033b-t.dvi

Размер: px
Започни от страница:

Download "033b-t.dvi"

Препис

1 МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 5 8, 2006 ВРЪЗКИ МЕЖДУ ОТНОШЕНИЯ НА ДЪГИ И ОТСЕЧКИ Владимир Т. Тодоров, Михаил М. Константинов, Петър В. Стоев В тази бележка е предложен метод за пресмятане на отношения по дадени пропорции в дъги и (или) отсечки. Ще отбележим, че такива задачи (според нас) не се разглеждат достатъчно добре в нашите средни училища. Като следствия се получават разнообразни (понякога известни) резултати. Като пример е получен аналог на теоремата на Чева за описана окръжност. Започваме с една добре известна задача, която по наше мнение би трябвало да е част от теорията в раздела за пропорции във всеки учебник за средното училище.. Задача. Даден е триъгълика ABC, ( страните CB и BA на който се разделят от CM точките M и Q, дадени отношения λ и µ MB = λ и BQ ) QA = µ. Да се пресметнат отношенията, в които пресечната точка L на AM и CQ дели тези отсечки. Например на колко е равно отношението CL LQ? Несложното решение на тази задача се получава посредством стандартно прилагане на теоремата на Талес: всички отношения дадените и търсеното се пренасят върху една права. След това се получава несложна алгебрична система, чието решение дава желания отговор. За да направим това в нашия случай е достатъчно да прекараме през Q правата QK (K CB), успоредна на AM. Това позволява да прехвърлим посредством теоремата на Талес всички отношения върху отсечката CB. Наистина, от горната рисунка се вижда, че λ = CM MB = u v + w, µ = BQ QA = w и търсеното отношение v CL LQ = u v. 443

2 u И така, дадено е, че v + w = λ, w v = µ и се търси u. Разбира се, това се решава v тривиално: w = µv и значи CL LQ = u = λ( + µ). v Ще отбележим, че от тази задача като тривиални следствия се получават множество класически факти, които за съжаление в доста учебни пособия се разглеждат като отделни теореми. Става дума за медианите, за ъглополовящите и други забележителни прави в триъгълника. Едно пряко следствие например е, че ъглополовящата през върха A на ABC се дели от центъра на вписаната окръжност в отношение b + c (означенията са стандартни). a 2. Нека сега в предходната задача заменим страната BC с дъга от някаква окръжност. Казано по-точно, да разгледаме дъгата ĈB, която за има мярка 2δ (радиана) и хорда CB. И така, нека ъглите при върховете A, B и C на триъгълника ABC са α, β и γ и нека на BC като хорда е построена (извън ABC) дъгата ĈB с мярка 2δ. Точките P и Q лежат съответно на ĈB и BA, като за мерките на дъгите имаме ĈP P B = t и съответно BQ QA = µ. Ако L е пресечната точка на AP и CQ, то трябва да се преметне CL LQ. Нека M е пресечната точка на AP и CQ. Ясно е, че за да решим 2. достатъчно е да пресметнем отношението λ = CM, което ще разглеждаме като първото подусловие MB в горната задача. За тази цел построяваме триъгълника CP B и нека ϕ и ψ са ъглите при съответните върхове, както е показано на следващата рисунка. Ясно е, че ϕ + ψ = δ и ϕ = t и значи можем да изразим тези ъгли чрез дадените ψ ъгъл δ и отношение t. Поради тази причина в следващия текст ще работим с ъглите ϕ и ψ; разбира се, в окончателния резултат ще участват дадените в условието 444

3 величини. И така, да отбележим като начало, че CM MB = S AMC, защото съответните триъгълници имат общ връх и основи CM и MB. Нека след това <) MAB = α S AMB и <) MAC = α 2. Имаме след това S AMC = b sin α 2, защото AM се съкращава във S AMB c sin α 2 формулата за лице на триъгълник (да напомним, че използваме стандартните за геометрията на триъгълника означения например с b сме означили страната AC). За да се свържат отношенията между дължини на дъги и отсечки остава да забележим, че от друга страна b sin α 2 = 2 AP.b sin α 2 = S AP C. c sin α 2 AP.c sin α S AP B Но очевидно S AP C S AP B = И така, CM MB = S AMC S AMB b.cp sin(γ + ψ) 2 = 2 c.bp sin(β + ϕ) = S AP C S AP B = b.cp sin(γ + ψ) c.bp sin(β + ϕ). b.cp sin(γ + ψ), при което неизвестни ос- c.bp sin(β + ϕ) тават отношенията b c и BP. Те се изразяват от синусовата теорема, приложена за CP съответните триъгълници. Имаме последователно аналогично получаваме, че BP CP = sin ψ sin ϕ. b sin β = c sin γ, значи b c = sin β sin γ ; И така, за отношението λ = CM се получава MB ϕ sin(γ + ψ) (r) λ = ψ sin(β + ϕ). След като изразим ϕ и ψ посредством δ и t получаваме следния израз: (rt) λ = CM tδ ( MB = + t sin γ + δ ) + t δ ( + t sin β + tδ ). + t В следващия текст ще използваме и двете формули; би могло даже да се каже, че (r) в доста случаи е по-удобна за решаване на различни задачи. Да напишем все пак окончателния отговор на 2. След като използваме Задача., виждаме, че ( ) CL LQ = ( + µ) tδ + t sin δ + t sin γ + δ + t ( ). β + tδ + t 2.. Различни интересни приложения се получават, когато BC e дъга от описа- 445

4 ната около ABC окръжност. В този случай δ = α и ψ = α ϕ. Значи sin(γ + ψ) = tα ϕ sin(γ + α ϕ) = sin(π β ϕ) = sin(β + ϕ). Тогава λ = ψ = + t α. + t Ако например t = µ =, то получаваме, че ъглополовящата през A дели медианата през C в отношение λ = sin β CL. При t = µ = 2 се получава sin γ LQ = 6 cos α 3 sin β sin γ и т.н. Ако пък λ =, получаваме, че медианата през върха A дели дъгата BC = 2α на описаната окръжност на дъги 2ϕ и 2ψ, за които sin ϕ sin ψ = sin γ. Разбира се, може да sin β се съставят разнообразни задачи и в тази посока Да допуснем, че ABC е остроъгълен и L е центърът на описаната около него окръжност. Тогава ϕ = π 2 β и ψ = π γ (защото AP е диаметър). От това 2 следва, че λ = CM sin β cos β sin 2β = =. Последното равенство означава, че M MB sin γ cos γ sin 2γ е център на тежестта на материалните точки B с маса sin 2β и C с маса sin 2γ. От тук с аналогични разсъждения получаваме добре известния факт, че центърът на описаната около ABC окръжност е център на тежестта на материалните точки A, B и C с маси съответно sin 2α, sin 2β и sin 2γ. Като следствие получаваме, че AL sin 2β + sin 2γ =. LM sin 2α Да отбележим, че горните разсъждения остават в сила и когато точката P лежи на продължението на дъгата BC, а също така и когато Q лежи на правата AB. Разсъжденията остават на практика непроменени; трябва само да се има пред вид, че тогава отношенията могат да бъдат отрицателни (тоест трябва да се разглеждат алгебрични мерки, което не се разглежда в средното училище). 3. Приложенията на горните примери са многобройни и тази работа няма за цел да ги излага в детайли. Ще покажем все пак как изглежда аналога на теоремата на Чева за описана окръжност. 3. Нека P, Q и R са точки от дъгите ĈB, BA и ĈB. Да допуснем освен това, че ĈP P = λ, BQ B QA = µ и ÂR RC = ν. Ще изследваме при какви условия за отношенията λ, µ и ν правите AP, CQ и BR се пресичат в една точка. 446

5 Както се вижда от горната рисунка, за да се реши тази задача е достатъчно да пресметнем отношенията λ = CA A B, µ = BC C A и ν = AB и да използваме B C теоремата на Чева за последните отношения. λα sin α sin µγ Разбира се, това следва от 2.: λ = + λ + µ α, µ = γ и ν = + λ + µ νβ + ν. Тогава правите AP, BR и CQ се пресичат в една точка тогава и само β sin α sin + ν тогава, когато е изпълнено равенството sin λα sin µγ sin νβ (ch) λ µ ν = + λ + µ + ν α γ =. sin sin β + λ + µ sin + ν 3.2. Предлагаме на читателя да напише аналог на теоремата на Чева за произволен криволинеен триъгълник ABC със страни дъгите ÂB = 2δ γ, BC = 2δ α и CA = 2δ β Ето още едно любопитно приложение на равенството (r): Нека на всяка от страните AB, BC и CA на триъгълника ABC е построен съответно равнобедрения триъгълник ABC, BA C и CAB, всеки от които има ъгъл при основата равен съответно на ϕ γ, ϕ α и ϕ β. При тези условия правите AA, BB и CC се пресичат в една точка тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството sin(γ + ϕ α ) sin(β + ϕ γ ) sin(α + ϕ β ) sin(β + ϕ α ) sin(α + ϕ γ ) sin(γ + ϕ β ) = В частния случай когато триъгълниците ABC, BA C и CAB са подобни (ϕ γ = ϕ α = ϕ β ), то правите AA, BB и CC винаги се пресичат в една точка. Същото се отнася и за някои неподобни равнобедрени триъгълници; например когато ϕ γ = γ, ϕ α = α и ϕ β = β. Разбира се, може да съставят твърде много задачи, в които се свързват отношения между дъги и отсечки. Да отбележим в заключение, че тъкмо такава беше втората задача от неизтеглената тема II на приемния изпит в УАСГ за 2005 година, която предлагаме за решение на читателя: Даден е кръгов сектор OAB с център O, централен ъгъл α и радиус r. Точка M лежи на дъгата ÂB, K лежи на OB и MK пресича хордата AB в точка L. Нека ÂM MB = x, OK KB = y и ML LK =

6 а) Докажете, че MB = αx x + αx и че MB = 2r sin 2(x + ). б) Изразете y като функция на x: y = f(x). в) При α = 60 пресметнете границата lim x 0 f(x) x. В. Т. Тодоров, М. М. Константинов, П. В. Стоев Катедра Математика УАСГ, бул. Хр. Смирненски 42 София, България vttp@yahoo.com; mm_fte@uacg.bg RELATIONS BETWEEN PROPORTIONS IN ARCS AND SEGMENTS Vladimir Todorov, Michail Konstantinov, Petar Stoev In this note we offer a method for calculating proportions, suppose we have given ratios in an acr and a segment in a given triangle. For example, one may obtain an analogous to the theorem of Cheva for the circumscribed circle. 448

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Microsoft Word - variant1.docx

Microsoft Word - variant1.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ:

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ: М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6 май 9 г. Вариант УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 8 задачи по математика от два вида:

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >

Подробно

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: 1.. + = 3 +1 + 8 = 5 4 3 3. 4. 4 5 + 1 = +6+9 +3 1 + 4 = 1 4 + 5. +1 + = 9 +1 10 6. ( -5) +10( -5)+4=0 7. 11 3-3 = 3 5+6 8. 1 +30 1 16 = 3 7 9

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

tu_ mat

tu_ mat ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА юли 00 г. ВАРИАНТ ВТОРИ ПЪРВА ЧАСТ Всяка от следващите 0 задачи има само един верен отговор. Преценете кой от предложените пет отговора на съответната задача

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the U

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the U МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians St. Konstantin & Elena

Подробно

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки

Подробно

kk7w.dvi

kk7w.dvi Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,

Подробно

22v-final.dvi

22v-final.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 015 MATHEMATCS AND EDUCATON N MATHEMATCS, 015 Proceedings of the Forty Fourth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians SOK Kamchia, April 6, 015

Подробно

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа

Подробно

DZI Tema 2

DZI Tema 2 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно

Подробно

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.

Подробно

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимен математически турнир Атанас Радев 8 9 януари 0 г., ЯМБОЛ Тема за 8 клас Задача. Във футболно първенство всеки отбор

Подробно

\376\377\000T\000E\000M\000A\000_\0001\000_\0002\0007\000.\0000\0005\000.\0002\0000\0001\0003

\376\377\000T\000E\000M\000A\000_\0001\000_\0002\0007\000.\0000\0005\000.\0002\0000\0001\0003 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 7.0.0 Г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Колко на брой от

Подробно

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, 9 31 март 013 г. Тема за 9 клас Задача 1. Да се намерят всички стойности на реалния

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2)

(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2) ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 0 юли 0 г Вариант Периодичната десетична дроб, () е равна на: 6 6 6 ; б) ; в) ; г) 5 50 500 9 Ако a= 6, b= 6 +, то изразът a + b има стойност: b a ; б) ;

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN

КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN 978-954-8-40-7 Книга за учителя по математика за 0 клас Автори Емил Миланов Колев, 09 Иван Георгиев Георгиев, 09 Стелиана Миткова Кокинова, 09 Графичен дизайн Николай Йорданов Пекарев,

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 2007 г. Кратки решения на

Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 2007 г. Кратки решения на Министерство на образованието и науката Съюз на математиците в България Зимни математически състезания Варна, 9 11 февруари 007 г Кратки решения на задачите Задача 91 Да се намерят всички стойности на

Подробно