 0q 0 намираме q qq 4 = и q = За числата, образуващи аритметична прогресия, получаваме: При q = : x 0 q q и 5, 5, 45; при q = : x 0 q q и 45, 5, 5 Следователно търсената намаляваща аритметична прогресия е 45, 5, 5 II начин Нека първите три члена на намаляващата аритметична прогресия са x d, x, x + d, като d < 0 Тогава числата x d, x 0, x + d образуват геометрична прогресия От x d + x 0 + x + d = 65 x = 75 x = 5 и свойството на геометричната прогресия (x 0) = (x d)(x + d) намираме (5 0) = (5 d)(5 + d) 5 = 65 d d = 400 d, = ±0, като решение е само d = 0 Следователно аритметичната прогресия е 45, 5, 5 a q a q q q q q

96 4 Да означим с x, xq, xq, xq числата, образуващи геометричната прогресия Тогава числата x, xq +, xq, xq образуват аритметична прогресия и xq xxq xq q 4 xq xq xq xq q q 8 Разделяме почленно двете уравнения и получаваме q =, след което определяме и x = 4 Тогава геометричната прогресия е 4, 8, 6,, а аритметичната: 4, 9, 4, 9 5 За равностранния A B C r е радиусът на описаната окръжност k, а r е радиусът на вписаната в триъгълника окръжност k Тогава r = r (O е и медицентър на A B C ) и r = r a Редицата от радиусите r, r,, r 8 е геометрична прогресия с първи член r = = 6 и 8 6 частно q = 8 Тогава r r r r q 8 6 q cm РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК а) От α = 75 и γ = 60 намираме β = 45 bsin 6sin 60 6 bsin bsin 75 Тогава c, a sin sin и sin sin 60 4 S ABC bc 6 6 sin 6 sin б) I начин От косинусовата теорема за страната а следва, че c a c b cbcos 0 4c 6 c 4 c 4 c 0 c, и c = c b a 46 От cos 0 следва, че α = 90 ca bc Тогава γ = 60 и S = = = ABC b a asin 4 II начин От синусовата теорема sin sin sin b следва, че α = 90 и AB = BC AC = 6 4 = и AB = c a в) От косинусовата теорема намираме a b c bccos 58 5 и a = 5 bsin sin 5 От синусовата теорема пресмятаме sin a и csin sin5 sin a 5 0 а Лицето на триъгълника е S bc 5 sin 96

97 b c a г) Пресмятаме cos bc 69 4, c a b cos ca 9 6 и cos a b c ab 6 6 Лицето на триъгълника е S p p a p b p c ABC = = I начин От a b c bccos 60 59c c c c 40 Последното уравнение няма решение, от което следва, че такъв триъгълник не съществува bsin sin 60 5 II начин От синусовата тeорема следва, че sin a Равенството sin 5 е невъзможно, тъй като 5 > 0 0 Следователно такъв триъгълник не съществува I част 70 ИЗХОДНО РАВНИЩЕ ТЕМА ЗА САМОКОНТРОЛ От теорията знаем, че при g(x) 0: f x gx f x gx В нашия случай при x 0: 4x x 4x x (отг Б) Като вземем предвид, че a6 aq 8 6q q a4 aq 6 (отг Г) и q, то Нека х и у са добавените числа към 8-те числа a, a,, a 8 От a a a 8 00 и a a a x y 8 50 следва, че a a + + a 8 + x + y = x + y = 500 x + y = 900 x y 450 (отг В) 4 От ACB = 0 и AL ъглополовяща в равнобедрения ABC следва, че BAC = 0, LAC = 5 и ALC = 45 Прилагаме синусовата теорема за ALC: 6 AL AC ACsin AL sinacl sin ALC 0 6 6cm (отг А) sin 45 5 Нека a = 6 cm е основният ръб, k = 4 cm е апотемата, а h височината на правилната четириъгълна пирамида Тогава радиусът на вписаната в основата окръжност е a r = = cm и от h - k r = 6 9 = 7 намираме h = 7 cm (отг А) 97

98 II част 6 Уравнението представяме във вида 5x x 5, повдигаме двете му страни в квадрат и получаваме: 5 5x4x 0x5 4x x00 x, x 4, x 8 4 С проверка установяваме, че само x = 4 е корен на ирационалното уравнение 5 x 4: вярно; x 4 : невярно 7 От синусовата теорема намираме: BC RsinBAC Rsin 607 cm Означаваме AC = x и прилагаме косинусовата теорема: C BC AC AB AC ABcos x 8x 9 x 9x 90 = 0 x = 4, x = 5 Следователно AC = 4 cm 9 III част 8 От a, b, c следва, че a + c = b и c = b a От косинусовата теорема за ABC може да запишем: c a b ab cos 0a b ab a b ab Тогава b a a b ab 4b 4ab a a b ab b 5ab 0 a bb5a0 5ab a k, b5k b 5 От c = b a = 0k k = 7k намираме, че a : b : c = : 5 : 7 98