Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Размер: px
Започни от страница:

Download "Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc"

Препис

1 Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по целесъобразност може да започне и от друг индекс Крайните суми s = k k = се наричат частични суми на реда Например реда с общ член = () има частични суми s = = k L = = k = 4 За този ред имаме lim s = lim = и по тази причина естествено е да приемем че реда () има сума равна на която се явява граница на частичните суми на реда () s на реда () е Определение Нека редицата от частичните суми { } сходяща и клони към границата s ( s ± ) lim = s s В този случай се казва че редът () е сходящ и има сума s = s s е разходяща или нейната граница е ± то редът () се нарича разходящ Например редът () е сходящ и има сума s = понеже lim s = По същия Ако редицата { } начин се установява че ако общият член на един ред се получава от геометрична прогресия с първи член a и частно q = aq то редът = a aq aq aq 3 L aq L е сходящ когато q < и разходящ когато q В този случай частичните суми имат вида q s = a aq aq L aq = a( q q L q ) = a q следователно при q < имаме lim q = и

2 q a lim s = lim a = q q Понятието ред разглеждано като безкрайна сума и в този смисъл като непосредствено обобщение на крайните суми има принципно значение за цялата математика Могат да бъдат определели редове чиито общ член не е число например редове от матрици При всички случаи обаче сумата на един ред се определя като граница от неговите частични суми независимо от конкретната природа на реда Твърдение Нека редът е сходящ Тогава неговият общ член клони към нула lim = Доказателство Нека s е сумата на реда По определение lim s = lim L = ( ) s следователно lim s = lim( L ) = s Сега от свойствата на сходящите редици намираме lim s s = lim = s s = ( ) което доказва твърдението От твърдение следва че ако общият член на един ред не клони към нула то редът обезателно е разходящ Например редът = 3 е разходящ понеже за неговия общ член имаме lim = lim = 3 Да отбележим специално че ако общият член на даден ред клони към нула то в общия случай само от това не следва че редът е сходящ Съгласно критерия на Коши една редица { s } е сходяща тогава и само тогава когато е фундаментална те тогава и само тогава когато за всяко ε > може да се намери някакво за което s s < ε при всяко > и всяко естествено От тук веднага се получава верността на Твърдение (Коши) Редът редицата от частичните суми { } всяко ε > съществува такова че L < ε е сходящ тогава и само тогава когато s е фундаментална те тогава и само тогава когато за при всяко > и всяко естествено N Доказателство За доказателство е достатъчно да отбележим че в този случай s = L s след което да приложим критерия на Коши Например за реда () имаме

3 L = L = = < L = Да изберем едно ε > след което да фиксираме някакво естествено за което < ε Тогава при всяко > и всяко естествено е изпълнено L < < < ε Твърдение () позволява бързо да установим че хармоничният ред (3) е разходящ В този случай s = L 3 и (4) s s = L > L = Да допуснем противното че редът (3) е сходящ и да изберем едно ε за което ε < Тогава според твърдение може да се намери такова че s s < ε при всяко > и всяко естествено в частност и при = откъдето се получава че s s < ε < при всяко > което противоречи на неравенството (4) Достигнатото противоречие показва че хармоничният ред (3) е разходящ Този пример показва конкретно как в един ред общият член може да клони към нула но въпреки това редът да бъде разходящ Определение Редът се нарича абсолютно сходящ когато е сходящ редът с общ член те когато е сходящ редът с положителни (неотрицателни) членове Ако един ред е сходящ но не е абсолютно сходящ то той се нарича условно сходящ Следващото твърдение показва очаквания факт че ако един ред е абсолютно сходящ то той е и сходящ Твърдение 3 Нека редът е абсолютно сходящ Тогава е сходящ Доказателство Да изберем едно ε > По условие редът е абсолютно сходящ което означава че редът = > 3

4 е сходящ следователно съществува такова че L = L < ε при всяко > и N Сега от основното неравенство за модула имаме s s = L L < ε което означава че редът удовлетворява условието Коши за сходимост от твърдение От направените определения веднага се установява че сходимостта на един ред (абсолютна или условна) не се променя ако променим първите няколко (краен брой) негови членове Освен това от свойствата на сходящите редици следва че сходящите редове могат да се събират и умножават с число Твърдение 4 Нека редовете и v са сходящи със суми съответно s U и s V Тогава редът с общ член v е сходящ и има сума s U sv Освен това редът с общ член λ също е сходящ и има сума λ su където λ е константа Ако и двата реда сума ( ) v и също е абсолютно сходящ ред v са абсолютно сходящи то и тяхната почленна Както ще се убедим по-нататък основните трудности при изследването за сходимост на даден ред са свързани с поведението на знака на неговия общ член Един интересен критерий за сходимост в този смисъл представлява критерият на Лайбниц Теорема (Лайбниц) Нека редицата { } клоняща към нула те е монотонно намаляваща и и lim = Тогава редът с алтернативно променящи се знаци на общия член (алтернативен ред) ( ) = L ( ) L 3 4 е сходящ Доказателство Да разгледаме частичните суми s = 3 L и s = 3 L От последното веднага се получава че s = s следователно s s От s е ограничена отгоре понеже друга страна редицата { } s ( 3 ) ( ) следователно редицата { } = L s също е ограничена отгоре Имаме ( ) s s = s следователно редицата { } редицата { } сходяща s е монотонно растяща По този начин получихме че s е монотонно растяща и ограничена отгоре което показва че { } lim s = s Освен това lim s = lim( s ) = lim s lim = s = s което доказва напълно теоремата Съгласно критерият на Лайбниц алтернативният хармоничен ред s е 4

5 ( ) (5) = L ( ) L 3 е сходящ От друга страна (5) не е абсолютно сходящ понеже неговата абсолютна сходимост означава сходимост на хармоничния ред (3) за който вече установихме че е разходящ По този начин (5) представлява пример за условно сходящ ред те за ред който е сходящ но не се явява абсолютно сходящ Абсолютната сходимост гарантира че свойствата на безкрайната сума са аналогични на крайните суми както добре се вижда от следната Теорема (Комутативен закон за абсолютно сходящи редове) Нека редът = s е абсолютно сходящ и нека редът i разместване на неговите членове Тогава редът = е получен от него след произволно i= също е абсолютно сходящ при което неговата сума остава равна на s Разместването на събираемите в един абсолютно сходящ ред не променя нито неговата абсолютна сходимост нито неговата сума При условно сходящите редове ситуацията е напълно различна Нека е условно сходящ ред и a е някакво произволно избрано число (или a = ± ) Тогава членовете на реда могат да се разместят по такъв начин че новият ред да има сума равна на a Самите редове представляват първично средство в математиката за представяне на различни величини и по тази причина намирането на сумата на даден ред в някакъв съкратен вид се явява в общия случай безпредметна задача което не изключва възможността в отделни случаи тази сума да представлява интерес както от практическа така и от теоретическа гледна точка Например в сила е равенството π = = L което може да послужи за приблизително пресмятане стойността на константата π Редове с положителни членове Критерии за сходимост Да разгледаме реда () за който се предполага че =3 K Тогава редицата от неговите частични суми е монотонно растяща понеже s = s s Една монотонно растяща редица или е сходяща или дивергира към при което сходимостта е налице тогава и само тогава когато редицата е ограничена отгоре Следователно един ред с положителни членове винаги има сума s но е сходящ само когато s < Сумата на хармоничния ред е понеже той има положителни членове и се явява разходящ Всъщност частичните суми на хармоничния ред клонят към 3 безкрайност от порядъка на l Даже при = което е твърде голямо число имаме l 7 което показва че на практика (в изчислителен план) хармоничният ред се държи като сходящ В този раздел ще се занимаваме с въпроса за сходимостта на редове с положителни членове Получените критерии могат да се отнесат непосредствено и към редове с отрицателни членове понеже всеки ред с отрицателни членове може да се превърне в ред с положителни членове след умножение с константата При 5

6 изследване въпросите за сходимостта условието за положителност а общия член не е необходимо да се налага за всичките членове на реда а само от известно място нататък С други думи получените по-нататък в настоящия раздел критерии за сходимост по същество се отнасят за всички редове за които от известно място нататък общия член не си сменя знака те за редове с просто поведение на знака на общия член Един ред с положителни членове е сходящ точно когато е абсолютно сходящ Последното очевидно е вярно и за редове с отрицателни членове От направените разсъждения веднага се получава верността на Твърдение 5 Редът с положителни членове тогава когато редицата от частични суми { } s е ограничена отгоре е сходящ тогава и само Горното твърдение е в основата на доказателството на Теорема 3 (Принцип за сравняване на редове) Нека е изпълнено условието v =3 K Тогава ако редът v е сходящ то редът също е сходящ и следователно ако редът е разходящ то редът v също е разходящ Доказателство Доказателството следва от факта че за частичните суми на двата реда е изпълнено неравенството V редицата от частичните суми { } U частичните суми { } също е сходящ U V s s Нека редът v е сходящ Тогава s е ограничена отгоре следователно редицата от s също е ограничена отгоре което пък означава че редът В този случай казваме че редът v мажорира реда Верността на теорема 3 се запазва ако условието за наредбата между двата общи члена се нарушава за първите няколко краен брой индекси Достатъчно е да поискаме неравенството v да бъде изпълнено от известно място нататък те да съществува някакво (евентуално много голямо) такова че v при всички стойности на индекса за които > Аналогична забележка е валидна и при другите критерии за сходимост на редове Вече знаем че сумата на геометричната прогресия aq представлява сходящ ред ако за частното q е изпълнено q < и представлява разходящ ред ако q при което в последния случай общият член на реда aq не клони към нула при Следващите теорема се основава на сравняване изходния ред с геометрична прогресия Теорема 4 (критерий на Коши) Нека е ред с положителни членове > и нека съществува границата lim = l Тогава ако l < то редът е сходящ и ако l > то редът е разходящ Ако l = то редът може да се случи както сходящ така и разходящ 6

7 Доказателство Доказателството се основава на сравняване на реда спрямо геометрична прогресия Нека съществува границата lim = l и l < Нека q е число за което l < q < и да положим = q l l ε l ε = l q q е една ε - околност на границата l и следователно може да се намери някакво такова че ( l ε l ε) ε Тогава ( ) ( ) за всяко > Това означава че < l ε = q при > следователно < q при > Тук редът се мажорира от сходяща геометрична прогресия и следователно е сходящ съгласно теорема 3 понеже по условие q < Да предположим сега че съществува границата lim = l и l > Нека q е число за което < q < l и да положим = l q l ε l ε = q l q е една ε -околност на границата l и следователно може да се намери някакво такова че ( l ε l ε) ε Тогава ( ) ( ) за всяко > Това означава че > l ε = q при > следователно > q при > По условие обаче q > следователно lim q = откъдето намираме че lim = В този случай редът не може да бъде сходящ понеже неговият общ член не клони към нула Теорема 5 (критерий на Даламбер) Нека е ред с положителни членове > и нека съществува границата lim = l Тогава ако l < то редът е сходящ и ако l > то редът е разходящ Ако l = то редът може да се случи както сходящ така и разходящ Доказателство И тук доказателството се основава на сравняване спрямо геометрична прогресия Нека съществува границата lim = l и l < Нека q е число за което l < q < и да положим ε = q l Тогава ( l ε l ε) = ( l q q) е една ε - околност на границата l и следователно може да се намери някакво такова че ( l ε l ε) за всяко следователно < q при Имаме < q < q 3 < q < q 7

8 Умножавайки последните неравенства почленно след съкращаване на равните множители намираме < q следователно < ( q ) q при Тук редът отново се мажорира от сходяща геометрична прогресия което доказва тази част на твърдението Да предположим сега че съществува границата lim = l и l > Нека q е число за което < q < l и да положим ε = l q Тогава ( l ε l ε) = ( q l q) е една ε - околност на границата l и следователно може да се намери някакво такова че ( l ε l ε) за всяко следователно > q при Разсъждавайки > q q при По условие q следователно lim q = откъдето намираме че lim = В този случай както в предишния случай намираме че ( ) обаче > редът не може да бъде сходящ понеже неговият общ член не клони към нула Например редът е сходящ по критерия на Коши понеже в този случай = = и lim = lim = < Редът 3 е сходящ по критерия на Даламбер понеже в този случай = = и lim = lim = < Следващия критерий представлява уточнение на критерия на Даламбер Теорема 6 (критерий на Дюамел) Нека е ред с положителни членове > и нека съществува границата lim = l Тогава ако l > то редът е сходящ и ако l < то редът е разходящ Ако l = то редът може да се случи както сходящ така и разходящ Доказателство Да положим α = Нека съществува границата lim α = l и l > Нека q е число за което < q < l и да положим ε = l q Тогава ( l ε l ε) = ( q l q) е една ε -околност на границата l и 8

9 следователно може да се намери някакво α l ε l ε за всяко следователно α > q при От последното веднага получаваме ( ) > ( q ) Имаме последователно ( ) ( ) > q ( ) ( 3) ( ) > q ( ) ( 3) 3 ( ) > q 3 ( ) > ( q ) Събирайки почленно горните получаваме ( ) ( )[ 3 ] > q L откъдето отчитайки факта че > и q > получаваме 3 L < q следователно за частичните суми на реда е в сила неравенството s = s ( ) 3 L < s q s е ограничена отгоре такова че ( ) Последното показва че редицата от частичните суми { } следователно редът е сходящ Да предположим сега че съществува границата lim α = l и l < Нека q е число за което l < q < и да положим = q l l ε l ε = l q q е една ε - околност на границата l и следователно може да се намери някакво такова че α ( l ε l ε) за всяко следователно α < q при От последното веднага получаваме ( ) < Сега разсъждавайки както в преди получаваме неравенството ( ) < при Последното показва че > ( ) което означава че редът се ограничава отдолу от разходящия ред cost и се явява разходящ съгласно принципа за сравняване на редове Например да изследваме за сходимост реда Тук имаме ( ) = = = lim = lim = > следователно редът е сходящ по критерия на Дюамел Особено значение при сходимостта на редове с положителни членове има f x ε Тогава ( ) ( ) признака за сходимост на Коши Да припомним че ако неотрицателната функция ( ) 9

10 е определена и непрекъсната в интервала [ a ) то несобственият интеграл от ( x) граници от a до се определя като границата (6) ( x) dx = f ( x) a f lim dx a f в когато съществува В този случай интегралът се нарича сходящ Понеже редицата ( ) f x dx е монотонно растяща то границата в (6) винаги съществува но в общия a случай може да приема стойност Интегралът е сходящ точно когато въпросната граница не е те тогава и само тогава когато редицата е ограничена отгоре Теорема 7 (интегрален критерий на Коши) Нека f ( x) :[ ) R е неотрицателна и монотонно намаляваща непрекъсната функция Тогава редът = f ( ) е сходящ тогава и само тогава когато е сходящ несобственият интеграл ( x) f dx Доказателство Доказателството се получава лесно следвайки геометричната интерпретация на определения интеграл (фиг ) Понеже функцията ( x) f ( k ) f ( x) f ( k) [ ] получаваме f k Фиг f е монотонно намаляваща за всяко естествено число k имаме k k k k ( k ) f ( x) dx f ( k) Сумирайки последното за k = f k k x от което след интегриране в интервала [ ] k = K намираме ( k ) f ( x) dx f ( k) k = k k = откъдето отчитайки адитивното свойство на интеграла получаваме (7) s f () f ( x) dx s където s = f () f ( ) L f ( ) са частичните суми на дадения ред

11 = Нека редът f ( ) е сходящ Тогава неговите частични суми { } s образуват ограничена редица и следователно редицата ( ) f x dx също е ограничена отгоре което води след себе си сходимост на несобствения интеграл Да предположим сега че несобственият интеграл е сходящ Това е еквивалентно на ограниченост на редицата ( ) f x dx което пък от своя страна въз основа на (7) води до ограниченост на редицата от частичните суми { s } а последното означава че даденият ред е сходящ Да разгледаме например реда 3 Тук общият член на реда се поражда от функцията f ( x) = която удовлетворява 3 x условията на теорема 7 Имаме dx f ( x) dx = 3 = = x x следователно lim f ( x) dx = lim = < което означава че несобственият интеграл е сходящ което пък от своя страна съгласно интегралния критерий на Коши показва че редът също е сходящ Теорема 7 открива лесна възможност за изследване сходимостта на обобщения хармоничен ред (8) α α > Тук случаят α не е интересен понеже тогава редът (8) е очевидно разходящ α поради факта че неговият общ член = не клони към нула При α > функцията α ( x) = x f която поражда общия член на реда удовлетворява условията на теорема 7 следователно редът (8) е сходящ тогава и само тогава когато е сходящ несобственият интеграл dx x α При α имаме dx = = α α ( α ) ( α ) α x x а при α = dx = l x l x = следователно

12 заα > dx α lim = заα = α x заα < Последното заедно с теорема 7 показва че обобщеният хармоничен ред (8) е сходящ тогава и само тогава когато α > Например редът е разходящ понеже в този случай имаме α = < Всеки критерий за сходимост на ред с положителни членове автоматично работи и като критерий за абсолютна сходимост на ред с произволни знаци на членовете Например да изследваме за сходимост реда (9) si α където α е реален параметър За общия член на този ред е в сила оценката si α следователно редът si α се мажорира от сходящия ред Последното показва че редът (9) е абсолютно сходящ при всяка стойност на параметъра α Два абсолютно сходящи реда = и v могат да се умножават конволюционно при което се получава отново абсолютно сходящ ред член w = kv k = v v v L v v k= w с общ

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc Лекция. Производни oт по-висок порядък. Развиване на функции в ред на Тейлър.. Производна от -ти порядък. Производната на дадена функция у = дефинирана и диференцируема в интервала a b на свой ред е дефинирана

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

Microsoft Word - MA11 sec77.doc

Microsoft Word - MA11 sec77.doc Лекця 7 7 Дефнця свойства на определен нтеграл Сум на Дарбу Определенят нтеграл е фундаментално средство в математката с разнообразн съдържателн прложеня Той се зползва за пресмятане на геометрчн фзчн

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc

Microsoft Word - IGM-CA1919.doc Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни

Подробно

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант).. Уводни бележки. а) Интеграли и лица на фигури. Класическият въпрос за пресмятане лицата (

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - DIS.doc

Microsoft Word - DIS.doc Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през

Подробно

Microsoft Word - Sem3-Pharm-2018.doc

Microsoft Word - Sem3-Pharm-2018.doc Семинар 3 / Семинар 3: Производна на функция. Развитие на функции в ред на Тейлър. Правило на Лопитал Нека е дадена функцията y f (, която е определена в някакъв интервал Δ, Δ. Избираме в този интервал

Подробно

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

DIC_all_2015_color.dvi

DIC_all_2015_color.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

DIC_all_2014.dvi

DIC_all_2014.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно