Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Размер: px
Започни от страница:

Download "Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,"

Препис

1 на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова

2 Собствени стойности и собствени вектори на матрица Нека A е квадратна матрица от n-ти ред. Комплексното (или реалното) число λ и ненулевият вектор v C n (или R n ) се наричат собствена стойност на A и съответен на λ собствен вектор (десен собствен вектор) на A, ако Av = λv. (1) Като пример нека разгледаме ( ) ( A =, v = ) ( 2, u = 3 ). Тъй като Av = ( ) ( 3 4 ) = ( ) ( 3 = 5 4 ) = 5v, то v е собствен вектор на A, отговарящ на собствената стойност λ = 5.

3 Собствени стойности и собствени вектори на матрица Тъй като Au = ( ) ( 2 3 ) = ( ) λu за всяко λ R, то u не е собствен вектор на A (за никоя собствена стойност на A).

4 Характеристично уравнение на матрица Преобразуваме (1) последователно Av λv = o Av λev = o (A λe)v = o, където E e единичната квадратна матрица от n-ти ред. Следователно уравнението (1) има ненулево решение за v, точно когато уравнението (A λe)v = o има ненулево решение. Последното уравнение е матричният запис на система хомогенни линейни уравнения. Както знаем, такава система има ненулеви решения, точно когато е неопределена, т.е. рангът ѝ не е максимален, т.е. точно когато основната ѝ квадратна матрица има нулева детерминанта det(a λe) = 0. (2) Уравнението (2) e полиномно уравнение от n-та степен за неизвестното λ и се нарича характеристично уравнение на матрицата A, а p(λ) = det(a λe) се нарича характеристичен полином на A. Корените на уравнението (2) (комплексни и реални) са собствените стойности на A.

5 Собствени вектори и собствени подпространства на матрица След като бъдат намерени собствените стойности на A, т.е. всички решения на уравнението (2), за намиране на съответните им собствени вектори v, всяка собствена стойност λ се замества в уравнението (A λe)v = o, v o. (3) Тъй като det(a λe) = 0, то горната система хомогенни линейни уравнения е неопределена и множеството от решенията ѝ заедно с нулевия вектор на R n образува векторно пространство, което се означава с V λ (то е векторно подпространство на R n ) и се нарича собствено подпространство на A, съответно на собствената стойност λ. Всяка база на V λ, т.е. фундаментална система решения на (3), се състои от линейно независими помежду си собствените вектори на A, съответни на собствената ѝ стойност λ.

6 Алгоритъм за намиране на собствените стойности и собствени вектори на матрица Нека A е квадратна матрица от n-ти ред. За намиране на собствените стойности на A и съответните им собствени вектори можем да използваме следния алгоритъм: 1) Намираме собствените стойности на A, като решаваме характеристичното ѝ уравнение det(a λe) = 0. 2) За всеки корен на характеристичното уравнение (собствена стойност на A) търсим съответните линейно независими собствени вектори v R n като фундаментална система решения на хомогенната система линейни уравнения (A λe)v = o.

7 Пример 1 Намерете собствените стойности, съответните им собствени подпространства и собствените вектори на матрицата ( ) 1 3 A =. 4 2 Характеристичното уравнение на матрицата A има вида det(a λe) = 0 1 λ λ = 0 λ2 3λ 10 = 0. Корените на уравнението, т.е. собствените стойности на A са λ 1 = 5 и λ 2 = 2.

8 Пример 1 Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на λ 1 = 5. Тогава v удовлетворява уравнението ( ) ( ) ( ) x 0 (A λ 1 E)v = =, y 0 откъдето получаваме 4x 3y = 0. Решенията на последното уравнение са елементите на едномерното векторно пространство V λ1 = {(3p, 4p) p R}, което е собственото подпространство на A, съответстващо на λ 1 = 5. Един ненулев вектор, принадлежащ на V λ1, е векторът v 1 = (3, 4), който е един собствен вектор на A, съответстващ на λ 1 = 5.

9 Пример 1 Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на λ 2 = 2. Тогава v удовлетворява уравнението ( ) ( ) ( ) x 0 (A λ 1 E)v = =, y 0 откъдето получаваме x + y = 0. Решенията на последното уравнение са елементите на едномерното векторно пространство V λ2 = {(q, q) q R}, което е собственото подпространство на A, съответстващо на λ 2 = 2. Един ненулев вектор, принадлежащ на V λ2, е векторът v 2 = (1, 1), който е един собствен вектор на A, съответстващ на λ 2 = 2.

10 Пример 2 комплексни собствени стойности Намерете собствените стойности и собствените вектори на матрицата ( ) 1 1 B =. 1 1 Характеристичното уравнение на матрицата A има вида det(b λe) = 0 1 λ λ = 0 λ2 2λ + 2 = 0. Корените на уравнението, т.е. собствените стойности на B са λ 1 = 1+i и λ 2 = 1 i. Аналогично на предишния пример, установяваме, че на всяка от двете собствени стойности съответства едномерно собствено подпространство, като v 1 = (1, i) е един собствен вектор, отговарящ на λ 1, а v 2 = (1, i) е един собствен вектор, отговарящ на λ 2.

11 Твърдение Собствените вектори на квадратна матрица, отговарящи на различни нейни собствени стойности, са линейно независими помежду си. Алгебрична кратност alg mult(λ) на собствена стойност λ на A се нарича кратността на λ като корен на характеристичното уравнение на A. Геометрична кратност geom mult(λ) на λ се нарича размерността на собственото подпространство V λ на A, съответно на λ, т.е. geom mult(λ) = dim V λ. За всяка собствена стойност λ е изпълнено alg mult(λ) geom mult(λ) 1. Ако λ e прост (еднократен) корен на характеристичното уравнение на A, то dim V λ = 1 (както видяхме в предходните два примера). Множеството от всички собствени стойности на A се нарича спектър на A. Ако всички собствени стойности на A са прости, то се казва, че A има прост спектър. В този случай собствените вектори, отговарящи на различните собствени стойности на A, образуват база на R n (казва се, че A притежава база от собствени вектори).

12 Пример 3 кратни собствени стойности Корените на характеристичното уравнение могат и многократни. Нека разгледаме следния пример. Намерете собствените стойности и собствените вектори на матрицата ( ) 2 1 C =. 1 4 Характеристичното уравнение на матрицата A има вида det(c λe) = 0 2 λ λ = 0 λ2 6λ + 9 = 0, чийто единствен двоен корен е λ 1 = λ 2 = 3.

13 Пример 3 кратни собствени стойности Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на единствената собствена стойност на C. Тогава v удовлетворява уравнението ( ) ( ) ( ) 1 1 x 0 =, 1 1 y 0 откъдето получаваме x y = 0. Решенията на последното уравнение са елементите на едномерното векторно пространство V λ = {(p, p) p R}, което е собственото подпространство на A, съответстващо на единствената ѝ собствена стойност λ = 3. Една база на V λ e векторът v = (1, 1). В този пример, за разлика от предходните два примера, алгебричната и геометричната кратност на собствените стойности не съвпадат. На двукратна собствена стойност съответства едномерно собствено пространство. Следователно разгледаната в този пример матрица не притежава база от собствени вектори.

14 Собствени стойности и собствени вектори на линейно преобразувание Нека f е линейно преобразувание на n-мерното векторно пространство V. Припомняме, че матриците на f в различните бази на V са подобни, т.е. ако A и B са матриците на f съответно в базите e и e на V, то B = T 1 AT, където T е матрицата на прехода от e към e. Твърдение Подобните матрици имат равни характеристични полиноми (следователно равни собствени стойности). Под собствени стойности на линейно преобразувание f на V ще разбираме собствените стойности на матрицата на f в произволна база на V.

15 Диагонализиране на матрица Квадратната матрица A M n n (K) се нарича диагонализируема над полето K, ако е подобна на диагонална матрица D M n n (K), т.е. ако D = T 1 AT ( A = T DT 1 ), (4) където D = λ λ λ n, λ i K, T M n n (K). Намирането на неособената матрица T, чрез която съгласно (4) от A се получава D, се нарича диагонализиране на A чрез неособеното линейно преобразувание T.

16 Диагонализиране на линейно преобразувание Линейното преобразувание f на векторно пространство се нарича диагонализируемо, ако съществува база на векторното пространство, в която матрицата на f е диагонална. Тази база (при условие, че съществува) е база от собствени вектори на f. Следователно неособената матрица T, чрез която се диагонализира f, е матрицата на прехода от базата, в която е зададено f, към база от собствени вектори на f, т.е. T съдържа в стълбовете координатите на собствените вектори на f.

17 Диагонализиране на матрица Твърдение Квадратната матрица A от n-ти ред е диагонализируема, точно когато притежава база от собствени вектори. Твърдение Квадратната матрица A от n-ти ред е диагонализируема, точно когато на всяка собствена стойност на A с кратност k съответства k-мерно собствено подпространство (т.е. k линейно независими собствени вектора). Твърдение Ако квадратна матрица A от n-ти ред има n различни собствени стойности (т.е. прост спектър), то A е диагонализируема.

18 Диагонализиране на матрица Твърдение Ако λ 1, λ 2,..., λ k са всички различни помежду си собствени стойности на квадратната матрица A от n-ти ред, то A е диагонализируема, точно когато сумата от размерностите на собствените подпространства V λi (i = 1, 2,..., k) е равна на n, т.е. dim V λ1 + dim V λ dim V λk = n. Забележка. Реалната квадратна матрица A от n-ти ред е диагонализируема над R, точно когато притежава само реални собствени стойности и база от собствени вектори.

19 Диагонализиране на матрица примери Да разгледаме квадратните матрици от 2-ри ред от трите примера. Матрицата A от Пример 1 има две различни собствени стойности λ 1 = 5 и λ 2 = 2, на всяка от които съответства едномерно собствено подпространство с бази съответно векторите v 1 = (3, 4) и v 2 = (1, 1). Тъй като всички собствени стойности на A са прости корени на характеристичното ѝ уравнение (т.е. A има прост спектър), то A е диагонализируема (над R, тъй като всички собствени стойности са реални). Изпълнено е D = T 1 AT, където D = ( ), T = ( ), T 1 = 1 ( ).

20 Диагонализиране на матрица примери Матрицата B от Пример 2 има само комплексни собствени стойности (въпреки че е реална) λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i. Съответни собствени вектори са v 1 = (1, i) на λ 1 и v 2 = (1, i) на λ 2. Тази матрица също има прост спектър и затова е диагонализируема, но над C. Изпълнено е D = T 1 AT, където D = ( 1 + i i ), T = ( 1 1 i i ), T 1 = 1 ( 1 i 2 1 i ).

21 Диагонализиране на матрица примери Матрицата C от Пример 3 има една собствена стойност, която е двоен корен на характеристичното ѝ уравнение λ 1 = λ 2 = 3. Но на тази собствена стойност съответства едномерно собствено подпространство (сумата от размерностите на всички собствени пространства на C e 1 < 2). Следователно C не притежава база от собствени вектори и не е диагонализируема.

22 Специални квадратни матрици Реалната квадратна матрица A = (a ij ) е от n-ти ред се нарича: симетрична, ако A T = A ( a ij = a ji ); антисиметрична, ако A T = A ( a ij = a ji, откъдето следва, че a ii = 0); ортогонална, ако AA T = A T A = E ( A T = A 1 ). Еквивалентно условие системата от редовете (стълбовете) на A е ортонормирана база на R n ; Комплексната квадратна матрица A = (a ij ) е от n-ти ред се нарича: ермитова, ако A = A ( a ij = a ji, комплексен аналог на симетрична матрица); антиермитова, ако A = A (комплексен аналог на антисиметрична матрица) унитарна, ако AA = A A = E ( A = A 1, комплексен аналог на ортогонална). Горните шест вида матрици спадат към т. нар. нормални матрици, за които е изпълнено AA = A A.

23 Диагонализиране на симетрични матрици (ортогонално диагонализируеми матрици) Квадратната матрица A се нарича ортогонално диагонализируема, ако A е подобна на диагонална матрица D чрез ортогонална матрица Q (привежда се в диагонален вид чрез ортогонално преобразувание), т.е. D = Q 1 AQ (D = Q T AQ). Твърдение (Спектрална теорема за симетрични матрици Аугустин Луи Коши) Ако A е симетрична матрица от n-ти ред, то: всички собствени стойности на A са реални; собствените вектори на A, които съответстват на различни собствени стойности, са ортогонални помежду си; A притежава ортонормирана база от собствени вектори, т.е. A е ортогонално диагонализируема.

24 Унитарно диагонализируеми матрици Най-широкият клас матрици, които имат само реални собствени стойности, са ермитовите матрици. Най-широкият клас унитарно диагонализируеми матрици (A = UDU, U унитарна) са нормалните матрици (Джон фон Нойман).

25 Диагонализиране на симетрична матрица Пример 4 Първият пример, който ще разгледаме, е на симетрични матрица с прост спектър. Да се диагонализира чрез ортогонално преобразувание симетричната матрица A = Характеристичното уравнение е λ 3 4λ 2 + λ + 6 = 0 с корени λ 1 = 3, λ 2 = 2 и λ 3 = 1. Съответни собствени вектори са v 1 = (0, 1, 1), v 2 = (1, 1, 1) и v 3 = (2, 1, 1). Тъй като трите вектора, отговарят на различни собствени стойности, те са ортогонални помежду си. Нормираме ги, за да получим ортонормирана база от собствени вектори ни A: e 1 = e 3 = v1 v = (0, 1, 1), e 2 = v2 v = (1, 1, 1), v3 v = (2, 1, 1).

26 Диагонализиране на симетрична матрица Пример 4 Тогава координатите на векторите e = {e 1, e 2, e 3 } формират стълбовете на ортогоналната матрица Q (на прехода от стандартната база на R 3 към ортонормираната база e от собствени вектори на A) Q = , чрез която симетричната матрица A се привежда в диагоналния си вид D = Изпълнено е D = Q 1 AQ (A = QDQ 1 ).

27 Диагонализиране на симетрична матрица Пример 5 Нека разгледаме и симетрична матрица, притежаваща кратни собствени стойности. Да се диагонализира чрез ортогонално преобразувание симетричната матрица A = Характеристичното уравнение е λ 3 12λ 16 = 0 с корени λ 1 = 4 и λ 2 = λ 3 = 2. На λ 1 съответства собственият вектор v 1 = (1, 1, 1). На λ 2 съответства двумерно собствено подпространство с база v 2 = (1, 1, 0) и v 3 = (1, 0, 1). Векторът v 1 е ортогонален на v 2 и v 3, тъй като отговарят на различни собствени стойности. Но векторите v 2 и v 3 не са ортогонални помежду си, тъй като отговарят на една и съща собствена стойност. Следователно, за да получим ортонормирана база от собствени вектори на A, първо трябва да се ортогонализира по метода на Грам-Шмид системата от двата вектора v 2 и v 3.

28 Диагонализиране на симетрична матрица Пример 5 Нека e 2 = v 2 = (1, 1, 0). Търсим вектор e 3, ортогонален на e 2, във вида e 3 = ce 2 + v 3. Тъй като c = (e2,v3) e 2, то пресмятаме (e 2 2, v 3 ) = 1 и e 2 2 = (e 2, e 2 ) = 2 и намираме e 3 = 1 ( 1 2 e 2 + v 3 = 2, 1 ) 2, 1. Сега трите вектора v 1, v 2 (= e 2 ) и e 3 са ортогонални помежду си. Чрез нормирането им получаваме ортонормирана база от собствени вектори на A: e 1 = e 3 = v1 v = (1, 1, 1), e 2 = v2 v = (1, 1, 0), e3 e = (1, 1, 2). Координатите на горните три вектора формират стълбовете на ортогоналната матрица Q, чрез която A се привежда в диагоналния си вид D, т.е. D = Q 1 AQ, където

29 Диагонализиране на симетрична матрица Пример 5 Q = , D =

30 Приложение на диагонализирането на матрица Нека A е квадратна матрица от n-ти ред, която е диагонализируема, т.е. A = T DT 1, където D е диагонална матрица. Лесно се установява, че ако D = Тогава λ λ λ n, то Dk = DD...D }{{} = k пъти A k = (T DT 1 )(T DT 1 )...(T DT 1 ) = T D k T 1. }{{} k пъти λ k λ k λ k n.

31 Приложение на диагонализирането на матрица Квадратен корен на матрицата A от тип (n n) е матрица B от тип (n n) такава, че A = B 2 (означаваме B = A 1 2 ). Не всяка квадратна матрица от n-ти ред има квадратен корен, а за някои квадратният корен не е единствен. Ако D е диагонална матрица, то квадратните ѝ корени могат лесно да бъдат намерени чрез коренуване на елементите по главния ѝ диагонал. Например D = ( a 0 0 b ) 1 2 = ( ± a 0 0 ± b ). Ако A е диагонализируема матрица, т.е. A = T DT 1, то от (T D 1 2 T 1 ) 2 = T DT 1 = A следва, че матриците B = T D 1 2 T 1 са квадратните корени на A.

32 Характеристчно уравнение на квадратна матрица от 2-ри ред Нека ( ) a b A = c d е произволна квадратна матрица от 2-ри ред. Характеристичното уравнение на A има вида λ 2 (a + d)λ + ad bc = 0. (5) Ако A = (a ij ) е квадратна матрица от n-ти ред, под следа tr (A) на A ще разбираме сумата на всички елементи от главния диагонал на A, т.е. tr (A) = a 11 + a a nn. Следователно за горната матрица от 2-ри ред имаме tr (A) = a + d. Освен това знаем, че det(a) = ad bc. Тогава характеристичното уравнение (5) добива вида λ 2 tr (A)λ + det(a) = 0. (6)

33 Характеристчно уравнение на квадратна матрица от 2-ри ред От формулите на Виет знаем, че ако λ 1 и λ 2 са двата корена на квадратното уравнение (5), т.е. собствените стойности на A, то λ 1 + λ 2 = tr (A), λ 1 λ 2 = det(a). (7) Аналогични формули са в сила и за квадратна матрица от произволен n-ти ред, т.е. ако λ 1, λ 2,..., λ n са собствените стойности на A, то tr (A) = λ 1 + λ λ n, det(a) = λ 1 λ 2...λ n. (8)

34 Характеристично уравнение на матрица Твърдение (Теорема на Кейли-Хамилтън) Всяка квадратна матрица A от n-ти ред удовлетворява характеристичното си уравнение, т.е. ако λ n + c 1 λ n c n 1 λ + c n = 0 (9) е характеристичното уравнение на A, то e изпълнено A n + c 1 A n c n 1 A + c n E = O, (10) където E и O са съответно единичната и нулевата квадратна матрица от n-ти ред.

35 Литература Т. Моллов, Ст. Миховски.. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, П. Балючев, К. Коликов, А. Стоянова. Ръководство за решаване на задачи по линейна алгебра. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald. Linear algebra and its applications, 5th ed. Pearson, G. Strang. Linear algebra and its applications, 4th ed. Nelson Engineering, G. Strang, Introduction to linear algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016, gs/linearalgebra/. H. Anton, C. Rorres. Elementary linear algebra (applications version), 11th ed. Wiley, P. J. Olver, Ch. Shakiban. Applied linear algebra, 2nd ed. Springer, T. S. Shores. Applied linear algebra and matrix analysis, 2nd ed. Springer, 2018.

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i

Подробно

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. ( точки) Дадени са линейно пространство U с базиси e 1, e и e 1 = e 1 +e, e = e 1 + 3e

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 +

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + Примерни задачи за линейни изображения - 21-211 уч год Задача 1 В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + e 2 + pe 3, a 2 = e 1 + e 2 + (p + qe 3, a 3 = 2e 1 + 3e

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе

Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означе Примерни задачи по Алгебра 1 за специалност Компютърни науки, II поток, 13-14 уч.г. 1 Задачи за контролна работа 1 Задача 1. Да се извършат означените действия: (i ( + i + ( i ; (ii (1 + i 3 (1 i 3 ; (iii

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да

Подробно

ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл

ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл. Илиев) У Ч Е Б Н А П Р О Г Р А М А ПО ДИСЦИПЛИНАТА:

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх къ

Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх къ Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх към несъседен връх и открай до край, без линиите на разрезите

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

C:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi

C:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА СОЗОПОЛ, 30 МАЙ ЮНИ 204 Г. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ НАЦИОНАЛНА

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ 40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно