Кинематика на материална точка

Препис

1 8. ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ И ВЕЛИЧИНИ, КОИТО ГО ХАРАКТЕРИЗИРАТ. МАТЕМАТИЧНО, ФИЗИЧНО И ПРУЖИННО МАХАЛО. Хармонични трептения. В природата често се се наблюдават процеси, при които дадена система се връща в първоначалното си състояние след определен период от време. Примери за такива процеси са движението на махало, движението на топка, пусната от някаква височина надолу към повърхността на Земята, класическите представи за движението на електроните в атома. Всеки такъв процес, който се характеризира с определена повтораемост във времето, се нарича периодичен процес или трептене (колебание). При всички трептения някаква величина се изменя периодично с времето това може да бъде разстояние от някаква точка, ъгъл на отклонение, сила, електричен заряд, напрежение, големина на електричен ток и др. В зависимост от променящата се величина се разглеждат различни видове трептения механични, електромагнитни, електромеханични и др. Тук ще се разглеждат механични трептения и ще се даде кратко описание за това как могат да възникнат периодични движения в механиката. Когато векторната сума от всички сили, които действат на една материална точка е нула и същевременно материалната точка е в покой, се счита, че последната се намира в състояние на механично равновесие. Състоянието на механично равновесие може да е устойчиво, неустойчиво или безразлично. Ако малко отклонение от положението на равновесие води до възникване на сили, които още повече отклоняват материалната точка от равновесното положение, равновесието е неустойчиво. Когато при малко отклонение от равновесното положение възникват сили, които връщат материалната точка в равновесното положение, то се нарича устойчиво. Ако при произволно отклонение от положението на равновесие сумата от силите остава нула, равновесието се нарича безразлично. Ако материална точка, намираща се в състояние на устойчиво равновесие, се отклони малко от това състояние и после се пусне да се движи само под действие на силите, които обуславят това състояние, точката започва да извършва периодично движение, което се състои в редуване на връщане и отклонение в противоположна посока от точката на равновесие. Периодично движение на материална точка около точка на устойчиво равновесие се нарича трептене. Примери за трептене в механиката са: движението на тежест, окачена на пружина, люлеенето на махало и много други. Трептенията се разделят най-общо на два вида свободни и принудени трептения. При свободните незатихващи трептения се пренебрегват силите на триене и съпротивление на средата, които могат да доведат до намаляване на енергията на трептящата система. Такива трептения са най-прост и идеализиран случай на такова движение. Описание на свободни трептения може да стане, като се започне от познатото вече движение на материална точка по окръжност. Ако материална точка M се движи равномерно по окръжност с радиус A, то нейната проекция Р върху някой от диаметрите на окръжността извършва трептене фиг. 1. Ако се използва декартова координатна система с начало O в доц. д-р Елисавета Марекова 1

2 центъра на окръжността и се разглежда проекцията Р на материалната точка M върху оста x, ординатата на тази проекция в даден момент е: x t = Asinϕ t, (1) ( ) ( ) +x А P х О ω A ϕ ϕ M M y А x Фиг. 1 където ( t) ϕ е полярния ъгъл между радиус вектора на материалната точка и оста y. Този ъгъл се променя с времето по закона: ϕ ( t ) = ω, () където ϕ е ъгълът в началния момент време t =, а ω ъгловата скорост. Следователно координата на проекцията Р върху оста x се изменя с времето по закона: x ( t) = Asin( ω t + ϕ ). (3) Движение, което се извършва по синусов (или косинусов) закон, изразяващ се с формула (3) се нарича хармонично трептене. На фиг.а е представена графиката на хармоничното трептене. По хоризонталната ос е поставено времето t. Величините, които участват във формула (3) се наричат: o x отклонение от равновесното положение или елонгация; Тъй като косинусът се мени от -1 до 1, то стойностите на отместването ще се намира в границите от A до A. o Величината A е амплитудата и представлява максималната абсолютна стойност на отклонението от положението на равновесие; амплитудата A е постоянна положителна величина. Отправната система обикновено се избира така, че в равновесното положение x =. o Величината ϕ ( t ) = ω, която стои под знака на синуса в (3) се нарича фаза на трептенето в момента t. Константата ϕ е равна на стойността на фазата в момента време t = и се нарича начална фаза на трептенето. Фазата се променя във всеки момент от време и определя знака на величината x. С промяна на началния момент на отчитане на движението се променя и стойността на началната фаза. o Величината ω представлява собствена кръгова честота. За хармоничните трептения тя е характеристика само на трептящата система. Мерната й единица е [rad/s]. o Тъй като косинусът е периодична функция с период π, системата извършва периодични трептения, повтарящи се през такъв интервал от време T, за който фазата на трептенето нараства с π. Този интервал от време се нарича период. Той може да бъде определен от условието: откъдето се получава: [ ω ( t + T ) + α ] = [ ω t + α ] π, + π Т = ω доц. д-р Елисавета Марекова

3 Фиг. а. Фиг. б. o Броят на трептенията за единица време се нарича (линейна) честота на трептенето ν. Честотата и периодът на трептенето са свързани от следната зависимост: 1 ν = Т За единица честота е приета честотата на трептене, чийто период е равен на 1 s. Тази мерна единица се нарича херц [Hz]. Честота, равна на 1 3 Hz се нарича килохерц [khz], а честота равна на 1 6 Hz мегахерц [MHz]. π Равенството ω = πν показва, че величината ω e равна на броя на T = трептенията, които се извършват за π секунди. Скоростта и ускорението при хармоничното трептене се получават от закона за движението (3) чрез последователно диференциране: dx π υ = = Aωcos( ω ) = Aωsin ω + (4) dt dυ a = = Aωsin( ω ) = Aωsin( ω + π ) (5) dt доц. д-р Елисавета Марекова 3

4 Формула (4) показва, че скоростта на точката също се изменя с времето по π хармоничен закон със същата честота ω, но фазата ú се различава с от тази на отместването. В момента, когато отместването е равно на нула, скоростта на точката е максимална. Ускорението също се изменя по хармоничен закон. Неговата фаза се отличава от тази на отместването с π. Зависимостите на отклонението, скоростта и ускорението на хармоничното трептене от времето са представени на фиг. б. Като се използва закона (3) и израза за ускорението (5) се вижда се, че ускорението а е свързано с отместването х по формулата: a = ω x, (6) откъдето се вижда действително, че ускорението и отместването са в противофаза (когато отместването достига максималната си стойност, ускорението също има максимум, но в обратна на отместването посока). Сега може да се замести ускорението във втория принцип на динамиката: F x = a = ω x = kx. (7) При последното преобразование се въвежда означението ω = k, което играе роля на коефициент на пропорционалност между силата и отклонението. Така се вижда, че силата, която действа върху материална точка, извършваща хармонично трептене, е пропорционална на отклонението от равновесното положение и има посока противоположна (знак минус) на това отклонение: F x = kx. (8) Сила, действаща по този начин, се нарича квазиеластична сила. За да възникне едно трептение, в системата винаги трябва да действа някаква възвръщаща сила, насочена към равновесното положение на системата (в случая това е сила на еластичност), а за да бъде трептението хармонично, големината на тази сила трябва зависи линейно от отклонението (F = kx). Ако се отчете, че ускорението е втора производна на радиус-вектора (в конкретния случай на едномерно движение координатата x) по времето, може да се получи и т.нар. диференциално уравнение на хармоничното трептение: d x d x a = = ω x или + ω x =. dt dt Решенията на това диференциално уравнение са функции от вида: x = Asin( ω ) x = Acos( ω ), където A и ϕ са произволни константи (общото решение на обикновено диференциално уравнение от втори ред съдържа две произволни константи), които зависят от началните условия на трептението. Константата A (амплитуда) зависи от това, колко ще бъде отклонено топчето от равновесното му положение в началния момент, а константата ϕ (началната фаза) зависи от момента от време, който се избира за начален при движението. Следователно, амплитудата и началната фаза са константи, които не зависят от самата трептяща система, а само от външни фактори, докато кръговата честота ω при хармоничните трептения зависи само от характеристиките на самата система. От формула (7) е ясно, че кръговата честота може да се представи във вида: k ω =. (9) Следователно останалите характеристики на трептенето период и честота са свързани с динамичните параметри чрез равенствата: доц. д-р Елисавета Марекова 4

5 T π = = π ; ω k 1 1 k ν = =. (1) T π Описанието на едно механично движение е пълно, ако е определено уравнението на движение. В случая на хармонично трептение, в уравнението има само една константа, която зависи от свойствата на системата кръговата честота ω. Следователно, ако може да се определи ω (или периода T, или честотата ν), може да се запише уравнението на движение в общ вид, а като се имат предвид и началните условия (константите A и ϕ ) ще се получат уравненията във всеки конкретен случай. Ще бъдат разгледани няколко конкретни примера на механични хармонични трептения. Пружинно махало. Като пример на хармонично трептене е движението, което се извършва от пружинно махало. Система от тяло с маса, свързано с лека пружина, се нарича пружинно махало. (фиг. 3). Фиг. 3 Разглежда се вертикално пружинно махало. В равновесното положение на пружинното махало силата на тежестта G = g се уравновесява от силата F x = kx, възникваща при деформация на пружината. Ако външна сила изведе топчето от равновесното положение ( x = ) и го отмести на някакво разстояние ( x ), махалото започва да извършва хармонични трептения под действие на равнодействащата сила на G и F x = k( x + x), която се стреми да го върне отново в равновесното положение. Тази сила е F x = kx. Тя е квазиеластична и поражда хармонично трептене. Честотата и периодът на трептенето се изразяват чрез формули (9) и (1). В разгледания пример хармоничните трептения възникват в резултат на еднократно отклонение на трептящото тяло от началното състояние на равновесие и в отсъствие на външни сили. Такива трептения се наричат свободни. Свободните хармонични трептения се съпътстват от периодични превръщания на кинетичната енергия на трептящите тела в потенциална енергия и обратно. Как се извършват тези превръщания при пружинното махало? Допуска се, че топчето и пружината са една затворена система, в която действа еластична сила с големина F x. От дефиниционното равенство на еластична сила следва, че тя е консервативна сила (нейната работа по затворен контур е равна на нула). Уравнението на движение на тялото е x + ω x, = доц. д-р Елисавета Марекова 5

6 k където ω =. Това е уравнението на хармоничен осцилатор. Следователно възникват хармонични трептения с кръгова честота k ω = и период T = π. k Кръговата честота и периодът се определят от масата на тялото и от коефициента на еластичност k на пружината. kx Потенциалната енергия на пружинно махало е: E p =. Замества се изразът (3) за х и се получава: 1 1 E p = kx = ka sin ( ω t +ϕ ). (11) Кинетичната енергия на махалото в произволен момент от време ще се получи, като се замести израза за скоростта (4) във формулата 1 1 E k = v = ka cos ( ω t +ϕ ). (1) Пълната енергия на махалото е сума от неговата кинетична и потенциална енергия 1 E = Ek + E p = ka = const. (13) Получената формула показва, че пълната енергия е пропорционална на квадрата на амплитудата на трептенията. Превръщането на енергията се извършва в съответствие със закона за запазване на механичната енергия в консервативна система. При движението на махалото надолу или нагоре, отчетено спрямо равновесното положение, неговата потенциална енергия се увеличава, а кинетичната намалява. В точката с максимално отместване потенциалната му енергия има максимална стойност и е равна на пълната енергия, а кинетичната енергия е равна на нула. Когато махалото преминава през равновесното положение, неговата потенциална енергия става равна на нула, а кинетичната придобива максимална стойност, равна на пълната енергия. Измененията на потенциалната и кинетичната енергия с течение на времето са показани на фиг. 4. Математично махало. Фиг. 4 Във физиката под махало се разбира също и твърдо тяло, което под действието на силата на тежестта извършва колебателно движение около неподвижна ос. Прието е да се разграничават математично и физично махало. Математично махало се нарича идеализирана система, състояща се от безтегловна неразтеглива нишка, на която е окачена маса, съсредоточена в една точка. Достатъчно добро приближение на математично тяло е малко кълбо, окачено на дълга тънка нишка (фиг.5). доц. д-р Елисавета Марекова 6

7 Фиг. 5 Отклонението на махалото от равновесното му положение се характеризира с ъгъла θ, който нишката сключва с вертикалата. При отклонение на махалото от равновесното му положение възниква въртящ момент, създаван от тангенциалната компонента на силата на тежестта (на чертежа е означена с F t ; нормалната компонента F r минава през оста на люлеене (въртене)и следователно не може да предизвика такова движение): M = glsinθ, където е масата, а L дължината на махалото. Той има такава посока, при която се стреми да върне махалото в равновесното му положение и по този начин играе ролята на квазиеластична сила. Честотата на трептене на математичното махало зависи само от дължината на нишката и от земното ускорение и не зависи от масата му. За периода на трептене на математичното махало се получава формулата: T = π l g Физично махало. Ако трептящото тяло не може да бъде представено като материална точка, махалото се нарича физично. При отклонение на махалото от равновесното му положение на ъгъл θ възниква въртящ момент, който се стреми да върне махалото в равновесното му положение (фиг.6). Фиг. 6 доц. д-р Елисавета Марекова 7

8 Този момент е равен на M == glsinθ Тук е масата на махалото, L разстоянието от точката на окачване О до центъра на тежестта С на махалото. Инерчният момент на махалото спрямо точката на окачване е I. При малки отклонения от равновесното положение физичното махало извършва хармонични трептения, чиято честота зависи от масата, инерчния момент спрямо оста на въртене и разстоянието от оста на въртене до центъра на тежестта на махалото. I gl Периодът на трептене на махалото е: T = π, а честотата - ω = gl I От сравнението на тази формула с периода на математичното махало, може да се направи заключението, че математично махало с дължина I L пр = L., където L пр. се нарича приведена дължина, ще има същия период на трептене както и физичното махало. По такъв начин приведената дължина на физичното махало е равна на дължината на математично махало, чийто период на трептене е равен на периода на трептене на даденото физично махало. Точката А от правата, съединяваща точката на окачване с центъра на тежестта на махалото, лежаща на разстояние от токата на окачване равно на приведената дължина, се нарича център на люлеене на физичното махало. Може да се покаже, че ако се окачи махалото в центъра на люлеене А, приведената дължина, а следователно и периода на люлеене, остават същите. Следователно, точката на окачване и центъра на люлеене са взаимно заменяеми: при окачване на махалото в точката на люлеене, предишната точка на окачване става център на люлеене. На този принцип се основава определянето на земното ускорение с помощта на реверсионно махало. Реверсионно се нарича такова махало, в двата края на което са поставени две еднакви триъгълни призми. По дължината на махалото могат да се закачват и преместват теглилки. Посредством преместване на теглилките се търси такова тяхно положение, при което при окачване на махалото, периодът на люлеене остава един и същ. Тогава разстоянието между точките на окачване ще бъде равно на приведената дължина l пр., а измервайки периода на трептене, може да се определи земното ускорение: 4π lпр. g = Т Затихващи трептения. При разглеждане трептенията на пружинното махало бе показано, че превръщанията на енергията се извършват в съответствие със закона за запазване на механичната енергия. Това е възможно само при предположение, че системата е затворена и консервативна. Свободните трептения в този случай се наричат незатихващи трептения. Такива трептения са възможни само в системи, където се пренебрегват силите на триене и съпротивление, т.е. незатихващите трептения са идеализирани. Те се характеризират с амплитуда, която се запазва постоянна с времето, и могат да продължават неограничено дълго време. Свободните трептения, които се извършват в реалните системи, се наричат затихващи трептения. Поради действащите сили на триене амплитудата на тези трептения с течение на времето намалява и те постепенно затихват (фиг. 7). В този случай уравнението движението е : β t x( t) = Ae sin( ωt + ϕ ), Където ω = ω β се нарича честота на затихващите трептения. доц. д-р Елисавета Марекова 8

9 Величината β се нарича коефициент на затихване и характеризира бързината за затихване на трептенията в разглежданата система. Фиг. 7 Когато на трептящото тяло освен квазиеластична сила действа и сила на триене, неговото движение е трептене, но не хармонично. Величините, характеризиращи затихващите трептения, се изменят непрекъснато те не се повтарят през равни интервали, както при незатихващите трептения. Затихващите трептения не са периодични движения. Честотата на трептене ω в този случай зависи не само от k и, а и от коефициента на затихване β. От формулата следва, че честотата на затихващите трептения ω е по-малка от собствената честота на незатихващите. Това е напълно логично, тъй като наличието на сили на съпротивление с системата намалява скоростта на движение на трептящото тяло. Вследствие на това периода се увеличава и предизвиква намаляване на кръговата честота. Характерна особеност на затихващите трептения е постепенното намаляване на амплитудата с времето: β t A = A e. Отношението на две съседни амплитуди е постоянна величина A A1 βt = =... = e. A1 A Натуралният логаритъм на горното отношение се нарича логаритмичен декремент на затихването и се означава с δ : β δ = ln e T = βt. Принудени трептения. Когато в една трептяща система действат сили на триене, трептенията, които се извършват в нея, след известно време се преустановяват. По тази причина те се наричат затихващи. Едно затихващо трептение може да се превърне в незатихващо, ако предаваме на системата енергия отвън, която да компенсира загубите вследствие триенето и съпротивлението на средата. Такова трептение се нарича принудено трептение. Тази енергия се предава чрез извършване на работа от някаква външна сила. Тъй като работата може да бъде положителна или отрицателна в зависимост от посоката на силата и преместването, ако се направи опит да се предаде енергия в неподходящ момент (силата действа в посока, обратна на преместването на трептящото тяло в дадения момент), може да се постигне обратен ефект вместо да се предаде, да се отнеме енергия от системата. Следователно не може да се предизвикат принудени трептения с постоянна сила тя действа винаги в една посока и през част от времето ще отнема енергия от системата. Принудено трептение се осъществява, когато на една трептяща система действа периодична сила, напр. Fcosωt или Fsinωt. Под действие на тази периодична сила системата ще започне да трепти със същата честота, с която се променя силата (след първоначален период на доц. д-р Елисавета Марекова 9

10 "синхронизация"), тъй като така ще приема енергията в подходящия момент. Принудените трептения се наричат още и несвободни трептения. Може да се разгледа система, в която действа външна сила, изменяща се с времето по периодичен закон: F( t) = F sin( ω t). Силата F ( t) се нарича принуждаваща сила. Означения: ω - честота на собствените трептения на тялото (когато в системата не действат сили на съпротивление), β коефициент на затихване (при наличие на съпротивителни сили в системата). Честотата ω е кръговата честота на периодичната сила F ( t), която извършва някаква работа върху тялото. Това предизвиква трептения на тялото, които се извършват със същата честота ω, с която се изменя и външната сила. Тази честота се нарича честота на принудените трептения на тялото. Разликата между фазите на силата и отместването на трептящото тяло е равна на ϕ. За амплитудата А и фазата ϕ на принудените трептения се получават изразите: f βω A =, tgϕ =. (*) ( ω ω ) + 4β ω ω ω Амплитудата на принудените трептения зависи от амплитудата и честотата на външната сила, от коефициента на затихване, собствената честота ω на трептенето и от масата на трептящото тяло ( F = f ). Фиг. 8 При постоянни F, и β амплитудата А зависи от съотношението между кръговата честота ω на външната сила и собствената честота ω на свободните незатихващи трептения.зависимостта на амплитудата от ω при различни коефициенти на затихване е показана на фиг. 8. Ето някои частни случаи на формулите (*): а) Кръговата честота е ω = : F A = A = = const. ω Върху тялото действа постоянна сила F = F, която го отмества от равновесното му положение на разстояние A. Постоянните сили не предизвикват трептения. Ако в новото си равновесно положение тялото получи еднократен тласък, то ще започне да извършва хармонични трептения със собствена честота ω. доц. д-р Елисавета Марекова 1

11 б) При пренебрежимо малък коефициент на затихване ( β ) амплитудата на принудените трептения расте с увеличаването на ω. Когато ω = ω, A. При понататъшно увеличаване на β амплитудата започва да намалява и при ω се стреми към нула. Явлението, при което амплитудата нараства силно при честота на принудените трептения ω ω, се нарича резонанс. в) При коефициент на затихване β амплитудата на принудените трептения зависи и от β. За да се определи условието за резонанс в този случай, трябва да се намери минимума на знаменателя във формулите (*). За целта е необходимо изразът под корена да се диференцира по ω и да се приравни на нула. По този начин се получава стойността на честотата ω, при която настъпва резонанс: ω = ω рез = ω β Тази честота се нарича резонансна честота, а стойността на амплитудата при резонансната честота резонансна амплитуда: f A рез =. β ω β От израза за ω рез следва, че резонансната честота е винаги по-малка от собствената честота ω на трептението и намалява с увеличаване на коефициента на затихване β (фиг. 8). Ако коефициентът на затихване е много голям ( β >, β 6 на фиг.8), изразът за ω рез става имагинерен т.е. резонанс няма да се наблюдава при никаква реална честота (няма максимум на резонансната крива). Същото е валидно и за амплитудата - при резонанс е толкова поголяма, колкото е по-малко β (фиг. 8) и при β > ω става имагинерна, т.е изобщо няма трептение. От горните изрази се вижда също, че в идеалния случай (β = ) резонансната честота ω рез е равна на собствената честота на системата, а резонансната амплитуда A рез клони към безкрайност. Резонансните явления се проявяват при всички принудени трептения, които намират широко приложение в различни области на техниката. В акустиката резонансът се използва за анализ и усилване на звукови трептения. В радиотехниката той намира приложение във всички радиопредаватели и радиоприемници. С явлението резонанс се обясняват и много процеси от ядрената физика. ω доц. д-р Елисавета Марекова 11