Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.

Размер: px
Започни от страница:

Download "Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред."

Препис

1 Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен на ХУ съответства на слагаемо от вида: C e. ) Всеки r-кратен реален корен на ХУ съответства на слагаемо от вида: (C +C + +C )e. 3) Всяка комплексно спрегната двойка комплексни корени k =α+iβ ; k=α iβ на ХУ съответства на слагаемо от вида: (C cos β + C sin β)e. 4) Всяка r-кратна комплексно спрегната двойка корени k =α+iβ ; k=α iβ на ХУ съответства на слагаемо от вида: (A +A + +A ) cos β + (B +B + +B ) sin β e За уравнение от ред: y +ay +by=0 (Ae +Be )e при k a b>0 y() = (Acosω+Bsinω)e при ω b a >0 (A + B)e при b = a Нека е зададено ХЛОДУПК от -ри ред във вида: ay +by +cy=0 Нека ХЛОДУПК има решение: y() =e y () =ke y () =k e Задаваме характеристичен полином (ХП): ak +bk+c=0, получен от заместване на решението в ОДУ: ak e +bke +ce = (ak +bk+c)e =0 Δ=b b ± Δ 4ac>0 k, = a Δ=b 4ac=0 k, =k= b a y() =Ae +Be y() =Ae +Be = (A +B)e Δ=b 4ac<0 k, = b a ±i Δ =α±iβ y() = (Acosβ+Bsinβ)e a Задача 1. Решете уравненията: а) y y y=0 б) y 10y + 5y = 0 ; y(0) =0 ; y (0) =1 в) y +9y=0 ; y(0) =0 ; y(π/4) =1 Решение: а) y y y=0 I-ви начин: y +ay +by=0 y y y = 0 a = 1; b = a = 1 ;b = 45

2 k =a b= 1 ( ) = 1 4 +=9 4 >0 k= 9/4 = 3 ОР: y() = (Ae +Be )e y() = Ae / +Be / e / II-ви начин: ay +by +cy=0 y y y = 0 a = 1; b = 1; c = Δ=b 4ac=( 1) 4(1)( ) =1+8=9>0 k, = k = 1+3 = ; k = 1 3 = 1 k =;k = 1 b ± Δ a = ( 1) ± 9 (1) ОР: y() =Ae +Be y() =Ae +Be y() =Ae +Be y () =Ae Be y () =4Ae +Be y y y=0 4Ae +Be (Ae Be ) (Ae +Be ) =? 0 4Ae +Be Ae +Be Ae Be =e (4A A A) +e (B+B B) =0 Графика: Полученото общо решение (ОР) ще илюстрираме с едно частно решение (ЧР), получено за допълнителните начални условия y(0) =0;y (0) = 3, за което ЧР има вида: y() =e e и което е изобразено на графиката в интервала: 3,, y 0, 0 : 46

3 б) y 10y + 5y = 0 ; y(0) =0 ; y (0) =1 I-ви начин: y +ay +by=0 y 10y + 5y = 0 a = 10; b = 5 a = 5 k =a b=( 5) 5=0 ОР: y() = (A + B)e y() = (A + B)e II-ви начин: ay +by +cy=0 y 10y +5y=0 a=1;b= 10;c=5 Δ=b 4ac=( 10) 4(1)(5) = = 0 k, = b a = ( 10) (1) k =k = 10 =5 k=5 ОР: y() = (A +B)e y() = (A +B)e Частно решение (ЧР): y( =0) =0 A+B(0) e ( ) =0 A=0. y() =Be y () =Be +5Be y (=0) =1 Be ( ) +5B(0)e ( ) =1 B=1. ЧР: y() = (A +B)e y() =e y() =e y () =e +5e y () = (1+5)e y () =5e +5e +5e y () = (10 + 5)e y 10y +5y=0 10e +5e 10(e +5e ) +5e =? 0 10e +5e 10e 50e +5e =0. 47

4 в) y +9y=0 I-ви начин: y +ay +by=0 y + 0y + 9y = 0 a = 0 a = 0 ; b = 9 ω =b a =9 0 =9 ω=3 ОР: y() = (Acosω+Bsinω)e = (Acos3+Bsin3)e ОР: y() =Acos3+Bsin3 II-ви начин: ay +by +cy=0 y +0y +9y=0 a=1;b=0;c=9 Δ=b 4ac=(0) 4(1)(9) =0 36= 36<0 k, = b a ±i Δ a =α±iβ k, = 0 (1) ±i 36 ( 1) =0±i6 = 0 ± 3i = α ± iβ α = 0 ; β = 3 ОР: y() = (Acosβ+Bsinβ)e = (Acos3+Bsin3)e ОР: y() =Acos3+Bsin3 Частно решение (ЧР): y( =0) =0 Acos3(0) +Bsin3(0) =0 A(1) +B(0) =0 A=0. y() =Bsin3 y( =π/4) =1 Bsin3π/4=1 B / = 1 B =. ЧР: y() =Acos3+Bsin3 y() = sin 3 y() = sin 3 y () =3 cos 3 y () = 9 sin 3 y +9y=0 9 sin sin 3 =? 0. Графика: Полученото частно решение (ЧР) е изобразено на графиката в интервала: π, π, y, : y

5 Задачи за домашно: а) y 7y +6y=0 б) y y +10y=0 ; y(π/6) =0 ; y (π/6) =e / в) y +3y =0 ; y(0) =1 ; y (0) = Нехомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (НЛОДУсПК): Частен случай на НЛОДУ от II-ри ред: y +a y +a y=f() y() =C y () +C y () +u() C y () +C y () общо решение на хомогенното ЛОДУ. Метод на Лагранж: Определяне на едно частно решение на нехомогенното ЛОДУ u(): u() = y () y ()f() W(y,y ) d + y () y ()f() W(y,y ) d Детерминанта на Вронски: W(y,y ) = y () y () y () y 0 () Метод на неопределените коефициенти (МНК): Нека дясната страна на ДУ f() се представи във вида: f() =e P () cos β + Q () sin β, α, β са константи, а P (),Q () са полиноми от n и m степен. Тогава частното решение на ДУ се търси във вида: u() = e P () cos β + Q () sin β, където r е кратността на корена α+iβ на характеристичното уравнение на хомогенното ЛОДУ ако α+iβ не е корен на характеристичното у-е, то r =0; L приема по-голямата стойност от n и m: P () =A +A + +A +A Q () =B +B + +B +B Задача. Решете уравненията: а) y y +y= б) y +y=3sin y(0) +y (0) =0 ; y(π/) +y (π/) = в) y +y=e +e г) y +y=tan y(0) =y(π/6) =0 Решение: а) y y +y= Записваме хомогенното линейно ОДУ (ХЛОДУ): y y +y=0. Определяме характеристичния полином (ХП) на ХЛОДУ: k k+=0. Търсим корените на ХП и определяме общото решение на ХЛОДУ (ОРХЛОДУ): 49

6 Δ=b 4ac=( ) 4(1)() =4 8= 4<0 k, = b a ±i Δ a =α±iβ k, = (1) ±i 4 (1) =1±i =1±i=α±iβ α=1 ; β=1 ОРХЛОДУ: y() = (Acosβ+Bsinβ)e = (Acos+Bsin)e За да намерим общото решение на нехомогенното ЛОДУ използваме МНК: f() =e P () cos β +Q () sin β = α =0 ; β =0 m=0 ; n= L=ma(n, m) =ma (,0)= Заместваме определените параметри във функцията u(): α α ; β β r=0 P () =C +D+E u() = e P () cos 0 + Q () sin 0 u() =C +D+E Заместваме намерената функция u() в оригиналното НЛОДУ на мястото на y(): За целта определяме първата и втората производна на u(): u () = C +D+E =C+D u () =C+D ; u () = C + D =C Тогава: u u +u= C (C + D) +(C +D+E) = C 4C D + C +D+E= C + ( 4C + D) +(C D + E) = +0+0 Приравняваме двете страни на равенството по изразите, стоящи пред степените на : C = 1 4C + D = 0 C D + E = 0 C=1/ D=C E=D C C=1/ D=1 E=1/ Намереното едно частно решение на нехомогенното ЛОДУ u() има вида: u() = = 1 ( ++1) = (+1) Общото решение на нехомогенното ЛОДУ придобива вида: y() = (Acos+Bsin)e + (+1) y () = (Acos+Bsin)e + (+1) y () =Ae cos Ae sin + Be sin + Be cos++1 y () =e (B A) sin + (A +B) cos ++1 y () = e (B A) sin + (A +B) cos ++1 y () =e (B A) sin + (A +B) cos +e (B A) cos (A +B) sin +1 y () =e Bcos Asin +1 50

7 y y +y= e Bcos Asin +1 (e (B A) sin + (A +B) cos ++1) + (Acos+Bsin)e + (+1) =? Be cos Ae sin +1 Be sin +Ae sin Ae cos Be cos +Ae cos +Be sin + ++1=? Графика: Полученото общо решение (ОР) ще илюстрираме с едно частно решение (ЧР), получено за допълнителните начални условия y(0) =1/;y (0) =1, за което ЧР има вида: y() = (1 +) / и което е изобразено на графиката в интервала: 3, 1, y 0, :.0 y б) y +y=3sin y(0) +y (0) =0 ; y(π/) +y (π/) =0 Записваме хомогенното линейно ОДУ (ХЛОДУ): y +y=0. Определяме характеристичния полином (ХП) на ХЛОДУ: k +1=0. Търсим корените на ХП и определяме общото решение на ХЛОДУ (ОРХЛОДУ): k +1=0 k = 1 k=± 1 k, =±i Δ=b 4ac=(0) 4(1)(1) =0 4= 4<0 k, = b a ±i Δ a =α±iβ k, = 0 (1) ±i 4 (1) =0±i =0±i=α±iβ α=0 ; β=1 ОРХЛОДУ: y() = (Acosβ+Bsinβ)e =Acos+Bsin За да намерим общото решение на нехомогенното ЛОДУ използваме МНК: 51

8 f() =e P () cos β +Q () sin β =3sin α =0 ; β =1 m=0 ; n=0 L=ma(n, m) =ma (0,0)=0 Заместваме определените параметри във функцията u(): α=α ; β=β r=1 P () =C ; Q () =D u() = e P () cos + Q () sin u() =(Ccos+Dsin) Заместваме намерената функция u() в оригиналното НЛОДУ на мястото на y(): За целта определяме първата и втората производна на u(): u () = (Ccos+Dsin) =Ccos+Dsin+(Dcos Csin) Тогава: u () =Ccos+Dsin+(Dcos Csin) u () = Ccos+Dsin+(Dcos Csin) = = D cos C sin + D cos C sin (Ccos+Dsin) u () =(Dcos Csin) (Ccos+Dsin) u +u=3sin (Dcos Csin) (Ccos+Dsin) +(Ccos+Dsin) =3sin D cos C sin = 3 sin Dcos Csin = 0cos+3sin Приравняваме двете страни на равенството по изразите, стоящи пред тригонометричните ф-ции: D = 0 D=0 C = 3 C= 3/ Намереното частно решение на нехомогенното ЛОДУ u() има вида: u() = 3 cos Общото решение на нехомогенното ЛОДУ придобива вида: y() =Acos+Bsin 3 cos y () = Acos+Bsin 3 cos y () = Asin+Bcos 3/(cos sin ) y () = Bcos Asin 3/(cos sin ) y () = Bsin Acos 3/( sin sin cos) y () =3/(sin+cos ) (Bsin+Acos) y +y=3sin 3 (sin+cos) (Bsin+Acos) +Acos+Bsin 3 cos=? 3sin 5

9 3sin+ 3 cos Bsin A cos + A cos +Bsin 3 cos=? 3sin Частното решение на нехомогенното ЛОДУ търсим като използваме допълнителните условия: y(0) +y (0) =0 ; y(π/) +y (π/) =0 y(0) =Acos0+Bsin0 3 (0) cos 0 = A y (0) = Asin0+Bcos0 3 (cos 0 (0) sin 0) =B 3 y π =Acosπ +Bsinπ 3 π cos π =B y π = Asinπ +Bcosπ 3 cos π π sin π = 3π 4 A y(0) +y (0) =0 y π +y π A+B 3 =0 =0 A B 3π 4 =0 A+B 3 +A B 3π 4 A = 3( +π) 4 =0+0 A 6+3π 4 = 3 4 (+π) A = 3 8 (+π) =0 B= 3 A=3 3 8 (+π) = 3 8 (4 π) B = 3 8 ( π) Частното решение на нехомогенното ЛОДУ: y() = 3 8 (+π) cos ( π) sin 3 cos Графика: Полученото частно решение е изобразено на графиката в интервала: 0, 0,y 0, 0 : y

10 в) y +y=e +e Записваме хомогенното линейно ОДУ (ХЛОДУ): y +y=0. Определяме характеристичния полином (ХП) на ХЛОДУ: k +1=0. Търсим корените на ХП и определяме общото решение на ХЛОДУ (ОРХЛОДУ): k +1=0 k = 1 k=± 1 k, =±i Δ=b 4ac=(0) 4(1)(1) =0 4= 4<0 k, = b a ±i Δ a =α±iβ k, = 0 (1) ±i 4 (1) =0±i =0±i=α±iβ α=0 ; β=1 ОРХЛОДУ: y() = (Acosβ+Bsinβ)e =Acos+Bsin За да намерим общото решение на нехомогенното ЛОДУ използваме МНК. Представяме функцията f() като линейна комбинация от функции f () и f () и за всяка намираме функциите u () и u (): f() =f () +f () =e +e f () =e =e P () cos β +Q () sin β = α =1 ; β =0 m=0 ; n=1 L=ma(n, m) =ma (1,0)=1 Заместваме определените параметри във функцията u (): α α ; β β r=0 P () =C+D u () = e P () cos 0 + Q () sin 0 u () =e (C + D) f () =e =e P () cos β +Q () sin β = α = 1 ; β =0 m=0 ; n=0 L=ma(n, m) = ma (0,0) = 0 Заместваме определените параметри във функцията u (): α α ; β β r=0 P () =E u () = e P () cos 0 + Q () sin 0 u () =Ee u() =u () +u () =e (C + D) +Ee Заместваме намерената функция u() в оригиналното НЛОДУ на мястото на y(): За целта определяме първата и втората производна на u(): u () = e (C + D) +Ee =e (C + D) +Ce Ee Тогава: u () =e (C + C + D) Ee u () = e (C + C + D) Ee =e (C+C+D) +Ce +Ee u () =e (C + C + D) +Ee u +u=e +e e (C + C + D) +Ee +e (C + D) +Ee =e +e e (C + C + D) +Ee =e +e 54

11 Приравняваме двете страни на равенството по изразите, стоящи пред показателни ф-ции: C = 1 C + D = 0 E = C=1/ D= 1/ E=1 Намереното частно решение на нехомогенното ЛОДУ u() има вида: u() = 1 ( 1)e +e Общото решение на нехомогенното ЛОДУ придобива вида: y() =Acos+Bsin+ 1 ( 1)e +e y () = Acos+Bsin+ 1 ( 1)e +e y () = Asin+Bcos+ 1 ( 1)e + 1 e e y () =Bcos Asin+ 1 e e y () = Bcos Asin+ 1 e e y () = Bsin Acos+ 1 e + 1 e +e y () = Bsin+Acos + 1 (+1)e +e y +y=e +e Bsin+Acos + 1 (+1)e +e +Acos+Bsin+ 1 ( 1)e + e =? e + e Графика: Полученото общо решение (ОР) ще илюстрираме с едно частно решение (ЧР), намерено за допълнителните начални условия y(0) =1/;y (0) = 1, за което ЧР има вида: y() = (+1)e +e и което е изобразено на графиката в интервала: 3, 3, y 0, 3 : 55

12 .0 y г) y +y=tan y(0) =y(π/6) =0 Записваме хомогенното линейно ОДУ (ХЛОДУ): y +y=0. Определяме характеристичния полином (ХП) на ХЛОДУ: k +1=0. Търсим корените на ХП и определяме общото решение на ХЛОДУ (ОРХЛОДУ): k +1=0 k = 1 k=± 1 k, =±i Δ=b 4ac=(0) 4(1)(1) =0 4= 4<0 k, = b a ±i Δ a =α±iβ k, = 0 (1) ±i 4 (1) =0±i =0±i=α±iβ α=0 ; β=1 ОРХЛОДУ: y() = (Acosβ+Bsinβ)e =Acos+Bsin За да намерим общото решение на нехомогенното ЛОДУ не можем да използваме МНК, защото функцията tan не може да се представи като линейна композиция от показателната функция e, тригонометричните функции sin β, cos β и полиноми. Затова ще използваме метода на Лагранж. За целта определяме детерминантата на Вронски: y() =C y () +C y () =Acos+Bsin C A, C B, y () =cos, y () =sin, f() =tan W(y,y ) = y () y () sin y () y = cos () sin cos =cos +sin =1 Намирането на едно частно решение на нехомогенното ЛОДУ u() става посредством формулата: u() = y () y ()f() W(y,y ) d + y () y ()f() W(y,y ) d = cos sin tan cos tan d + sin d

13 u() = cos sin d + sin sin d = cos = cos 1 cos d sin cos = cos = cos d cos cosd sincos = = cosln tan + π 4 +sincos sincos u() = cosln tan + π 4 Общо решение на нехомогенното ЛОДУ: y() =Acos+Bsin cosln tan + π 4 Намиране на частното решение на нехомогенното линейно ОДУ (ЧРНЛОДУ) става чрез налагането на допълнителните гранични условия: y(0) =0 0=Acos0+Bsin0 cos0ln tan π =A(1) +B(0) (1) ln 1 4 A=0 y π 6 =0 0=Bsinπ 6 cosπ 6 ln tan π 1 + π 4 =B1 3 ln tan π 3 0=B 1 3 ln 3 B1 = 3 3 ln 3 B = 3 ln 3 B = ln 3 Частно решение на нехомогенното ЛОДУ: y() = 3 ln 3 sin cos ln tan + π 4 y () = 3 ln 3 sin cos ln tan + π 4 y () = 3 ln 3 cos + sin ln tan + π 4 coscot + π 4 1 cos + π 4 y () = 3 ln 3 cos + sin ln tan + π 4 cos 57 cos + π 4 sin + π 4 cos + π 4 y () = 3 ln 3 cos + sin ln tan + π 4 cos 1 sin + π 4 cos + π 4 y () = 3 ln 3 cos + sin ln tan + π 4 cos sin( +π/) y () = 3 ln 3 cos + sin ln tan + π cos 4 cos

14 y () = 3 ln 3 cos + sin ln tan + π 4 1 y () = 3 ln 3 sin + cos ln tan + π 4 + sin cot + π 4 1 cos + π 4 y () = 3 ln 3 sin + cos ln tan + π 4 +sin cos + π 4 sin + π 4 cos + π 4 y () = 3 ln 3 sin + cos ln tan + π 4 +sin 1 sin + π 4 cos + π 4 y () = 3 ln 3 sin + cos ln tan + π 4 + sin sin( +π/) y () = 3 ln 3 sin + cos ln tan + π sin + 4 cos y () = 3 ln 3 sin + cos ln tan + π 4 +tan y +y=tan 3 ln 3 sin +cosln tan + π 3 +tan + 4 ln 3 sin cosln tan + π 4 =? tan Графика: Полученото частно решение (ЧР) ще илюстрираме на графика в интервала: 3π, 3π, y π/, π/ : y Задачи за домашно: 1) y 4y +3y=e y(0) =3 ; y (0) =9 ) y 6y +5y=sin+3cos 3) y y +y=e sin 4) y +5y 1 +6y= 1+e 58

15 Уравнение на Ойлер: y ( ) +a y ( ) + +a y + a y=f() Полагаме: =e t = ln Определяме диференциалите и производните след полагането: d = d(e ) = (e ) dt = e dt ; dt = d(ln ) = (ln ) d = d d = e dt ; dt = d d dt dt =e = ; d = 1 =e Тогава за производните y,y,y се получават следните изрази: y = dy d = dy dt dt d =y e y =y e y = d dy d d = d dt dt d dy dt = d dy dt dt e + dy d dt y = (y y )e y = d d y d d = d dt = d y dy dt d dt = d y dt d y = d y dt d y dt d = d dt dy dt dt dt d d = d dt dy dt e e = dt (e )e =y e y e = (y y )e dt y dy d d dt dt e = d y dy dt d dt dt e dt d = dt e + d y dy dt dt d dt (e ) e = dt e d y dy dt dt e e = y dt d +dy dt dt e = (y 3y +y )e y = (y 3y +y )e Задача 3. Решете уравненията: а) y y +y=0 б) y +3y + y = 1/ y(1) =1 ; y (1) =0 Решение: а) y y +y=0 След прилагане на субституцията: =e ln=t даденото Ойлерово хомогенно ОДУ добива вида: e (y y )e e y e +y=0 y y y +y=0 y y +y=0 Полученото ОДУ е хомогенно линейно ОДУ от -ри ред. 59

16 I-ви начин: Записваме ХП: k k+1=(k 1) k =k =k=1 ОР: y(t) = (A +Bt)e = (A +Bt)e ( ) ОР: y(t) = (A +Bt)e II-ви начин: y +ay +by=0 y y +y=0 a= a= 1 ; b=1 b a =1 ( 1) =1 1=0 b=a ОР: y(t) = (A +Bt)e = (A +Bt)e ( ) ОР: y(t) = (A +Bt)e III-ви начин: ay +by +cy=0 y y +y=0 a=1;b= ;c=1 Δ=b 4ac=( ) 4(1)(1) =4 4=0 k, =k= b = a (1) =1 ОР: y(t) = (A +Bt)e = (A +Bt)e ( ) ОР: y(t) = (A +Bt)e y(t) = (A +Bt)e y (t) = (A +B+Bt)e y (t) = (A +B+Bt)e y y +y=0 (A +B+Bt)e (A +B+Bt)e + (A +Bt)e =? 0. (A +B+Bt A B Bt+A+Bt)e =? 0 След намиране на ОР на хомогенното линейно ОДУ извършваме обратна субституция t =ln. ОР: y() = (A +Bln)e ОР: y() = (A +Bln) (A +Bln) y () =A+Bln+A+B y () =A+B/ y y +y=0 (A+B/) (A +B+A+Bln) + (A +Bln) =? 0. A +B A B A Bln+A+Bln=? 0 Графика: Полученото общо решение (ОР) ще илюстрираме с едно частно решение (ЧР), намерено за допълнителните начални условия y(1) =0;y (1) =1, за което ЧР има вида: y() =ln и което е изобразено на графиката в интервала: 0, 4, y 1, 5 : 60

17 y б) y +3y +y=1/ y(1) =1 ; y (1) =0 Прилагаме субституцията: =e ln=t към даденото Ойлерово нехомогенно ОДУ, което добива вида: e (y y )e +3e y e +y=e y y +3y +y=e y +y +y=e Полученото ОДУ е нехомогенно линейно ОДУ от -ри ред. Записваме хомогенното линейно ОДУ (ХЛОДУ): y +y +y=0. Определяме характеристичния полином (ХП) на ХЛОДУ: k +k+1=0. Търсим корените на ХП и определяме общото решение на ХЛОДУ (ОРХЛОДУ): k +k+1=0 (k +1) =0 k, =k= 1 y(t) = (A +Bt)e 61

18 Δ=b 4ac= 4(1)(1) =4 4=0 k, =k= b a = (1) = 1 ОРХЛОДУ: y(t) = (A +Bt)e = (A +Bt)e За да намерим общото решение на нехомогенното ЛОДУ използваме МНК: f(t) =e P (t) cos β t+q (t) sin β t =e α = 1 ; β =0 m=0 ; n=0 L=ma(n, m) = ma (0,0) = 0 Заместваме определените параметри във функцията u(): α=α ; β=β r= u(t) =t e P (t) cos 0 + Q (t) sin 0t u(t) =Ct e Заместваме намерената функция u() в оригиналното НЛОДУ на мястото на y(): За целта определяме първата и втората производна на u(): u (t) = Ct e =C(t t )e u () =C( t)te u (t) = C( t)te =C t + t ( t)t e u (t) =C( 4t+t )e Тогава: u +u +u=e C( 4t+t )e +C( t)te +Ct e =e Ct 4Ct+C+4Ct Ct +Ct =1 C=1 C=1/ Намереното частно решение на нехомогенното ЛОДУ u() има вида: u(t) = 1 t e Общото решение на нехомогенното ЛОДУ придобива вида: y(t) = (A +Bt)e + 1 t e y (t) = (A +Bt)e + 1 t e y () =Be (A +Bt)e + 1 te 1 t e y () = (B A Bt+t t /)e y () = (B A Bt+t t /)e y () = (1 B t)e (B A Bt+t t /)e y () = (1 B+A+Bt t+t /)e y +y +y=e (1 B + A + Bt t + t /)e +(B A Bt+t t /)e + (A +Bt)e + 1 t e =? e 1 B+A+Bt t+t / +B A Bt+t t +A+Bt+t / =? 1 6

19 След намиране на ОР на нехомогенното линейно ОДУ извършваме обратна субституция t=ln. ОР: y() = A+Bln + ln ОР: y() = A+Bln+ln Намирането на частно решение на нехомогенното Ойлерово ОДУ стаа чрез използването на допълнителните начални условия: y(1) =1 ; y (1) =0 y( =1) =1= A+Bln1+ln 1 A = 1 (1) y () = 1 +Bln + 1 ln = 1 +B1 ln + 1 ln ln y () = 1 (B Bln+ln ln 1) y (=1) =0= 1 1 (B Bln1+ln1 ln 1 1) B = 1 ЧР: y() = 1+ln y() = 1 ln ln + ln y () = ln ln + y () = 1 y () = 1 1 ln ln ln = ln y () = 1 ln 1 ln ln y () = ln ln y +3y +y= 1 ln ln ln +3 1 ln +1 ln ln 1 =? ln 3 ln + 1 ln ln 1 =? Графика: Полученото частно решение (ЧР) ще илюстрираме на графика в интервала: 0, 5, y 0, 5 : y 5 4 Задачи за домашно: Решете уравненията: 1) y y +y=0 ) y 3y +3y=3ln 3) y +y +y=sin(ln)

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0

Подробно

Семинар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)

Семинар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ) Семинар 5 Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: dy dy =X)Yy) =X) + C Yy) Ако е зададено гранично условие, то намираме частно решение (ЧР): y )

Подробно

Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо

Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

ЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II. ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача 2. Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсци

ЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II. ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача 2. Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсци ЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсцисата, +, 5, +, 6 + 8,, 8 + 7, 8 9 8 7, 6 + 6, +,, 6 +,

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива.

Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rg

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ . Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2018.docx

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2018.docx Семинар 8 1 / 7 Семинар 8: Комплексни числа. Вектори в тримерното пространство Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к.

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

M10_18.dvi

M10_18.dvi СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...

Подробно

DIC_all_2015_color.dvi

DIC_all_2015_color.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: 1.. + = 3 +1 + 8 = 5 4 3 3. 4. 4 5 + 1 = +6+9 +3 1 + 4 = 1 4 + 5. +1 + = 9 +1 10 6. ( -5) +10( -5)+4=0 7. 11 3-3 = 3 5+6 8. 1 +30 1 16 = 3 7 9

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

DIC_all_2014.dvi

DIC_all_2014.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Microsoft Word - variant1.docx

Microsoft Word - variant1.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа

Подробно

DZI Tema 2

DZI Tema 2 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

г. Несинусоидални режими в електрическите вериги 1 / 16 Ред на Фурие Несинусоидални режими в електрическите вериги Несинусоидални сигнали До

г. Несинусоидални режими в електрическите вериги 1 / 16 Ред на Фурие Несинусоидални режими в електрическите вериги Несинусоидални сигнали До 11.4.016 г. Несинусоидални режими в електрическите вериги 1 / 16 Ред на Фурие Несинусоидални режими в електрическите вериги Несинусоидални сигнали До този момент разглеждахме електрически вериги, захранвани

Подробно

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, 9 31 март 013 г. Тема за 9 клас Задача 1. Да се намерят всички стойности на реалния

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

1. Намерете: xsin x lim x 0 ln( x ) Пресметнете интеграла: x 4 ln x dx

1. Намерете: xsin x lim x 0 ln( x ) Пресметнете интеграла: x 4 ln x dx sin 0 ( 4 ) 4 d +, 5 - - ( 1) + d + + 5 = t, t, t [ 0, ] - - : 5 + 4 ( + 5 )sin( 4 ) d Намерете обема на тялото, получено от завъртането на y = ( + ), [0, 7 / ] около оста O 1Намерете: ( 1) 1 sin ( π )

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

Иван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015

Иван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015 Иван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015 Съдържание Предговор 4 1 Обикновени диференциални уравнения и системи 7 1.1 Обикновени диференциални уравнения от първи ред...... 7 1.1.1

Подробно

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (

Подробно

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока

Подробно