Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Размер: px
Започни от страница:

Download "Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове"

Препис

1 Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x Числов ред (безкрайна сума) Сумата от първите члена на даден ред, x се нарича негова -та парциална (частична) сума. Ако съществува границата,, на редицата от парциалните суми, {,,,,..}, то казваме, че редът е сходящ и има сума : x li x li Ако тази граница не съществува (например, = ), тогава казваме, че редът е разходящ. Теорема : Ако една нарастваща (намаляваща) редица е ограничена отгоре (отдолу), то тя е сходяща. Теорема : За да бъде сходящ ред с положителни членове, необходимо и достатъчно е редицата от парциалните суми на този ред да бъде ограничена отгоре. Някои познати редове с положителни членове: () Геометричен ред q q... q... q, който е сходящ при q < и разходящ при q 0 Геометричния ред има парциална сума: Ако q <, то при q q, q, q q q () Обобщен хармоничен ред: който е сходящ при s > и разходящ при s s s s s

2 Семинар / 7 (3) Хармоничният ред Доказателство: Разглеждаме парциалната сума е разходящ! въпреки че редицата на първите члена на реда: x е сходяща! члена члена 3 члена... - члена Ако броят членове =, т.е. хармоничният ред е разходящ! (4) Редът , който е сходящ и има сума e неперовото число (е! =.788 ). 0 Метод на математическата индукция Индуктивни се наричат съждения, при които от частен пример се прави заключение за общото поведение. Доказателствата, базирани на метода на математическата индукция обикновено се свеждат до три стъпки: ) Начална стъпка: Проверяваме верността на твърдението за. ) Индукционна хипотеза: Допускаме, че твърдението е вярно и за. 3) Индукционна стъпка: Доказваме верността на твърдението и за.

3 Семинар 3 / 7 Признак (критерий) на Даламбер: Aко за всяка стойност на номера,, или поне от дадена стойност на нататък, е изпълнено x x неравенството q или, то редът x x положителни, поне от дадено нататък, е сходящ (или разходящ). x, чиито членове се предполагат Гранична форма на признака на Даламбер Ако съществува границата L >. x li L, то редът x x е сходящ при L <, и разходящ при Признак (критерий) на Коши: Aко за всяка стойност на номера,, или поне от дадена стойност на нататък, е изпълнено неравенството x или q x, то редът x, чиито членове се предполагат положителни, поне от дадено нататък, е сходящ (или разходящ). Гранична форма на признака на Коши Ако съществува границата li x L, то редът x е сходящ при L <, и разходящ при L >. Внимание! При L = признаците на Коши и Даламбер НЕ ни дават информация дали редът е сходящ или разходящ! Критерий на Лайбниц за ред с членове с алтернативни знаци Ако имаме ред от вида и () 0; 3...; и () li 0 редът е сходящ. Ако редът е сходящ редът Ако редът е разходящ, но редът нарича условно сходящ. се нарича абсолютно сходящ. е сходящ редът се

4 Семинар 4 / 7 Задача. Намерете сумата на реда: li li li редът е сходящ и неговата сума е ½. Задача. Като използвате метода на пълната математическа индукция покажете, че -та парциална сума на реда: е.. Проверяваме за :? - твърдението е вярно.. Допускаме, че е вярно и за :. 3. Доказваме, че е вярно за : 3 От друга страна, ако използваме формулата за сумата на първите члена: 3 Двата израза съвпадат, т.е. твърдението, че е доказано.

5 Семинар 5 / 7 Задача 3. Изследвайте сходимостта на редовете, като използвате признака на Даламбер: (б) ( ! (г) = 3!. ; 0 0 Използваме критерия на Даламбер: 0 L li li li 0 0 редът е разходящ. (б) ; / / 3 3 Използваме критерия на Даламбер: L li li li редът е сходящ ( !!! 3!! Както вече видяхме този ред е сходящ и има сума Нека изследваме сходимостта на реда и с признака на Даламбер: ;!!! редът е сходящ. L li li : li li 0!!! (г) 3! ; 3! Използваме критерия на Даламбер: редът е разходящ. e L li li li li

6 Семинар 6 / 7 Задача 4. Изследвайте сходимостта на редовете, като използвате признака на Коши: (б) ( l Използваме критерия на Коши: L li li li редът е сходящ. (б) Използваме критерия на Коши: L li li li e. 359 редът е разходящ. ( l Използваме критерия на Коши: L li li 0 l редът е сходящ. Задача 5. Изследвайте сходимостта на редовете, като използвате критерия на Лайбниц: (б) Първото условие от критерия от Лайбниц е изпълнено, т.к li li 0 0 второто условие не е изпълнено и редът е разходящ. (б) Първото условие от критерия от Лайбниц е изпълнено, т.к li li 0 второто условие също е изпълнено и редът е сходящ.

7 Семинар 7 / 7 Задачи за домашно: Задача. Намерете сумата на реда: а) б) г) Задача. Като използвате метода на пълната математическа индукция, покажете че -тата парциална сума на реда: а) е б)... e е Намерете общата сума на реда. Задача 3. Използвайте критерия на Даламбер, за да изследвате сходимостта на редовете: а) д) !! е) ж)! 3! б) г)! e з) и) 3! к) 0! e 0! Задача 4. Използвайте критерия на Коши, за да изследвате сходимостта на редовете: 3 4 а) б) 3 г) 3 д) 3 4 e) ж)* 5 l cos 4 Задача 5. Използвайте критерия на Лайбниц, за да изследвате сходимостта на редовете: а) б)

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

Microsoft Word - Sem3-Pharm-2018.doc

Microsoft Word - Sem3-Pharm-2018.doc Семинар 3 / Семинар 3: Производна на функция. Развитие на функции в ред на Тейлър. Правило на Лопитал Нека е дадена функцията y f (, която е определена в някакъв интервал Δ, Δ. Избираме в този интервал

Подробно

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc Лекция. Производни oт по-висок порядък. Развиване на функции в ред на Тейлър.. Производна от -ти порядък. Производната на дадена функция у = дефинирана и диференцируема в интервала a b на свой ред е дефинирана

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 6 / Семинар 6: Лява и дясна граница. Непрекъснатост на числови функции. Изследване графиките на функции: Кривина, максимум, минимум и инфлексна точка Лява и дясна граница на функция Числото b се

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни

Подробно

Microsoft Word - DIS.doc

Microsoft Word - DIS.doc Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

DIC_all_2015_color.dvi

DIC_all_2015_color.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

DIC_all_2014.dvi

DIC_all_2014.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант).. Уводни бележки. а) Интеграли и лица на фигури. Класическият въпрос за пресмятане лицата (

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

kk7w.dvi

kk7w.dvi Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,

Подробно

mathematical interface_Biologija i Himija

mathematical interface_Biologija i Himija Логаритъм log log P т.е. P P Основа на логаритъма. log 0 и log Логаритъмът е степента (), на която трябва да бъде повдигната основата (), за да се получи числото Р. Логаритми, използвани във физикохимията:

Подробно

Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива.

Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rg

Подробно

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the U

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the U МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceeings of the Thirty Fifth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 5 8,

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и науч

РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ Паисий Хилендарски на дисертационен труд за получаване на образователната и науч РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и научна степен доктор по професионално направление 4.5 Математика

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да

Подробно