54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

Размер: px
Започни от страница:

Download "54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200"

Препис

1 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем, че ако p, q и r са рационални числа и p + q + r е рационално число, то всяко от числата p, q и r е рационално. Нека p + q + r = s, където pqr 0 и s е рационално число. Тогава p + q = s r и след повдигане на квадрат получаваме p + q + pq = s + r s r. Записваме това равенство във вида pq = s + r p q s r и отново повдигаме на втора степен. Получаваме 4pq = M + 4s r 4Ms r, където M = s + r p q > 0, откъдето следва, че r е рационално число. Аналогично доказваме, че p и q са рационални числа. Нека естествените числа x, y, z имат исканото свойство. Тогава x + y, 005 x + z и y + z са рационални числа. Ако x + y = a b, където a и b са взаимнопрости, то 005.b = (x+y)a. Оттук следва, че a дели 005, което е възможно само ако a = 1. Следователно x + y = 005.b. Аналогично x + z = 005.c и y + z = Тогава x + y + x + z + y + z = 1 b + 1 c + 1 е естествено число. Тъй като b, c и са естествени числа имаме, че 1 b + 1 c Ако 1 b + 1 c + 1 = 3, то b = c = = 1 системата x + y = 005, x + z = 005 и y + z = 005 няма решение в естествени числа. Ако 1 b + 1 c + 1 =, то едно от числата b, c, е равно на 1, а останалите две са равни на и системата за x, y и z няма решение в естествени числа. Остава да разгледаме случая 1 b + 1 c + 1 = 1. Без ограничение предполагаме, че b c, като е ясно, че > 1. Ако > 3, то дадената сума е по-малка от 1. Следователно = или 3. При = 3 получаваме b = c = 3, а при = имаме 1 b + 1 c = 1, което има две решения b = 3, c = 6 и b = c = 4. Директно се проверява, че само при =, b = c = 4 системата има решение в естествени числа и то е: x = , y = z =.005. Следователно решенията на задачата са всички тройки от числа (x, y, z), две от които са равни на.005, а третото е равно на Задача. Окръжности k 1 и k се допират външно в точка T. Права пресича k 1 в точки A и B и се допира до k в точка X. Правата XT пресича k 1 в точка S и върху дъгата T S, 1

2 несъдържаща A и B, е избрана точка C. Нека CY е допирателната към k (Y k ), за която отсечката CY не пресича отсечката ST. Ако I е пресечната точка на правите XY и SC, да се докаже, че: а) точките C, T, Y и I лежат на една окръжност; б) точка I е център на външновписаната окръжност за ABC към страната BC. XT Решение. а) Понеже k 1 и k се допират, имаме <) BXT = = T S = <) T AS. Оттук лесно следва, че S е среда на дъгата AB. Тогава <) T CI = <) T AS (защото AT CS е вписан в k 1 ), <) T AS = <) BXT, <) BXT = <) T Y X (защото се измерват с една и съща дъга). Следователно <) T CI = <) T Y I, което означава, че около CT IY може да се опише окръжност. б) Тъй като <) AXS = <) T AS, получаваме че AXS T AS. Оттук намираме SA = ST.SX. От а) имаме <) CIT = <) CY T = <) T XY и следователно SXI SIT. Оттук намираме SI = ST.SX. Окончателно получихме SA = SI. Освен това от ( <) BCI = 180 <) BCS = 180 γ + α + β ) = 90 γ, следва, че CI е външна ъглополовяща на <) ACB. Остава да забележим, че SB = SA = SI и от равнобедрения BSI с <) BSI = <) BSC = α намираме <) BIS = 90 α. Сега от BCI намираме <) CBI = 90 β, което означава, че BI е външна ъглополовяща на <) ABC. Следователно I е центърът на външновписаната окръжност за триъгълник ABC към страната BC. Задача 3. Нека M е множеството на рационалните числа в интервала (0, 1). Съществува ли подмножество A на M такова, че всяко число от M може да се представи по единствен начин като сума на едно или краен брой различни числа от A? Решение. Ще докажем, че такова множество не съществува. Да допуснем противното. Нека a A и да допуснем, че съществува a A и a > a. Тогава числото a a < a може да се представи като сума на едно или краен брой различни числа от A. Тъй като всяко от тези числа е по-малко от a, то числото a = a + a a се представя по два различни начина (веднъж като a и втори път като a плюс числата от представянето на a a ) като сума на едно или няколко различни числа от A, противоречие. Следователно ако a A, то

3 ( a ) [ 1 A, a =. В частност във всеки интервал ), i = 1,,... има най-много един i, 1 i 1 елемент на A. Тъй като A е безкрайно (в противен случай като сума на различни числа от A могат да се получат краен брой числа, а рационалните числа в интервала (0, 1) са безкрайно много), оттук лесно следва, че числата от A могат да се подредят в безкрайна редица a 1, a,..., като a i a i+1 за всяко i. Ако за някое i неравенството е строго, то s = a i < i= i= a 1 i 1 = a 1. Това означава, че числата от интервала (s, a 1 ) не могат да се представят като сума на различни числа от A. Следователно a i+1 = a 1 i за всяко i. Тогава лесно се съобразява, че m само числата от вида a 1 могат да се представят като сума на едно или краен брой числа n от A. Тъй като всяко рационално число с нечетен знаменател, който е взаимнопрост със знаменателя на a 1, не може да се представи в дадения вид, получаваме противоречие, с което задачата е решена. Задача 4. Нека A B C е образ на ABC при ротация с център C. Точките M, E и F са средите съответно на отсечките BA, AC и B C. Ако AC BC и EM = F M, да се намери <) EMF. Решение. Нека a = BC = B C, b = AC = A C, c = AB = A B, γ = <) C. Понеже AA C BB C по втори признак, имаме AA : AC = BB : BC = k. Следователно AA = kb, BB = ka. Отсечките EM и F M могат да се изразят, като се използва формулата за медиана в триъгълник, или директно чрез формулата на Ойлер за разстоянието между средите на диагоналите на четириъгълник (напомняме, че тя е валидна и за неизпъкнал, дори за самопресичащ се четириъгълник): 4EM = k b + c + b + a A B b, 4F M = k a + c + b + a A B a. Условието EM = F M е равносилно с (k 1)(a b ) = 0, а оттам и с k = 1, понеже a b. Това е в сила точно когато AA C е равностранен, т.е. при ротация на ±60. Ще разгледаме 3

4 само случая на положително ориентиран ABC и ъгъл на ротация 60 ; останалите са аналогични. От CBA имаме а от AB C получаваме A B = a + b ab cos(60 γ), 4EF = B A = a + b ab cos(60 + γ). Ще докажем, че EF = EM. Като използваме изразяванията на двете отсечки, намираме че EF = EM е равносилно на: c + ab cos(60 γ) = a + b ab cos(60 + γ), откъдето поради a + b c = ab cos γ получаваме: ab cos(60 γ) + ab cos(60 + γ) = ab cos γ. Това равенство е еквивалентно на cos 60 cos γ = cos γ, което е вярно. Следователно EF = EM и значи <) EMF = 60. Задача 5. Ако t, a и b са положителни цели числа, то (t, a, b)-игра наричаме следната игра между двама: първият заменя t с едно от числата t a или t b, след това вторият заменя полученото число, като изважда от него a или b, след това отново първият изважда a или b от числото, получено от втория и т.н. Губи този, който пръв получи отрицателно число. Да се докаже, че съществуват безбройно много t, така че първият играч има печеливша стратегия за (t, a, b)-игра за всички a и b със сума 005. Решение. Първо ще докажем, че ако (t, a, b)-игра е печеливша за някой от двамата, то (t + a + b, a, b)-игра е печеливша за същия играч. Да означим първият играч с A, а вторият с B. Нека B има печеливша стратегия за (t, a, b)-игра. При (t + a + b, a, b)-игра след ход на A се получава (t + a, a, b)-игра или (t + b, a, b)-игра, като на ход е B. И в двата случая B може да получи (t, a, b)-игра, при която той отново е втори и следователно ще спечели. Нека A има печеливша стратегия за (t, a, b)-игра. Тъй като A може да получи (t a, a, b) или (t b, a, b)-игра, при която той е втори, то следва, че или (t a, a, b), или (t b, a, b)-игра е печеливша за играещия втори. Без ограничение нека това е (t a, a, b). От доказаното по-горе следва, че (t a + a + b = t + b, a, b)-игра е печеливша за играещия втори. Понеже от (t + a + b, a, b)-игра A може да получи (t + b, a, b)-игра, в която той е втори, то (t + a + b, a, b)- игра е печеливша за A. Ще докажем, че при t = 004 и a + b = 005 първият играч A има печеливша стратегия. Без ограничение a b. Тъй като a > 0, то 004 b. За да спечели A трябва да извади от t = 004 числото b. Тогава остава числото 004 b, което поради a+b = 005 е по-малко от a. Това означава, че при всеки ход на B ще се получи отрицателно число. Сега от доказаното по-горе следва, че за всяко s при t = s005 и a + b = 005 играта (t, a, b) е печеливша за A. 4

5 Задача 6. Нека a, b и c са естествени числа такива, че ab дели c(c c + 1) и a + b се дели на c + 1. Да се докаже, че множествата {a, b} и {c, c c + 1} съвпадат. Решение. Първо ще докажем, че ако x, y и n са естествени числа, за които > n, то x + y x + y n + 1 n + n +. Понеже > n(x + y), то = n(x + y) + r, където r е естествено число. Записваме горното равенство във вида (x n)(y n) = n + r, откъдето следва x > n и y > n. Оттук x = n + 1 и y = n + и 1 = n r + r. Тогава като използваме неравенството A + r 1 A + 1, което е вярно при A > 0 и r 1 и свойството, че ако 1 = n +r, то n +r, намираме: x + y = n n( 1 + ) = n + n r n n + r n + n r n + 1 n + n + 1. Равенство имаме точно когато {x, y} = {n + 1, n + n + 1}. От условието следва, че c(c c + 1) = pab и a + b = q(c + 1), където p и q са естествени числа. Следователно c(c c + 1) c + 1 за x = pqa и y = pqb. Тогава x + y = c = pqab a + b = x + y c c + 1 = c c + 1. Следователно x + y > c 1 и съгласно доказаното свойство x + y c (c 1) + (c 1) + = c c + 1. Следователно имаме случай на равенство, което означава, че {x, y} = {c, c c + 1}. Тъй като c и c c + 1 са взаимнопрости, то от x = pqa и y = pqb следва, че p = q = 1. Окончателно получаваме {a, b} = {c, c c + 1}. Задачите са предложени от: 1 Олег Мушкаров, Стоян Атанасов, 3 Николай Николов, 4 Ивайло Кортезов, 5 Емил Колев, 6 Александър Иванов. 5

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

kk7w.dvi

kk7w.dvi Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,

Подробно

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимен математически турнир Атанас Радев 8 9 януари 0 г., ЯМБОЛ Тема за 8 клас Задача. Във футболно първенство всеки отбор

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 9.1. Да се намерят стойностите

Подробно

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.

Подробно

Microsoft Word - variant1.docx

Microsoft Word - variant1.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа

Подробно

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания януари 2013 г., ПЛОВДИВ Тема за

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания януари 2013 г., ПЛОВДИВ Тема за МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания 6 7 януари 03 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас, решения и оценяване Задача 8.. Цената на един

Подробно

Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 2007 г. Кратки решения на

Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 2007 г. Кратки решения на Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 007 г Кратки решения на задачите Задача 91 Да се намерят всички стойности на

Подробно

tu_ mat

tu_ mat ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА юли 00 г. ВАРИАНТ ВТОРИ ПЪРВА ЧАСТ Всяка от следващите 0 задачи има само един верен отговор. Преценете кой от предложените пет отговора на съответната задача

Подробно

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ:

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ: М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6 май 9 г. Вариант УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 8 задачи по математика от два вида:

Подробно

DZI Tema 2

DZI Tema 2 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

VTU_KSK14_M3_sol.dvi

VTU_KSK14_M3_sol.dvi Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий 07 юли 01 г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. Да се решат уравненията: 1.1. x +x+1 = 1 x 1 + 8x 1 x 3 1 ; 1.. log x+log x 3 = 0; 1.3. x+1 +6. x 1 = 0. Задача. Дадено

Подробно

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, 9 31 март 013 г. Тема за 9 клас Задача 1. Да се намерят всички стойности на реалния

Подробно

C:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi

C:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА СОЗОПОЛ, 30 МАЙ ЮНИ 204 Г. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ НАЦИОНАЛНА

Подробно

M10_18.dvi

M10_18.dvi СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...

Подробно

033b-t.dvi

033b-t.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 5

Подробно

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: 1.. + = 3 +1 + 8 = 5 4 3 3. 4. 4 5 + 1 = +6+9 +3 1 + 4 = 1 4 + 5. +1 + = 9 +1 10 6. ( -5) +10( -5)+4=0 7. 11 3-3 = 3 5+6 8. 1 +30 1 16 = 3 7 9

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2)

(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2) ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 0 юли 0 г Вариант Периодичната десетична дроб, () е равна на: 6 6 6 ; б) ; в) ; г) 5 50 500 9 Ако a= 6, b= 6 +, то изразът a + b има стойност: b a ; б) ;

Подробно