НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур

Препис

1 НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n. (.) ) ( ) или или. Задача. Един от външните ъгли на равнобедрен триъгълник е. Намерете ъгъла между основата на този триъгълник и височината на триъгълника, прекарана през връх при основата му. Даденият външен ъгъл не е при основата (ако допуснем, че даденият външен ъгъл е при основата: щом външният ъгъл е остър, то съседният му е тъп и тогава ъглите при основата на триъгълника са тъпи ъгли противоречие ). От теорема за външен ъгъл следва, че ъглите при основата на триъгълника са по 6. Височината към бедрото е външна за триъгълника ABC. Тогава от ABH : HAB Задача. Куб е съставен от 7 еднакви бели кубчета и после е боядисан в черно. След това е разглобен на съставните си 7 кубчета. Колко от тях имат повече от една черна стена? Кубчетата по ъглите на куба са с по черни стени и те са 8. Кубчетата по ръбовете но в средата са с по черни стени и те са.=. Поне две черни стени имат 0 кубчета. (Централните кубчета на всяка стена имат по една черна стена и те са 6 на брой. Централното кубче за куба в центъра на куба няма черни стени.)

2 Задача. Диагоналът на квадрат с лице m е страна на втори квадрат. Диагоналът на втория квадрат е страна на трети квадрат и т. н. Намерете колко квадратни сантиметра е лицето на петия квадрат. Нека разгледаме първия и втория квадрат. Всеки от диагоналите на първия квадрат го разделя на два еднакви равнобедрени правоъгълни триъгълника (I ПЕТ), т.е. диагоналите сключват ъгъл 5ºсъс страните на квадрата.същото важи и за втория квадрат AFEC със страна AC. Следователно BCE 5 и BEC BAC (I ПЕТ). Тогава AEC = ABC = ABCD, откъдето: AFEC = ABCD. Оттам за лицата на така построените квадрати получаваме: m Задача 5. За коя стойност на m неравенството ( m) ( m ) ( m )( m ) има за решение всяко число? ( m) ( m ) ( m )( m ) m m ( m) Дясната страна на неравенството (-) е отрицателно число и за да е изпълнено за всяко трябва m 0, т.е. m. m m m

3 Задача 6. Разстоянието между две селища А и В, разположени на противоположните склонове на долина, е 5 км. Пътят от А към В първоначално се спуска надолу, а после се изкачва нагоре. Петър тръгнал от А към В, като се движел с постоянна скорост и слизал в продължение на 0 минути. При изкачването скоростта му останала постоянна, но с км/ч по-малка от тази при спускането, и той стигнал в В един час и пет минути след тръгването си от А. В момента на тръгването на Петър, Иван тръгнал от В към А, като се спускал и изкачвал със същата скорост, с която се спускал и съответно изкачвал Петър. Намерете скоростите на спускане и изкачване, както и колко минути ще изминат от момента на тръгването на Петър и Иван до момента на срещата им. Нека V сп кm/h, тогава V изк кm/h. За Петър скоростта на спускане е V сп кm/h, времето за спускане t сп h пътят изминат от Петър при спускане е сп. km. За Петър скоростта на изкачване е V изк кm/h, времето за изкачване е t изк h пътят изминат от Петър при изкачване е изк ( ). km. Така получаваме равенството сп изк 5 (разстоянието между двете селища е 5 км.) От което получаваме. ( ) km / h е скоростта при спускане, а скоростта на изкачване е km / h. Тогава пътят, изминат от Петър при спускане, е сп. km km AD, а при изкачване изк ( ). km km DB. Щом AD BD Иван се е спуснал km до т.е, когато Петър е в точка D. Следователно, срещата ще е в участъка DE km. Нека е времето на Петър и Иван в участъка DE до срещата. Пътят на Петър в този участък е П. km, а на Иван И 6. km. Тогава П И км h 6min. Следователно от момента на тръгване до 0 момента на срещата са изминали 0 min 6min 6min. Задача 7. Докажете, че ако в един четириъгълник диагоналите са ъглополовящи на ъглите, през чиито върхове са прекарани, то той е ромб. От сбора на ъглите в ACB : ABC 80 ( ) и в ACD : ADC 80 ( ). Следователно D B. Аналогично A C срещуположните ъгли в четириъгълника са равни A C, B D ACD ACB (по втори признак) AD AB. Но

4 AD DC ( ACD е равнобедрен) и AB BC ( ACB е равнобедрен) AD DC AB BC. четириъгълникът има четири равни страни. Следователно четириъгълникът ABCD е ромб. Задача 8. Намерете най-малката стойност на израза 00, където може да е произволно число и намерете за коя стойност на се случва това. ( ) 00 5 ( 8 ) ( ) 00 8 Понеже ( ) 0 за всяка стойност на, то ( ) 5 5. Следователно най-малката стойност на израза е 5 и тя се достига при ( ) 0, т.е. при. 0 0 Задача 9. Какъв остатък при деление с дава числото...? Забелязваме, че 7 ще групираме събираемите по две ( но не съседни, а през едно), 0 започвайки от. Събираемите са 05. При групирането ще получим: ( ) ( ) ( ) ( )... ( 6 ) ( 5 ) 0 ( ) ( ) ( ) Всички събираеми (без ) се делят на (делят се на и 7) остатъкът при деление с на 0 0 числото... е. Задача 0. Във вътрешността на триъгълник е взета произволна точка. Да се докаже, че сборът от разстоянията между точката и върховете на триъгълника е: а) по-голям от полупериметъра му; б) по-малък от периметъра му. 0 ( ) 008 ( ) 007 ( )

5 Нека вътрешната точка е P, AC =, BC =, AB =, AP =, BP =, PC =, а правата AP пресича BC в точка D. а) От неравенството на триъгълника, приложено за триъгълниците, на които се разделя дадения триъгълник от осечките, свързващи вътрешната точка P с върховете на триъгълника, получаваме: ( ) б) Използваме, че ( ) Ще докажем, че. (Аналогично се доказват и другите две неравенства.) От PDC получаваме CD PD. От ABD получаваме AD DB. Тогава CD PD CD AD CD DB. ( ) 5