I

Размер: px
Започни от страница:

Download "I"

Препис

1 . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване на нелинейни уравнения. Условията, които трябва да са изпълнени за прилагането му и гарантират съществуването на точно един реален корен * в [a,b] са: ) f(), f (), f () са дефинирани и непрекъснати в интервала [a,b]; ) f(a)f(b)<0 функцията има различни знаци в a и b; 3) f (), f () са с постоянни знаци в [a,b]. Имаме четири възможни случая:

2 Приближаване чрез допирателни посредством метода на Нютон (за случай I) се извършва като от единия край на интервала ( 0 =b) се построява допирателната към f() и за първо приближение към корена * се взима пресечната точка на допирателната с оста O. На следващата стъпка (итерация) се построява допирателната към f() в точката и се получава като пресечна точка на допиртелната с оста O и т.н. Така получаваме безкрайната редица от приближения: 0,,, k,

3 Началното приближение 0 трябва да е в онзи край на интервала [a, b], за който е изпълнено f( 0 )*f ( 0 )>0, като за случаите I) и IV) 0 =b, а за II) и III) 0 =a. Итерационният процес е: За грешката е валидна оценката: M * ( ) ( ) = + f. m, където M ma f ( ) [ a, b] f =, m mi f ( ) =. [ a, b] 3

4 Задача Да се намери с точност 0,00 (0-3 ) коренът на уравнението - si()=0,5 по метода на допирателните. Решение: Локализираме корена графично и виждаме, че решението (пресечната точка) е в интервала [;,5] Изпълнено е условието функцията да има различни знаци в двата края на избрания интервал [a,b] или f(a)f(b)<0: ( ) ( ) = ( ) ( si 0.5 )*(.5 si(.5) 0. ) f * f.5 5 =

5 Също така проверяваме дали първата f () и втората f () производна на функцията са с постоянни знаци в интервала [;,5]:

6 Определяме в кой край на интервала ще е началното приближение съгласно f( 0 )*f ( 0 )>0: ( ) ( ) ( ) ( si 0.5 )*si( ) f * f = = ( ) ( ) ( ) ( si.5 0. ) ( ) f.5 * f.5 = 5 *si. 5 = Итерационният процес + = ( ) ( ) si 0, 5 ще е сходящ при 0,5 cos =. m За оценка на грешката изчисляваме константите: = mi cos( ) = 0, 4597, M ( ) [;,5] = ma si = 0,9975, M / m =,0849. [;,5] 6

7 Изчисленията са представени в таблицата: f ( ) ( ) ε =, 0849( ) f 0,5 0,55 0,993 -,835 0,0364 0,664 0,080>0,00,735 0,004 0,63 0,0033>0,00 3,7 0, <0,00 Забележка: Ако не закръгляме до четвъртия знак, на третата стъпка бихме 6 имали грешка 5.0. Закръгляме до четири знака след десетичната запетая: = =, ( ),5 0, 55 / 0,993, 83 f ( ) = 0, 0364, ( ) f = 0, 664 ;, 83 0, 0364 / 0, 664,735 ε =,0849, 83,5 = 0,080, ε =, 0849,735, 83 = 0, 0033, = =, ( ) f ( ) = 0, 004, ( ) f = 0, 63; = =, ( ) 3,735 0, 004 / 0, 63,7 Отговор: 3 * =,7. ε =, 0849,7,735 = 0,

8 Решаване със система Mathematica Да се намери с точност 0,00 коренът на уравнението -si()=0,5 по метода на допирателните. 8

9 9

10 Задача Да се намери с точност метода на допирателните. Задача коренът на уравнението e 0 + = по Да се намери с точност по метода на допирателните. 0 0 коренът на уравнението e = 0 0

11 Приближено решаване на системи линейни алгебрични уравнения Метод на простата итерация (Метод на Якоби) Това е итерационен метод. Точното решение може да се получи като граница на редица от последователни приближения. Дадена е системата линейни алгебрични уравнения (СЛАУ) A. където A е матрица с реални коефициенти с размерност, вектор на неизвестните (търсеното решение; корен), b дясна част. = b, A { aij} a a... a a a... a a a... a = = i, j= ; =... ; b b b =... b 0.

12 В разгърнат вид системата е: a + a a = b a + a a = b... a + a a = b. Тя се модифицира във вида C d = +. C { cij} i, j =, c ii = 0, = c ij aij = a, ii d i b i = a, ii 0 ii a за i=,. Привеждането в такъв вид става като първото уравнение се дели на a и всички останали членове се прехвърлят отдясно, второто уравнение се дели на a и т.н. Така от всяко уравнение се изразява неизвестното i от i-тия ред на системата.

13 Итерационният процес е ( k+ ) ( k) = C + d, k = 0,,... начално приближение. В разгърнат вид имаме:, където ( 0) е произволно ( k+ ) ( k) ( k) = c c + d ( k+ ) ( k) ( k) = c c + d... ( k+ ) ( k) ( k) = c + c d, k = 0,,... От тук последователно изчисляваме редицата от приближения: ( 0) ( ) ( k),,...,,... Заместваме известната стойност ( k) в дясната част и изчисляваме следващото приближение ( k ) +. Сходимост на метода на простата итерация за СЛАУ Достатъчно условие за сходимост на итерационнния процес при произволно начално приближение ( 0) е поне една норма на матрицата C да е по-малка от, т.е. да е изпълнено поне едно от следните неравенства: 3

14 C = ma c < i=, ij, C = ma cij < j=, j= i, = C 3 cij. i= j= = < За близостта на приближеното решение ( k) към точното решение * е валидна оценката ( ) ( k) k ( 0) d * C + C. За намиране на минималния брой итерации k, необходими за да се постигне желаната от нас точност ε, е достатъчно да се реши следното неравенство относно k: C ( k) ( 0) d + < ε C или l ε ( 0) d + C k > l C. 4

15 Задача 4 Да се реши по метода на простата итерация системата: + = = ( = 0 ε 3 ( 0) Работете с междинна точност от три знака след десетичната запетая 3 = 0 ), като за начално приближение изберете нулевия вектор ( 0,0,0) =. Решение: С директна проверка се вижда, че точното решение е = (, ;,6; 0,586) Построяваме матрицата C. Делим първото уравнение на, второто на 5 и третото на 0. Изразяваме неизвестните от главния диагонал: 5

16 = 0,5 0,5,5 3 = 0,6 + 0, 4 + 0, 3 = 0, + 0, ,5 0,5 C = 0,6 0 0, 4 0, 0, 4 0 Проверка за сходимост., d,5 = 0, 0. C i=, j= { } = ma c = ma,, 0.5 = ij C j=, i = { } = ma c = ma 0.7, 0.9, 0.9 = 0.9< ij C 3 = c = =.9 = i= j= ij 6

17 Втората норма е по-малка от и следователно методът на простата итерация е сходящ. 3 Намиране на минималния брой итерации за постигане на зададена точност ε. ( ) Пресмятаме k по формулата ( ) ( ) 0 T 0 = 0,0,0 = 0 k l ε ( 0) d + C > l C. d T ( ) d =.5,0.,0 =,7 C = 0,9 7

18 k 0,00 l, ,9 9,74097 > = = 9, 4537 l 0, 9 0,0536 ( ) 4 Изпълнение на получения брой итерации. Точките 3 и 4 могат да бъдат заменени с т.н. стоп-критерий: ако ( k) ( k ) ε <, то * ( k) = с точност ε. В координатен вид: ако ( k) ( k ) < ε за i, i i =, то * ( k) = с точност ε. Записваме формулите за пресмятане на проста итерация: ( k+ ) ( k) ( k) = 0,5 0,5 ( k+ ) ( k) ( k) ( k+ ) ( k) ( k) 3,5 = 0, , 4 + 0, = 0, + 0,

19 За начално приближение имаме ( 0) ( ) = 0,0,0 T. Заместваме и получаваме първо приближение (първа итерация): ( ) 3 ( ) ( ) = 0,5*0 0,5*0,5 = 0,6*0+ + 0, 4* 0+ 0, = 0,*0 + 0, 4* ( ) 3 ( ) ( ) =,5 = 0, = 0 За второ приближение заместваме с полученото ( ) : ( ) 3 = 0,5*0, 0,5*0,5 ( ) ( ) ( ) = ( ) = 0,6*, , 4* 0+ 0, 0,*,5 + 0, 4*0, + 0 ( ) 3 ( ) ( ) =, 4 =, = 0, 3 ( 3) 3 На третата итерация имаме: = 0,5*, 0, 5*0, 3,5 ( 3) ( ) ( 3) = ( ) = 0,6*, , 4*0, 3+ 0, 0,*, 4 + 0, 4*, + 0 ( 3) 3 ( 3) ( 3) =,065 =,3 = 0,58 и т.н. 9

20 Резултатите нанасяме в таблица: k ( k) ( k) ( k) 3 ( k+ ) ( k) ( k+ ) ( k) ( k+ ) ( k) , 0,5 0, , 0,9 0, ,335 0,03 0, ,59 0,06 0, ,005 0,087 0, ,0478 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) = <0.00 ( ) ( ) = < ( ) ( ) = <0.00 0

21 При точност ε = 0,00 със стоп-критерий k =. = (, ;,6; 0,586) T Колко итерации ще са достатъчни за изчисляване на решението на същата система с точност ( ) ( ) ( ) 0 T 0 = 0,0,0 = 0 ε 5 = 0 с втора норма? d T ( ) d =.5,0.,0 =,7 C = 0,9 0, 0000 l, ,9 k > = 36,6 k = 37 l 0,9 ( )

22 Решаване със система Mathematica

23 3

24 4

25 5

26 Задача 5 Да се реши по метода на простата итерация системата: ( 4 = + 4 = 6 ε ( 0) = 3 Работете с междинна точност от шест знака след десетичната запетая 6 = 0 ), като за начално приближение изберете нулевия вектор ( 0,0,0) =. Задача 6 Да се реши по метода на простата итерация системата: = = = 4 3 Работете с междинна точност от три знака след десетичната запетая, като за начално приближение изберете нулевия вектор. 6

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ . Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Mathematica CalcCenter

Mathematica CalcCenter Mathematica CalcCenter Основни възможности Wolfram Mathematica CalcCenter е разработен на базата на Mathematica Professional и първоначално е бил предназначен за технически пресмятания. Информация за този

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна

Подробно

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисления върху уравненията за отравяне на ядрения реактор

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

M10_18.dvi

M10_18.dvi СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >

Подробно

Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при

Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при изследване на устойчивостта на равновесната форма

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc Лекция. Производни oт по-висок порядък. Развиване на функции в ред на Тейлър.. Производна от -ти порядък. Производната на дадена функция у = дефинирана и диференцируема в интервала a b на свой ред е дефинирана

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИ

Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИ Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ Информационните технологии инструментариум за решаване

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.

Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред. Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен

Подробно

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 3.1 Обучение по Числени методи и моделиране на вериги и полета част I в магистърския кур

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 3.1 Обучение по Числени методи и моделиране на вериги и полета част I в магистърския кур Обучение по Числени методи и моделиране на вериги и полета част I в магистърския курс по Електротехника Тодорка Червенкова, Атанас Червенков A Training of Numerical Methods and Modeling of ircuits and

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно