НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 4 Анализ на устойчивостта на параметрите на икономикоматематическия модел по планиране н

Размер: px
Започни от страница:

Download "НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 4 Анализ на устойчивостта на параметрите на икономикоматематическия модел по планиране н"

Препис

1 Анализ на устойчивостта на параметрите на икономикоматематическия модел по планиране на производството и снабдяването със стоки Веселина Евтимова Analyss of the stablty of the eono-atheatal odel paraeters on plannng of the produton and supply of goods: Analyss has been perfored on the steadness of the paraeters of the eono-atheatal odel of plannng of the produton and supply of goods. The ases of obetve funton oeffent hange, the sultaneous hange of several paraeters, the dfferent onstrants and tehnologes, hange n the struture of the odel on the way to addng new onstrants and varables, have been exaned. Key words: Eono-atheatal Modellng, Operaton Researh. ВЪВЕДЕНИЕ Динамично изменящата се международна икономическа обстановка, свързана основно с повишение цените на горивата и храните, обуславя голямата инфлация във всички страни по света в настоящия момент. Планирането на производството на стоки или услуги е свързано с промяната на цените на величините, участващи в целевата функция и ограничителните условия на съответния икономически модел. Тази ситуация обуславя необходимостта от изследване влиянието на изменението на параметрите в задачата на линейното оптимиране върху оптималния план. Анализът на параметрите на модела при известен оптимален план се състои в това, че се определят горните и долните граници на измененията на всеки коефициент от целевата функция, десните страни на ограничителните условия и коефициентите на разходите (при условие, че останалите параметри са фиксирани) в интервали, в които оптималният базис и свързаната с него система на оценки в индексния ред не се изменя. Аналогичен анализ може да се направи и при едновременно изменение на няколко параметъра, на отделни ограничения и технологии, а също при изменение структурата на модела по пътя на добавянето на нови ограничения и променливи. По-дълбокият анализ на модела в широк диапазон на изменение на изходните параметри се осъществява на основата на параметричното оптимиране []. На получените резултати от изследването е необходимо да се направи икономически анализ, разкриващ аналитичните възможности на модела. ИЗЛОЖЕНИЕ Анализът на математическия модел при изменение на коефициентите на целевата функция по променливите, които не са включени в оптималния план не са необходими, защото в резултат от получаването на оптималното решение за небазисните променливи е в сила неравенството. Този израз трябва да е в сила при всяко положително нарастване на, т.е. ( + ), откъдето следва ax = ; е коефициентът от целевата функция на променлива, която не е включена в базиса; показва колко трябва да е стойността на коефициента от целевата функция, съответстващ на дадената променлива, за да може тя да бъде включена в базиса; ax е максимално допустимо изменение на коефициента от целевата функция на - тата променлива, което не води до изменение базиса на съответния план

2 Включването на дадената променлива в плана е свързано с усъвършенстване на технологичния процес. За определяне границите на вариация на коефициентите в целевата функция, съответстващи на базисните променливи, е необходимо да се направят допълнителни изследвания. Нека коефициентът от целевата функция, съответстващ на -тата базисна променлива се изменя с. Съгласно алгоритъма на симплекс метода това нарастване изменя стойността на оценката на всички небазисни ( Б) променливи с = a., където a е коефициентът на заместване, характеризиращ величината на намалението ( a >) или увеличението ( a <) на - тата небазисна променлива. Това означава, че новите стойности на оценка на небазисните променливи се определят от израза +. За да може планът да остане оптимален е необходимо да е изпълнено неравенството +. Но тъй като = a., то a., т.е. a.....() Коефициентите a могат да бъдат както положителни, така и отрицателни. Като се разделят на a двете страни на неравенство (), се получава следната система неравенства: > ; при а a...(2) <. при а a Като се реши системата неравенства (2), се намират търсените граници на вариация на коефициента : a > ; Б Ако стойността на a n a < ; Б (3) излезе извън границите на интервала (3), то както базисът на оптималния план, така и съответстващата му система от оценки в индексния ред на симплекс таблицата ще се изменят. До този момент в нашите изследвания предполагахме, че има нарастване само на един от коефициентите в целевата функция при неизменност на всички останали. Допускаме, че едновременно всички коефициенти на целевата функция получават нарастване без да се изменят всички останали параметри на икономикоматематическия модел. В този случай признакът за неизменност на оптималния план се записва по следния начин: ( + ). a ( + ), Б. Тъй като =...(4) а = =. и a., то. a, Б = = По такъв начин намирането на допустимите интервали на изменение на коефициентите при неизменност на всички останали параметри на модела се свежда към решение на системата неравенства (4). В този случай намирането на

3 интервалите на изменение на коефициентите се свежда към намиране на критичните стойности на параметъра от задачата на параметричното оптимиране, в резултат на което се определят интервалите на изменение на всяко = : Интерес представлява изменението на десните страни в ограничителните условия на модела. Оптималният план, получен в резултат от решението на задачата, е най-добрият при зададения обем от ресурси. Изменението на обема на дефицитните ресурси влияе на изменение на плана. Степента на дефицитността на ресурсите и влиянието на тяхното изменение върху качеството на решение се отразява на системата от оценки в индексния ред при решение на задачата на линейното оптимиране. С тяхна помощ може лесно да се намерят най-тесните звена в съотношенията на ресурсите и първо да бъде решен този проблем. Оценката на ресурсите показва изменението на целевата функция при увеличение на неговия обем с единица. Но всяко изменение обема на кой да е ресурс води до изменение на оптималния план. Във връзка с това е необходимо да се определят интервалите на изменение на ресурсите, при които оптималният план остава неизменен. Допускаме, че се изменя само една, например -тата компонента на вектора B (при неизменност на всички останали). Тогава границите на изменение на компонентите на вектора B може да се определят като се вземе за изходно начало условието за неотрицателност на променливите в оптималния план. Винаги трябва да е изпълнено неравенството x, x е оптималният план на задачата, а x x където { } + е нарастването на -тата базисна променлива при изменение на вектора B. Ако b се измени с b, то x = b. a. При това условие устойчивостта на оптималния план се записва във вида b a x. Като се разделят двете страни на последното неравенство на a, се получава следната система неравенства: x b при a > ; a....(5) x b <. при a a Като се реши системата неравенства (5) се получава x x b a a = a ax; > ; Б = a < < ; Б При такова изменение на - тия ресурс оптималният план остава неизменен. Нека да предположим, че едновременно се изменят всички компоненти на вектора на десните страни на ограничителните условия (без да се изменят другите параметри на модела). Допустимото нарастване на коефициентите в десните страни на ограничителните условия се определя от системата неравенства: = a n; = a >

4 = a b xk при к =, 2,...,. В дадения случай, както и преди това, се задава вектора B, определящ предпологаемите пропорции на изменение, 2, 3,... на вектора B. Като се приложи апарата на параметричното оптимиране се намират търсените интервали: x k xk b.. a a = = n; = a. > ax; = a. При анализ на оптималното решение понякога възниква въпросът: при какви условия в оптималния план могат да се включат променливи, които не участват в него? За да се отговори на този въпрос трябва да се определят интервалите на вариация на небазисните променливи, които целим да въведем в базиса. От признака за оптималност [2] следва, че оптималният базис не се изменя, ако отрицателните коефициенти във вектора стълб на небазисна променлива ( a < ) се намалят, а положителните ( a > ) се увеличат. При увеличаване на коефициента на разход на -тия ресурс с a косвеният ефект върху от включване в базиса на оптималния план на - тата небазисна променлива е изменение на = a.. е оценката на -тия ресурс в оптималния план. Следователно планът ще бъде оптимален при изпълнение на неравенството ( + ), откъдето се получава = a. Следователно < a.. Така се намира a. ( ). При едновременното изменение на стойността на няколко или всички коефициенти a на кой да е вектор, който не принадлежи на базиса на оптималния план, условието за неизменност (устойчивост) на оптималния базис се изразява по следния начин: а Търсените интервали отново се определят с апарата на Б параметричното оптимиране. Включването на дадената променлива в плана води до подобряване качеството на решението с единици. Ако разходите на ресурсите по дадената променлива бъдат снижени в размер, равен на отношението на производствените единици от продукцията към добавката (прираста), получен от икономията на ресурси, то -тата променлива ще бъде включена в плана. При анализ на оптималния план може да възникне потребност за разглеждане на допълнителните ограничения след получаване на оптималното решение за първоначалния модел. В редица други случаи някои ограничения, имащи място в първоначалната формулировка на задачата, съзнателно се пропускат, за да се облекчат пресмятанията. Опитът показва, че обемът на изчисления при използване на симплекс метода нараства при грубо приближение пропорционално на куба на броя на ограниченията [3]. Следователно, когато се описват ограниченията на изходния модел, трябва много да се внимава. Някои от ограниченията влияят слабо (или въобще не влияят) на вида и стойността на целевата функция на оптимално решение. Такива ограничения обикновено се вземат под внимание като се имат

5 предвид следващите етапи от анализа. Поради това последен етап от анализа на параметрите на икономико-математическия модел при известно оптимално решение е уточняването на целесъобразността от включване в задачата на нови технологии или елементи. Допускаме, че в модела на задачата е въведена нова технология (допълнителен вектор-стълб r ). В този случай съгласно признака за оптималност, ако r r, то решението ще бъде оптимално. По известните оценки в индексния ред се пресмята и косвеният ефект = a. Като се замести намерената стойност в предишното неравенство се r Б намира = a. Ако новата технология удовлетворява това съотношение, то тя r Б може да бъде включена в оптималния план. За тази цел е необходимо повторно решение на задачата. В противен случай новата технология остава извън плана. При изменение коефициентите и десните страни на ограниченията от тип неравенство a x < b не правим анализ на тяхното влияние върху модела, защото за прилагане алгоритъма на симплекс метода е необходимо всички ограничения да са във вид на равенства a x = b. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Анализът на параметрите на икономико-математическия модел при известно оптимално решение има голямо практическо значение. Тъй като създаденият модел може да не отразява напълно реалните условия за развитие на разглеждания обект, а и в изходните данни може да има неточност, то оптималното решение на задачата има приближена стойност. По тази причина заедно с оптималното решение е необходимо да имаме информация за поведението на разработвания модел в околността на оптималния план в диапазона на възможните изменения на параметрите и структурата на модела. Тази информация позволява: -да се получи информация за поведението на технико-икономическите коефициенти на модела в околността на оптималния план; -да се уточнят изискванията към точността на изходните данни; -изменение в необходимото направление на тези икономически показатели, които се поддават на контрол; -видоизменение на разработвания модел, да се окрупни по отношение на помалко чувствителните параметри и ограничения и да се уточни областта на високата чувствителност. ЛИТЕРАТУРА [] Бонев К., Н.Лалова, А.Иванов, Математическо моделиране, изд. Г.Бакалов, Варна, 989. [2] Frederk S. Hller, Gerad J. Lberan, Introduton to Operaton Researh, MGraw- Hll In. Sngapore, 995. [3] Кремер Н.Ш., Исследование операции в экономике, Москва, Юнити, 24. За контакти: Гл.ас. д-р Веселина Евтимова, Катедра Алгебра и геометрия, Русенски университет Ангел Кънчев, Тел.: , Е-al: vevtova@ru.aad.bg Докладът е рецензиран

10. Линейни оптимизационни модели – обща постановка

10. Линейни оптимизационни модели – обща постановка 0. Линейни оптимизационни модели обща постановка Пример Разполагате с 26 бр. самолети от тип А и 5 бр. самолети от тип В. Задачата е да се пренесе възможно по-голямо количество от разполагаем товар, при

Подробно

ВАРНЕНСКИ СВОБОДЕН УНИВЕРСИТЕТ "ЧЕРНОРИЗЕЦ ХРАБЪР" ЗАГЛАВИЕ курсова работа по. на.., специалност. фак. номер: ******** Варна, 2008 г.

ВАРНЕНСКИ СВОБОДЕН УНИВЕРСИТЕТ ЧЕРНОРИЗЕЦ ХРАБЪР ЗАГЛАВИЕ курсова работа по. на.., специалност. фак. номер: ******** Варна, 2008 г. ВАРНЕНСКИ СВОБОДЕН УНИВЕРСИТЕТ "ЧЕРНОРИЗЕЦ ХРАБЪР" ЗАГЛАВИЕ курсова работа по. на.., специалност. фак. номер: ******** Варна, 28 г. 2 Задача Да се изследва влиянието на вноса и износа на върху брутния

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет

Проектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет Проектиране на непрекъснат П - регулатор инамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектирането им, могат да се окажат незадоволителни по отношение на

Подробно

_5. ???????????? ?3????????? ?? ????????????? ?? ?????????? ?? 2005 ?.

_5. ???????????? ?3????????? ?? ????????????? ?? ?????????? ?? 2005 ?. ЩЕ ИЗЧЕЗНЕ ЛИ БЪЛГАРСКАТА НАЦИЯ ПРЕЗ XXI ВЕК? Гл. ас. д-р Стефан Стефанов Катедра "Математика и статистика", СА "Д. А. Ценов" - Свищов (Продължение от брой 3) Резюме: В работата се разглеждат измененията

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - UIP_mat_7klas_

Microsoft Word - UIP_mat_7klas_ Приложение 2 УЧЕБНО-ИЗПИТНА ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ В КРАЯ НА VII КЛАС І. Вид и времетраене Изпитът от националното външно оценяване е писмен. Равнището на компетентностите

Подробно

2. Изследване на операциите и моделиране. Моделиране на обществените процеси. Същност на моделирането. Структура на процеса на моделиране

2. Изследване на операциите и моделиране. Моделиране на обществените процеси. Същност на моделирането. Структура на процеса на моделиране 2. Изследване на операциите и моделиране. Същност на моделирането. Моделиране на обществените процеси. 1 Структура Терминология Етапи на изследването на операциите Модели и моделиране 2 Терминология 3

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Проектът се осъществява с финансовата подкрепа на Оперативна Програма Развитие на Човешките Ресурси , Съфинансиран от Европейския Социален Фо

Проектът се осъществява с финансовата подкрепа на Оперативна Програма Развитие на Човешките Ресурси , Съфинансиран от Европейския Социален Фо ЛЯТНА ШКОЛА 2013 ПОВИШАВАНЕ ТОЧНОСТТА НА РОБОТ ЧРЕЗ ИДЕНТИФИКАЦИЯ И РАЗПОЗНАВАНЕ Доц. д-р инж. Роман Захариев ПОВИШАВАНЕ НА ЕФЕКТИВНОСТТА И КАЧЕСТВОТО НА ОБУЧЕНИЕ И НА НАУЧНИЯ ПОТЕНЦИАЛ В ОБЛАСТТА НА СИСТЕМНОТО

Подробно

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле

Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисле Приложение на методите на Рунге Кута за решаване на уравненията за отравяне на ядрения реактор 1. Въведение В доклада са направени поредица от изчисления върху уравненията за отравяне на ядрения реактор

Подробно

BULGARIAN PARTICIPATION IN THE SPS AND PS EXPERIMENTS

BULGARIAN PARTICIPATION IN THE SPS AND PS EXPERIMENTS Молекулно-динамични симулации в различни термодинамични ансамбли Каноничен ансамбъл като Ако малката система е състои от една частица Брой на клетките във фазовото пространство, където може да се намира

Подробно

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока

Подробно

ISSN

ISSN FRI-9.3-1-THPE-13 ANALYTICAL PRESENTATION OF THE DIMENSIONLESS CHARACTERISTICS OF CENTRIFUGAL FANS Prof. Gencho Popov, PhD E-mail: gspopov@uni-ruse.bg Assoc. Prof. Kliment Klimentov, PhD Е-mail: kklimentov@uni-ruse.bg

Подробно

Microsoft Word - ProectB.doc

Microsoft Word - ProectB.doc Епидемиологичен модел Целта, към която се стремим тук, е да се изследва как се разпространява заразно заболяване като функция на времето, предизвикано от малка група инфектирани индивиди, намиращи се сред

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 48, серия 10 Кинетика на преориентация на F A центрове, при осветяване с неполяризирана F A светли

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 48, серия 10 Кинетика на преориентация на F A центрове, при осветяване с неполяризирана F A светли Кинетика на преориентация на F центрове, при осветяване с неполяризирана F светлина Димитър Попов, Йордан Димов Reorienaion Kineics Of F Ceners In KCL:Na Obained Under Illuminaion Wih Unpolarized F Lighs:

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

БРУТЕН ВЪТРЕШЕН ПРОДУКТ ПРЕЗ ЧЕТВЪРТОТО ТРИМЕСЕЧИЕ НА 2015 ГОДИНА (ЕКСПРЕСНИ ОЦЕНКИ)

БРУТЕН ВЪТРЕШЕН ПРОДУКТ ПРЕЗ ЧЕТВЪРТОТО ТРИМЕСЕЧИЕ НА 2015 ГОДИНА (ЕКСПРЕСНИ ОЦЕНКИ) БРУТЕН ВЪТРЕШЕН ПРОДУКТ ПРЕЗ ЧЕТВЪРТОТО ТРИМЕСЕЧИЕ НА 2015 ГОДИНА (ЕКСПРЕСНИ ОЦЕНКИ) През четвъртото тримесечие на 2015 г. брутният вътрешен продукт (БВП) нараства с 3.1% спрямо съответното тримесечие

Подробно

ИНДЕКСЕН ФАКТОРЕН АНАЛИЗ НА ПРОДУКЦИЯТА ОТ ЕДНОРОДНИ И РАЗНОРОДНИ СЪВКУПНОСТИ НА СТОКИ СПОРЕД ПРОМЕНИТЕ НА ТEХНИТЕ ЦЕНИ И НАТУРАЛНИ КОЛИЧЕСТВА С ДИСКР

ИНДЕКСЕН ФАКТОРЕН АНАЛИЗ НА ПРОДУКЦИЯТА ОТ ЕДНОРОДНИ И РАЗНОРОДНИ СЪВКУПНОСТИ НА СТОКИ СПОРЕД ПРОМЕНИТЕ НА ТEХНИТЕ ЦЕНИ И НАТУРАЛНИ КОЛИЧЕСТВА С ДИСКР ИНДЕКСЕН ФАКТОРЕН АНАЛИЗ НА ПРОДУКЦИЯТА ОТ ЕДНОРОДНИ И РАЗНОРОДНИ СЪВКУПНОСТИ НА СТОКИ СПОРЕД ПРОМЕНИТЕ НА ТEХНИТЕ ЦЕНИ И НАТУРАЛНИ КОЛИЧЕСТВА С ДИСКРЕТНАТА НЕЧЕТНА ФУНКЦИЯ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЯ СИГНУМ (МЕТОДИКА

Подробно

Машинно обучение - въведение

Машинно обучение - въведение Линейна регресия с една променлива Доц. д-р Ивайло Пенев Кат. Компютърни науки и технологии Пример 1 Данни за цени на къщи Площ (x) Означения: Цена в $ (y) 2104 460 000 1416 232 000 1534 315 000 852 178

Подробно

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест

Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещест Лекция Многокомпонентен анализ на смеси чрез техните УВ-Вид спектри.. Електронни спектри на смес от вещества. Обикновено UV/Vis спектър на едно вещество се измерва в региона от 200 до 900 nm. За коя да

Подробно

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 4 Сравнително изследване на някои от характеристиките на измервателните системи за позиц

НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 47, серия 4 Сравнително изследване на някои от характеристиките на измервателните системи за позиц Сравнително изследване на някои от характеристиките на измервателните системи за позициониране и навигация на автомобили Даниел Любенов, Митко Маринов A comparative study of some characteristics of the

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

16. НЯКОИ НЕРАВНОВЕСНИ И НЕЛИНЕЙНИ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛИТЕ ТОПЛОПРОВОДНОСТ, ЕЛЕКТРОПРОВОДИМОСТ, ЕЛЕКТРОСТРИКЦИЯ. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИ ЕФЕКТИ 1. Нелинейни или

16. НЯКОИ НЕРАВНОВЕСНИ И НЕЛИНЕЙНИ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛИТЕ ТОПЛОПРОВОДНОСТ, ЕЛЕКТРОПРОВОДИМОСТ, ЕЛЕКТРОСТРИКЦИЯ. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИ ЕФЕКТИ 1. Нелинейни или 16. НЯКОИ НЕРАВНОВЕСНИ И НЕЛИНЕЙНИ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛИТЕ ТОПЛОПРОВОДНОСТ, ЕЛЕКТРОПРОВОДИМОСТ, ЕЛЕКТРОСТРИКЦИЯ. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИ ЕФЕКТИ 1. Нелинейни или квадратични ефекти 1.1. Електрострикция При голяма

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc ВЪПРОС 1 КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНИ Във въпроса Кинематика на материална точка основни понятия и величини вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

МОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 1

МОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 1 МОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА 019 00 ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 11 за оценяване на резултатите от обучението на учениците:

Подробно

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим

Подробно

РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и науч

РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ Паисий Хилендарски на дисертационен труд за получаване на образователната и науч РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и научна степен доктор по професионално направление 4.5 Математика

Подробно

Брутен вътрешен продукт през третото тримесечие на 2015 година (експресни оценки)

Брутен вътрешен продукт през третото тримесечие на 2015 година (експресни оценки) БРУТЕН ВЪТРЕШЕН ПРОДУКТ ПРЕЗ ТРЕТОТО ТРИМЕСЕЧИЕ НА 2015 ГОДИНА (ЕКСПРЕСНИ ОЦЕНКИ) 1 През третото тримесечие на 2015 г. брутният вътрешен продукт (БВП) нараства с 2.9% спрямо съответното тримесечие на предходната

Подробно