Microsoft Word - Lecture 8-Integrirane na Vektori i Tenzori-New.doc

Препис

1 Лекция 8: Интегриране на тензорни величини 8.. Криволинейни интеграли а Параметризация на крива. Да разгледаме крива в пространството, която свързва точките А и В Фиг. 8.. В общия случай, крива в пространството се задава с уравненията: p y y p z z p 8. Където, y и z са декартовите координати, а р е параметър. Радиус-векторът на точка от кривата се задава с формулата: R p p + y p + z 8. p където, и са единичните базисни вектори на трите координатни оси Фиг. 8.. Когато параметърът р се изменя, радиус-векторът Rp пробягва точките от кривата. На елементарно нарастване съответствува елементарно нарастване на радиус-вектора. Геометрически, представлява елементарен вектор, който е тангенциален към кривата. Дължината на представлява дължината на елементарната дъга: l. Фиг. 8.. Скица на крива, която свързва точките А и В; Rp e радиус-вектор, който пробягва точките от кривата при изменение на парамeтъра р. Диференцирайки ур. 8., получаваме: + y + z 8. С помощта на ур. 8. намираме: l + y + z 8.4 Като разделим ур. 8.4 на и коренуваме, получаваме връзката между l и р: 47

2 / y z l вж. ур. 8.. б Криволинейният интеграл от първи род, l l 8.6 AB може да се разглежда като един скаларен оператор, който може да действува на скаларно поле u, на векторно поле A, или на тензорно поле T, както следва: a l u 8.7 B l A l A 8.8 P l T l T 8.9 k k Забележете, че докато u, A и T представляват, съответно, скаларно векторно и тензорно полета, то а, В и P в ур представляват постоянен не зависещ от, съответно, скалар, вектор и тензор. Фиг. 8.. Окръжност в равнината е удобно да се параметризира с помощта на централния ъгъл ϕ. Пример за приложение: Ако ρ е масовата плътност маса на единица дължина на една нишка, то тогава M l ρ 8. представлява масата на нишката. Като праметър може да се използва дължината на нишката, l, но може да се направи и друг избор на параметъра от съображения за удобство. Например, ако нишката е кръгла пръстеновидна, за параметър е удобно да се избере централният ъгъл ϕ Фиг. 8.. Тогава, ур. 8. добиват вида: 48

3 R coϕ y Rnϕ z 8.а ур. 8.5 дава / l R n ϕ + R co ϕ + ϕ Rϕ и ур. 8. се свежда до: π M R ϕ ρ ϕ 8.а в Криволинейният интеграл от втори род, 8. AB може да се разглежда като един векторен оператор, който може да действува на скаларно поле u, на векторно поле F, или на тензорно поле T, както следва: B u u p 8. AB AB y z w F [ F + F + F ] F 8. AB AB j F ε jk Fk 8.4 Φ F k Fk 8.5 D T k Tk 8.6 и т.н.; тук и по нататък използваме означенията х х, х у и х z. Величините в левите страни на ур са постоянни константи, т.е. не зависят от. По дефиниция, криволинейният интеграл от втори ред си сменя знака при смяна на посоката на интегриране: BA 8.7 AB Пример за приложение: Ако F е силата, която действува на една материална точка, то w в ур. 8. е работата извършена от тази сила за пренос на материалната точка по траектория описвана от кривата АВ. В случай на тяло с крайни размери, ролята на материална точка се играе от центъра на масата на тялото. AB 49

4 8.. Повърхнинни интеграли а Параметризация на повърхност. Да разгледаме повърхност в тримерното пространство Фиг. 8.. В общия случай, точките от повърхността се параметризират номерират с двойка криволинейни координати u,v. Тук, за простота, ще разглеждаме случая, когато повърхността се параметризира с декартовите координати х,у. В този случай, повърхността се задава с уравнението: z z, y 8.8 Съответно, радиус-векторът на точка от повърхността има вида: R, y + y + z, 8.9 y Фиг. 8.. Скица на повърхност в пространството; e текущият радиус-вектор, който пробягва точките от повърхността; n е текущата единична нормала към повърхността; е лицев елемент. Когато х и у се изменят, радиус-векторът Rх,у пробягва точките от повърхността. На елементарно нарастване х съответствува елементарно нарастване х на радиусвектора. Аналогично, на елементарно нарастване у съответствува елементарно нарастване у на радиус-вектора. Геометрически, х и у представляват елементарни вектори, които са тангенциални към повърхността Фиг. 8.. Площта лицето на елементарния участък от повърхността, който представлява успоредник със страни х и у, се нарича повърхнинен лицев елемент: n 8. y Понеже х и у са тангенциални към повърхността, тяхното векторно произведение е насочено по посока на нормалата към повърхността. Съответно, имаме n, където n е единичната нормала към повърхността в съответната точка, а е големината на вектора. Предвид ур. 8.9 и 8. получаваме: R R R R ; y y; y 8. y y По-нататък, посредством диференциране на ур. 8.9 намираме: 5

5 R z R + ; + y z y 8. Като заместим ур. 8. в ур. 8. и използваме ур..4.6, получаваме: z z + y n 8. y Оттам, за лицето на повърхнинния елемент намираме: / y / [ ] + z + z y 8.4 където частните производни сме означили с z z/ и z y z/y. Замествайки в дясната страна на ур. 8. и приравнявайки коефициентите пред y, получаваме: z z / n + / + z + z y 8.4а y б Повърхнинен интеграл от първи род, 8.5 може да се разглежда като един скаларен оператор, който може да действува на скаларно поле u, на векторно поле A, или на тензорно поле T, както следва: a u 8.6 B A A 8.7 P T T 8.8 k k В ур , а, В и P представляват постоянен не зависещ от, съответно, скалар, вектор и тензор. Пример за приложение: Ако ρ е масовата плътност маса на единица площ на една материална повърхност напр. мембрана, то тогава M ρ 8.9 представлява масата на тази материална повърхност. в Повърхнинният интеграл от втори род, 8. може да се разглежда като един векторен оператор, който може да действува на скаларно поле u, на векторно поле F, или на тензорно поле T, както следва: 5

6 5, y u y z z y u R B + 8. ] [ F F F F y z F z y Q + 8. F k j jk F ε 8. F Φ k k F 8.4 T D k k T 8.5 и т.н.; с, и означихме трите компоненти на вектора ; виж ур. 8.. Величините в лявата страна на ур са постоянни, т.е. не зависят от. Пример за приложение: Q в ур. 8. представлява потокът на векторното поле F през повърхността. 8.. Обемен интеграл. Интегралът по даден обем от тримерното пространство Фиг. 8.4, 8.6 където е обемен елемент, може да се разглежда като един скаларен оператор, който може да действува на скаларно поле u, на векторно поле A, или на тензорно поле T, както следва: u a 8.7 A B A 8.8 T P k k T 8.9 В ур , а, В и P представляват постоянен не зависещ от, съответно, скалар, вектор и тензор. В декартови координати, обемният елемент се представя във вида yz. Пример за приложение: Ако ρ е масовата плътност маса на единица oбем на едно тяло, то тогава ρ M 8.4 представлява масата на въпросното тяло.

7 Фиг Скица на пространствена област, оградена от повърхност ; n е текущата единична външна нормала към повърхността Теорема на Гаус Остроградски. Да разгледаме пространствена област, оградена от повърхност Фиг. 8.4, и векторно поле A, което е дефинирано в тази област. Тогава е в сила следната теорема: va A 8.4 В ур. 8.4, n, където n е текущата единична външна нормала към повърхността. Тази теорема е била доказана независимо от немския математик Гаус al Fech Gau, и руския математик Михаил Васильевич Остроградский Известна е още като теорема за дивергенцията. Доказателството на теоремата може да се намери в специализираната литература цитирана в началото този курс. Интегралът в дясната страна на ур. 8.4 се нарича поток на векторното поле А през повърхността. В ур. 8.4 се предполага, чe повърхността е частично гладка, т.е. тя може да има ръбове. С помощта на -оператора, ур. 8.4 се записва във вида: A A 8.4 Да разгледаме частния случай, когато A ϕс, където С cont. е константно векторно поле. Тогава, ур. 8.4 може да се представи във вида: ϕ ϕ 8.4 ϕ ϕ 8.44 Поради произволността на вектора С, от ур получаваме друга форма на теоремата на Гаус Остроградски: ϕ ϕ или aϕ ϕ

8 В обща форма, теоремата на Гаус-Остроградски предсталява равенство на два векторни оператора: 8.46 Ако приложим горното операторно равенство към скаларното поле ϕ, получаваме ур Към едно векторно или тензорно поле, A или T, операторното равенство 8.46 може да се приложи със знаците " ", " " и пряко: A A, A A, A A, 8.47 T T, T T, T T, 8.48 Първото от уравненията 8.47 съвпада с оригиналната теорема на Гаус-Остроградски, ур. 8.4, а другите две могат да се запишат в следната еквивалентна форма: ota A, GaA A, 8.49 Аналогично, първите две от ур могат да се представят във вида: DvT T, RotT T Закон на Архимед. Като пример за приложение на теоремата на Гаус- Остроградски, ще разгледаме задачата на Архимед за силата, F, която действува на тяло, което е изцяло потопено във флуид течност или газ. Тази сила можем да намерим като интегрираме налягането, р, което действува на единица площ от повърхността на тялото, перпендикулярно на повърхността, по посока от флуида към тялото т.е. обратно на външната нормала n : F pn p p 8.5 Тук използвахме факта, че n, а при последната стъпка приложихме ур Тъй като р е хидростатичното налягане, имаме: p p ρ z 8.5 Където ρ е масовата плътност на флуида, е земното ускорение, а р е налягането на ниво z. Диференцирането на ур. 8.5 дава: p p p p + + ρ 8.5 y z Накрая, заместването на р от ур. 8.5 в ур. 8.5 дава: 54

9 Gf F ρ ρ 8.54 където G f ρ е теглото на изместения от тялото флуид. Така получаваме закона на Архимед: На всяко тяло потопено във флуид действува подемна сила F, която е насочена вертикално нагоре и по големина е равна на теглото, G f, на изместения от тялото флуид Извеждане на уравнението за непрекъснатост с помощта на теоремата на Гаус-Остроградски. Да разгледаме фиксирана пространствена област с обем и повърхност с единична външна нормала n Фиг Обемът е неподвижен, но е разположен в движеща се материална среда, например течност или газ. Скаларното поле ρ,t представлява плътност, т.е. брой молекули от дадено вещество на единица обем в точка с радиус-вектор в момент време t. Нека векторното поле j,t да е потокът от молекули от това вещество през единица площ за единица време. По дефиниция, j, t ρ, t v, t 8.55 където v e скоростта на движение на въпросните молекули. С други думи, посоката на j се определя от посоката на v. Предполагаме, че не протичат химични реакции, така че масата или броят молекули на разглеждания компонент се запазва. Тогава е в сила уравнението t ρ n j 8.56 изразяващо интегралния баланс на масата/броя молекули на този компонент. Toва балансво уравнение гласи, че изменението на броя молекули в обема за единица време е равно на броя молекули които влизат през повърхността за единица време; векторът n има посоката на влизащите молекули. Фиг Скица на фиксирана пространствена област с обем, оградена от повърхност ; n е текущата единична външна нормала към повърхността ; ρ и j са съответно плътност и поток на вещество или електричен заряд. Като използваме, че обемът е фиксиран в пространството и приложим теоремата на Гаус-Остроградски, от ур получаваме: 55

10 ρ + j t 8.57 Понеже горното равенство е изпълнено за всеки избор на обема, то следва, че подинтегралният израз трябва да е равен на нула: ρ + j t уравнение за непрекъснатост 8.58 Уравнение 8.58 е много общо. То изразява локалния баланс на плътността и потока на произволен вид молекули в отсъствие на химични реакции. Освен това, ρ и j могат да бъдат, съответно, плътност и поток на електричния заряд; тогава ур изразява локалния баланс на електричния заряд. Предвид, ур. 8.55, уравнението за непрекъснатост може да се представи още във вида: ρ + ρ v t уравнение за непрекъснатост Уравненията на Максуел като система за определяне на електричното и магнитното полета, Е и Н. v E 4πρ закон на Кулон във формата на Гаус 8.6 v H няма магнитни монополи 8.6 H ot E закон на Фарадей за индукцията 8.6 c t E 4π ot H + j закон на Ампер с добавка на Максуел 8.6 c t c Уравнения могат да се разглеждат като система за определяне на Е,t и Н,t, т.е. за определяне на 6 неизвестни функции на и t, като следва: Е, Е, Е, Н, Н и Н. Ур. 8.6 и 8.6 са скаларни, докато ур. 8.6 и 8.6 са векторни, т.е. всяко от тях съдържа по уравнения. Така общият брой уравнение става за определяне на 6 неизвестни функции. Привидно задачата изглежда преопределена, понеже броят на уравненията е по голям от броя на неизвестните. В действителност, броят на независимите уравнения е точно 6, понеже всяко от векторните уравнения 8.6 и 8.6 съдържа по едно тъждество. За да докажем това, нека първо да вземем дивергенция от двете стани на ур. 8.6: vot E vh 8.64 c t Последното равенство е тъждествено удовлетворено, понеже vote E, а освен това v H съгласно ур Аналогично, да вземем дивергенция от двете стани на ур. 8.6: 4π ρ vot H + j c t

11 Където заместихме v E 4πρ oт ур Последното уравнение също е удовлетворено тъждествено, понеже votн Н, а дясната страна е нула ρ поради уравнението за непрекъснатост 8.58: + ρ v баланс на електричния t заряд. Именно за да бъде удовлетворено тъждествено ур. 8.65, Максуел е въвел E допълнителния член в ур. 8.6 липсващ в стационарния закон на Ампер, което е c t довело до теоретичното предсказание на електромагнитните вълни от Максуел Делта-функция на Дирак и електрично поле на точков заряд. Найнапред, да разгледаме стъпаловидната функция на Хевисайд Olve Heave, 85 95, aнглийски физик, математик и инженер: при > θ.5 при 8.66 при < Делта-функцията на Дирак може да се дефинира като производна на функцията на Хевисайд: δ θ 8.67 Paul Dac, 9 984, британски физик теоретик, получил през 9 г., заедно с Ервин Шрьодингер, Нобелова награда за създаването на квантовата теория. Oт ур и 8.67 следва, че δ-функцията притежава следните две свойства: δ при 8.68 b a δ θ b θ a a < < b 8.69 С други думи, δ-функцията е нула навсякъде освен в особената точка х, като при това особеността при х е толкова силна, че интегралът в ур е равен на. Друго важно свойство на δ-функцията е следното: b a f b b b a a δ f δ f δ f a < < 8.7 Tук използвахме факта, че подинтегралната функция е навсякъде освен при. Често се използва тримерната δ-функция, която се дефинира както следва: δ δ δ y δ z 8.7 т.е. тримерната δ-функция е произведение от три едномерни δ-функции. Предвид ур и 8.69, могат да се докажат съотношенията: 57

12 58 при δ 8.7 b a b a b a z z y y δ δ δ δ a < < b,,, 8.7 където особената точка,, се съдържа в обема, a y z. Тримерният аналог на ур. 8.7 има вида: f f f f δ δ δ 8.74 По нататък, ще докажем важното съотношение: 4 πδ 8.75 Първо, предвид ур. 7. намираме : 8.76 После, предвид ур. 7. получаваме : ] [ С други думи, установихме, че с изключение на особената точка, навсякъде другаде /. По нататък, да интегрираме / по произволен обем, който съдържа особената точка : π π 4 4 R R R R R R R 8.78 В ур най-напред използвахме факта, че без ограничение на общността интегрирането може да се извърши по кълбо сфера, R, с радиус R и с център в особената точка ; после приложихме теоремата на Гаус-Остроградски, която свежда пресмятането до интеграл по повърхността на кълбото, R ; единичната нормала към сферата R е /; накрая отчетохме обстоятелството, че върху сферата R имаме R и че площта на повърхността на сферата e 4πR. И така, сравнението на ур и 8.78 с ур. 8.7 и 8.7 доказва справедливостта на ур Електрическият потенциал създаден от точков заряд q разположен в координатното начало,, има вида: q ε ψ една от формите на закона на Кулон 8.79

13 където ε е диелектричната константа на средата и е използвана гаусова система едининци. По-нататък, към двете страни на ур прилагаме оператора и използваме ур. 8.75: q 4π ψ qδ 8.8 ε ε Поради принципа на суперпозицията в електростатиката, за система от N точкови зарядa с големина q,,, N, разположени в точки с радиус-вектори,,, N, уравнение 8.8 се обобщава както следва: 4π ψ ε N 4π q δ ρ уравнение на Поасон 8.8 ε N Където с ρ qδ означихме плътността на електричния заряд за разглежданата система от точкови заряди. Уравнение 8.8 е основно уравнение в електростатиката, което се нарича уравнение на Поасон по името на френския математик и физик méon-den Poon, Поради връзката между интензитета на електричното поле и потенциала, Е ψ, имаме ψ Е, и тогава ур. 8.8 може да се запише още във вида Е 4π/ερ, което съвпада с първото от уравненията на Максуел виж ур. 8.6, където е положено ε за вакуум. Фиг Към формулировката на теоремата на Стокс Теорема на Стокс. Да разгледаме едносвързана повърхнинна област в пространството оградена от контура С Фиг. 8.6, и векторно поле A, което е дефинирано върху, и в някаква околност на тази повърхност. е едносвързана област тогава, когато всички точки от повърхността, оградени от контура С, принадлежат на областта. В такъв случай, в сила е следната теорема: ota A

14 Както обикновено, в ур. 8.8 n, където n е текуща единична нормала към повърхността, а e скаларен лицев елемент. Контурът С се счита за положително ориентиран. Когато гледаме срещу нормалата n, положителната посока на обикаляне по контура С съвпада с въртене в посока обратна на часовниковата стрелка. Повърхнинният нтеграл в лявата страна на ур. 8.8 представлява потокът на векторното поле ota през повърхността, a криволинейният интеграл в дясната страна на ур. 8.8 се нарича циркулация на векторното поле А по контура С. Теоремата е получила названието си от навика на Стокс Geoe Gabel toke, 89 9, британски математик и физик, професор в Кеймбридж да задава тази теорема на студентите като въпрос по време на изпит. В действителност, първата формулировка на теоремата е била дадена от Wllam Thomon o Kelvn, в негово писмо до Стокс. Затова, понякога тя се нарича теорема на Келвин Стокс. Доказателството й може да се намери в специализираната литература цитирана в началото този курс. Приложение : Законът на Фарадей за електромагнитната индукция, получен като обобщение на експериментални данни, се формулира в интегрална форма I единици: t B E 8.8 т.е. изменението на потока на вектора на магнитната индукция, В, през повърхността, поражда циркулация на електричното поле, Е, по контура С, който огражда повърхността. B μh, където μ е относителната магнитна проницаемост. Дясната страна на ур. 8.8 се преобразува с помощта на теоремата на Стокс, и така получаваме: B + ote t 8.84 Oттук, предвид произволността на повърхността, следва диференциалната форма на закона на Фарадей: ote B/t. Приложение : Законът на Ампер наричан още закон на Био-Савар-Лаплас за магнитното действие на електричния ток, с добавката на Максуел, се формулира в следната интегрална форма I единици: j + D H 8.85 t т.е. електричният ток j през повърхността плюс изменението на потока на вектора на електричната индукция, D, през тази повърхност поражда циркулация на магнитното поле, Н, по контура С ограждащ повърхността. D εe, където ε е относителната диелектрична проницаемост. Дясната страна на ур се преобразува с помощта на теоремата на Стокс, и така получаваме: D j + oth t

15 Oттук, предвид произволността на повърхността, следва диференциалната форма на закона на Aмпер-Максуел: oth j + D/t. Приложение : Да разгледаме контур С в равнината ху Фиг В този случай имаме:, y,,,, y 8.87 Tогава, като частен случай на теоремата на Стокс, ур. 8.8, получаваме: A A Ayy] 8.88 y y y [ A + Ур. 8.88, известно като теорема на Грийн, е формулирано за пръв път от британския математик и физик Geoe Geen N Фиг Към извода на теоремата на Грийн. Фиг Към извода на ур M Лявата страна на ур. 8.8, изразяващо теоремата на Стокс, може да се представи във вида: A A 8.89 където използвахме свойствата на смесеното произведение на три вектора. Заместването в ур. 8.8 дава: A A 8.9 В обща форма, теоремата на Стокс предсталява равенство на два векторни оператора: 8.9 Ако приложим горното операторно равенство към скаларното поле ϕ, получаваме: aϕ ϕ 8.9 6

16 Към едно векторно или тензорно поле, A или T, операторното равенство 8.9 може да се приложи със знаците " ", " " и пряко: A A, A A, A A, 8.9 T T, T T, T T 8.94 Първото от уравненията 8.9 съвпада с оригиналната теорема на Стокс. 8.. Потенциално, безвихрово и консервативно поле. Да разгледаме следните три условия: А Векторното поле F е потенциално, т.е. F ϕ, където ϕ е скаларен потенциал. В Векторното поле F е безвихрово, т.е. F otf. С Векторното поле F е консервативно, т.е. MN F MN F ; виж Фиг Работата, която извършва силата F за пренос на дадено тяло от точката M в точката N не зависи от маршрута. Тези три условия се намират в следната причинно-следствена връзка: A B A 8.95 С други думи, в сила са твърденията: А В: Потенциалното поле е безвихрово и безвихровото поле е потенциално; това твърдение вече разгледахме; виж ур В С: Безвихровото поле е консервативно и консервативното поле е безвихрово. С А: Консервативното поле е потенциално и потенциалното поле е консервативно. Най-напред, ще докажем твърдението В С, т.е. че безвихровото поле е консервативно. И наистина, от теоремата на Стокс, ур. 8.8, предвид Фиг. 8.8, получаваме: otf F F + F F F MN NM MN MN 8.96 Следователно, ако otf, то условието С е удовлетворено. Тук използвахме свойството на криволинейния интеграл от втори род да си сменя знака при обръщане на посоката на интегриране. По обратния път се доказва твърдението С В. Да докажем твърдението А С. Дадено е, че F ϕ. Toгава: ϕ ϕ ϕ F ϕ + y + z ϕ ϕ b ϕ a 8.97 y z Tук a и b са двата края на интеграционната крива, като в разглеждания случай a b, понеже контурът С е затворен. Така ур доказва твърдението А С, и в допълнение към това, може да се съобрази, че по този начин всичките релации в ур са доказани. 6