Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Препис

1 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ Всеки полином с реални коефициенти n n f an an... a a a може да се представи по единствен начин като произведение на старшия си коефициент a n и на известен брой (различни по между си) елементарни множители от първи вид ( a) k и/или елементарни множители от втори вид ( p q) s, p q <, k s f a L a L p q L n Това представяне се нарича каноничен вид на полинома f. Функцията f се нарича рационална, когато е частно на два полинома, P f Q Рационалната функция f се нарича правилна, когато Q deg P P f Q е правилна рационална функция, deg P < degq. Тогава s s ( p q) ( p q) deg >. Нека f може да се запише като сбор от серии елементарни дроби. Всеки елементарен множител от първи вид ( a) k на k Q поражда серия елементарни дроби от първи вид, а всеки елементарен ( a) k множител от втори вид ( p q) s на Q поражда серия елементарни дроби от втори вид Bs Cs ( p q) s С други думи P k k L L L k k Q ( a) ( a) a Bs Cs Bs Cs B C L L p q Интегриране на елементарни дроби. Елементарните дроби от първи вид се интегрират непосредствено ln a Const a Const, k > k k ( a) k ( a) да се научим да интегрираме елементарни дроби от втори вид, отначало ще разгледаме интеграла I n, n,, K, a > n ( a ) При n имаме табличен интеграл

2 I arctg Const a a При n > се използва рекурентната формула n I n I n n n ( a ) na ( a ) na Интегриране на рационални функции. Ако рационалната функция P f, deg Q > Q не е правилна, deg P degq, отначало ще разделим полинома P на Q и съгласно теорема P Q q r, където q е частното, а r е остатъкът при това деление ( deg r < deg Q ), откъдето след разделяне на Q получаваме P r q Q Q Второто събираемо в дясната страна е правилна рационална функция. Сега имаме P r q Q Q което означава, че пресмятането на интеграла се свежда до интегриране на полином и интегриране на правилна рационална функция. Полиномите се интегрират непосредствено. Остава да покажем начин за интегриране на правилни рационални функции. Нека рационалната функция P f Q Q като произведение на е правилна и е известно представянето на знаменателя елементарни множители. Тогава f може да се запише като сбор от елементарни дроби и в крайна сметка интегрирането на f ще се сведе до интегриране на елементарни дроби. ЗАДАЧИ Да се решат следните интеграли. дача. J ( )( 5) Решение. Подинтегралната функция ( )( 5) е правилна. Разлагаме я на елементарни дроби. На множителя съответства само една дроб от вида защото този множител е на първа степен. И на втория множител 5 съответства само една дроб от вида B 5 защото и този множител е на първа степен. Следователно B ( )( 5) 5 Тук А и В са неопределени за сега коефициенти. да ги определим, привеждаме дясната страна на равенството под общ знаменател. Той е същият като знаменателя на лявата страна.

3 Ето защо сравняваме само числителите на лявата и дясната страна на равенството. Това е правило, което ще прилагаме и в следващите задачи. Получава се ( 5) B( ) Това равенство трябва да е вярно за всяка стойност на. Един начин за определяне на А и В е на да дадем такива стойности, че в получените равенства да участва само една от неопределените константи това се постига ако изберем така, че или, или 5. Нека ( 5) 7 Ако B B 7 Друг начин за определяне на А и В е да се сравняват коефициентите пред равните степени на от двете страни на равенството ( 5) B( ) ( B) ( 5 B) т.е.. ( B). ( 5 B). Коефициентът пред отляво е, следователно B. Аналогично коефициентът пред отляво е, следователно 5 B. Решаваме системата B 5 B като използваме формулите на Крамер (или по някой друг начин) 5 5 B Следователно 5.. ( )( 5) Тогава идва ред да решим дадения интеграл като го представим като сбор от интеграли от дробите, които заместват подинтегралната функция J ln( ) C ( )( 5) 5.. ln бележки.. Ако дробта е правилна и знаменателят и е разложен на множители, задачата за интегрирането и се прави както в тази задача.. Ако дробта е правилна и знаменателят и не е разложен на множители първо представяме този знаменател в каноничен вид и от множителите в него определяме вида на елементарните дроби, на които се разлага дадената дроб.. Ако дробта не е правилна първо се извършва деление на полинома от числителя с полинома на знаменателя и след това се пристъпва към интегриране. дача. J ( )( ) Решение. Дробта е правилна и знаменателят и е разложен на множители. Разлагаме я на елементарни дроби. На съответства една дроб от вида

4 и на множителя съответства една дроб, но от вида M N защото квадратният тричлен има отрицателна дискриминанта. Следователно M N ( )( ) Определяме стойностите на константите чрез привеждане под общ знаменател и сравняване на числителите. Получава се ( ) ( M N )( ) Определяме една от константите чрез задаване стойност на. Полагаме ( ). да определим другите две константи, сравняваме коефициентите пред съответните степени на. имаме M M имаме 9 N N Следователно 9 ( ) 5 J ln d( ) ( ) 9 5 ln ( ) d( ) ( ) d 9 5 ln ( ) ln( ) arctg C дача. J Решение. Дробта е правилна, но знаменателят и не е разложен на множители. Разлагаме го така Тогава на множителя ще съответстват три дроби, а на множителя само една дроб B D E Определяме константите от равенството B D E При E. При. Пред коефициентите от ляво и от дясно са съответно и D E. Следователно D E D E. Пред коефициентите от ляво и от дясно са съответно и B. Следователно B B. Тогава следователно

5 J ( ) C. ln ln дача. J Решение. Дробта е правилна, но знаменателят и не е разложен на множители. Разлагаме го така ( )( ) Тогава на множителя ще съответства една дроб и на множителя ще съответства една дроб M N (квадратният тричлен има отрицателна дискриминанта и за това в числителя на дробта стои линеен израз M N ). Следователно M N. Определяме константите от равенството ( ) ( M N )( ) При. Пред коефициентите от ляво и от дясно са съответно и M. Следователно M M Пред коефициентите от ляво и от дясно са съответно и N. Следователно N N местваме получените стойности и получаваме J ln( ) ( ) ln arctg C ln ln arctg C 6 6 дача 5. J Решение. Дробта не е правилна и знаменателят и не е разложен на множители. Извършваме първо делението на полиномите и

6 Тогава d J C N M N M arctg ln ln Константите, M и N определяме от равенството N M N M Получават се както в предните задачи, N M. Следователно C J arctg ln ln дача 6. J 5 Решение. дачата се решава абсолютно по същия начин както предната. Дробта 5 не е правилна и знаменателят и не е разложен на множители. Извършваме първо делението на полиномите 5 и Имаме Тогава 5 Разлагаме правилната дроб

7 на елементарни дроби B M N ( ) Определяме неизвестните константи от равенството B M N Сравняваме коефициентите пред равните степени на. имаме B M. имаме B N. имаме B. имаме. Получава се системата B M B N B Решение на получената система уравнения е, B, M, N. местваме тези стойности в елементарните дроби и решаваме дадения интеграл ( ) d( ) J ( ) ln( ) arctg( ) C дача 7. J ( )( ) Решение. Подинтегралната функция ( )( ) е правилна. Разлагаме я на елементарни дроби. На множителя съответства само една дроб от вида защото този множител е на първа степен. На втория множител ( ) дроби от вида M N P Q и ( ) защото този множител е на втора степен. Следователно M N P Q. ( )( ) ( ) Определяме неизвестните константи от равенството ( ) ( M N )( ) ( P Q)( )( ). P съответстват две

8 P Q M P Q N Q. Решение на системата уравнения е, M, N, P, Q Следователно J ln( ) ( ) Означаваме интеграла ( ) с I и го решаваме отделно, след което ще го заместим с това което получим в израза J ln( ) I. I. ( ) arctg. ( ) arctg d arctg arctg. arctg След заместване се получава ln arctg ln arctg C ln( ) ln( ) C бележка: Обърнете внимание как е решен arctg Първо в числителя се прибавя и изважда, след това се използва формулата за интеграл от разлика на две функции и на края интегралът се решава по части след предварително внасяне на под знака на диференциала. да не правим толкова подробно решение можем да използваме формулата n I n I n n n ( a ) na ( a ) na Тогава I I C arctg

9