СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

Размер: px
Започни от страница:

Download "СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис"

Препис

1 СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто. Задача 2. Дадени са естествени числа k и n, като k n. Реалните неотрицателни числа x 1, x 2,..., x n са със сума A. Да се намери най-голямата възможна стойност на израза x 1 x 2... x k + x 2 x 3... x k x n k+1 x n k+2... x n и да се определят всички случаи, в които тя се достига. Задача 3. Даден е ABC и вписаната му окръжност ω, която допира страните AB, BC и CA в точките M, F и E съответно. Нека N е другата пресечна точка на CM и ω. Прекарана е права l през върха C, успоредна на AB. Пресечните точки на l с правите ME и MF са P и Q съответно. Да се докаже, че ENF = P NQ. Задача 4. Дадено е естествено число n. Всяка от четирите страни на квадрат е оцветена в точно един от n различни цвята. Да се намери броят на различните възможни оцветявания (с точност до ротации и отражения). Задача 5. Съществува ли двойка (, b) от различни реални числа, за които са изпълнени равенствата 3 2 = b 3 b 2 и = 3b 4 4b 3? Задача 6. За естествено число с ще означаваме сумата от цифрите му в десетичния запис. Да се намери минималната възможна стойност на, където e шестцифрено число.

2 РЕШЕНИЯ: Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто. Решение. Ако = 0, то b = 0 и за всяко просто p имаме (; b) = (0; 0). Ако b = 0, то p 2 = 25 2, което няма решение за p при 0. Ако поне едно от и b е равно на 0, то и другото е 0. Да допуснем, че за някое нечетно просто p има решение (; b), за което b 0. Нека d = (; b), откъдето = dx и b = dy, като (x, y) = 1. Тогава уравнението от условието е еквивалентно на px(x + y) = (5x + y) 2. Понеже p дели 5x + y, то и p 2 дели (5x + y) 2. Тогава p 2 дели px(x+y), откъдето p дели x(x+y). Ако p дели x, то p дели и y, защото 5x + y се дели на p. Тогава p дели x + y, откъдето p дели 4x и така p дели x. Тогава p дели и y. И в двата случая p дели (x, y), което е противоречие. При p = 2 уравнението от условието е еквивалентно на (4 + b) = 0. Единственото му решение е (; b) = (0; 0). Така за всяко просто p решенията са (; b) = (0; 0) Оценяване. Решение за p = 2-2 точки; Доказателство, че p дели и b при нечетно p - 6 точки; Довършване - 2 точки. Задача 2. Дадени са естествени числа k и n, като k n. Реалните неотрицателни числа x 1, x 2,..., x n са със сума A. Да се намери най-голямата възможна стойност на израза x 1 x 2... x k + x 2 x 3... x k x n k+1 x n k+2... x n и да се определят всички случаи, в които тя се достига. Решение. Лесно се вижда, че ако n > k и заменим x 1 с 0, а x k+1 с x 1 + x k+1, то стойността на израза не намалява. Нещо повече тя остава същата само ако x 1 x k+1 = 0 е било вярно преди замяната. Но чрез това наблюдение получаваме, че можем да намаляме броя на променливите като не намаляваме стойността на израза, докато стигнем до случая n = k. Достигайки до него сме получили неотрицателните числа y 1, y 2,..., y k, като y 1 + y y k = A (сумата очевидно се запазва при замяната). От САСГ сега получаваме ( ) k A y 1 y 2... y k k Поради вида на замените и използването на САСГ, равенство очевидно се достига, когато някои k последователни числа са равни на A, а останалите са равни на 0. k Оценяване. Идея за замяна на променливите - 5 точки; Прилагане на САСГ или еквивалентно - 3 точки; За довършване - 2 точки; Опити за използване на САСГ, които водят до частични резултати - 1 точка. Задача 3. Даден е ABC и вписаната му окръжност ω, която допира страните AB, BC и CA в точките M, F и E съответно. Нека N е другата пресечна точка на CM и ω. Прекарана е права l през върха C, успоредна на AB. Пресечните точки на l с правите ME и MF са P и Q съответно. Да се докаже, че ENF = P NQ. Решение.

3 P C Q От успоредността и от периферни ъгли имаме: ENM = EMA = EP C E N F и също така: MNF = F MB = F QC A M B Следователно четириъгълниците EN CP и F N CQ са вписани. Сега изразяваме: и задачата е решена. ENF = ENM + MNF = AEM + BF M = = P EC + CF Q = P NC + CNQ = P NQ Оценяване. Доказателство, че EN M = EDC и F N M = F QC - 4 точки; Наблюдение, че ENCD и F NCQ са вписани - 2 точки; Довършване - 4 точки. Частични изразявания на ъгли без да е получен някой от горните резултати - 1 точка; Задача 4. Дадено е естествено число n. Всяка от четирите страни на квадрат е оцветена в точно един от n различни цвята. Да се намери броят на различните възможни оцветявания (с точност до ротации и отражения). Решение. Да разгледаме няколко случая за това как са разположени цветовете върху страните на квадрата: Първи случай. Има 4 различни цвята - тогава има ( n 4) начина да изберем 4-те цветята и 3 начина по които да ги разположим. Възможностите са bcd, cbd и bdc, където, b, c, и d са цветовете, а подредбата им отговаря на наредбата върху страните на квадрата. Общо за този случай се получават 3 ( n 4) начина. Втори случай. Има 2 еднакви и 2 различни цвята - тогава има n възможности за този който се среща 2 пъти и ( ) n 1 за останалите 2 цвята. А за подредбата им върху 2 квадрата има само 2 начина (еднаквите да са един срещу друг или един до друг). Общо за този случай се получават 2n ( ) n 1 2 начина. Трети случай. Има 2 двойки еднакви цветове - тогава има ( n 2) начина да изберем цветовете и 2 начина да ги разположим върху квадрата (еднаквите да са един срещу друг или един до друг). Общо за този случай се получават 2 ( n 2) начина. Четвърти случай. Има 3 еднакви и един различен цвята. Тогава има n начина за цвета, който се среща три пъти и n 1 начина за другия цвят и може да се разположат само по единствен начин. Общо за този случай се получават n(n 1) начина. Пети случай. Има 4 еднакви цвята. Тогава има n начина да изберем цвета и очевидно начина е единствен. Общо за този случай се получават n начина. Като съберем начините за отделните случаи се получава отговор. ( ) ( ) ( ) n n 1 n 3 + 2n n(n 1) + n

4 Оценяване. За всеки от петте случая по 2 точки Задача 5. Съществува ли двойка (, b) от различни реални числа, за които са изпълнени равенствата 3 2 = b 3 b 2 и = 3b 4 4b 3? Решение. Не. Да положим s = +b, p = b. Тогава първото равенство е еквивалентно на 3 b 3 = 2 b b + b 2 = + b p = s 2 s а второто се преобразува до 3( 4 b 4 ) = 4( 3 b 3 ) 3( b + b 2 + b 3 ) = 4( 2 + b + b 2 ) Следователно 3(s 3 2sp) = 4(s 2 p) (6s 4)p = 3s 3 4s 2 3s 3 4s 2 = (6s 4)(s 2 s) s(3s 2 6s + 4) = 0 s = 0 понеже 3s 2 6s + 4 има отрицателна дискриминанта. Последното дава p = 0 и = b = 0, противоречие. Оценяване. За правилно делене на b във всяко от двете равенства по 1 точка; За разглеждане на сбор и произведение 1 точка; За изразяване на p чрез s в първото равенство 2 точки; За изразяване на p чрез s във второто равенство 3 точки; Довършване 2 точки Задача 6. За естествено число с ще означаваме сумата от цифрите му в десетичния запис. Да се намери минималната възможна стойност на, където e шестцифрено число. Решение. Нека = = е десетичният запис на, като 1 1. Ще отделяме цяла част: = = = 1 + (105 1) 1 + (10 4 1) 2 + (10 3 1) 3 + (10 2 1) 4 + (10 1) При фиксирани 1, 2, 3, 4 и 5 числителят е винаги положителен. Тогава частното приема най-малка стойност когато знаменателят е възможно най-голям, т.е. когато 6 е възможно най-голямо и следователно 6 = 9. Аналогично разсъждаваме за другите цифри: = 10 + (105 10) 1 + ( ) 2 + ( ) 3 + ( ) 4 + (1 10)

5 Понеже 1 1, то числителят е винаги положителен и при фиксирани 1, 2, 3, 4 и 6 минимум на частното се достига при 5 = 9. Aналогични твърдения са валидни за 4 и 3. За 2 имаме: = ( ) 1 + ( ) 3 + ( ) 4 + ( ) 5 + ( ) Тук вече може да се случи числителят да не е положителен (например 1 = 1, 3 = 4 = 5 = 6 = 9). Ако числителят на последната дроб е положителен, то частното е поне 104. Ако числителят е отрицателен, то частното е по-малко от Нас ни интересува минимум, така че трябва числителят да е отрицателен и тогава минимум на се достига при минимален знаменател. Тогава при фиксирани 1, 3, 4, 5 и 6 минимум при 2 = 0. = ( ) 2 + ( ) 3 + ( ) 4 + ( ) 5 + ( ) Тук числителят е винаги отрицателен. Минимум при минимален знаменател, т.е. 1 = 1. Следователно най-малката стойност на е Оценяване. За идея за отделяне на цяла част 2 точки; За верен отговор 2 точки; За доказателство на минималност 6 точки

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки

Подробно

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур

НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 9.1. Да се намерят стойностите

Подробно

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа

Подробно

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени

Подробно

kk7w.dvi

kk7w.dvi Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx

Microsoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа

Подробно

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;

Подробно

Microsoft Word - tema_7_klas_2009.doc

Microsoft Word - tema_7_klas_2009.doc РЕГИОНАЛЕН ИНПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОАНИЕТО, ОФИЯ-ГРАД Национално състезание-тест по математика за VІІ клас Общински кръг, офия, февруари 009 г. Утвърдил:... аня Кастрева началник РИО, офия-град Тестът съдържа

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

MATW.dvi

MATW.dvi ТЕСТ 6. Ъглополовящите AA (A BC) и BB (B AC) на триъгълника ABC се пресичат в точката O. Ъгъл A OB не може да бъде равен на: А) 90 Б) 20 В) 35 Г) 50 ( ) 2 7 3 2. Изразът е равен на: 2 6.24 А) Б) 2 8 В)

Подробно

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc

Microsoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимен математически турнир Атанас Радев 8 9 януари 0 г., ЯМБОЛ Тема за 8 клас Задача. Във футболно първенство всеки отбор

Подробно

VTU_KSK14_M3_sol.dvi

VTU_KSK14_M3_sol.dvi Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий 07 юли 01 г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. Да се решат уравненията: 1.1. x +x+1 = 1 x 1 + 8x 1 x 3 1 ; 1.. log x+log x 3 = 0; 1.3. x+1 +6. x 1 = 0. Задача. Дадено

Подробно

ПРОЛЕТНИ МАТЕМАТИЧЕСКИ СЪСТЕЗАНИЯ Шумен, година Б Р О Ш У Р А

ПРОЛЕТНИ МАТЕМАТИЧЕСКИ СЪСТЕЗАНИЯ Шумен, година Б Р О Ш У Р А ПРОЛЕТНИ МАТЕМАТИЧЕСКИ СЪСТЕЗАНИЯ Шумен, 9.03-31.03.019 година Б Р О Ш У Р А УКАЗАНИЕ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ V клас 1 1,5 1, 4 1 5.1. Дадени са изразите: A 3. 3 и 1 1,5 3 1, 4 1 3 3 А) Пресметнете А и В и ги сравнете.

Подробно

Exam, SU, FMI,

Exam, SU, FMI, Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни

Подробно

Microsoft Word - variant1.docx

Microsoft Word - variant1.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа

Подробно

(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2)

(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2) ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 0 юли 0 г Вариант Периодичната десетична дроб, () е равна на: 6 6 6 ; б) ; в) ; г) 5 50 500 9 Ако a= 6, b= 6 +, то изразът a + b има стойност: b a ; б) ;

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания януари 2013 г., ПЛОВДИВ Тема за

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания януари 2013 г., ПЛОВДИВ Тема за МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимни математически състезания 6 7 януари 03 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас, решения и оценяване Задача 8.. Цената на един

Подробно

tu_ mat

tu_ mat ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА юли 00 г. ВАРИАНТ ВТОРИ ПЪРВА ЧАСТ Всяка от следващите 0 задачи има само един верен отговор. Преценете кой от предложените пет отговора на съответната задача

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ:

ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ: М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6 май 9 г. Вариант УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 8 задачи по математика от два вида:

Подробно

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока

Подробно

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за

Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, март 2013 г. Тема за Министерство на oбразованието, младежта и науката Съюз на математиците в България Пролетни математически състезания Ямбол, 9 31 март 013 г. Тема за 9 клас Задача 1. Да се намерят всички стойности на реалния

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно