Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Препис

1 Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека D е област в C, а u : D R { } е функция с u(d) { }. Следните условия са еквивалентни: (i) за α R праобразът u 1 (, α) на интервал (, α) R е отворено подмножество на D; (ii) за a D е в сила lim sup u(z) u(a). z a,z a Ако горните условия са изпълнени, то u се нарича полу-непрекъсната отгоре. Ако u : D R { } е полу-непрекъсната отгоре, то u е ограничена отгоре върху всеки компакт K D и достига точната си горна граница върху K. Доказателство: Да предположим, че е изпълнено (i) и е нарушено (ii). Тогава съществува точка a D и редица {z k } k=1 D \ {a}, клоняща към a, така че u(a) < lim sup u(z k ) = inf k sup n N k n u(z k ). Следователно sup u(z k ) > u(a) за n N. С други думи, съществува реално k n положително число ε, така че sup u(z k ) u(a)+ε. В резултат, можем да изберем k n подредица {z kn } n=1 {z n } n=1 с условието u(z kn ) u(a) + ε за n N. Това е еквивалентно на {z kn } n=1 u 1 [u(a) + ε, ). Но съгласно предположение (i), подмножеството u 1 [u(a) + ε, ) D е затворено, така че lim z k n = a u 1 [u(a) + ε, ). По този начин получаваме u(a) u(a) + ε, което противоречи на избора на ε > и доказва (i) = (ii). Обратно, при предположение (ii) трябва да докажем, че за α R подмножеството u 1 [α, ) D е затворено. По-точно, ако редица {z k } k=1 u 1 [α, ) клони към точка a D, то твърдим, че u(a) α. Наистина, от u(z k ) α за k N и условие (ii) следва, че u(a) lim sup u(z k ) α. k Накрая, да допуснем, че съществува компакт K D, върху който някаква полу-непрекъсната отгоре функция u : D R { } е неограничена отгоре. Тогава за n N съществува z n K с u(z n ) n. След евентуално преминаване към подредица можем да считаме, че редицата {z n } n=1 K е сходяща към точка a K, съгласно компактността на K. Но тогава по условие (ii) имаме u(a) lim sup u(z n ) = lim u(z n) =. Противоречието доказва, че u е ограничена отгоре върху всеки компакт K D. Още повече, твърдим, че M := sup u(ζ) се достига в някоя точка ζ o K. ζ K Наистина, ако u е постоянна върху K, то няма какво да се доказва. Ако u не 4

2 5. КРИТЕРИЙ ЗА СУБХАРМОНИЧНОСТ 41 е постоянна върху K, то съществува редица {ζ n } n=1 K с lim u(ζ n) = M, u(ζ n ) < M. След евентуално преминаване къв подредица можем да считаме, че редицата {ζ n } n=1 е сходяща и клони към ζ o K. Сега за ε > съществува n o N, така че u(ζ n ) M ε за n n o. С други думи, ζ n u 1 [M ε, ) за n n o. Доколкото u е полу-непрекъсната отгоре, праобразът u 1 [M ε, ) K е затворено и съдържа ζ o = lim ζ n. По този начин, u(ζ o ) M ε за ε >, така че u(ζ o ) M. Комбинирайки с u(ζ o ) M получаваме u(ζ o ) = M, Q.E.D. Лема 5.2. За произволна ограничена отгоре и полу-непрекъсната отгоре функция u : D R { } съществува редица от непрекъснати върху D функции {u k } k=1, така че във всяка точка z D редицата {u k(z)} k=1 R е намаляваща и клони към u(z). Доказателство: Нека M := sup u(ζ), ζ D δ k (z, ζ) := u(ζ) k ζ z за z, ζ D и u k (z) := sup δ k (z, ζ). ζ D Тогава < u k (z) < и u k (z) δ k (z, z) = u(z). Твърдим, че u k (z) u k+1 (z) за z D и k N. По-подробно, ако u k+1 (z) = lim δ k+1(z, ζ n ) за някаква редица {ζ n } n=1 D, то δ k+1 (z, ζ n ) δ k (z, ζ n ) u k (z) за n N дава u k+1 (z) u k (z). От неравенството на триъгълника ζ z ζ z + z z за z, z, ζ D следва, че δ k (z, ζ) δ k (z, ζ) k z z. Прилагайки sup получаваме ζ D u k (z) u k (z ) k z z. Последното неравенство е в сила и след размяна на z с z, така че u k (z) u k (z ) k z z. Това доказва непрекъснатостта на u k : D R за k N. Остава да проверим, че във всяка точка z D числовата редица {u k (z)} k=1 R клони към u(z) R { }. Ако u(z) >, то за произволно ε R > подмножеството u 1 (, u(z) + ε) D е отворена околност на z. Затова съществува диск D(z, δ) D(z, δ) u 1 (, u(z) + ε) D с подходящ радиус δ R >. За достатъчно големи k o N е в сила M k o δ < u(z). Всяка точка z u 1 (, u(z) + ε) изпълнява неравенствата δ k (z, z ) = u(z ) k z z u(z ) < u(z) + ε. Точките z u 1 (, u(z) + ε) са извън D(z, δ), така че По този начин, δ k (z, z ) = u(z ) k o z z < u(z ) k o δ M k o δ < u(z). u(z) u k (z) = sup δ k (z, z ) < u(z) + ε за k k o z D и редицата {u k (z)} k=1 R клони към u(z) >. Ако u(z) =, то за произволно C R > подмножеството u 1 (, C) D е отворено и съдържа диск D(z, δ) D(z, δ) u 1 (, C) D. Ако z u 1 (, C), то за k N е в сила δ k (z, z ) = u(z ) k z z u(z ) < C.

3 42 5. КРИТЕРИЙ ЗА СУБХАРМОНИЧНОСТ Избираме достатъчно голямо k o N, така че k o δ > M+C. Тогава за произволни z u 1 (, C) и k k o имаме δ ko (z, z ) = u(z ) k o z z < M k o δ < C. В резултат, u k (z) = sup δ k (z, z ) C за k k o и редицата {u k (z)} k=1 R z D клони към lim u k(z) = = u(z), Q.E.D. k Определение 5.3. Нека D C е област, а u : D R { } е полунепрекъсната отгоре функция в D. Казваме, че u е субхармонична, ако за произволно отворено подмножество U D с компактна затворена обвивка U D и всяка хармонична функция h U : U R с непрекъснато продължение h U : U R неравенствата u(ζ) h(ζ) за ζ U водят до u(z) h(z) за z U. При наличие на двукратна R-диференцируемост, субхармоничните функции са обобщение на изпъкналите функции u : (a, b) R в интервала (a, b) R. Наистина, за произволни a t < t 1 b, непрекъснатите решения h : [t, t 1 ] R на диференциалното уравнение d2 h dt = са линейните функции h(t) = αt + β 2 за някакви α, β R. Функциите u : (a, b) R, за които условията u(t ) h(t ) и u(t 1 ) h(t 1 ) върху краищата на произволен интервал [t, t 1 ] (a, b) влекат u(t) h(t) за t [t, t 1 ] се наричат изпъкнали. Да отбележим също, че всяка хармонична функция h o е субхармонична. Наистина, за всяко отворено подмножество U D с компактна затворена обвивка U D и за всяка хармонична функция h : U R с непрекъснато продължение h : U R, функцията h o h : U R е хармонична. Съгласно Твърдение 4.8, h h изпълнява принципа за максимума, т.е. h o (z) h(z) sup [h o (ζ) h(ζ)] за z U. По този начин, от h o (ζ) h(ζ) за ζ U следва h o (z) h(z) за z U и h o се оказва субхармонична. Лема 5.4. Нека функцията u : D R { } е субхармонична в областта D. Тогава: (i) u 1 ( ) не съдържа непразно отворено в C подмножество; (ii) за произволен диск D(a, ρ) D интегралът u(a + ρe iθ ) dθ < по граничната окръжност D(a, ρ) D е сходящ. Доказателство: (i) Ако допуснем противното, то съществува отворено в C подмножество U u 1 ( ). Без ограничение на общността считаме, че U е множеството на вътрешните точки на u 1 ( ), т.е. z U точно когато съществува диск D(z, ε) u 1 ( ). Избираме гранична точка a U = U \U и затворен диск D(a, ρ) D. Тогава D(a, ρ) U и D(a, ρ) [D \ u 1 ]. След евентуално свиване на ρ можем да считаме, че D(a, ρ) U. Тогава D(a, ρ) U е отворено подмножество на D(a, ρ). Ако U o е околност на D(a, ρ) с компактна затворена обвивка U o D, то съгласно Лема-Определение 5.1, полу-непрекъснатата отгоре функция u е ограничена върху компакта U o, а оттам и върху U o. Сега по Лема 5.2 съществува редица {u k } k=1 от непрекъснати в U o функции u k : U o R, така че във всяка точка

4 5. КРИТЕРИЙ ЗА СУБХАРМОНИЧНОСТ 43 z U o числовата редица {u k (z)} k=1 R намалява и клони към u(z). Нека h k (z) := 1 P (z, θ)u k (a + ρe iθ )dθ за z D(a, ρ) и h k (z) = u(z) за z D(a, ρ). Лема 4.1 гарантира хармоничността на функциите h k : D(a, ρ) R и непрекъснатостта на h k : D(a, ρ) R. От h k (ζ) = u k (ζ) u(ζ) за ζ D(a, ρ) и субхармоничността на u получаваме u(z) h(z) за z D(a, ρ). В частност, за z o D(a, ρ) \ u 1 ( ) имаме < u(z o ) h k (z o ) = 1 P (z o, θ)u k (a + ρe iθ )dθ. За всяко фиксирано θ [, ] редицата {P (z o, θ)u k (a + ρe iθ )} k=1 намалява и клони към P (z o, θ)u(a + ρe iθ ) благодарение на P (z o, θ) >. Следователно по Теоремата на Лебег за монотонна сходимост, редицата от интеграли 1 P (z o, θ)u k (a + ρe iθ )dθ намалява и клони към 1 P (z o, θ)u(a + ρe iθ )dθ. Вземайки предвид, че отвореното подмножество U D(a, ρ) D(a, ρ) има положителна мярка, получаваме < u(z o ) 1 P (z o, θ)u(a + ρe iθ )dθ =. Противоречието доказва, че u 1 ( ) не съдържа отворено в C подмножество. (ii) По аналогия с (i) да изберем околност U o на D(a, ρ) с компактна затворена обвивка U o D. Тогава полу-непрекъснатата отгоре функция u : U o R е ограничена. В резултат, съществуват непрекъснати функции u k : U o R, така че във всяка точка z U o редицата {u k (z)} k=1 R намалява и клони към u(z). Тогава h k (z) = 1 k=1 P (z, θ)u k (a + ρe iθ )dθ е редица от хармонични в D(a, ρ) и непрекъснати в D(a, ρ) функции, изпълняващи неравенствата u(z) h k (z) за z D(a, ρ). Съгласно (i), множеството u 1 ( ) не покрива D(a, ρ) и съществува z o D(a, ρ)\u 1 ( ). За произволна функция v : U o R да означим v + (z) := max(v(z), ) и v (z) := min(v(z), ) за z U o и да разложим v = v + + v = v + v. Полагайки I + k := 1 I k := 1 получаваме < u(z o ) I + k P (z o, θ)u + k (a + ρeiθ )dθ, P (z o, θ) u k (a + ρeiθ ) dθ, I k. Ако S k = { θ [, ] u k ( a + ρe iθ ) > },

5 44 5. КРИТЕРИЙ ЗА СУБХАРМОНИЧНОСТ то Въвеждаме M k := I + k = 1 ( P (z o, θ)u k a + ρe iθ ) dθ. S k u k (z) и забелязваме, че sup z D(a,ρ) M 1 M 2... M k M k Следователно u k (a+ρe iθ ) M 1 за k N и θ [, ]. От друга страна, непрекъснатата функция P (z o, ) : [, ] R > е ограничена върху компакта [, ], т.е. съществува C := sup P (z o, θ) <. Вземайки предвид 1 dθ = 1, получаваме I + k M 1C за k N. От друга страна, редицата { u k (a + ρeiθ ) } θ [,] k=1 е монотонно растяща и сходяща към u (a+ρe iθ ) за всички θ [, ]. Вземайки предвид, че P (z o, θ) >, получаваме монотонно растяща редица { P (zo, θ) u k (a + ρeiθ ) } k=1, клоняща към P (z o, θ) u (a + ρe iθ ). По Теоремата на Лебег за монотонната сходимост, редицата I k = 1 P (z o, θ) u k (a + ρeiθ ) dθ расте монотонно и клони към I := 1 P (z o, θ) u (a + ρe iθ ) dθ. [ ρe iθ +(z o a) ρe iθ (z o a) По този начин, от I k M 1C u(z o ) следва ] I M 1 C u(z o ) <. Доколкото ядрото на Поасон P (z o, θ) = Re зависи непрекъснато от θ и затвореният интервал [, ] е компактен, съществува δ R >, така че P (z o, θ) δ за θ [, ]. Следователно откъдето и δ u (a + ρe iθ ) dθ <, u (a + ρe iθ ) dθ <. Ако S = { θ [, ] u ( a + ρe iθ) > } и M = S sup θ [,] S k=1 u ( a + ρe iθ), то u + ( a + ρe iθ) dθ = u ( a + ρe iθ) dθ M dθ M dθ = M <, така че Q.E.D. u(a + ρe iθ ) dθ = u + (a + ρe iθ ) u (a + ρe iθ ) dθ u + (a + ρe iθ )dθ + u (a + ρe iθ ) dθ <,

6 5. КРИТЕРИЙ ЗА СУБХАРМОНИЧНОСТ 45 Твърдение 5.5. (Критерий за субхармоничност)нека u : D R { } е полу-непрекъсната отгоре функция в област D C. В такъв случай, u е субхармонична тогава и само тогава, когато за a D съществува R = R(a) R > с условието u(a) 1 u(a + ρe iθ )dθ за < ρ < R(a). (5.1) Доказателство: Нека u : D R { } е субхармонична и D(a, R) D. Тогава съществува отворена околност U o D(a, R) с компактна затворена обвивка U o D. В качеството си на полу-непрекъсната отгоре, функцията u е ограничена върху U o U o. Това дава възможност да приложим Лема 5.2 и да изберем редица {u k } k=1 от непрекъснати функции u k : U o R, която във всяка точка z U o намалява и клони към u(z). Тогава функцията h k (z) := 1 P (z, θ)u k (a + ρe iθ )dθ е хармонична в D(a, ρ) и непрекъсната в D(a, ρ) за всички < ρ < R. Съгласно определението за субхармоничност, u(ζ) u k (ζ) = h k (ζ) за ζ D(a, ρ) дава u(z) h k (z) за z D(a, ρ). По този начин получаваме u(z) h k (z) = 1 за P (z, θ)u k (a + ρe iθ )dθ за z D(a, ρ). Приложението на Теоремата на Лебег за монотонната сходимост дава В частност, u(z) 1 P (z, θ)u(a + ρe iθ )dθ за z D(a, ρ), < ρ < R. u(a) 1 u(a + ρe iθ )dθ, възоснова на P (a, θ) = 1. Обратно, да предположим, че за всяка точка a D съществува D(a, R) D, така че върху всяка вътрешна окръжност D(a, ρ) D(a, R) е в сила (5.1). За произволно отворено подмножество U D с компактна затворена обвивка U D ще докажем, че u(z) sup u(ζ) за z U. (5.2) Тогава всяка хармонична функция h : U R с непрекъснато продължение h : U R има хармонична, а оттам и субхармонична противоположна h : U R. Прилагайки доказаната посока на твърдението получаваме h(a) 1 [ h(a + ρe iθ )]dθ за < ρ < R. Събирайки почленно с (5.1) стигаме до извода, че u(a) h(a) 1 [u(a + ρe iθ ) h(a + ρe iθ )]dθ за < ρ < R.

7 46 5. КРИТЕРИЙ ЗА СУБХАРМОНИЧНОСТ Това дава възможност да приложим (5.2) и да стигнем до неравенствата u(z) h(z) sup [u(ζ) h(ζ)] за z U. Сега u(ζ) h(ζ) за ζ U води до u(z) h(z) за z U и доказва субхармоничността на u. Да допуснем, че (5.2) не е изпълнено. Тогава съществува z o U с u(z o ) > sup u(ζ). (5.3) Полу-непрекъснатата отгоре функция u е ограничена върху компакта U и достига sup u(z) = u(c) в някаква точка c U. Съгласно (5.3) точката е вътрешна z U за U. Нека V е свързаната компонента на U, съдържаща c и S = {z V u(z) = u(c)}. Очевидно, S е непразно, доколкото c S. Вземайки предвид, че u(z) u(c) за z V, можем за представим S = {z V u(z) u(c)} = u 1 [u(c), ) V. Това показва, че S V е относително затворено във V, благодарение на полунепрекъснатостта на u отгоре. Твърдим, че за b S с D(b, R b ) V имаме D(b, R b ) S, така че S V е отворено, а оттам и съвпада с V. Условието D(b, R b ) S е еквивалентно на D(b, ρ) S за < ρ < R b. По предположение, u(c) = u(b) 1 u(b + ρe iθ )dθ за < ρ < R b. Ако съществува θ o [, ] с u(b + ρe iθo ) < u(c), то съществува достатъчно малко ε o >, така че u(b+ρe iθo ) < u(c) ε o. Но множеството u 1 (, u(c) ε o ) е отворено съгласно полу-непрекъснатостта на u отгоре, така че съществува непразен отворен интервал I [, ], съдържащ θ o и съставен от такива θ, за които u(b + ρe iθ ) < u(c) ε o. Означавайки с l(i) и l([, ] \ I) мерките на I и [, ] \ I оценяваме u(c) 1 I u(b + ρe iθ )dθ + 1 [,]\I u(b + ρe iθ )dθ < (u(c) ε o ) l(i) ] \ I) l(i) + u(c)l([, = u(c) ε o. От l(i) > следва противоречие, което доказва D(b, R b ) S за b S. В резултат, S = V води до u V u(c), откъдето u(z o ) > sup u(ζ) sup ζ V Това установява верността на (5.2), Q.E.D. u(ζ) = u(c) = sup u(z) u(z o ). z U