Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
|
|
- Пандо Славов
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква околност на точката х, и да има в тази точка производни от всички порядъци. Тогава, редът f ( ) S f f f f ( n) n () ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )... n n!!! се нарича ред на Тейлър (по името на английския математик Brook Talor, 685 7). Теорема: Ако редът на Тейлър, S(), за функцията f() е сходящ в някаква околност, х h < < х + h, на точката х, то във въпросната околност този ред е идентичен с функцията f(), т.е. Правило на Лопитал f ( ) n f ( ) S( ) ( ) за n! n ( n) h Нека функциите f() и g() са диференцируеми в някаква околност на точката х и за тях е в сила и g f. Тогава, ако производната дадената околност на точката, то е в сила съотношението: Задача. Намерете производнaта d df () f f dg () g g за неявните функции: dg б) ln e sin sin e е различна от нула в d d d d d d d
2 Семинар 4 / 7 d ln ln б) e e d d e e d e e e sin sin sin cos d d sin cos d sin cos sin cos d d d e e d d e e e Задача. Намерете производнaта d, ако: a cos ; a sin б) e sin ; e cos a) asin ; d a cos d co d d б) d d e cos sin e e e e e d d e cos sin sin cos ; cos sin Задача. Намерете производните на сложните функции: log б) logcos sin ln ln e е) g ln ln d log ln ln ln sin log sin ln cos б) cos sin
3 Семинар 4 / 7 cos ln cos sin ln sin d sin cos co ln sin g ln cos ln cos ln cos d d ln ln ln ln ln ln ln ln d d ln ln ln ln ln ln ln d d d e e e ln ln e e ln d ln e e d ln ln ln ln ln ln e e e d d g dln sin sin ln g ln sin ln sin g g е) d ln sin ln sin g cos cos sin cos d ln sin sin cos g Задача 4. Развийте в ред на Тeйлър функцията f ( ) e около точката. f e f e f e f e () () f e f e... ( n) ( n) f e f f f f f f...!!! n e...!!! n! n
4 Семинар 4 4 / 7 Задача 5. Развийте в ред на Тeйлър функцията f( ) около точката. f f f ln f ln ln () () f ln f ln ln... ( n) n ( n) n n f ln f ln ln f f f f!! () ()... ln ln ln...!!! За да установим дали горната формула е в сила за всяко трябва да проверим дали редът е сходящ. За целта можем да използваме критерия на Даламбер: n n ln n ln ; n un u n! n! n n n n n u n! ln n! ln ln n ln n n n n n n u! ln n! ln n n n n n n редът е сходящ. Задача 6. Развийте в ред на Тeйлър функцията f ( ) sin около точката. f sin f () () () () (4) (4) f cos f f sin f f cos f f sin f
5 Семинар 4 5 / 7 f f f f f...!!! ( ) sin... 6 n! 5 n 4 n Задача 7. Развийте в ред на Тeйлър функцията f ( ) sin около точката I начин: n f sin f () () () () (4) (4) f cos f f 4sin f f 8cos f 8 f 6sin f f f f f f...!!! 8 ( ) sin... 6 n! II начин: 5 n n 4 n n. От предната задача знаем, че развитието на функцията f ( ) sin около точката e: ( ) sin... 6 n! 5 n 4 n В случая, обаче, аргументът на функцията, която искаме да развием е, а не в n развитието, което вече сме получили заместваме с : 5 n 8 ( ) 5 4 sin ! n n n с което получихме развитието на функцията, изведено и по първия начин.
6 Семинар 4 6 / 7 Задача 8. Използвайки правилото на Лопитал, пресметнете границите: sin cos б) 4 8 e sin 4sin cos б) dsin sin cos d cos dsin cos sin cos d d e sin e cos e sin 6 4sin cos 4sincos 4 sin cos 4 Задачи за домашно: Задача. Пресметнете производните на сложните функции: log cos б) sin ln logcos g е) cos Задача. Намерете производнaта d 8 б) sin cos 5 е) за неявните функции: ж) cos sin ln ln
7 Семинар 4 7 / 7 Задача. Намерете производнaта d, ако: sin a б) 5 7 g log 5 arcsin 5 Задача 4. Развийте в ред на Тeйлър, около точката a) f ( ) cos б) f, следните функции: f 5 f ( ) cos f cos e) f ( ) sin ж) f ( ) e Задача 5*. Развийте в ред на Тeйлър, около точката a, следната функция: f ( ). Пресметнете стойността на, използвайки полученото развитие, като използвате членовете до втора степен включително. Направете пресмятането за две различни стойности на a (точката, около която развивате). a и a 9 Задача 6. Използвайки правилото на Лопитал, пресметнете границите: 85 8 cos sin 5 б) 45 9 arcan
Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар 6 / Семинар 6: Лява и дясна граница. Непрекъснатост на числови функции. Изследване графиките на функции: Кривина, максимум, минимум и инфлексна точка Лява и дясна граница на функция Числото b се
ПодробноСеминар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна
ПодробноКвадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a
Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (
ПодробноЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II. ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача 2. Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсци
ЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсцисата, +, 5, +, 6 + 8,, 8 + 7, 8 9 8 7, 6 + 6, +,, 6 +,
ПодробноСеминар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива.
Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rg
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноDIC_all_2015_color.dvi
РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
ПодробноMicrosoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc
Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0
ПодробноDIC_all_2014.dvi
РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
ПодробноСеминар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.
Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен
ПодробноMicrosoft Word - IGM-CA2222ааа.doc
Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността
ПодробноMicrosoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
Подробно16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
Подробно110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр
0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим
ПодробноСеминар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)
Семинар 5 Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: dy dy =X)Yy) =X) + C Yy) Ако е зададено гранично условие, то намираме частно решение (ЧР): y )
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
ПодробноMicrosoft Word - Sem8-Pharm-2018.docx
Семинар 8 1 / 7 Семинар 8: Комплексни числа. Вектори в тримерното пространство Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к.
Подробно1. Намерете: xsin x lim x 0 ln( x ) Пресметнете интеграла: x 4 ln x dx
sin 0 ( 4 ) 4 d +, 5 - - ( 1) + d + + 5 = t, t, t [ 0, ] - - : 5 + 4 ( + 5 )sin( 4 ) d Намерете обема на тялото, получено от завъртането на y = ( + ), [0, 7 / ] около оста O 1Намерете: ( 1) 1 sin ( π )
ПодробноКомплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо
Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент
ПодробноПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ
. Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за
ПодробноДИМЧО СТАНКОВ
ДИМЧО СТАНКОВ c, r E ( ) ln ( ) (ln ) (З) (П) r() F (, ) k (З) О v МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ за студенти по икономика 7 П Р Е Д Г О В О Р Настоящият учебник е предназначен за студентите от специалност Икономика
ПодробноExam, SU, FMI,
Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни
ПодробноMicrosoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc
7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноMicrosoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc
Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна
ПодробноMicrosoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc
Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc
6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите
ПодробноЗадача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =
Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x
Подробноmathematical interface_Biologija i Himija
Логаритъм log log P т.е. P P Основа на логаритъма. log 0 и log Логаритъмът е степента (), на която трябва да бъде повдигната основата (), за да се получи числото Р. Логаритми, използвани във физикохимията:
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >
ПодробноMicrosoft Word - variant1.docx
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа
Подробно