МАТТЕХ 2014 Том 1 РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКА ФОКАЛНИ КРИВИ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ГЕОРГИ Х. ГЕОРГИЕВ, ЦВЕТЕЛИНА Л. ДИНКОВА, РАДОСТИНА П. ЕНЧЕВА FOCAL CURVES

Препис

1 ФОКАЛНИ КРИВИ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ГЕОРГИ Х ГЕОРГИЕВ ЦВЕТЕЛИНА Л ДИНКОВА РАДОСТИНА П ЕНЧЕВА FOAL URVES IN EULIDEAN SPAE GEORGI H GEORGIEV TVETELINA L DINKOVA RADOSTINA P ENHEVA ABSTRAT: We onider he fol urve of oe le of pe urve They re explored e of p eween pe urve nd he orreponding fol urve I i found he relion eween Frene fre of he orreponding urve KEYWORDS:fol urve fol urvure helix Berrnd urve Въведение Понятията фоална рива и фоални ривини на глада рива в -мерно Евлидово пространство R се въвеждат за първи път от Urie-vrg през 5 в статията [] В случая на равнина фоалната рива на дадена равнинна рива на Френе е нейната еволюта оято е геометричното място на центровете на ривината на Фоалната й ривина е радиусът на ривината на Urie-vrg разглежда случая огато Неа : R R е рива на Френе параметризирана спрямо естествен параметър с евлидови ривини и ветори на Френе n n n в произволна точа от Кривата с веторно-параметрично уравнение n n n се нарича фоална рива на ривата а оефициентите се наричат нейни фоални ривини В теорема от [] е дадена зависимостта между евлидовите ривини и фоалните ривини на ривата а именно: ' ' i ' i i за i i i Първата фоална ривина е винаги различна от нула и е изпълнено че Друга връза между фоалните ривини и таа наречените шейп ривини на оито я определят с точност до подобност запазваща ориентацията в евлидовото пространство е получена в [] В теорема 5 от статията [] Urie-vrg формулира и доазва че веторите на Френе с точност до зна на фоалната рива на ривата съвпадат с веторите на Френе на но са получени от тях чрез цилична замяна те ао T N N N са веторите на Френе на то T ε n Nk δk nk за k и N ± ъдето ε е знаа на k ε ' k а δ k е знаа на k за k Освен това е намерена Thi pper i uppored y Shuen Univeriy under Grn RD-8-7/

2 връза в явен вид между евлидовите ривини на и тези на а именно че ао са евлидовите ривини на то k ' Примери на фоални риви в R В тази точа ще разгледаме три примера на пространствени риви с техните фоални риви и фоални ривини Всичи пресмятания и визуализации са направени с омпютърната система Mhei Пример виж Фиг Неа е онична винтова линия оято се задава със саларно-параметричните уравнения on o in За евлидови ривини и на имаме че 6 а за фоалните й ривини и получаваме че ' Единични ветори n и n по главната нормала и бинормалата съответно на ривата имат оординати: o in in o n o in in o n Тогава саларно-параметричните уравнения на фоалната рива n n на ривата имат вида 6 6 o in 6 in o ъдето ln d d

3 8 6 Фиг: Коничната винтова линия и нейната фоална рива Пример Неа е хелиоидална рива върху логаритмична спирала със саларнопараметрични уравнения e o e in on За евлидови ривини и на намираме че e e e а за фоалните й ривини и : e e in o e in o e e e e e e e Единични ветори n и n по главната нормала и бинормалата съответно на имат оординати: o in e o in n e e e e e o in in o e n e e e Отту саларно-параметричните уравнения на фоалната рива n на ривата имат вида: e o in e o in e in o e in o e Пример виж фиг Неа е обобщена винтова линия със саларно-параметрични уравнения ln > e

4 За евлидови ривини и на получаваме че а за фоалните й ривини и 6 : Единични ветори n и n по главната нормала и бинормалата съответно на имат оординати: n и n Тогава за фоалната рива на получаваме че 8 6 ln 6 5 Фиг Изображения между пространствена рива и съответната ù фоална рива Неа : R R е рива на Френе параметризирана спрямо естествен параметър I R с евлидови ривини и и фоални ривини и Прилагайи формулите имаме че Веторно-параметричното уравнение на съответната на фоална рива има вида n n ъдето n и n са единични ветори по главната нормала и бинормалата съответно в точа от Ао и са евлидовите ривини на ривата а N и B са единични ветори по главната нормала и бинормалата съответно в точа то от за имаме че и T ± n N n B ± ' ъдето е единичният допирателен ветор в съответната точа на - 7 -

5 Твърдение Неа е винтовата линия параметризирана спрямо естествен параметър а е съответната ù фоална рива Тогава а изображението F : I R е инволютивно изображение те F е различно от идентитета I в пространството и F F F I тогава и само тогава огато евлидовите ривини и на са равни; б фоалната рива на е ривата Доазателство: Неа саларно-параметричните уравнения на винтовата линия спрямо деартовата оординатна система Oxyz имат вида: o in on За евлидовата ривина и фоалните ривини на са изпълнени равенствата on Тъй ато единичният ветор n по главните нормали на има оординати o in то получаваме че саларно-параметричните уравнения на фоалната рива n на имат вида o in o in Следователно изображението F : I R се задава с формулите x' y' z' x y z ъдето X x y z T е произволна точа от а X x' y' z' T точа от ' е съответната ù Ясно е че F е инволютивно изображение тогава и само тогава огато и с това условието в подточа а е доазано б За евлидовата ривина и фоалните ривини и на са изпълнени равенствата on Ао ~ е естествения параметър на то за - 7 -

6 фоалната рива ~ на ривата ~ получаваме че ~ ~ ~ ~ N n n те Твърдение Неа е обобщена винтовата линия параметризирана спрямо естествен параметър а е съответната ù фоална рива Ао фоалната ривина на е онстанта то фоалната рива на движение в пространството и ривата са евивалентни с точност до Доазателство: Тъй ато е обобщена винтова линия то за отношението от евлидовите ù ривини и е изпълнено че on Отту ао n n то диференцирайи спрямо получаваме че ' ' n n n n n Следователно ао ~ е естествения параметър на то d ~ ' d d За евлидовата ривина и фоалните ривини и на ривата получаваме че и d d ~ ' on За фоалната рива ~ на ривата ~ намираме че ~ ~ N B ~ n n n ~ n и ' Ао ~ е естествения диференцирайи спрямо ~ имаме че ' B B параметър на ривата то d ~ ' ~ d ~ d d d те е естествен параметър и за ривата Отту ао ~ и ~ са евлидовите ривини на ~ ~ то използвайи формулите намираме че ~ и ~ отъдето съгласно основната теорема в диференциалната геометрия на ривите следва че ривите пространството и са евивалентни с точност до движение в Твърдение Фоалната рива на онична спирала е онична спирала Доазателство: Неа e o e in e е онична спирала лежаща на онуса с : x y z уравнение S Намирайи фоалната рива на ривата получаваме че сарано-параметричните й уравнения имат вида:

7 e o e in e Отту следва че ривата лежи : x y z на онуса с уравнение S и също е онична спирала Ао е правилна линия с ненулева ривина то азваме че е рива на Бертранд ао съществува друга рива на оято главните нормали съвпадат с тези на в съответните им точи виж [] Интересни свойства на винтовите линии и на ривите на Бертранд са получени и в [] е фоалната рива на правилна линия параметризирана Теорема Неа n спрямо естествен параметър а е фоалната рива на ривата n n Ν n Тогава n n за всяо n N n n n n ' n n i ъдето i i са евлидовите ривини а i са фоалните ривини на фоалната i рива за i С са означени евлидовите ривини а с са означени фоалните ривини на линията Доазателство: Веторно-параметричното уравнение на съответната на фоална рива има вида n ъдето n и са единични ветори по главната ' нормала и бинормалата съответно а са фоалните ривини в точа от Втората фоална рива оято е фоалната рива на ривата има веторнопараметрично уравнение от вида n ъдето са фоалните ривини на ривата а n са единични ветори по главната нормала и бинормалата съответно на Ао с означим естествения параметър на и намерим производната на втората фоална рива относно този параметър получаваме че d d d d Тогава d d d ъдето d d d е естествения параметър на ривата Отту за единичния допирателен ветор на втората фоална - 7 -

8 рива намираме че d ε ign Тогава d d d d d d ε ъдето d d d d d d d d d d d d ε d d ε d Използвайи формулите на Френе за правилна линия получаваме че ривината n d d на втората фоална рива е равна на а единичните ветори d d n по главната нормала и бинормалата съответно на са: n ε δ n n δ n δ за ъдето торзията d ε ign d δ ign Следователно имаме че n ε d d d d на ривата d d n δ εδ n ε отъдето получаваме че d d и Отту с оето равенствата са доазани за n Чрез метода на математичесата индуция се доазва че равенствата са изпълнени и за произволно естествено число n n Следствие Кривите и за n са риви на Бертранд Доазателство: В хода на доазателството на теорема се вижда че ni δi n ъдето i i δi ign ε за i отъдето следва верността и на самото твърдение За представяне на преобразованията в следващото твърдение ще използваме таа наречените хомогенни оординати Ао X x y z е точа с оординати x y z спрямо - 7 -

9 оординатната система Oxyz то наредената ненулева четвора от числа x x x x x определена с точност до ненулев множител ъдето x x x y z x се нарича x x x хомогенни оординати на точата X Твърдение 5 Неа е винтовата линия параметризирана спрямо естествен параметър а е съответната ù фоална рива Тогава изображението ϕ : при оето триедъра на Френе на ривата в точа се изобразява в триедъра на Френе на фоалната ù рива в точа те T N B ϕ n е инволютивно изображение Доазателство: Тъй ато ϕ T ϕ n N n ϕ B то получаваме че π π π R R π ϕ n T n ъдето R е ротация ооло бинормалата на ъгъл π R n е ротация ооло главната нормала на ъгъл π и T n е транслация с ветор n След извършване на необходимите пресмятания получаваме че матрицата A ϕ на изображението ϕ в хомогенни оординати има вида : o in in in o o A ϕ in o o in in o ъдето de A ϕ и A ϕ Aϕ Aϕ E е единичната матрица Следователно ϕ ϕ ϕ I е идентитета в пространството те ϕ е инволюция ЛИТЕРАТУРА do ro M Differenil Geoery of urve nd Surfe Prenie-Hll New Jerey 976 Enhev R nd GeorgievG Siilr Frene urve Reul Mh 55 no Izuiy S Tkeuhi N Generi properie of helie nd Berrnd urve J geo Urie-vrg R On Verie fol urvure nd differenil geoery of pe urve Bull Brz Mh So New Serie