Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Размер: px
Започни от страница:

Download "Microsoft Word - VM22 SEC66.doc"

Препис

1 Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a b] което пространство се означава със C [ a b] Преди всичко C [ a b] е линейно пространство понеже всяка линейна комбинация на непрекъснати функции също е непрекъсната функция Това пространство обаче не е крайномерно тъй като могат да се намерят произволен брой линейно независими елементи например степенните функции За всеки елемент на f C[ a b] може да се въведе норма f = ma f ( a b която притежава следните свойства f и f = единствено когато f ( λ f = λ f λ R f + g f + g (неравенство на триъгълника Първото и второто свойство са практически очевидни За доказателство на третото ще изходим от основното неравенство за модула f + g f + g f + ( ( ( ( g откъдето получаваме f + g = f ( + g( f ( + g( f + g ma a b Всяко линейно пространство в което има определена функция норма с посочените по-горе три свойства се нарича нормирано линейно пространство С помощта на нормата се задава разстояние между две функции както следва (6 ( f g = f + g а ( f g ρ( f g и ρ( g = ρ ( f g = ρ( g f ( f g ρ( f h + ρ( h g ρ ρ се нарича метрика породена от нормата Метриката има следните свойства f единствено когато f = g ρ (неравенство на триъгълника Тук първите две свойства също са практически очевидни Третото е следствие от неравенството на триъгълника за нормата ρ f g = f g = f h + h g f h + h g = ρ f h + ρ h g ( ( ( ( ( Всяко множество в което има определена функция метрика с посочените три свойства се нарича метрично пространство Метричното пространство представлява удобно ниво на абстракция където по естествен начин се определят базовите понятие f редица Редиците ще означаваме с { f } или просто с { } = Определение 6 Нека X е метрично пространство с метрика ρ Казва се че f е сходяща и клони към границата f когато lim ρ( f = В този редицата { } случай пишем lim = f f Определението означава че lim = f тогава и само тогава когато за всяко f > съществува такова че ρ( f f < за всяко > Основните свойства на редиците в метрични пространства са аналогични на тези за числовите редици Аналогията се поражда от факта че R се явява метрично пространство където f

2 разстоянието между две числа и се задава от модула на тяхната разлика ( = ρ Определение 6 Нека X е метрично пространство с метрика ρ Казва се че f е фундаментална когато lim ρ( f f = редицата { } m От определението следва че редицата { f } е фундаментална тогава и само такова че ρ( f < > и тогава когато за всяко > съществува m f m когато f е m > Последното е удобно да бъде формулирано по следния начин Редицата { } фундаментална тогава и само тогава когато за всяко > съществува такова че ρ ( f + p f < за всяко > и за всяко p N Както при числовите редици се проверява че всяка фундаментална редица е сходяща За да бъде вярно обратното метричното пространство трябва да притежава някои допълнителни свойства В такъв случай метричното пространство се нарича пълно Примери за пълни метрични пространства са евклидовите пространства R с метрика ρ ( = Определение 6 Казва се че метричното пространство X е пълно когато всяка фундаментална редица е сходяща От горното определение се получава критерият за сходимост на Коши Твърдение 6 Нека X е пълно метрично пространство с метрика ρ Редицата { } f е сходяща тогава и само тогава когато за всяко > може да се намери такова че ρ ( f + p f < за всяко > и всяко p N Оказва се че метричното пространство C [ a b] снабдено с метриката (6 която се нарича равномерна метрика е пълно метрично пространство C a b е пълно Теорема 6 Метричното пространство [ ] Доказателство Нека { f } е фундаментална редица от непрекъснати функции определени в интервала [ b] a Да изберем едно > Тогава съществува такова че (6 ρ ( f = ma ( ( + < + p f f p f за > и p N a b a b f към някаква граница f ще покажем че е непрекъсната и освен от (6 следва че f + p ( f( < за > и p N откъдето след граничен преход по p получаваме (6 f ( f ( за > Да фиксираме някакво > (например = + Функцията f ( е непрекъсната и равномерно непрекъсната в [ a b] следователно може да се намери δ > за което f ( f( < когато < δ a b Тогава Горното показва че при всяко [ ] числовата редица { ( } която ще означим с f ( За тази функция ( това се явява граница на редицата { f } по равномерната метрика При всяко [ a b] [ ]

3 f ( f ( = f ( f( + f( f( + f ( f ( следователно ако < δ [ a b] то f ( f ( < + + = което показва направо равномерната непрекъснатост на граничната функция f ( Сега от неравенството (6 показва че ma f ( f( за > a b следователно за всяко > успяхме да намерим такова че ρ( f f < когато lim = f в смисъла на > Последното по определение означава че ( ( f равномерната метрика Сходимостта на функции в C [ a b] се нарича равномерна сходимост Аналогично на вече известни случаи се определя δ - околност на дадена точка B ( δ f = { g X : ρ( f g < δ} както понятията отворено и затворено множество при което може да се докаже че едно множество F X е затворено тогава и само тогава когато съдържа границите на всичките свои сходящи редици По този начин е вярно Твърдение 6 Нека X е пълно метрично пространство с метрика ρ а F X е негово затворено подмножество Тогава F представлява също пълно метрично пространство с метрика ρ Пълнотата на метричното пространство [ a b] C има особена роля при доказване на основната теорема за съществуване и единственост за решенията на началната задача за уравнение от първи ред Теорема за свиващото изображение Тук ще разглеждаме пълно метрично пространство X с метрика ρ и изображение Φ : X X което е определено за всеки елемент от X и приема стойности в X Едно такова изображение се нарича свиващо когато ρ ( Φ( f Φ( g κρ( f g за някоя константа κ за която κ < Ако за някое ξ X е изпълнено Φ ( ξ = ξ то ξ се нарича неподвижна точка на изображението Теорема 6 Нека X е пълно метрично пространство с метрика ρ а Φ : X X е свиващо изображение Тогава Φ има при това единствена неподвижна точка ξ Тази неподвижна точка се получава като граница на последователните приближения f = Φ( f f = Φ( f f = Φ( f f+ = Φ( f при произволно начално f X Доказателство Да изберем някакво f X и да разгледаме редицата от последователни приближения f+ = Φ( f = K Ще докажем че тя е ρ f имаме оценката фундаментална За разстоянието ( + f ρ( f = ρ( Φ( f Φ( f ( f f f + κρ = K Прилагайки последователно горното неравенство намираме ρ( f + f κρ( f f ρ f f κρ f f ( ( ρ ( f f κρ ( f f откъдето след почленно умножаване и съкращаване на равните множители получаваме ρ f + f κ ρ f f = K (64 ( (

4 Ако някой от множителите подлежащи на съкращаване ( f f f + = f следователно f се явява неподвижна точка Сега неравенството на триъгълника ни дава ρ f f ρ f f + ρ f f + L + f f ( + p ( + p + p ( + p + p ρ( + + p + p ρ( f p f κ ρ( f f + κ ρ( f f + + κ ρ( f f p p κ ρ( + p f κ ρ( f f [ κ + κ + + ] = κ ρ( f f ρ (65 ( ( f f f f + L f L κ p ρ + = ρ + p κ p N κ Дясната страна на (65 клони към нула когато следователно за всяко > може да се намери такова че ( f f < когато > и p N Последното ρ + p означава че редицата { f } е фундаментална и следователно сходяща понеже метричното пространство X се предполага пълно Нека то f = lim f Тогава като направим граничен преход в равенството f + = Φ( получаваме f Φ( f f означава че f е неподвижна точка за изображението Нека f и g са неподвижни точки за Φ Тогава ρ ( f g = ρ( Φ( f Φ( g κρ( f g ( κ ρ( f g което е възможно само когато ρ( f g = = което Последното разсъждение показва че Φ може да има само една неподвижна точка Когато за дадено изображение Φ съществува множество X такова че Φ е определен за всеки елемент на X и Φ : X X се казва че X е инвариантно множество за оператора Φ Неподвижните точки са минимални инвариантни множества Теорема 6 показва че за да намерим неподвижна точка за даден оператор е необходимо да притежава някакво инвариантно множество и да удовлетворява определение допълнителни свойства Теорията на неподвижните точки на абстрактни оператори е самостоятелен клон в съвременната математика са най-разнообразни приложения Теорема 6 в много случаи оправдава метода на последователните приближения за търсене на решения на някакво уравнение Този метод е особено удобен за компютърна реализация понеже операторът за присвояване в програмирането всъщност реализира поредните итерации на метода Теорема за съществуване и единственост на началната задача В този раздел ще установим един важен резултат който касае решенията на началната задача = f ( (66 ( = където функцията f ( както и нейната частна производна f ( непрекъснати в околност на точката ( разбира непрекъснато диференцируема функция ( малка околност ( δ + δ δ > която удовлетворява уравнението ( = f ( ( ( δ + δ се предполагат Под решение на началната задача (66 се определена в някаква достатъчно и началното условие ( = Твърдението за съществуване има локален характер понеже не се прави уточнение за размера на околността ( δ + δ 4

5 Като интегрираме уравнението ( t = f ( t ( t в граници от до и приложим формулата на Нютон-Лайбниц с отчитане на началното условие ( = получаваме интегралното уравнение (67 ( = f ( t ( t + dt Под решение на интегралното равнение (67 се разбира непрекъсната функция ( която удовлетворява уравнението в някаква околност на точката Всяко решение на началната задача (66 е решение на интегралното уравнение (67 и обратно ако функцията ( е решение на (67 следвайки правилото за диференциране на интеграла като функция на горната си граница получаваме че ( е решение на диференциалното уравнение = f ( при което ( = По-нататък ще търсим решение на интегралното уравнение (67 От направените предположения следва съществуването на затворен правоъгълник Π = {( : a + a b + b} a > b > в който функциите f ( и f ( са непрекъснати От свойствата на непрекъснати функции определени в ограничени и затворени (компактни множества следва че съществуват константи M > и K > за които f и ( K за всяко ( Π ( M f Нека ( Π и ( Π f ( f ( = f ( η( Тогава от формулата за крайните нараствания имаме където η е точка между и следователно е изпълнено неравенството f f K (68 ( ( Нека X е множеството от непрекъснати функции определено по следния начин X = { C[ δ : ( M } където b (69 δ = mi a M K Условието δ a осигурява че интервала [ δ се съдържа в b [ a + a] Условието δ осигурява че стойностите на функциите от конуса X M не напускат интервала [ b + b] понеже ( M Mδ b Условието δ е свързано по-нататък с изискването операторът определен от (6 да бъде K свиващ Непосредствено се проверява че X е затворено подмножество на C [ δ следователно съгласно твърдение 6 X е пълно метрично пространство с равномерната метрика Всичките елементи на X изпълняват началното = Да разгледаме оператора условие ( (6 Φ( = f ( t ( t + dt 5

6 породен от дясната страна на уравнението (67 Очевидно решението което търсим се явява неподвижна точка за Φ Ще докажем че при направените предположения Φ се явява свиващ оператор определен за всяка функция X и приемащ стойности отново в X Имаме Φ( ( f ( t ( t dt M [ δ което показва че образът на всяка функция от друга страна Φ ( Φ( = [ f ( t ( t f ( t ( t ] dt откъдето съгласно (68 получаваме Φ X се съдържа в X Φ : X X От ( Φ( K ( t ( t dt Kρ( dt = [ K ] ρ( което съгласно (69 води до неравенството (6 Φ ( Φ( ρ( [ δ От последното получаваме ρ( Φ( Φ( = ma Φ( Φ( ρ( δ +δ което показва че операторът Φ : X X е свиващ Сега от теорема 6 следва че Φ има при това единствена неподвижна точка X Тази неподвижна точка представлява непрекъсната функция в интервала [ δ която удовлетворява интегралното уравнение (67 следователно се явява решение на началната задача (66 Съществуването на решение на началната задача е локално свойство В този смисъл единствеността означава че всеки две решения съвпадат в някаква околност на точката Определение 64 Казва се че решението ( на началната задача (66 е единствено когато всяко друго решение съвпада с ( в някаква (достатъчно малка околност на началната точка Изложената по-горе схема чрез която доказахме съществуването на решение показва че всяко решение на началната задача (66 определено в интервала ( δ + δ е неподвижна точка за оператора Φ : X X при допълнителното условие δ δ което не ограничава общността на разсъжденията следователно намереното решение е единствено по смисъла на определение 6 Друго директно доказателство на единствеността се получава по следния начин Нека и са две решения на (66 определени в интервала [ δ + δ ] където < δ δ Тогава както при неравенството (6 намираме ( ( K ( t ( t dt ma ( ( [ δ + δ ] което води до неравенството ma δ +δ δ +δ ( ( ma ( ( δ +δ 6

7 Последното е възможно единствено когато ( ( в интервала [ δ + δ ] По този начин доказахме са Теорема 6 Нека функцията f ( и нейната частна производна f ( непрекъснати в някаква околност на точката ( която съдържа правоъгълника = {( : a + a b + b} a > b > Π Тогава началната задача = f ( = ( има при това единствено решение което е определено поне в интервала ( δ + δ където b δ = mi a M = ma f ( и K = ma f ( M K ( Π ( Π Без уточняване интервала на съществуване теорема 6 може да бъде изказана по следния съкратен начин Нека функцията f ( и нейната частна производна f ( са непрекъснати в околност на точката ( Тогава началната задача има при това единствено решение определено в някаква достатъчно малка околност на началната точка f не е необходимо за Условието за непрекъснатост на производната ( съществуването на решение Съгласно една знаменита теорема на Пеано началната задача винаги има решение стига функцията f ( да бъде непрекъсната в околност на точката ( Това решение обаче може да не бъде единствено Например да разгледаме началната задача (6 = ( = Едно решение на (6 е функцията ( Друго решение ( = можем да получим ако решим уравнението = по правилото за решаване на уравнения с разделящи се променливи Тези две решения обаче се различават във всяка околност на началната точка = следователно в този случай нямаме единственост Отсъствието на единственост при решенията на началната задача нарушава интуитивната представа за смисъла на решението и се явява нежелан ефект в приложенията 4 Сведения за системи диференциални уравнения В повечето случаи от практическо значение се разглеждат системи диференциални уравнения = f( K = f( K (6 LLLLLLLL = f K ( където функциите в десните страни се предполагат непрекъснати Когато за търсените функции се поставят начални условия 7

8 (64 ( ( = = LLLL ( = се получава начална задача Под решение на началната задача (6-(64 се разбира които удовлетворяват система от непрекъснати функции ( ( ( уравненията (6 в някаква околност на точката и удовлетворяват началните условия (64 Тук е валидна теорема за съществуване и единственост която има аналогичен характер с теорема 6 Теорема 64 Нека функциите f k ( K k = K както и всичките частни производни fk ( K k = K j = K j са непрекъснати в околност на точката ( K Тогава началната задача (6-(64 има при това единствено решение определено в някаква достатъчно малка околност на началната точка 8

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Microsoft Word - MA11 sec77.doc

Microsoft Word - MA11 sec77.doc Лекця 7 7 Дефнця свойства на определен нтеграл Сум на Дарбу Определенят нтеграл е фундаментално средство в математката с разнообразн съдържателн прложеня Той се зползва за пресмятане на геометрчн фзчн

Подробно

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант).. Уводни бележки. а) Интеграли и лица на фигури. Класическият въпрос за пресмятане лицата (

Подробно

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc Лекция. Производни oт по-висок порядък. Развиване на функции в ред на Тейлър.. Производна от -ти порядък. Производната на дадена функция у = дефинирана и диференцируема в интервала a b на свой ред е дефинирана

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна

Подробно

Microsoft Word - DIS.doc

Microsoft Word - DIS.doc Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

DIC_all_2015_color.dvi

DIC_all_2015_color.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Microsoft Word - Sem3-Pharm-2018.doc

Microsoft Word - Sem3-Pharm-2018.doc Семинар 3 / Семинар 3: Производна на функция. Развитие на функции в ред на Тейлър. Правило на Лопитал Нека е дадена функцията y f (, която е определена в някакъв интервал Δ, Δ. Избираме в този интервал

Подробно

DIC_all_2014.dvi

DIC_all_2014.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно