Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Размер: px
Започни от страница:

Download "Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc"

Препис

1 Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна сила (те сила с противоположна на скоростта посоката и големина право пропорционална на големината на скоростта), след известно време то, достигайки определена стационарна скорост, продължава да се движи равномерно По време на преходния период до достигане на тази скорост характерът на движението зависи от характера на движещата сила Докато в учебната литература найчесто се разглежда случаят на постоянна движеща сила, в практиката се срещат и движения, при които източникът на силата (някакъв двигател) развива постоянна мощност Характерът на движенията в двата случая по време на преходния период е предмет на разглеждане в следната задача Задача Върху неподвижно тяло с маса в определен момент започва да действа сила с постоянна посока и: А) постоянна големина ; Б) големина, която се променя с времето така, че е постоянна мощността Р на източника, осигуряващ силата Върху тялото действа и Стоксова съпротивителна сила C r r v, където е известна константа, а v r скоростта на тялото Намерете законите за движението, скоростта и ускорението на тялото в двата случая Решение Началото на координатната система избираме в точката, от която започва движението на тялото, а оста Ох насочваме в посока на движещата сила За начален избираме момента, в който започва да действа силата И в двата случая движението на тялото е по оста Ох и съгласно с втория принцип на динамиката преместването х на тялото се определя от уравнението: (1) dv v, d където и v са проекциите на съответните вектори върху Ох А) В първия случай cons и уравнението за скоростта придобива вида: () dv + v d Решението на това линейно диференциално уравнения търсим от вида: (3) v( C + D, където C, D и α са константи За да ги определим, диференцираме (3) по времето и заместваме получения израз за dv/d в () Полученото уравнение: α C + C + D трябва да бъде изпълнено за всяко, което е възможно само ако: α и D / Така решението придобива вида: v( C +, като оставащата все още неопределена константа С се определя от началното условие, че тялото е неподвижно в момента 0, те v(0) 0: 0 C +, или C 1

2 По такъв начин законът за скоростта окончателно придобива вид: (4) ( ) v 1 Чрез диференциране по времето намираме и ускорението: (5) a( За да намерим закона на движението, интегрираме (4) по времето и налагаме началното условие x(0) 0 По такъв начин получаваме: (6) ( ) 1 x От формула (5) се вижда, че движението започва с ускорение а 0 / След изтичане на достатъчно дълго време, когато експонентата може да се пренебрегне, ускорението и скоростта клонят към стационарните си стойности съответно нула (a с 0) и: (7) v c /, а законът за движението придобива вида: (8) x( vc От показателя на експонентата ( ) се вижда, че преходният период за достигане на тези стойности е толкова по-кратък, колкото по-малка е масата на тялото и колкото по-голяма е константата, определяща съпротивителната сила Примерният вид на графиките на функциите x(, v( и a( е показан на фиг 1 Фиг 1 Б) Моментната големина на движещата сила във втория случай се определя от известната връзка между нея, мощността Р и скоростта v: v Като заместим в (1) /v, за уравнението на движение получаваме: dv v, d v или, след като приведем към еднакъв знаменател, прехвърлим съпротивителната dv 1 dv сила в лявата страна и отчетем, че v : d d

3 dv (9) + v d Уравнение (9) се различава от () само по това, че в него неизвестна величина е не v, а v, коефициентът пред производната е /, а не, и в дясната страна вместо постоянната сила фигурира постоянната мощност Р И тъй като началното условие е същото, както в предишния случай (v(0) 0), то и решението му се получава от (4) със съответните замени: v ( 1 Следователно във втория случай законът за скоростта е: (10) v( 1 Чрез диференциране по времето от него получаваме и закона за ускорението: (11) a( 1 Получаването на закона за движение изисква пресмятане на интеграла: x( v( d 1 d 0 0 За целта е удобно да се въведе новата променлива: y 1, след което интегралът придобива вида: α ( ) y x( y dy, 0 1 където с α( е означена функцията: (1) α ( 1 Пресмятането на оставащия интеграл води до следния резултат: 1 1+ α ( (13) x( ln α ( 1 α ( От формула (11) се вижда, че в този случай движението започва с безкрайно голямо ускорение (a(0) ) Намерените закони за скоростта и ускорението показват, че и в този случай двете величини се стремят експоненциално към стационарните си стойности а с 0 и съответно: (14) v c За да намерим вида на закона за движение при достатъчно големи стойности на, когато експонентата е пренебрежимо малка спрямо единицата, в знаменателя на логаритъма в (13) използваме, че: 3

4 α ( Така законът за движение при големи стойности на придобива вида: (15) x ( ) ( 1 ln ) Интересен извод, който следва от формулите (7) и (14) е, че и в двата разгледани случая скоростта на равномерното движение, стационарната скорост не зависи от масата на тялото Коментар Да сравним движенията на две еднакви тела (еднакви маси, форма и размери), които започват да се движат под действие на еднопосочни сили със съответно постоянна големина и мощност За да направим сравнението, ще изберем мощността Р така, че стационарните скорости на движение на двете тела да бъдат равни От формулите (7) и (14) се вижда, че това се достига при, те кога- то В този случай законите (4) и (10) за скоростта, (5) и (11) за ускорението, както и двата закона за движение (6) и (13), приемат съответно вида: v' 1 a' ; ; v" a" α( ' 1 "( ) ln ( ) x x α 1 ( ) + α където с прим са отбелязани величините за движение при постоянна сила, а със секонд при постоянна мощност а) От първата двойка равенства се вижда, че скоростите на двете тела са равни при 0 и при Лесно се показва, че във всеки друг момент скоростта на второто тяло, което се движи под действие на сила, развиваща постоянна мощност, е по-голяма, те v " > v' В този случай второто тяло постоянно изпреварва първото, като след достатъчно дълго време, когато скоростите им достигнат общата стационарна стойност, разстоянието между тях, те разликата x x" x' от изминатите пътища, естествено, остава постоянна С помощта на изразите за x и x за х намираме: x ln б) Да сравним и ускоренията на двете тела Както вече бе отбелязано, тялото, на което действа постоянна сила, започва движението си с крайно по големина ускорение / В същия начален момент обаче ускорението на другото тяло е безкрайно голямо, тъй като знаменателят във формулата за а е нула Тъй като след достатъчно дълго време ускоренията на двете тела стават нула, възниква въпрос 4

5 дали съществува момент, в който те са равни От приравняването на a' и a" се получава, че ускоренията се изравняват в момента 0 ln/ По-нататък пресмятането на отношението (a"/a') показва, че след момента 0 ускорението на второто тяло остава по-малко от това на първото в) Накрая практически интерес може да представлява разглеждането на движенията и от енергетична гледна точка Енергията на източника, който осигурява постоянна мощност, за време намалява с толкова, колкото е извършената от силата работа, те: W"( /, като сме отчели валидната в този случай връзка / Намалението на енергията на източника, който осигурява постоянна по големина сила пресмятаме, като отчетем, че освен постоянна, силата е и еднопосочна с преместването Като вземем предвид формула (6), получаваме: W'( x( 1 Сравнението между последните два израза показва, че до всеки момент след началото на движението източникът на постоянната мощност е изразходвал повече енергия Този извод може да се разглежда като очакван, защото съгласно направения по-горе извод, тялото, на което действа силата с постоянна мощност, постоянно изпреварва другото тяло Малко по-сложна е оценката на икономичността на двете движения, когато се интересуваме от енергията, изразходвана за преодоляване на едно и също разстояние случай, който от практическа гледна точка може да бъде по-важен Оказва се, че когато разстоянията са достатъчно големи, за да се достигне стационарната скорост, движението под действие на постоянна сила е по-икономично, като разликата в изразходваните енергии не зависи от разстоянието 5

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc ВЪПРОС 1 КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНИ Във въпроса Кинематика на материална точка основни понятия и величини вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-10-Tvyrdo-Tialo.doc

Microsoft Word - VypBIOL-10-Tvyrdo-Tialo.doc Въпрос 10 МЕХАНИКА НА ИДЕАЛНО ТВЪРДО ТЯЛО Във въпроса Механика на идеално твърдо тяло вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Идеално твърдо

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Задача 1. Движение в течности МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА ВЪРШЕЦ г. Тема 9.клас Реш

Задача 1. Движение в течности МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА ВЪРШЕЦ г. Тема 9.клас Реш Задача. Движение в течности МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА ВЪРШЕЦ -..7 г. Тема 9.клас Решения и указания за оценяване a) Движението на топчето става под

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

Количествени задачи Задача 1. Тяло е хвърлено хоризонтално с начална скорост V0 15 m. Намерете s нормалното a n и тангенциалното a ускорение на тялото

Количествени задачи Задача 1. Тяло е хвърлено хоризонтално с начална скорост V0 15 m. Намерете s нормалното a n и тангенциалното a ускорение на тялото Количествени задачи Задача 1. Тяло е хвърлено хоризонтално с начална скорост V 15 m. Намерете нормалното a n и тангенциалното a ускорение на тялото след време t 1 от началото на движението! ( Приемете

Подробно

Задача 1. Топче M с маса m = 0,15 kg, разглеждано като материална точка, се движи в тръбичка, разположена във вертикалната равнина. Топчето започва дв

Задача 1. Топче M с маса m = 0,15 kg, разглеждано като материална точка, се движи в тръбичка, разположена във вертикалната равнина. Топчето започва дв Задача 1. Топче M с маса m =,15 kg, разглеждано като материална точка, се движи в тръбичка, разположена във вертикалната равнина. Топчето започва движението си от положението A със скорост v A, с големина

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет Проектиране на непрекъснат П - регулатор инамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектирането им, могат да се окажат незадоволителни по отношение на

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Кинематика на материална точка

Кинематика на материална точка 8. ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ И ВЕЛИЧИНИ, КОИТО ГО ХАРАКТЕРИЗИРАТ. МАТЕМАТИЧНО, ФИЗИЧНО И ПРУЖИННО МАХАЛО. Хармонични трептения. В природата често се се наблюдават процеси, при които дадена система се връща

Подробно

Видове сили в механиката

Видове сили в механиката 3. ПЪРВИ ПРИНЦИП НА ТЕРМОДИНАМИКАТА. РАБОТА ПРИ ИЗОПРОЦЕСИ. АДИАБАТНИ ПРОЦЕСИ. Нулев принцип на термодинамиката. Термодинамиката е пример за аксиоматично изградена наука. Нейните изводи се основават на

Подробно

Пет задачи (четири от тях тривиални), решени чрез анализ на размерностите Сред физиците е популярно наглед парадоксалното твърдение, че човек не бива

Пет задачи (четири от тях тривиални), решени чрез анализ на размерностите Сред физиците е популярно наглед парадоксалното твърдение, че човек не бива Пет задачи (четири от тях тривиални), решени чрез анализ на размерностите Сред физиците е популярно наглед парадоксалното твърдение, че човек не бива да се захваща с решаване на задача, чиито отговор не

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Динамика на материална точка

Динамика на материална точка 2. ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПРИНЦИПИ НА НЮТОН. ВИДОВЕ СИЛИ. Първи принцип на Нютон. Инерциална отправна система. Динамиката е дял от механиката, в който се формулират нейните основни закони (принципи),

Подробно

Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит

Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит Лекция Класификация с линейна обучаваща машина Обучаващата машина може да бъде дефинирана като устройство, чиито действия са повлияни от миналия опит [1]. Линейната обучаваща машина (ЛОМ) е стравнително

Подробно

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ 40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни

Подробно

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ, г. Тема клас (Четвърта състезателна група) Прим

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ, г. Тема клас (Четвърта състезателна група) Прим МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ, 18.0.018 г. Тема 10-1.клас (Четвърта състезателна група) Примерни решения и критерии за оценяване Общи указания 1.

Подробно

Microsoft Word - ch2.4.doc

Microsoft Word - ch2.4.doc 9 Кинематика на сложни движения на твърдо тяло 9 Сферично движение на твърдо тяло Определение Сферично движение на твърдо тяло или движение на тяло около неподвижна точка наричаме такова движение при което

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисления върху уравненията за отравяне на ядрения реактор

Подробно