40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ

Размер: px
Започни от страница:

Download "40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ"

Препис

1 40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни тензори тензорите на инерция на Ойлер (в този параграф) и тензора на напрежението на Коши (в следващия) Тензор на инерцията. Разглеждаме движение на абсолютно твърдо тяло с една неподвижна точка O. Нека G O = r v dm; (6.1) е кинетичният момент (моментът на количеството движение) спрямо точката O; тукr! = OM е радиус-векторът на точката M от тялото спрямо фиксиран полюс O, dm = ρ d е масата на елементарния обем d,аρ е плътността му. Съгласно теоремата на Ойлер-Даламбер ( 4.12) всяко движение на разглежданото тяло може да се представи като ротация около ос, минаваща естествено през O (това е т. нар. ос на крайното въртене). Представяме движението като безкрайна редица (суперпозиция) от безкрайно малки движения. Всяко такова движение на свой ред е безкрайно малка ротация около т. нар. моментна ос на въртене 5, също минаваща през O (още един път използваме теоремата на Ойлер-Даламбер). Векторът на моментната ъглова скорост на безкрайно малките ротации означаваме с!, а кинетичният момент с G! O. Тъй като по време на движението посоката и големината на! се менят, нас ни интересува зависимостта на G! O от!, т. е. векторната функция!! G! O : (6.2) За пресмятане на G! O припомняме формулата на Ойлер v =! r ; (6.3) която ни дава скоростта v на произволна точка M от тялото при ротацията с вектор на ъгловата скорост!. 5 Да припомним, че геометричното място на тези оси образува конус с връх в точката O, наречен аксоид на движението.

2 6. Пример тензор на инерцията 41 Внасяме (6.3) в (6.1) и разкриваме двойното векторно произведение, използвайки добре познатата формула r v = r (! r) =r 2! r (r!) =! (r r) r (r!) =!r 2 r (r!) ; вж. (9.36). Тогава G! O = r 2! r (r!) dm: (6.4) Въвеждаме двувалентният тензор J = r 2 I r Ω r dm; (6.5) наречен тензор на инерцията. Дефиницията (3.3) на диадата като линейно преобразование позволява тогава да препишем (6.4) във вида G! O = J! : (6.6) Следователно векторната функция (6.2) е линейна, а тензорът на инерцията на тяло x 1 е линейното преобразование, което преобразува даденият вектор на моментната ъглова h скорост! в кинетичния момент G! O на тялото, съответстващ на движението му с тази ъглова скорост. Нека e 1, e 2, e 3 е ортонормиран базис в E 3, определящ декартовата система Ox 1 x 2 x 3. Компонентите на тензора J в този базис, съгласно (6.5), са J 11 = e 1 J e 1 = r 2 (r e 2 1 ) dm = r 2 x 2 1 dm = x x2 3 dm = h 2 dm; J 22 = x x2 1 dm; J 33 = x x2 2 dm; J ij = x i x j dm; i 6= j: r x 2 x 3 Фиг. 6.1 M (6.7)

3 42 Глава 1. Тензорна алгебра Припомняме, че диагоналните елементи J 11, J 22, J 33 на тензора J са т. нар. екваториални моменти на инерция (това са моментите на инерция спрямо трите координатни оси Ox i, i = 1; 2; 3). Интерпретацията им е проста: за да намерим J 11, например, трябва да,,сумираме (т. е. да интегрираме) h 2 dm по всички точки (елементарни обеми) на тялото, q x x2 3 където h = е разстоянието на точката M до оста Ox 1,вж. фиг Да отбележим за пълнота, че не само кинетичния момент, но и кинетичната енергия T = 1 2 v 2 dm (6.8) се изразява просто и удобно чрез тензора на инерцията. За да се убедим в това, да забележим първо, че 6 v 2 = j! rj 2 = r 2! 2 (r!) 2 ; (6.9) вж. (6.3). От друга страна квадратичната форма на тензора J се записва като! J! = r 2! 2 (r!) 2 dm; (6.10) както се вижда от дефиницията (6.5) на J. Използването на (6.9) в (6.10) и сравняването на резултата с (6.8) дава T = 1 2 v 2 dm = 1 2! J! (6.11) кинетичната енергия на разглежданото тяло е половината от квадратичната форма на тензора на инерция. Оттук следва, че тензорът на инерция J е не само симетричен, но и (строго) положително дефинитен, т. е.! J! 0, тъй като кинетичната енергия е винаги положителна за движещо се тяло Главни инерчни моменти на тяло. Тензорът на инерцията, дефиниран в (6.5), е очевидно симетричен. Да означим следвайки историческа традиция още от времето на Ойлер собствените му стойности 6 Използваната тук формула ja bj 2 = a 2 b 2 (a b) 2 е известна като формула на Лагранж. Тя следва по очевиден начин от дефинициите на скаларното и векторното произведение в тримерното пространство.

4 6. Пример тензор на инерцията 43 с A, B и C, инекаi 0, j 0, k 0 е съответният им ортонормиран базис от собствени вектори. Тогава J = A i 0 i 0 + B j 0 j 0 + C k 0 k 0 : (6.12) В диадния базис, породен от собствените си вектори тензора J, матрицата му е диагонална: kj ij k = 0 A B C 1 C A : (6.13) Собствените стойности A, B и C на тензора J се наричат главни инерчни моменти на тялото. Традиционно те се избират така, че A B C. Освен това, главните моменти на инерция на тялото са винаги положителни A B C > 0, щом тензорът J е положително дефинитен (вж. 6.1). Осите Ox 1 0, Ox 2 0, Ox 3 0 определени, съответно, от собствените вектори i 0, j 0, k 0 на J се наричат главни оси на инерция Динамични уравнения на Ойлер. Въвеждането на тензора на инерцията и на главните му оси са първият и централен момент в извода на знаменитите Ойлерови уравнения на движение на абсолютно твърдо тяло с една неподвижна точка. За пълнота ще припомним основните идеи на този извод. Нека p, q и r са компонентите на! в системата от главни оси на инерция, т. е.! = p i 0 + q j 0 + r k 0 : (6.14) От (6.12) следва, че G! O = J! = Ap i0 + Bq j 0 + Crk 0 : (6.15) Прилагаме,,теоремата за кинетичния момент d dt G! O = M ext ; (6.16) O вж. 20.2,къдетоM ext O е главният момент на външните сили спрямо точката O. Разглеждаме подвижната координатна система Ox 1 0x 2 0x 3 0 на главни оси на инерция, която се движи,,залепена за тялото. Внасяме (6.15) в (6.16): d dt G! O = A dp dt i0 + B dq dt j0 + C dr dt k0 + Ap di0 dt + Bq dj0 dt + Cr dk0 dt : (6.17)

5 44 Глава 1. Тензорна алгебра Но di 0 dt =! dj 0 i0 ; dt =! dk 0 j0 ; dt =! k0 използваме формулата на Ойлер (6.3), като забелязваме, че ортите i 0, j 0 и k 0 са неподвижно свързани с тялото и поради това си движат със същата (като тази на тялото) ъглова скорост! във всеки момент от време. Следователно, подчертаните членове в (6.17) се преобразуват като! Ap i 0 + Bqj 0 + Crk 0 =! G! ; O вж. (6.15). Заедно с (6.14) и (6.15), последното съотношение позволява да опростим (6.17): или d dt G! O = A dp dt i0 + B dq dt j0 + C dr dt k0 +! G! O = M ext O ; A dp dt i0 + B dq dt j0 + C dr dt k0 + i 0 j 0 k 0 p q r Ap Bq Cr = M ext Проектираме двете части на това равенство върху осите на подвижната система, т. е. по ортите i 0, j 0, k 0 на главните оси на инерция: където M ext i 0 A dp ext (B C)qr = M1 dt ; 0 B dq ext (C A)rp = M2 dt ; 0 C dr ext (A B)pq = M3 dt ; 0 O : (6.18) са проекциите на главния момент на външните сили върху съответните главни оси на инерция на тялото. Съотношенията (6.18) представляват класическите динамични уравнения на Ойлер Елипсоид на инерцията. За простота да разгледаме първо вектор a. Нека отново O е фиксиран полюс в пространството и r! = OM е радиус-векторът на точка M спрямо с O. Векторното уравнение a r =1 (6.19) определя, очевидно, равнина L a. Тя е перпендикулярна на вектора a ие на разстояние 1=a от началото, a = jaj. Проверката на тези факти е елементарна, като основната идея е илюстрирана геометрично на фиг (Как?)

6 6. Пример тензор на инерцията 45 В декартова координатна система уравнението (6.19) на равнината L a има вида a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 =1: Следователно, дължината на отсечката,,,отрязана от L a върху координатната ос Ox i е 1=a i. Това означава, че равнината L a определя еднозначно вектора a: за всяка декартова система реципрочните отрязъци по координатните оси,,,отсечени от L a, задават съответните координати на a в тази система. В случая на симетричен двувалентен тензор L a J е естествено да се разгледа квадратичната му a форма r J r вместо линейната форма a r. Тогава аналогът на равнината L a, породена от вектора a, dr е повърхнината L J, зададена с уравнението O r r +dr r J r =1: (6.20) Фиг. 6.2 Разсъжденията тук и по-нататък ще проведем за нагледност върху примера на тензора на инерцията J, макар че на негово место може да стои всеки симетричен и положително дефинитен тензор T. В произволна декартова система Ox 1 x 2 x 3 уравнението (6.20) има вида 3X i;j=1 J ij x i x j =1; или J 11 x J 22x J 33x 2 3 (6.21) +2J 12 x 1 x 2 +2J 23 x 2 x 3 +2J 31 x 3 x 1 =1; което определя повърхнина от втори ред в тримерното пространство. Спрямо главните оси на инерция уравнението (6.21) се,,канонизира Ax Bx Cx2 0 3 =1: (6.22) Това очевидно е уравнението на елипсоид с полуоси a =1= p A; b =1= p B; c =1= p C; (6.23) наречен елипсоид на инерцията. (За произволен положително дефинитен и симетричен тензор T повърхнината r T r =1ет.нар.тензорен елипсоид.)

7 46 Глава 1. Тензорна алгебра Задаването на елипсоида на инерция L J еднозначно определя тензора J. Именно чрез посоките на осите си L J задава собствените вектори, а чрез големините на полуосите си определя собствените стойности, вж. (6.23). По такъв начин множеството от симетрични и положително дефинитни тензори над E 3 се отъждествява с множеството от всевъзможни елипсоиди с център O, като на всеки такъв тензор се съпостави тензорният му елипсоид: J,L J : (6.24) Съответствието (6.24) е взаимно-еднозначно. Ако J = I, > 0, то елипсоидът L J на инерция се превръща в сферата r 2 =1=. Това обяснява терминът сферичен тензор, въведен в 4.1 за тензорите, пропорционални на единичния. От уравнението (6.21) се вижда, че отсечката jox 1 j,,,отрязана от елипсоида L J върху координатната ос Ox 1 е jox 1 j =1= p J 11 : (6.25) Това ни позволява да онагледим графично елипсоида на инерция за дадено тяло по следния начин. Нека Ox 1 е произволна ос с начало в неподвижната точка O. Пресмятаме (екваториалния) момент на инерция J 11 спрямо оста Ox 1, съгласно (6.7). По посока на Ox 1 построяваме отсечката jox 1 j с дължина jox 1 j =1= p J 11. Тогава геометричното място на краищата на тези отсечки е елипсоидът на инерция, вж. (6.25). Упражнение 6.1. Точката P лежи върху елипсоида на инерция L J, r! 1 = OP. Некаr2 = J r 1, вж. фиг Покажете: а) r 2 е перпендикулярно на допирателната равнина T P към L J, прекарана в точката P ; б) ако jonj е разстоянието O дo допирателната равнина T P,то jr 2 j = jj r 1 j =1=jONj : (6.26) Упътване. Разглеждаме, освен точката r P, безкрайно-близките й точки r 1 +dr 1, също принадлежащи на елипсоида L J : (r 1 +dr 1 ) J (r 1 +dr 1 )=1: Разкриваме скобите в лявата страна, пренебрегвайки безкрайно малките от по-висок ред спрямо jdr 1 j dr 1 (J r 1 )=dr 1 r 2 =0; r 2 = J r 1 ; (6.27)

8 6. Пример тензор на инерцията 47 тъй като r 1 J r 1 = 1 и тензорът J е симетричен. Но векторите d r 1 лежат върху допирателната равнина T P към L J, минаваща през точката P. Поради това r 2?T P, вж. (6.27). За доказателството на б) преписваме равенството r 1 J r 1 =1във вида r 1 r 2 =1или jr 2 jjr 1 j cos ff = jr 2 jjonj =1; тъй като jr 1 j cos ff = jonj (ff е ъгълът между и r 1 и r 2, вж. фиг. 6.3). Упражнение 6.2. В какво се преобразува сферата r r = 1 под действието на (обратимия) тензор T? Упътване. Некаr 1 = T r. Тогава r = T 1 r 1 и r r = T 1 r 1 T 1 r 1 = r 1 T Λ 1 T 1 r 1 =1: Но това е тензорният елипсоид за тензора T Λ 1 T 1 =(T T Λ ) 1.(Този тензор, очевидно, е симетричен и положително дефинитен, вж. 5.3). В заключение на този параграф ще отff бележим, че с помощта на елипсоида на инерция може, следвайки Поансо, да се онагледи r1 S J r0 и интерпретира по изящен геометричен начин движението на тяло с една неподвижна T P точка. Подробности могат да се намерят в курсовете по класическа механика. Упражнение 6.3. Нека векторът! на моментната ъглова скорост,,пробожда елипсоида на инерция в точката Ω. Покажете, че Фиг. 6.3 кинетичната енергия на тялото е T =!2 2jOΩj 2 : (6.28) Упътване. Припомняме формулата T = 1 2 J 11! 2 за кинетичната енергия на тяло, въртящо се с ъглова скорост! около оста Ox 1, J 11 емоментът на инерция на тялото спрямо същата ос. Но в случая J 11 =1=jOΩj 2, вж. (6.25).

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-10-Tvyrdo-Tialo.doc

Microsoft Word - VypBIOL-10-Tvyrdo-Tialo.doc Въпрос 10 МЕХАНИКА НА ИДЕАЛНО ТВЪРДО ТЯЛО Във въпроса Механика на идеално твърдо тяло вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Идеално твърдо

Подробно

Microsoft Word - ch2.4.doc

Microsoft Word - ch2.4.doc 9 Кинематика на сложни движения на твърдо тяло 9 Сферично движение на твърдо тяло Определение Сферично движение на твърдо тяло или движение на тяло около неподвижна точка наричаме такова движение при което

Подробно

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc ВЪПРОС 1 КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНИ Във въпроса Кинематика на материална точка основни понятия и величини вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Slide 1

Slide 1 Проектът се осъществява с финансовата подкрепа на Оперативна Програма Развитие на Човешките Ресурси 7 3, Съфинансиран от Европейския Социален Фонд на Европейския Съюз Инвестира във вашето бъдеще! ПОВИШАВАНЕ

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Microsoft Word - Sem03+04sup_KH_VM2-11.doc

Microsoft Word - Sem03+04sup_KH_VM2-11.doc Връзка между символ на Кронекер (Conece delta i ) и символ на Леви Чивита (Levi-Civita symbol ε i ) Примери от векторния анализ Всички разглеждания се правят за случая на тримерно евклидово пространство

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx Семинар Символи на Кронекер и Леви-Чивита. Видове произведения между вектори и тензори. В едно D евклидово пространство R³ имаме: Скалар: p брой индекси 0, брой компоненти 0 =. Вектор: a = a, a, ) брой

Подробно

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Вариант 1 Писмен Изпит по Дискретни Структури 14/02/2018 г. Оценката се образува по следния начин: 2 + бр. точки, Наредени двойки бележим с ъглови ско

Вариант 1 Писмен Изпит по Дискретни Структури 14/02/2018 г. Оценката се образува по следния начин: 2 + бр. точки, Наредени двойки бележим с ъглови ско Вариант Писмен Изпит по Дискретни Структури 4/02/208 г. Оценката се образува по следния начин: 2 + бр. точки, Наредени двойки бележим с ъглови скоби, напр., b. Зад.. Намерете: а) (0.25 т.) подмножествата

Подробно

Microsoft Word _bg.docx

Microsoft Word _bg.docx Механика Транспорт ISSN -8 (prnt ISSN 67-66 (onlne Комуникации том, брой, 5 г. Научно списание http://www.mtc-a.com статия 6 МОДЕЛИРАНЕ ДВИЖЕНИЕТО НА МОТОПЕД В НЕХОЛОНОМНА ПОСТАНОВКА Петър Колев Колев

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно